Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо-параболических уравнений на. плоскости хорошо изучена. [1]. Насколвко нам известно, их многомерные аналоги исследованы мало [2].

В данной работе для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений доказано, что задача. Дирихле в цилиндрической области однозначно разрешима, а. также получен критерий единственности регулярного решения.

Пусть ^ _ae — цилиндрическая облаеть евклидова, пространства. Em+1 точек (x1 ,...,xm , t), ограниченнаяi цилиндром Г = {(x,t) : |x| = 1}. плоек*х-тями t = а >  0 ii t = в <  0. г,те |x| — длина вектора x = (x1,..., xm).

Обозначим через П_а 11 П в части *юластп П _ав- а нерез Г_а. Ге — части п*шерхпостп Г, лежащие в полупространствах t >  0 и t <  0; а_а — верхнее, а а в — нижнее основание области П_ае.

Пусть далее S — общая часть границ областей П_а, Щ: представляющая множество {t = 0, 0 < |x| < 1} в Em.

В области Пав рассмотрим вырождающиеся смешанные гиперболо-параболические уравнения

0 = jg(t)AxU - ut, t> 0, (p(t)AxU - utt, t <  0,

где g(t) > 0 щ hi t >  0. g(0) = 0. g(t) E C ([0, aj). p(t) > 0 щ hi t <  0. p(0) = 0. p(t) E C ([в, 0j) О C ²((в, 0)), ti Ax — оператор Дапла,ea по переменным x1,..., xm. m >  2.

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат х1,..., xm, t к сферическим г, 91, ... ,9_m-1, t,r >  0.0 6 91 < 2п. 0 6 9i 6 п. i = 2,3,... ,m — 1. 9 = (91,..., 9_m-1 ).

Задача 1 (задача Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области П _ав при t = 0 из класса C (П _ав ) О C² (П _а U П в ), удовлетворяющее краевым условиям

" „_а = V1 ^(r,9), ^и|_Га = ^1^(t,9),                               ⁽²⁾

и1Гв = ^2(t, 9), ulae = ^2(r, 9)                                 (3)

Hl™™^,м у (С⁹* — *1^(а,⁹⁾- *1М = *2 м- ^2<¹-⁹’ — ^Y^⁹)- .

Пусть {Y^km^)} ~ система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 6 к 6 kn, (m — 2)! n! kn — (n + m — 3)! (2n + m — 2), W2 (S ), l — 0,1,..., — пространства Соболева.

Лемма 1 [3, с. 142]. Пусть f (r, 9) Е W2(S ). Если l > m — 1, то ряд

∞ kn f (r,9) = E      (r)ynkm(9),

n =0 k =1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p 6 l — m +1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2 [3, с. 144]. Для того чтобы f (r, 9) Е Wl(S ), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам

∞ kn

।fo1 (r)i6 ч, ЕЕ n²¹ Ifk (r)|² 6 ^С2 , С 1 ,С 2 = const .

n =1 k =1

Через

Теорема 1. Если yi(r,9),^2(r, 9) Е W2(S), *1(t, 9) Е W^(Fa), *2(t,9) Е W2(Ге), l> 3m и cos ps,ne = 0 s   1' 2, • • • ,                                   (5)

где p_sn — положительные пули фузшцпй Бесселя первого рола J (m-2) (z). в0 — ,                                                                                              П+ ₂

/0 Vp(^) d^- ^{T0 31} пала. 1 однозначно разрешима.

C В сферических координат?ix уравнение (1) в области Па имеет вид

g(t)

Urr ₊ m—t „, r

-

r2 δu

— ut — 0,

m-1

5(^) = — X j=1

1      d()

gj sinm-j-1 9j d9j

^sin^m-j-1 9 ■^дC•⁾

^{s         9j}d9j

g1 - 1,   gj -(sin 91... sin 9j-1)², j > 1.

Известно [3, c. 144], что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел An — n(n + m — 2). n — 0,1,..., каждому из которых (•оответствует k_n ортоиормироваипых собственных функций Yk_m(9).

Так как искомое решение задачи 1 в области П_а принадлежит классу C(Q_a) ПC² (П_а), то его можно искать в виде

∞ kn

u(r'9't) —Е Euk.(^r't)Y^m(9)'                          (7)

n=0 k=1

где иП(г, t) — функции, подлежащие определению.

Подставляя (7) в (6), используя ортогональность сферических функций Ykm(9) [3], будем иметь m— 1 A

g(t) ( и»..,.... +--------u_nт      тсИ^      'U-nt — 0, к — 1,..., k^, n — 0,1,... ,         (8)

nrr           nr        n n при этом краевое условие (3), с учетом леммы 1, запишется в виде иП(г,а)= un(1,t) = ^iJt),   k = l,...,kn, n = 0,1,...(9)

В (8) и (9), произведя замену иП(r, t) = un(r, t) — ^kn(t), получим

• , - I —k     ^m 1 — k    ^П        —kkk

g(t) unrr + ------unr - —un - unt = fn(r, t), rr иП (r,a) = ^ln(r)> иП (1,t)=0, k = 1,...,kn, " = 0, 1,..., fn(r t) = ^knt + ^2^ ^L ^ln(r) = Vkn(r) - ^ln(a)-

Произведя замену uk(r,t) = r⁽ 2 ) uk(r, t), задачу (10), (11) приведем к следующей задаче

Lunn = g(t) (vL + ^u^j — unnt = fn(r, t),(12)

un (r, a) = ^ (r), uk (1,t)=0,(13)

• -      ((m — 1)(3 — m) — 4An)      д., ,      (i-m) — k.   ,     ~, _x     ^(1-m) д , ,

An = -------------4-------------, f» (r,t)= r 2 fn(r,t), ein(r) = r 2 ^ln(r).

