Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина

В [1] было показано, что на плоскости одна из фундаментальных задач математической физики — изучение поведения колеблющейся струны — некорректна, в случае когда краевые условия заданы на всей границе области. Как замечено в [2, 3], задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4], показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], которые сложно применимы в приложениях.

В [6, 7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболического уравнения, а [8, 9] доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения.

Насколько нам известно, многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре для вырождающихся гиперболических уравнений ранее не изучались.

В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина имеют единственные решения.

Пусть D β — цилиндрическая область евклидова пространства E _m +1 точек (x 1 ,..., x m , t), ограниченная цилиндром Г = { (x,t) : | x | = 1 } , плоскостями t = в > 0 и t = 0, где | x| — длина вектора x = (x i ,..., x m ). Части этих поверхностей, образующих границу dD e области D e , обозначим через Г е , S e , S o соответственно.

В области D β рассмотрим многомерное уравнение Чаплыгина

g(t)A x U - u tt = 0,

где g(t) > 0 при t >  0, g(0) = 0, g(t) G C ([0, в]) П C 2 ((0, в)), A x — оператор Лапласа по переменным x i ,..., x m , m >  2.

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x 1 , . . . , x _m , t к сферическим r, 9 1 , ... , 9 _{m- 1} ,t , r >  0, 0 6 9 1 <  2n, 0 6 9 i 6 n, i = 2, 3,... , m — 1.

Рассмотрим следующие многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре:

Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области De из класса C(De) П C2(De), удовлетворяющее краевым условиям uISe = V(r,0), u|re = Wt,0), u|S0 = T (r,0),                      (2)

или u|Se = ^(r,0), u|re = ^(t,0), ut |Se = V(r,0).                      (3)

Пусть {Y^⁰)} — система линейно независимых сферических функций порядка n , 1 6 k 6 k n , (m — 2)! n! k n = (n + m — 3)! (2n + m — 2), W l (S o ), l = 0,1,..., — пространства Соболева.

Лемма 1 [10] . Пусть f (r, 0) E W l (S o ). Если l >  m — 1 , то ряд

∞ kn f (r,0) = E E^(r)Ynkm(0),                         (4)

n =0 k =1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p 6 l — m +1 , сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2 [10] . Для того чтобы f (r, 0) E W l (S o ), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам

∞ k n

^| f o ¹(r) ^| 6 С 1 , ЕЕ n ^{21 |} f ^k (r) ^| 2 6 С 2 , С 1 , C 2 = const .

n =1 k =1

Через ? k (r), c k (t), T k (r), V k (r) обозначим коэффициенты разложения в ряд вида (4) функций ^(r,0) , ^(t,0) , т (r, 0), v (r, 0) соответственно.

Пусть ^(r, 0) E W 0 (S e ), ^(r, 0) E W l (Г е ), т (r, 0), v (r, 0) E W 2 (S 0 ), l >  3m и выполняются условия согласования

Тогда справедлива

Теорема. Если cos ^s,ne = 0, s -- 1, 2, * * * ,

то задача 1 однозначно разрешима, где ^s,n — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+ (m-2) (z), n E N, в0 = f^ Vg(D d^

C В сферических координатах уравнение (1) имеет вид:

m - 1

1 d

δ≡- j=1 gj sinm j 1 0j d0j

g(t)

+ m-

r

u r

--∂ sin       90"),

-

δu r ²

— u _tt = 0,

g i = 1,   g j = (sin 0 1 ... sin 0 j - i ) ² ,    j> 1.

Известно [10], что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел A _n = n(n+m — 2), n = 0,1,..., каждому из которых соответствует k _n ортонормированных собственных функций Y _n ^k _,m (0), k = 1, . . . , k _n .

Так как искомое решение задачи 1 принадлежит классу C(De)ПС2(De)■ то его можно искать в виде

∞ kn

u(r,».t) = Е Е^^т №

n =0 k =1

где U ^ (r,t) — функции, подлежащие определению.

Подставив (7) в (6) и используя ортогональность сферических функций Y km (6) [10], имеем

g(t) (иПгг + m-1 uknr - AuTA -u^tt = 0, k = i,...,kn, (n = 0,1,...)■(8)

rr при этом краевые условия (2) и (3) с учетом леммы 1 соответственно принимают вид un(r,e)=ФТа^  un(i,t)=an(t)  un^o)=^(rv  k = 1■■■■■kn■ (n=0,1■...)■ uT(r,e )= ^Pn(r), uT(1,t) = VT(t) uTt (r 0) = vк(r), к = 1■...,kn ■ (n = 0, ^..J.

