Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина
Автор: Алдашев Серик Аймурзаевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.15, 2013 года.
Бесплатный доступ
В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина имеют единственные решения.
Задача дирихле, задача пуанкаре, корректность, разрешимость, многомерное уравнение, вырождение
Короткий адрес: https://sciup.org/14318419
IDR: 14318419
Текст научной статьи Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина
В [1] было показано, что на плоскости одна из фундаментальных задач математической физики — изучение поведения колеблющейся струны — некорректна, в случае когда краевые условия заданы на всей границе области. Как замечено в [2, 3], задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4], показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], которые сложно применимы в приложениях.
В [6, 7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболического уравнения, а [8, 9] доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения.
Насколько нам известно, многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре для вырождающихся гиперболических уравнений ранее не изучались.
В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина имеют единственные решения.
Пусть D β — цилиндрическая область евклидова пространства E m +1 точек (x 1 ,..., x m , t), ограниченная цилиндром Г = { (x,t) : | x | = 1 } , плоскостями t = в > 0 и t = 0, где | x| — длина вектора x = (x i ,..., x m ). Части этих поверхностей, образующих границу dD e области D e , обозначим через Г е , S e , S o соответственно.
В области D β рассмотрим многомерное уравнение Чаплыгина
g(t)A x U - u tt = 0,
где g(t) > 0 при t > 0, g(0) = 0, g(t) G C ([0, в]) П C 2 ((0, в)), A x — оператор Лапласа по переменным x i ,..., x m , m > 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x 1 , . . . , x m , t к сферическим r, 9 1 , ... , 9 m- 1 ,t , r > 0, 0 6 9 1 < 2n, 0 6 9 i 6 n, i = 2, 3,... , m — 1.
Рассмотрим следующие многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре:
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области De из класса C(De) П C2(De), удовлетворяющее краевым условиям uISe = V(r,0), u|re = Wt,0), u|S0 = T (r,0), (2)
или u|Se = ^(r,0), u|re = ^(t,0), ut |Se = V(r,0). (3)
Пусть {Y^0)} — система линейно независимых сферических функций порядка n , 1 6 k 6 k n , (m — 2)! n! k n = (n + m — 3)! (2n + m — 2), W l (S o ), l = 0,1,..., — пространства Соболева.
Лемма 1 [10] . Пусть f (r, 0) E W l (S o ). Если l > m — 1 , то ряд
∞ kn f (r,0) = E E^(r)Ynkm(0), (4)
n =0 k =1
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p 6 l — m +1 , сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2 [10] . Для того чтобы f (r, 0) E W l (S o ), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
∞ k n
| f o 1(r) | 6 С 1 , ЕЕ n 21 | f k (r) | 2 6 С 2 , С 1 , C 2 = const .
n =1 k =1
Через ? k (r), c k (t), T k (r), V k (r) обозначим коэффициенты разложения в ряд вида (4) функций ^(r,0) , ^(t,0) , т (r, 0), v (r, 0) соответственно.
Пусть ^(r, 0) E W 0 (S e ), ^(r, 0) E W l (Г е ), т (r, 0), v (r, 0) E W 2 (S 0 ), l > 3m и выполняются условия согласования
Тогда справедлива Теорема. Если cos ^s,ne = 0, s -- 1, 2, * * * , то задача 1 однозначно разрешима, где ^s,n — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+ (m-2) (z), n E N, в0 = f^ Vg(D d^
C
В сферических координатах уравнение (1) имеет вид:
m
-
1
1 d δ≡- j=1 gj sinm j 1 0j d0j g(t) + m- r
u
r
--∂ sin 90"), -
δu r
2
—
u
tt
= 0,
g
i
= 1, g
j
= (sin 0
1
... sin 0
j
-
i
)
2
,
j>
1.
Известно [10], что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел A
n
= n(n+m
—
2), n = 0,1,..., каждому из которых соответствует k
n
ортонормированных собственных функций Y
n
k
,m
(0), k = 1, . . . , k
n
.
