Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений
Автор: Алдашев Серик Аймурзаевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.16, 2014 года.
Бесплатный доступ
В работе показано, что задача Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся многомерных иперболо-параболических уравнений однозначно разрешима.
Задача дирихле, гиперболо-параболическое уравнение, цилиндрическая область, сферические функции
Короткий адрес: https://sciup.org/14318476
IDR: 14318476
Текст научной статьи Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений
Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо-параболических уравнений на. плоскости хорошо изучена. [1]. Насколвко нам известно, их многомерные аналоги исследованы мало [2].
В данной работе для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений доказано, что задача. Дирихле в цилиндрической области однозначно разрешима, а. также получен критерий единственности регулярного решения.
Пусть ^ ae — цилиндрическая облаеть евклидова, пространства. Em+1 точек (x1 ,...,xm , t), ограниченнаяi цилиндром Г = {(x,t) : |x| = 1}. плоек*х-тями t = а > 0 ii t = в < 0. г,те |x| — длина вектора x = (x1,..., xm).
Обозначим через Па 11 П в части *юластп П ав- а нерез Га. Ге — части п*шерхпостп Г, лежащие в полупространствах t > 0 и t < 0; аа — верхнее, а а в — нижнее основание области Пае.
Пусть далее S — общая часть границ областей Па, Щ: представляющая множество {t = 0, 0 < |x| < 1} в Em.
В области Пав рассмотрим вырождающиеся смешанные гиперболо-параболические уравнения
0 = jg(t)AxU - ut, t> 0, (p(t)AxU - utt, t < 0,
где g(t) > 0 щ hi t > 0. g(0) = 0. g(t) E C ([0, aj). p(t) > 0 щ hi t < 0. p(0) = 0. p(t) E C ([в, 0j) О C 2((в, 0)), ti Ax — оператор Дапла,ea по переменным x1,..., xm. m > 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат х1,..., xm, t к сферическим г, 91, ... ,9m-1, t,r > 0.0 6 91 < 2п. 0 6 9i 6 п. i = 2,3,... ,m — 1. 9 = (91,..., 9m-1 ).
Задача 1 (задача Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области П ав при t = 0 из класса C (П ав ) О C2 (П а U П в ), удовлетворяющее краевым условиям
" „а = V1 (r,9), и|Га = ^1(t,9), (2)
и1Гв = ^2(t, 9), ulae = ^2(r, 9) (3)
Hl™™,м у (С9* — *1(а,9)- *1М = *2 м- ^2<1-9’ — ^Y^9)- .
Пусть {Y^km^)} ~ система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 6 к 6 kn, (m — 2)! n! kn — (n + m — 3)! (2n + m — 2), W2 (S ), l — 0,1,..., — пространства Соболева.
Лемма 1 [3, с. 142]. Пусть f (r, 9) Е W2(S ). Если l > m — 1, то ряд
∞ kn f (r,9) = E (r)ynkm(9),
n =0 k =1
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p 6 l — m +1, сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2 [3, с. 144]. Для того чтобы f (r, 9) Е Wl(S ), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
∞ kn
।fo1 (r)i6 ч, ЕЕ n21 Ifk (r)|2 6 С2 , С 1 ,С 2 = const .
n =1 k =1
Через Теорема 1. Если yi(r,9),^2(r, 9) Е W2(S), *1(t, 9) Е W^(Fa), *2(t,9) Е W2(Ге), l> 3m и cos ps,ne = 0 s 1' 2, • • • , (5) где psn — положительные пули фузшцпй Бесселя первого рола J (m-2) (z). в0 — , П+ 2 /0 Vp(^) d^- T0 31 пала. 1 однозначно разрешима. C В сферических координат?ix уравнение (1) в области Па имеет вид g(t) Urr + m—t „, r - r2 δu — ut — 0, m-1 5(^) = — X j=1 1 d() gj sinm-j-1 9j d9j ^sinm-j-1 9 ■дC•) s 9jd9j g1 - 1, gj -(sin 91... sin 9j-1)2, j > 1. Известно [3, c. 144], что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел An — n(n + m — 2). n — 0,1,..., каждому из которых (•оответствует kn ортоиормироваипых собственных функций Ykm(9). Так как искомое решение задачи 1 в области Па принадлежит классу C(Qa) ПC2 (Па), то его можно искать в виде ∞ kn u(r'9't) —Е Euk.