(1 m)

Выполнив в (8) замену u T (r, t) = r 2 u n (r,t) и положив затем r = r, y =

( 2 й V® d^) 3 ■ получим yunrr unyy + r2 un b(y) uny   0,

-    ( ^{(m - 1)(}3 ^{- m) -} 4A n )            1 Г dg g "

^{X n} =------------ 4------------■ ^b(y) = 2g[dy ^- yj-

Полагая u T = u T exp - | J b(^) d^ , уравнение (11) приводим к виду

L о J yukrr - uTyy + ^nT uT = c(y) uT■                         (12)

r

c^(y) = ^- 4⁽b ^{2 + 2}b y ) ^ C ^(y >  ⁰⁾

Уравнение (12), в свою очередь, с помощью замены переменных r = r, x о = 3 y 2 переходит в уравнение

υ nrr ^- υ nx0x0

-

A- ^u Tx₀ ⁺ ^ n ^u T = g T ^(r,x o ^), 3X o          r“

^u T c^ x o )=^u T ^r,

g T ^(r,x o ) =

c

3x o

^un ^(r, x o )•

При этом краевые условия (9) и (10) соответственно примут вид:

^{u k (r,e} ) = ^ ^{k (r),   u k (1,x} 0 )= ^{V k (х} 0 ) ^{u k (r, 0)} = ^т ,^{k (r),              (14)}

1∂ uT(r,e) = ^T(r), uT(1,xo)= VT(xo)■   lim xo37j— uT = vn(r),          (15)

x0 → 0 ∂x ₀

(m - 1)

V n (r) = r ² V n (r)exp

β

I/b«) 4

L 0

Ф П (x o ) = 4 (t)exp

y

1 1 b(e) de

(m - 1)                          (m - 1)

^T n ^(r)= ^{r 2   T} n ^(r),   ^v n ^(r)= ^{r 2   v} n ^(r)-

Наряду с уравнением (13) рассмотрим уравнение kk

^α υ α,n ^≡ υ α,nrr

-

^k υ α,nx0x0

-

α _k

υ α,nx0 x ₀

+

λn k k r2 ua,n    ga,n V' ’ x0),

L* — ^u 0 ,nrr   ^u O ,nxo xo

λ n k

⁺ r 2 ^U 0 ,n

= дсЦг x 0 ),

(16 a )

(16 0 )

g a,n ^(r,x 0 ) =

1 —aq

k α,n r,

g0 ,n (r, X 0 ) = c(x 0 ) u^Jr, X 0 ), 0 < a = const < 1.

Отметим, что уравнение (13) совпадает с уравнением (16 _a ) при a = 3 .

Как доказано в [11, 12] (см. также [13]), существует следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (16 _a ) и (16 o ).

Утверждение 1. Если vkd (r, x o ) — решение задачи Коши для уравнения (16 o ), удовлетворяющее условиям

∂ к'1(т C)t — тк(т\    ____ii^ir0 71

u0,n(', 0) = Tn(')’    dx0 U0,n('’ 0) = 0, то функция a Г«„, (r Xn)

ua,n(r,xo) = Ya vki (r,^xo )(1 - e2) a—1dC — 2—1 Ya Г a x1—aD—2 J0^-22(18)

j ’                                         \2 /         -0 l X0 J при a > 0 является решением уравнения (16a) с условиями (17).

Утверждение 2. Если vOn^, xo) — решение задачи Коши для уравнения (16o), удовлетворяющее условиям vk,1(T       _______________vO(r)_______________ d  ^0,1,    . _

Uo’n(r’ 0) = (1 - a)(3 - a)... (2q + 1 - a) ’ dxo Uo’n(r’ 0) = 0’ то при 0 < a < 1 функция

U a,n ('’X O ) = Y 2 — k +2 q

x o dxo )

x 0 ^{— a +2 q} I vk^exo )(1 - e ² ) ^{q — a} de o

^{— Y 2 — k +}2 q ² q ^{1 Г} qq ^- 2 ⁺ 1) ^D 0 2x ²

^u0^n ( r₁^ o2' xo .

является решением уравнения (16 _а ) с начальными данными

∂

^’П С т ⁰⁾=^0, lim xo — ^u a,n = ^^(r),                    ⁽²¹⁾

x0 → 0    ∂x ₀

где ^ ПГ (2) Y _a = 2Г (O r ¹) , r(z) — гамма-функция, D ot — оператор Римана — Лиувилля [14] , а q >  0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2 — а + 2q >  m — 1.

При этом функции g k_n (r,x o ) и g o n (r, x o ) связаны формулами (18) в случае утверждения 1 и формулами (20) в случае утверждения 2.

Теперь переходим к решению задачи (16 _а ), (14) и (16 _а ), (15).