Так как искомое решение задачи 1 принадлежит классу C(De)ПС2(De)■ то его можно искать в виде
∞
kn
u(r,».t) = Е Е^^т №
n
=0
k
=1
где U
^
(r,t) — функции, подлежащие определению.
Подставив (7) в (6) и используя ортогональность сферических функций
Y
km
(6)
[10], имеем
g(t) (иПгг + m-1 uknr - AuTA -u^tt = 0, k = i,...,kn, (n = 0,1,...)■(8) rr при этом краевые условия (2) и (3) с учетом леммы 1 соответственно принимают вид un(r,e)=ФТа^ un(i,t)=an(t) un^o)=^(rv k = 1■■■■■kn■ (n=0,1■...)■ uT(r,e )= ^Pn(r), uT(1,t) = VT(t) uTt (r 0) = vк(r), к = 1■...,kn ■ (n = 0, ^..J. (1 m)
Выполнив в (8) замену u
T
(r, t) =
r
2
u
n
(r,t)
и положив затем
r
= r,
y
=
( 2 й V® d^) 3 ■ получим yunrr unyy + r2 un b(y) uny 0,
- (
(m
-
1)(3
-
m)
-
4A
n
)
1
Г
dg g
"
X
n
=------------
4------------■ b(y) = 2g[dy
-
yj-
Полагая
u
T
=
u
T
exp
-
|
J b(^)
d^
, уравнение (11) приводим к виду
L о J yukrr - uTyy + ^nT uT = c(y) uT■ (12) r
c(y) =
-
4(b
2
+ 2b
y
)
^
C (y >
0)
Уравнение (12), в свою очередь, с помощью замены переменных
r
= r, x
о
=
3
y
2
переходит в уравнение
υ
nrr
-
υ
nx0x0
-
A-
u
Tx0
+ ^
n
u
T
= g
T
(r,x
o
), 3X
o
r“
u
T c^
x
o
)=u
T
r,
g
T
(r,x
o
) =
c
3x
o
un (r,
x
o
)•
При этом краевые условия (9) и (10) соответственно примут вид:
u
k
(r,e
) = ^
k
(r), u
k
(1,x
0
)= V
k
(х
0
) u
k
(r, 0) = т
,k
(r), (14)
1∂ uT(r,e) = ^T(r), uT(1,xo)= VT(xo)■ lim xo37j— uT = vn(r), (15)
x0
→
0
∂x
0
(m
-
1)
V
n
(r) = r
2
V
n
(r)exp
β I/b«) 4 L 0
Ф
П
(x
o
) = 4 (t)exp
y
1
1 b(e) de
(m
-
1) (m
-
1)
T
n
(r)= r
2
T
n
(r), v
n
(r)= r
2
v
n
(r)-
Наряду с уравнением (13) рассмотрим уравнение kk
α
υ
α,n
≡
υ
α,nrr
-
k
υ
α,nx0x0
-
α
k
υ
α,nx0
x
0
+ λn k k r2 ua,n ga,n V' ’ x0),
L*
— u
0
,nrr
u
O
,nxo xo
λ
n
k
+ r
2
U
0
,n
= дсЦг x
0
),
(16
a
)
(16
0
)
g
a,n
(r,x
0
) =
1
—aq
k α,n r,
g0
,n
(r,
X
0
) = c(x
0
) u^Jr, X
0
), 0
< a
= const < 1.
Отметим, что уравнение (13) совпадает с уравнением (16
a
) при
a
=
3
.
Как доказано в [11, 12] (см. также [13]), существует следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (16
a
) и (16
o
).
Утверждение 1.