Решение задачи (12), (13) ищем в виде u»(r,t) = uk_n(r,t) + ukn(r,t), где ukn(r,t) — решение задачи

Lukn = fnk(r,t),(14)

ukn(r,a) = 0, uln(1,t) = 0, a ukn (r, t) — решение задачи

Lukn = 0,(16)

u2kn(r,a)= ^kn (r), u2kn(1,t)=0.(17)

Решение вышеуказанных задач, аналогично [4, с. 83], будем искать в виде

∞ uk (r,t) = X Rs(r)Ts(t),(18)

s= при этом пусть

∞∞ fnk(r,t) = £as,n(t)Rs(r),   ^kn (r) = £bs,nRs(r).(19)

s=

Подставляя (18) в (14) и (15), с учетом (19) получим

Rsrr +   Rs + ^Rs = 0, 0 < r < 1,(20)

Rs(1) = 0, |Rs(0)| < го,(21)

Tst + ^g(t)Ts(t) = —as,n(t),   0 < t < a,(22)

Ts(a) = 0.(23)

Ограниченным решением задачи (20), (21) является [5, с. 404]

Rs(r) = VrJv (Ps,nr), n+(m-2)

где v =       -P = ^Psn     _

Решением задачи (22), (23) будет

t

Ts,n^(t) = ( exp ( - P^n / g⁽") d" о

α

t

ξ exP P2nj о

Подставляя (24) в (19) получаем

∞ r—2 fn(r,t) = ^2as,n(f)Jv (Ps,nr), s=1

∞ r-2 Ф1п(г) = ^bs,nJv (Ps,nr),  0

s=1

Ряды (26) — разложения в ряды Фурве — Бесселя [6, с. 83], если

as,n(t) = 2[Jv+i(p^)]^-2/ plfk^M(Ps,nO d", о

bs,n = 2[Jv+1 (Ps,n)]^-2j V"^ ("J (Ps,nO d",

о где Ps,n, s = 1, 2,... , — положительные нули функций Бесселя Jv(z), расположенные в порядке возрастания их величин.

Из (18), (24), (25) получим решение задачи (14), (15) в виде

∞

Ukn(r,t) = X VrTs,n(t)Jv(Ps,nr), s=1

где akn(t) определяется из (27).

Далее, подставляя (18) в (16), (17), с учетом (19), получаем задачу

Tst + P^ng^T = 0, 0 < t < a,  T_s(a) = b_sn,

решением которой является

Ts,n(t) = bs,n exp

α

Ps2,n   g(") d" .

t

Из (24), (30) получим

Ukn(r, t)

∞

√ bs,n Vr exP Ps,n s=1

α j g(") d"^Jv (Ps,nr), t

bs,n

Следовательно, единственным решением задачи (1), (2) в области Qa является функция

∞ kn

^u(r, ^0,t)= XX {^kn ^{(t) +} r      [^ukn(r, t) ^{+ u}kn(r, t)] } Ynkm(^),         (32)

n=0 k=1

где ukn(r,t), ukn(r,t) определяются из (29), (31).

Учитывая формулу [6, с. 20] 2J'_V(z) = J_v-i(z) — J_v+i (z), оценки [3, c. 147] и [4, c. 654]

Jv (z) =

— cos z πz

-

П П         1 X

2v —   + O; j ,

v > 0,

|kn | 6 c1nm-2,

l k d^j nrmmV)

6 C₂n m2 ¹⁺¹,

j = 1,..., m — 1, l = 0,1,...,

а также леммы 1 и 2, ограничения на заданные функции ^i(t,0), ^i(r, 0), можно показать, что полученное решение (32) принадлежит классу C(Q_а) П C²(9_а).

Далее, из (29)—(32) при t ^ +0 имеем

∞ kn

u(rA 0) = т (r,0) = XX ТП AYnm-A), n=0 k=1

∞

Tn (r) = <(0) + X r ^

s=1

α j asnA)

exP ^2,n

ξ jg(^i) d^i) d^

+ bs,n exp

α

(^2,n / g⁽€) du

J_v+^{(m-2) (}^s,n^r)-

Из (27)—(29), (31), а также из лемм 1 и 2 вытекает, что т(r,0) G W2(S), l > 3m•

Таким образом, учитывая краевые условия (3) и (33), в области Qe приходим к задаче

Дирихле для многомерного уравнения Чаплыгина

p(t)AxU — utt = 0

с краевыми условиями u|S = т (r,0), u|re = ^2(t,0), "„ = ^2(r,0).                    (35)

Таким образом, справедливость теоремы 1 следует из теоремы 2, доказанной в [7, 8]. в

Теорема 2. Если т(r,0), p₂(r,0) G Wl(S), ^₂(t, 0) G W2(re), l > 32m и выполняется соотношение (5). то задача (34). (35) в классе C(Qв) П C²(Qe) однозначно разрешима.