Решение задачи (16а), (14) будем искать в виде ua, n(r,xo)=ua ncr’xo)+иа,,n(r,xo )>                           (22)

где uk,n(r, xo) — решение задачи Коши (16а), (17), а и^,n(r, xo) — решение краевой задачи для уравнения (16а), c условиями uan(r,e0) =^n(r) - иа,n(r,e0), ua,2n(1,xo) =^n(xo) - ua,ln(1,xo), 'an(r0)=0. (23)

Учитывая формулы (18), (20), а также обратимость оператора Dgt [14], задачи (16а), (17) и (16а), (23) соответственно сводим наши задачи к задаче Коши (16o), (17), имеющей единственное решение [12,15], и к задаче для уравнения (16o) с условиями k,1      0 k             k,1                 k                     k,1

^u o ,n ^(r, ^в ) V 1n ^(r), ^u o ,n ⁽¹,^x o ) Y 1n ^(x o ), dx o ^U o,n ⁽r’ ⁰⁾    0’             ⁽²⁴⁾

где ^ k_n (r), ^ kn (x o ) — функции, выражающиеся, соответственно, через ^ П (г), T k (r) и С ^(x O ), ^Tk ^(r).

Теперь будем решать задачу (16o), (24). Произведя замену uk’1 (r,xo) = Uo’1(r,xo) — ^kn(xo), задачу (16o), (24) приведем к следующей задаче k,1    k,1      k,1         nk,1

LUo,n uo,nrr Uo,nxoxo + r2 Uo,n   go’n(r’xo)’ k,1      0 k            k,1                           k,1

uo,n(r’e ) V1n(r), uo,n(1’xo)    0, dxo Uo,n (r’ 0) Vlnxo(0) co, gO’Jr’xo ) = g^n^xo ) + ^knxoxo - r^ ^kn ’ iekn (r) = Vkn (r) — ^ln (e0).

Решение задачи (25), (26) ищем в виде и0’П (r’ xo ) = ^ln(r’ xo) + ^2n(r, xo )’ где ^kn(r,xo) — решение задачи

L^kn = gkkn (r, xo) = c(xo )^kn + ^kxoxo — ^ ^n,(28)

∂

^ln(r, в ) = 0, ^kn(1, xo) = 0, — ^kn(r, 0) = 0, n               n a ^kn(r,xo) — решение задачи

L^kn = c(xo

4n(r,00) = ^n(r), ^kn(1,xo)=O, ^<(r, 0)= co.(31)

dx o

Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде

^n (r,xo ) = XX Rs (r)Ts (xo),(32)

s =1

при этом пусть

∞∞∞ g0,n(r,xo) = ^2as,n(xo )Rs(r), Vkn(r) = ^2bs,nRs(r), co = £es,nRs(r).

s=1                             s=1

Подставляя (32) в (28), (29), с учетом (33), получим

Rsrr + ^Rs + ^Rs = о, о

Rs(1) = 0,   |Rs(0)| < to,(35)

Tsxoxo + ^Ts(xo) — as,n(xo)> 0 < xo < в,

Ts (в0 ) = 0, Tsxo (0)=0.(37)

Ограниченным решением задачи (33), (34) является [16]

Rs(r) = VrJv (Psnr),(38)

n+(m-2)2

где ^v =   2—, ^ = №,n

Общее решение уравнения (36) представимо в виде [16]

Ts,n(xo) = cis cos ^s,nXo + C2s sin ^s,nXo x0

^cos^s,nxo f .             ^sin^s,nxo f

+--as,n(^)sin ^s,n^d^--as,n(^)cos ^s,n^d^,

µs,n                                 µs,n oo cis, C2s — произвольные постоянные. Удовлетворив второе условие (37), будем иметь

^s,nTs,n(xo) = C1s^s,n COS ^s,nXo x0                                         x0

+ cos ^s,nXo j as,n(£)sin ^s,n^d^ - sin ^s,nXo j as,n(£)cos ^s,n^d^.

oo

Подставляя (38) в (33), получим

∞∞ r-2 go,n(r,xo ) = 52as,n(xo)Jv (^s,nr),   r-2 Ч^П^г') = ^2bs,nJv (^s,nr), s=1                                    s=1

∞ r-2co = '^ies,nJv(^snr),  0

s=1

Ряды (40) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [17], если as,n(x0) — 2[Jv+1 (^s,n)]   У Pig0,n(i, x0)Jv(^s,n^) di

bs,n

^2[Jv+1 ⁽^s,n^)]   ^P^ ^c(x0 )^n⁽€,^x0 ) + ^lnxoxo

- ^2[Jv + 1 ⁽^s,n^)]