Если vkd
(r, x
o
)
—
решение задачи Коши для уравнения
(16
o
),
удовлетворяющее условиям
∂ к'1(т C)t — тк(т\ ____ii^ir0 71 u0,n(', 0) = Tn(')’ dx0 U0,n('’ 0) = 0, то функция a Г«„, (r Xn) ua,n(r,xo) = Ya vki (r,^xo )(1 - e2) a—1dC — 2—1 Ya Г a x1—aD—2 J0^-22(18) j ’ \2 / -0 l X0 J при a > 0 является решением уравнения (16a) с условиями (17). Утверждение 2. Если vOn^, xo) — решение задачи Коши для уравнения (16o), удовлетворяющее условиям vk,1(T _______________vO(r)_______________ d ^0,1, . _ Uo’n(r’ 0) = (1 - a)(3 - a)... (2q + 1 - a) ’ dxo Uo’n(r’ 0) = 0’ то при 0 < a < 1 функция
U
a,n
('’X
O
) = Y
2
—
k
+2
q
x
o
dxo )
x
0
—
a
+2
q
I vk^exo
)(1
-
e
2
)
q
—
a
de
o
—
Y
2
—
k
+2
q
2
q
1
Г
qq
-
2 +
1)
D
0
2x
2
u0^n
(
r1^
o2'
xo .
является решением уравнения
(16
а
)
с начальными данными
∂
^’П
С
т
0)=0, lim xo —
u
a,n
= ^(r), (21)
x0
→
0
∂x
0
где
^
ПГ
(2)
Y
a
= 2Г (O
r
1) , r(z)
—
гамма-функция,
D
ot
— оператор Римана — Лиувилля
[14]
,
а
q
>
0 —
наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
2
—
а + 2q
>
m
—
1.
При этом функции g
kn
(r,x
o
) и g
o n
(r, x
o
) связаны формулами (18) в случае утверждения 1 и формулами (20) в случае утверждения 2.
Теперь переходим к решению задачи (16
а
), (14) и (16
а
), (15).
Решение задачи (16а), (14) будем искать в виде ua, n(r,xo)=ua ncr’xo)+иа,,n(r,xo )> (22) где uk,n(r, xo) — решение задачи Коши (16а), (17), а и^,n(r, xo) — решение краевой задачи для уравнения (16а), c условиями uan(r,e0) =^n(r) - иа,n(r,e0), ua,2n(1,xo) =^n(xo) - ua,ln(1,xo), 'an(r0)=0. (23) Учитывая формулы (18), (20), а также обратимость оператора Dgt [14], задачи (16а), (17) и (16а), (23) соответственно сводим наши задачи к задаче Коши (16o), (17), имеющей единственное решение [12,15], и к задаче для уравнения (16o) с условиями k,1 0 k k,1 k k,1
u
o
,n
(r, в )
V
1n
(r),
u
o
,n
(1,x
o
)
Y
1n
(x
o
), dx
o
U
o,n
(r’ 0) 0’ (24)
где ^
kn
(r), ^
kn
(x
o
) — функции, выражающиеся, соответственно, через ^
П
(г),
T
k
(r) и
С
(x
O
),
Tk
(r).
Теперь будем решать задачу (16o), (24). Произведя замену uk’1 (r,xo) = Uo’1(r,xo) — ^kn(xo), задачу (16o), (24) приведем к следующей задаче k,1 k,1 k,1 nk,1 LUo,n uo,nrr Uo,nxoxo + r2 Uo,n go’n(r’xo)’ k,1 0 k k,1 k,1 uo,n(r’e ) V1n(r), uo,n(1’xo) 0, dxo Uo,n (r’ 0) Vlnxo(0) co, gO’Jr’xo ) = g^n^xo ) + ^knxoxo - r^ ^kn ’ iekn (r) = Vkn (r) — ^ln (e0). Решение задачи (25), (26) ищем в виде и0’П (r’ xo ) = ^ln(r’ xo) + ^2n(r, xo )’ где ^kn(r,xo) — решение задачи L^kn = gkkn (r, xo) = c(xo )^kn + ^kxoxo — ^ ^n,(28) ∂ ^ln(r, в ) = 0, ^kn(1, xo) = 0, — ^kn(r, 0) = 0, n n a ^kn(r,xo) — решение задачи L^kn = c(xo 4n(r,00) = ^n(r), ^kn(1,xo)=O, ^<(r, 0)= co.(31)
dx
o
Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде ^n (r,xo ) = XX Rs (r)Ts (xo),(32)
s
=1
