Корпускулярно-волновой дуализм солитонов

Существует мнение, что корпускулярно-волновой дуализм элементарных частиц невозможно понять и объяснить исходя из каких-либо наглядных представлений. Далее полагается, что надо разделять так называемую классическую физику и так называемую квантовую. Причем, если для первой существует наглядная пространственно-временная картина, то для второй говорить о ней нельзя в принципе. Согласно другой точке зрения субатомные частицы надо рассматривать как солитоны некоторой единой нелинейной полевой модели. При этом пространственно-временная динамика солитонов описывает реальную динамику субатомных частиц. В рамках такого подхода автором были получены определённые результаты для полевой модели нелинейной электродинамики [1]. Также были получены результаты для скалярной модели пространственно-временной плёнки [2], которая представляется более адекватной реальности. Среди немногочисленных направлений исследования, посвящённых солитонной концепции субатомных частиц, можно также упомянуть направление, представленное в работе [3]. Солитоны являются весьма примечательными физико-математическими объектами, свойства которых, однако, исследованы ещё не достаточно хорошо. В настоящей работе, с привлечением нового понятия слабого солитона, показано, что именно представление элементарных частиц солитонами единого поля позволяет понять квантовое поведение и не рассматривать квантовую физику как что-то невообразимое. Рассмотрена также концепция единого поля и кратко модель пространственно-временной плёнки, претендующая на единую полевую модель.

1. Определения Солитона

Можно рассматривать два определения солитона: физическое и математическое. Физическое определение солитона гласит:

Солитоном называется уединённая или пространственно-локализованная волна.

Здесь часто добавляют «..., распространяющаяся в нелинейной среде». Однако, это добавление можно не делать, поскольку любая физическая субстанция нелинейна, а линейной может быть только её приближённая математическая модель. Математическое определение солитона:

Солитоном называется решение нелинейной полевой модели в виде уединённой или пространственно-локализованной волны.

Здесь нелинейность модели существенна.

Далее мы будем рассматривать полевые модели, инвариантные относительно пространственно-временного поворота или обладающие релятивистской инвариантностью. Под временным поворотом понимается преобразование Лоренца. Необходимо также дать определение релятивистского солитона:

Релятивистским солитоном называется солитон релятивистки инвариантной полевой модели.

Из инвариантности модели относительно некоторого преобразования следует, что из одного решения могут быть получены другие посредством этого преобразования. В релятивистки инвариантных полевых моделях солитоны разделяются на световые и досветовые. Световые солитоны движутся со скоростью света. Досветовые солитоны движутся с досветовыми скоростями или покоятся как целое. Каждый досветовой солитон представляет целый класс решений, которые связаны между собой пространственно-временным поворотом. Пусть имеется скалярная релятивистки инвариантная полевая модель и её некоторое локализованное в пространстве решение Ф(х 0 , х 1 , х 2 , x 3 ). Здесь и далее точкой под символом обозначается собственная система координат релятивистского досветового солитона, то есть система, в которой солитон покоится как целое, x о = ct - временная координата, c – скорость света. В силу релятивистской инвариантности решением также будет функция Ф( { х _М } ) с заменой координат { х _Л } :

xМ   Pv=0 L^V xv , где LMV - матрица пространственно-временного поворота. Функция Ф({хM(xv)}) — это движущийся в системе координат {xv} досветовой солитон.

Временной поворот вдоль одной оси имеет один параметр скорости V (0 ^ V < 1). Тогда связь между координатами:

X о =

х ₀ — V х 1

v 1     V 2 ’

х 1 — V х ₀

X 1 =    ,    , ■ » ,   X 2 = ^х 2 , X 3 = ^х з .

1 - V ²

В качестве примера досветового солитона рассмотрим сферически симметричное в собственной системе координат статическое решение уравнения пространственно-временной плёнки [2]. Это солитонное решение представляет элементарный электрический заряд [4]. Будем называть его сфероном. Класс решений движущегося сферона задаётся формулой

q r

- F 1.1.5   —7   , r > r r 4 ; 2 ; 4 r4         ·

•                   \ • / q F 1.1.5 (1),   0 < r < r r 4;2;4                    ·

J ^{( x} 0 ^- V x1 ) 2 ,2,2 r = у 1 - V 2   ⁺ x 2 ⁺ x 3

где r - сферический радиус собственной системы координат, F _a ; e ; _Y (z) — гипергеометрическая функция, r = у/lq х | , q — величина заряда, х — размерная константа нелинейности уравнения.

В общем случае солитонное решение в собственной системе координат может иметь также временную зависимость, в частности, периодическую. Дадим следующее определение:

Осциллирующие релятивистские досветовые солитоны – солитоны с периодическую зависимость от времени в собственной системе координат.