1 / 0

V!■ k(J (^s,nO di,

-

rn^kn(x0) Jv(^s,nO di,

es,n^{— 2[J}v+1 ⁽^s,n^)]   У c0pi^jv ⁽^s,ni'^{) d}i-

Учитывая свойства ортогональности функций Бесселя [17]

j Jv ⁽^s,mi'^)Jv ⁽^s,nⁱ⁾ di^— 0

!⁰,          2

1^ [Jv + 1(^s,n)]²

n — m;

n — m,

из (32), (38) и (41) имеем равенство

as,n(x0) — c(x0)Ts,n(x0) + 2[Jv+1(^s,n)] ²

k

1nx0 x0

-

-rn ^kn(x0 ) Jv (^s,nC) di-

Подставляя (42) в (39), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

Ts,n(x0)

x0

fs,n(x0 ) + У

Gs,n(x0 ,i)Ts,n(i)di,

которое имеет единственное решение [18]

Ts,n(x0)

x0

fs,n(x0) +

Rs,n(x0,i;1)fs,n(i) di,

где

^s,n^fs,n^(x0⁾ — ^c1s^s,n^cos^s,n^x0   ^c0 ^sin^s,n^x0

xo 1                 -

^{+ 2[J}v+1 ⁽^s,n^)]   УУ У Vⁿ[^1n§§ ^—П^^1n] Jv⁽^s,nⁿ⁾d^{n sin}^s,n^{(i — x}0⁾J‘ ^di,

^s,nGs,n(x0,C) — c(i)sin^s,n(i - X0), Rs,n(x0,i; 1) — резольвента ядра Gs,n(x0,i)-Из (37), (43) будем иметь fs,n(e0) + У Rs,n(e0 ,i;i)fs,n(i) di — 0

Далее, подставляя (44) в (45), при выполнении условии (5) однозначно определим постоянные c_1s (s — 1, 2 - -.).

Таким образом, решением задачи (28), (29) является функция ∞

Wkn (r,Xo ) = У^ VrTs,n(x0 )Jv (^s,nX0 ),                        (46)

s=1

где T_s,n(xo) находится из (43).

Теперь, подставляя (32) в (30), (31), с учетом (33) имеем задачу

Vsxoxo + M-^nVs = -^c(x0^)Vs,

^Vs^(e ) — bs,n, Vsxo ⁽⁰⁾ — es,n, решение которой определяется по формуле (43), где

^s,nfs,n^(x0) — cis^s,n^cos^s,n^x0⁺es,n^sin^s,n^x0-                     ⁽⁴⁷⁾

Из (43), (45), (47) при выполнении условий (5) определим постоянные cis (s — 1, 2,...).

Таким образом, решение задачи (30), (31) записывается в виде

∞

Wkn(r,X0 ) = У2 VrVs,n(xo)Jv (^sXo).

s=1

Следовательно, единственным решением задачи (25), (26) является функция (27), где wkn(r,xo) определяется из (46), а wk_n(r, хо) из (48).

Далее, используя утверждения 1 и 2, устанавливается однозначная разрешимость задач (16а), (17) и (16а), (23).

Значит, из (22) следует, что задача (16_а), (14), также имеет единственное решение.

Теперь будем решать задачу (16а), (15) в виде (22), где иа’,П(г,хо) — решение задачи Коши (16а), (21), а ukn(r,xo) — решение задачи для (16а) с данными иа,п(г,в 0)=^пи - иа:П(г,в0), ∂ иа,п(1,хо)=^k(xo) - иа,п(1,хо),  dxo ^(r,0)=0

Используя формулы (18), (20), задачи (16_а), (21) и (16_а), (49) соответственно приведем к задаче Коши (16о), (19) и к задаче (16о), (24), где ^kn(r), ^kn(xo) — функции, теперь выражающиеся соответственно через ^П(г), vk(r) и ck(хо), ^(r).

Таким образом, задача (16_а), (15) также однозначно разрешима.

Следовательно, решением задачи 1 является функция (7), где иП(г, t) находятся из задачи (8), (9) в случае (1), (2) и из (8), (10) в случае задачи (1), (3).

Учитывая формулу [17] 2J'_v(z) = J_v-1(z) — J+1 (z), оценки [10,19]

|kn | 6 c1n^m-2,

Jv(z) =

-

∂^q

ν-

+0

v > 0,

m

d^q Ykm^{(0) 6}c2nm

^-1+q, j = 1,m — 1, q = 0,1,...,

j

а также леммы 1 и 2, ограничения на заданные функции g(t), y(r, 0), ^(t,0), т(r, 0), v(r, 0), как в [8, 9], можно показать, что полученное решение (7) принадлежит требуемому классу C(Dв) П C 1^ U So) П C²(De). B

Отметим, что эта теорема при g(t) = tp, p = const > 0 получена в [20].