при этом пусть ∞∞∞ g0,n(r,xo) = ^2as,n(xo )Rs(r), Vkn(r) = ^2bs,nRs(r), co = £es,nRs(r). s=1 s=1 Подставляя (32) в (28), (29), с учетом (33), получим Rsrr + ^Rs + ^Rs = о, о Rs(1) = 0, |Rs(0)| < to,(35) Tsxoxo + ^Ts(xo) — as,n(xo)> 0 < xo < в, Ts (в0 ) = 0, Tsxo (0)=0.(37) Ограниченным решением задачи (33), (34) является [16] Rs(r) = VrJv (Psnr),(38) n+(m-2)2 где v = 2—, ^ = №,n Общее решение уравнения (36) представимо в виде [16] Ts,n(xo) = cis cos ^s,nXo + C2s sin ^s,nXo x0 cos^s,nxo f . sin^s,nxo f +--as,n(^)sin ^s,n^d^--as,n(^)cos ^s,n^d^, µs,n µs,n oo cis, C2s — произвольные постоянные. Удовлетворив второе условие (37), будем иметь ^s,nTs,n(xo) = C1s^s,n COS ^s,nXo x0 x0 + cos ^s,nXo j as,n(£)sin ^s,n^d^ - sin ^s,nXo j as,n(£)cos ^s,n^d^. oo Подставляя (38) в (33), получим ∞∞ r-2 go,n(r,xo ) = 52as,n(xo)Jv (^s,nr), r-2 Ч^П^г') = ^2bs,nJv (^s,nr), s=1 s=1 ∞ r-2co = '^ies,nJv(^snr), 0 s=1 Ряды (40) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [17], если as,n(x0) — 2[Jv+1 (^s,n)] У Pig0,n(i, x0)Jv(^s,n^) di bs,n 2[Jv+1 (^s,n)] ^P^ c(x0 )^n(€,x0 ) + ^lnxoxo - 2[Jv + 1 (^s,n)] 1 / 0 V!■ k(J (^s,nO di, - rn^kn(x0) Jv(^s,nO di, es,n— 2[Jv+1 (^s,n)] У c0pijv (^s,ni') di- Учитывая свойства ортогональности функций Бесселя [17] j Jv (^s,mi')Jv (^s,ni) di— 0 !0, 2 1^ [Jv + 1(^s,n)]2 n — m; n — m, из (32), (38) и (41) имеем равенство as,n(x0) — c(x0)Ts,n(x0) + 2[Jv+1(^s,n)] 2 k 1nx0 x0 - -rn ^kn(x0 ) Jv (^s,nC) di- Подставляя (42) в (39), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода Ts,n(x0) x0 fs,n(x0 ) + У Gs,n(x0 ,i)Ts,n(i)di, которое имеет единственное решение [18] Ts,n(x0) x0 fs,n(x0) + Rs,n(x0,i;1)fs,n(i) di, где ^s,nfs,n(x0) — c1s^s,ncos^s,nx0 c0 sin^s,nx0 xo 1 - + 2[Jv+1 (^s,n)] УУ У Vn[^1n§§ —П^^1n] Jv(^s,nn)dn sin^s,n(i — x0)J‘ di, ^s,nGs,n(x0,C) — c(i)sin^s,n(i - X0), Rs,n(x0,i; 1) — резольвента ядра Gs,n(x0,i)-Из (37), (43) будем иметь fs,n(e0) + У Rs,n(e0 ,i;i)fs,n(i) di — 0 Далее, подставляя (44) в (45), при выполнении условии (5) однозначно определим постоянные c1s (s — 1, 2 - -.). Таким образом, решением задачи (28), (29) является функция ∞ Wkn (r,Xo ) = У^ VrTs,n(x0 )Jv (^s,nX0 ), (46) s=1 где Ts,n(xo) находится из (43). Теперь, подставляя (32) в (30), (31), с учетом (33) имеем задачу Vsxoxo + M-^nVs = -c(x0)Vs, Vs(e ) — bs,n, Vsxo (0) — es,n, решение которой определяется по формуле (43), где ^s,nfs,n(x0) — cis^s,ncos^s,nx0+es,nsin^s,nx0- (47) Из (43), (45), (47) при выполнении условий (5) определим постоянные cis (s — 1, 2,...). Таким образом, решение задачи (30), (31) записывается в виде ∞ Wkn(r,X0 ) = У2 VrVs,n(xo)Jv (^sXo). s=1 Следовательно, единственным решением задачи (25), (26) является функция (27), где wkn(r,xo) определяется из (46), а wkn(r, хо) из (48). Далее, используя утверждения 1 и 2, устанавливается однозначная разрешимость задач (16а), (17) и (16а), (23). Значит, из (22) следует, что задача (16а), (14), также имеет единственное решение. Теперь будем решать задачу (16а), (15) в виде (22), где иа’,П(г,хо) — решение задачи Коши (16а), (21), а ukn(r,xo) — решение задачи для (16а) с данными иа,п(г,в 0)=^пи - иа:П(г,в0), ∂ иа,п(1,хо)=^k(xo) - иа,п(1,хо), dxo ^(r,0)=0 Используя формулы (18), (20), задачи (16а), (21) и (16а), (49) соответственно приведем к задаче Коши (16о), (19) и к задаче (16о), (24), где ^kn(r), ^kn(xo) — функции, теперь