Введём безразмерную фазу периодической функции осциллирующего солитона такую, что период по фазе равен 2п:

S = УХ о .(4)

Тогда ω _· – круговая частота, а решение представлено в собственной системе координат некоторой функцией:

$ = $(S,Х 1,Х2,Х3) .

Применим к решению (5) операцию временного поворота по одной оси (2). Получаем новое решение в виде движущегося солитона. Тогда фаза решения:

x0 - V x1 ωω V

S У                .     — Хп — —.     — Xi .

• V 1 — V 2  У Т — V 2 ⁰   у г — V 2 ¹

У движущегося солитона изменилась частота и появилось волновое число:

ωωV у — , '      = , k — , '= .

V 1 — V ² ’       V 1 — V ²

Новая частота ω и волновое число k, очевидно, связаны соотношением у2 — k2 — у2 .(8)

При произвольном направлении временного поворота вместо волнового числа k появляется пространственный волновой вектор k. Частота и волновой вектор связаны соотношением у2 — k2 — У2 .

Это соотношение аналогично дисперсионному соотношению для плоских волн постоянной амплитуды линейных моделей. Однако дисперсии, то есть расплывания, здесь нет. Будем называть соотношение между частотой и волновым вектором осциллирующего солитона частотно-волновым .

Компоненты волнового вектора движущегося досветового солитона для произвольного пространственно-временного поворота с компонентами скорости V i выражаются формулой:

ωV i

k i ^— у V .

Латинские индексы принимают значения 1, 2, 3. Считая, что частотно-волновое соотношение (9) задаёт неявно функцию у — W ( k ) и дифференцируя соотношение (9) по компонентам волнового вектора, с учётом (10) получаем:

∂W i     dki .

Как видно, это выражение совпадает с определением групповой скорости для диспергирующих волн.

Фазовой скоростью называется скорость движения поверхности постоянной фазы. Обозначим её компоненты через V i . Пусть фаза для временного поворота по одной оси (см. (2), (7)) равна константе C :

.       -                 w C           -и 1                     ,

S = wx0 — kx1 = C  =^  x1 = — x0 — x  =^  V = ~^ = у .           (12)

Таким образом фазовая скорость оказывается сверхсветовой. Для произвольного направления пространственно-временного поворота имеем

ωk

Vi = 1^

—

V • V = 1 .

Пространственной локализацией могут обладать решения также и линейных полевых моделей. В связи с этим возникла необходимость сформулировать следующее определение слабого солитона:

в виде в вие Та-

Слабым солитоном называется решение линейной полевой модели пространственно-локализованной или уединённой волны.

кое определение оправдано вследствие того, что амплитуда слабого солитона может быть сколь угодно малой. Последнее обстоятельство представляет собой существенное отличие слабого солитона от солитона, амплитуда которого определена решением.

• 2.    Слабые Сферические Солитоны

Рассмотрим элементарные решения линейного волнового уравнения в сферических координатах. Волновое уравнение для функции Ф(х o ,r,i? ,ф ) в собственных сферических координатах { r, ϑ, φ _· } можно записать в виде:

ДФ — .,   =0 .

∂x·0

где Д - оператор Лапласа.

Известны [1, 5, 6] всюду регулярные его решения, представляющие собой стоячие радиальные волны и при m = 0 вращающиеся кольцевые волны:

где j _l – сферические функции Бесселя первого рода, P _l ^m – присоединённые функции Лежандра, - l ⩽ m ⩽ l.

Простейшее решение вида (15) имеем при l = m = 0 (вращения нет):

sin(w r)

Фоо = ---— sin(wxo) ,

ωr

Пространственная зависимость (амплитуда гармонической временной функции) решения (16) на линии, проходящей через центр, показана на Рис. 1. На Рис. 2 показан слабый сферический солитон нулевого порядка в собственной системе координат на сечении, проходящем через центр солитона.

Посредством временного поворота из решения (16) получается движущийся слабый досвето-вой солитон в системе координат { x µ } . Соответствующая подстановка собственных координат x _· 0 и r _· в формулу (16) берётся из формул (2) и (3) соответственно. На Рис. 3 показан движущийся слабый сферический солитон нулевого порядка на сечении, проходящем через центр солитона. Видно, что вдали от центра солитона бегущая волна, соответствующая волновому числу k из формулы (7), близка к плоской.

Рис. 1. Амплитуда гармонической временной функции решения (16) на линии, проходящей через центр, при w = 1 .

Рис. 2. Слабый сферический солитон нулевого порядка в собственной системе координат на сечении, проходящем через центр солитона.