(r't)Y^m(9)' (7) n=0 k=1 где иП(г, t) — функции, подлежащие определению. Подставляя (7) в (6), используя ортогональность сферических функций Ykm(9) [3], будем иметь m— 1 A g(t) ( и»..,.... +--------unт тсИ^ 'U-nt — 0, к — 1,..., k^, n — 0,1,... , (8) nrr nr n n при этом краевое условие (3), с учетом леммы 1, запишется в виде иП(г,а)= В (8) и (9), произведя замену иП(r, t) = un(r, t) — ^kn(t), получим , - I —k ^m 1 — k ^П —kkk g(t) unrr + ------unr - —un - unt = fn(r, t), rr иП (r,a) = ^ln(r)> иП (1,t)=0, k = 1,...,kn, " = 0, 1,..., fn(r t) = ^knt + ^2^ ^L ^ln(r) = Vkn(r) - ^ln(a)- Произведя замену uk(r,t) = r( 2 ) uk(r, t), задачу (10), (11) приведем к следующей задаче Lunn = g(t) (vL + ^u^j — unnt = fn(r, t),(12) un (r, a) = ^ (r), uk (1,t)=0,(13) - ((m — 1)(3 — m) — 4An) д., , (i-m) — k. , ~, x (1-m) д , , An = -------------4-------------, f» (r,t)= r 2 fn(r,t), ein(r) = r 2 ^ln(r). Решение задачи (12), (13) ищем в виде u»(r,t) = ukn(r,t) + ukn(r,t), где ukn(r,t) — решение задачи Lukn = fnk(r,t),(14) ukn(r,a) = 0, uln(1,t) = 0, a ukn (r, t) — решение задачи Lukn = 0,(16) u2kn(r,a)= ^kn (r), u2kn(1,t)=0.(17) Решение вышеуказанных задач, аналогично [4, с. 83], будем искать в виде ∞ uk (r,t) = X Rs(r)Ts(t),(18) s= при этом пусть ∞∞ fnk(r,t) = £as,n(t)Rs(r), ^kn (r) = £bs,nRs(r).(19) s= Подставляя (18) в (14) и (15), с учетом (19) получим Rsrr + Rs + ^Rs = 0, 0 < r < 1,(20) Rs(1) = 0, |Rs(0)| < го,(21) Tst + ^g(t)Ts(t) = —as,n(t), 0 < t < a,(22) Ts(a) = 0.(23) Ограниченным решением задачи (20), (21) является [5, с. 404] Rs(r) = VrJv (Ps,nr), n+(m-2) где v = -P = Psn _ Решением задачи (22), (23) будет t Ts,n(t) = ( exp ( - P^n / g(") d" о α t ξ exP P2nj о Подставляя (24) в (19) получаем ∞ r—2 fn(r,t) = ^2as,n(f)Jv (Ps,nr), s=1 ∞ r-2 Ф1п(г) = ^bs,nJv (Ps,nr), 0 s=1 Ряды (26) — разложения в ряды Фурве — Бесселя [6, с. 83], если as,n(t) = 2[Jv+i(p^)]-2/ plfk^M(Ps,nO d", о bs,n = 2[Jv+1 (Ps,n)]-2j V"^ ("J (Ps,nO d", о где Ps,n, s = 1, 2,... , — положительные нули функций Бесселя Jv(z), расположенные в порядке возрастания их величин. Из (18), (24), (25) получим решение задачи (14), (15) в виде ∞ Ukn(r,t) = X VrTs,n(t)Jv(Ps,nr), s=1 где akn(t) определяется из (27). Далее, подставляя (18) в (16), (17), с учетом (19), получаем задачу Tst + P^ng^T = 0, 0 < t < a, Ts(a) = bsn, решением которой является Ts,n(t) = bs,n exp α Ps2,n g(") d" . t Из (24), (30) получим Ukn(r, t) ∞ √ bs,n Vr exP Ps,n s=1 α j g(") d"^Jv (Ps,nr), t bs,n Следовательно, единственным решением задачи (1), (2) в области Qa является функция ∞ kn u(r, 0,t)= XX {^kn (t) + r [ukn(r, t) + ukn(r, t)] } Ynkm(^), (32) n=0 k=1 где ukn(r,t), ukn(r,t) определяются из (29), (31). Учитывая формулу [6, с. 20] 2J'V(z) = Jv-i(z) — Jv+i (z), оценки [3, c. 147] и [4, c. 654] Jv (z) = — cos z πz - П П 1 X 2v — + O; j , v > 0, |kn | 6 c1nm-2, l k d^j nrmmV) 6 C2n m2 1+1, j = 1,..., m — 1, l = 0,1,..., а также леммы 1 и 2, ограничения на заданные функции ^i(t,0), ^i(r, 0), можно показать, что полученное решение (32) принадлежит классу C(Qа) П C2(9а). Далее, из (29)—(32) при t ^ +0 имеем ∞ kn u(rA 0) = т (r,0) = XX ТП AYnm-A), n=0 k=1 ∞ Tn (r) = <(0) + X r ^ s=1 α j asnA) exP ^2,n ξ jg(^i) d^i) d^ + bs,n exp α (^2,n / g(€) du Jv+(m-2) (^s,nr)- Из (27)—(29), (31), а также из лемм 1 и 2 вытекает, что т(r,0) G W2(S), l > 3m• Таким образом, учитывая краевые условия (3) и (33), в области Qe приходим к задаче Дирихле для многомерного уравнения Чаплыгина p(t)AxU — utt = 0 с краевыми условиями u|S = т (r,0), u|re = ^2(t,0), "„ = ^2(r,0). (35) Таким образом, справедливость теоремы 1 следует из теоремы 2, доказанной в [7, 8]. в Теорема 2. Если т(r,0), p2(r,0) G Wl(S), ^2(t, 0) G W2(re), l > 32m и выполняется соотношение (5). то задача (34). (35) в классе C(Qв) П C2(Qe) однозначно разрешима.
Список литературы Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений
- Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных.-М.: Наука, 2006.-287 с.
- Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.-Новосибирск: НГУ, 1983.-84 с.
- Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.-М.: Физматгиз, 1962.-254 с.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М: Наука, 1966.-724 с.
- Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.: Наука, 1965.-703 с.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.-М.: Наука, 1974.-297 с.
- Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина//Владикавк. мат. журн.-2013.-Т. 15, № 2.-C. 3-10.
- Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина//Научные ведомости БелГУ. Математика и физика.-2012.-№ 5 (124), вып. 26.-C. 12-25.