выражающиеся соответственно через ^П(г), vk(r) и ck(хо), ^(r). Таким образом, задача (16а), (15) также однозначно разрешима. Следовательно, решением задачи 1 является функция (7), где иП(г, t) находятся из задачи (8), (9) в случае (1), (2) и из (8), (10) в случае задачи (1), (3). Учитывая формулу [17] 2J'v(z) = Jv-1(z) — J+1 (z), оценки [10,19] |kn | 6 c1nm-2, Jv(z) = - ∂q ν- +0 v > 0, m d^q Ykm(0) 6c2nm -1+q, j = 1,m — 1, q = 0,1,..., j а также леммы 1 и 2, ограничения на заданные функции g(t), y(r, 0), ^(t,0), т(r, 0), v(r, 0), как в [8, 9], можно показать, что полученное решение (7) принадлежит требуемому классу C(Dв) П C 1^ U So) П C2(De). B Отметим, что эта теорема при g(t) = tp, p = const > 0 получена в [20].
Список литературы Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина
- Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique//Princeton University Bulletin.-1902.-Vol. 13.-P. 49-52.
- Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа.-М.: Изд. АН СССР, 1959.-164 с.
- Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных.-М.: Наука, 2006.-287 с.
- Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem the vibrating string eguation//Bull. Amer. Math. Soc.-1939.-Vol. 45.-P. 851-858.
- Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem the wave eguation//Ann. Math. Pura Appl.-1958.-Vol. 46.-P. 155-182.
- Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области//Диф. уравнения.-1970.-Т. 6, №1.-C. 190-191.
- Dunninger D. R., Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Diriclet problem for hyperbolic equations in cilindrical domains//J. Math. Mech.-1969.-Vol. 18, № 8.
- Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation//Math. Problems Engineering.-2010.-Article ID 653215.-7p.
- Aldashev S. A. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higher-dimensional wave equation//J. of Math. Science.-2011.-Vol. 173, № 2.-P. 150-154.
- Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.-М.: Физматгиз, 1962.-254 с.
- Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений.-Алматы: Гылым, 1994.-170 с.
- Алдашев С. А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения.-Орал: ЗКАТУ, 2007.-139 с.
- Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе.-Новосибирск: НГУ, 1973.-139 c.
- Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.-М.: Высшая школа, 1985.-301 с.
- Алдашев С. А. Спектральные задачи Дарбу -Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений//Украинский мат. журн.-2003.-Т. 55, № 1.-C. 100-107.
- Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.: Наука, 1965.-703 с.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.-М.: Наука, 1974.-295 с.
- Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, ч. 1.-М.: Наука, 1974.-334 с.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1966.-724 с.
- Алдашев С. А. Задача Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллерстедта//Материалы II Междунар. Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики".-Нальчик: НИИ ПМ и КБНЦ РАН, 2011.-C. 21-22.