• 3.    Механико-Солитонное Соответствие и Квантово-Волновое Поведение

Сравним частотно-волновое соотношение ш ( к ) для осциллирующего досветового солитона (9) с релятивистским соотношением между энергией E и импульсом p массивной частицы:

E ² - р ² = m 2 ,

где m - масса покоя частицы. Эмпирические соотношения E = h ш и р = h к приводят к соотношению между массой покоя частицы и собственной частотой солитона:

m = h ш .

·

Таким образом устанавливается механико-солитонное соответствие. Как правило для любой нелинейной полевой модели имеет смысл соответствующая линеаризованная, которая может иметь слабые солитонные решения. Естественно допустить, что при удалении от области локализации солитонное решение может переходить в слабое солитонное. Это тем более правдоподобно для многосолитонного решения. Взаимодействие солитонов будет порождать межсолитонный волновой фон, который вблизи каждого солитона будет близок к некоторому слабому солитонному решению. Энергия слабых солитонов может расходится на бесконечности, как это имеет место для слабых

Рис. 3. Движущийся со скоростью 0 . 8 c слабый сферический солитон нулевого порядка на сечении, проходящем через центр солитона.

сферических солитонов. Однако это нельзя считать трудностью модели. Поле слабых солитонов переходит в общий волновой фон, энергия которого очень велика, но конечна. Рассмотрим совокупность солитона и слабого солитона в многосолитонной системе. Мы видели, что движущиеся слабые досветовые солитоны представляют собой сложную бегущую волну. Для таких волн, естественно, характерны все волновые эффекты, такие как интерференция и дифракция. С другой стороны на движение истинного солитона будет очевидно влиять его слабо-солитонное окружение. При этом истинный солитон, обладающий структурной устойчивостью, будет двигаться по некоторой траектории. Таким образом солитон попадёт, например, в определённую точку экрана, поставленного после щели, на которой происходит дифракция. В случае двухщелевого эксперимента солитон вместе со своим слабослитонным окружением проходит через обе щели, при этом существенно деформируясь. Однако после щели солитон может как бы опять собраться постольку поскольку имеется соответствующее точное структурно устойчивое солитонное решение. Квантование частоты волны при наличии границ области пространства, в которой волна существует, хорошо известно. Отражение волн от границы порождает стоячие волны. Частоты этих волн принимают дискретный ряд значений, определяемый размером и формой ограниченной области. Это и является квантованием. Для квантования не обязательно наличие резких границ. Граница может быть как бы размыта, например, при непрерывном, но достаточно быстром изменении параметра скорости волны в среде. Аналогичным образом появляется дискретный спектр частот в решениях уравнений Шрёдингера и Дирака. Всё это и есть квантово-волновое поведение частиц-солитонов.

• 4.    Уравнения Квантовой Механики

Поле движущегося осциллирующего солитона, представляющего некоторую частицу, может быть разложено по плоским волнам:

^ =

∞

∞

Ф(ш ‘ , k ‘ )e ^{i ( k} ‘ • r ^-" ’ t )dw ‘ (dk ‘ ) 3 ,

где Ф(^ ‘ , k ‘ ) - образ Фурье солитона в пространстве частот ^ ‘ и волновых векторов k ‘ .

Частота ω и волновой вектор k релятивистского осциллирующего досветового солитона, входящие в его частотно-волновое соотношение (9), представляют собой соответствующие главные модальные значения1 образа Фурье Ф(ш‘, k‘). Сам же солитон рассматриваемого типа является так называемым солитоном огибающей. Его также можно считать волновым пакетом. Из известного математического соотношения между характерной шириной волнового пакета Лх1 и шириной спектра Ak1, с учётом гипотезы де Бройля p1 = h k1, следует соотношение неопределённости Гейзенберга:

Ak 1 Ax i ~ 2п = ^ Ap 1 Ax i ~ 2п h . (20)

Вывод уравнений квантовой механики, которые существенно линейны, основан на представлении солитона-частицы квази-плоской диспергирующей волной постоянной амплитуды, то есть безграничной, с частотой ω и волновым вектором k .

Для получения уравнения Шрёдингера за основу берётся нерелятивистское выражение для полной механической энергии частицы в поле консервативных сил и соответствующее дисперсионное соотношение:

E = РГ ⁺ U

2 m

E = h w , p = h k

^ = a e ‘"r ■'• h w = h2 -—+ и 2m

i h W + . A^ - U^ = 0 . (21) dt 2 m

В данном случае, чтобы реализовать дисперсионное соотношение, необходимо рассматривать комплексную гармоническую волну.

Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле получается из релятивистского соотношения между энергией и импульсом, включающем электромагнитный потенциал. Дополнительно накладывается требование, чтобы уравнение было первого порядка по производным. В результате коэффициенты уравнения становятся матрицами { γ ^µ } , а представляющая волну комплексная функция четырёхкомпонентной:

(E + еф) - c2 (p -

E = h w , p = h k

- A ) ² = c ⁴ m ² c