Космологическая инфляция в конформной теории супергравитации

Как известно, па. уровне сверхсильных взаимодействий физические явления демонстрируют масштабную инвариантность (скейлинг Бьёркена). Поэтому существование такой симметрии можно ожидать в начале рождения Вселенной, когда, энеретический выход был огромный. Гипотеза, о масштабной инвариантности была, положена, в основу расчета, начальной части спектра, первичных флуктуаций плотности материи в ранней Вселенной - плато Харрисона-Зельдовича. [1], подтвержденного последними наблюдательными данными по изучению анизотропии яркости реликтового излучения.

В силу этого для описания динамики полей в начале Вселенной было предложено применять не группу Пуанкаре, а. группу Пуанкаре-Вейля [2-4]. В данной группе преобразования группы Пуанкаре дополнены преобразованиями подгруппы растяжений и сжатий (дилатаций) пространства-времени, которые в математическом смысле эквивалентны подгруппе Вейля масштабных преобразований. Следствием этой теории является требование существования геометризовашюго скалярного поля (имеющего такой же фундаментальный статус, как и метрический тензор), по своим свойствам аналогичное скалярному полю, введенному Дираком [7].

На основе трактовки группы Пуанкаре-Вейля как локальной группы была, развита, калибро-вочпая теория гравитации Вейля-Дирака. [2-4, б, 7], в которой скалярное поле Дирака, определяет эффективную гравитационную постоянную, описывающую темную энергию. Одним из следствий данной теории гравитации является найденное для сверхранней стадии развития Вселенной решение в виде резкого экспоиеициальиого спада, эффективной космологической постоянной [7-11], предельное значение которой совпадает с ее современным значением, что позволяет обосновать ускоренное расширение Вселенной в современную эпоху. Этот результат даёт основу для решения важной проблемы современной фундаментальной физики - проблемы космологической постоянной [12,13], которая заключается в различии на. сто двадцать порядков между огромной величиной космологической постоянной, вычисляемой в квантовой теории поля па. основе оценки вкладов от квантовых флуктуаций в энергию вакуума, и крайне малого значения ее экспериментальной оценки на. основании современных наблюдений в космологии.

Теории с масштабной инвариантностью могут быть интересны по многим причинам. Во первых, изо всех дополнительных симметрий, которые могли бы существовать в природе, помимо уже открытых, масштабная инвариантность - единственная симметрия, имеющая ясный и очевидный физический смысл - эта. симметрия, будучи споптаппо нарушенной [14], задает масштаб расстояний в пространстве. До спонтанного нарушения симметрии не существует объективного способа, различать большие и малые расстояния [15] в силу иивариаитиости относительно изменения масштаба. После спонтанного нарушения масштабной инвариантности в пространстве-времени возникает единица, длины, что дает возможность существовованию частиц с ненулевой массой покоя. Экспериментально обнаруживаемое нарушение масштабной инвариантности связано с наличием масс покоя элементарных частиц.

Второе преимущество теорий с споптаппо нарушенной масштабной инвариантностью, возможно, связано с квантовой гравитацией. Так как в теории с точной масштабной инвариантностью в некотором смысле пет разницы между большими и малыми расстояниями, исследование таких теорий теоретически может пролить свет па. поведение гравитации на. плаиковских масштабах и соответственно может способствовать лучшему пониманию природы квантовой гравитации, а. возможно, и квантовой теории в целом.

По ряду соображений масштабную инвариантность целесообразно расширить до конформной симетрии [16]. Недавно было показано [17], что локальная конформная симметрия, возможно, позволяет разрешить известный парадокс Хокинга, связанный с потерей информации в черной дыре, и получить решение без сингулярностей. Также немалый интерес к конформной инвариантности был вызван открытием голографической дуальности или AdS/CFT-соответствия между теорией суперструп в пространстве анти де Ситтера, и конформной теорией поля па. границе данного пространства. (см. обзоры [18] и [19] и цитированную там литературу). В частности, большие надежды возлагались на. возможность решения проблемы копфайпмепта в рамах таких дуальных моделей (см. там же)

Известно, что скалярные поля с необходимостью возникают в конформной теории суперсимметрии. Ранее [20, 21] были проведены исследования по изучению особеиостей инфляционного поведения в конформной супергравитии. Целью настоящей работы является выяснение того, как скалярные поля, возникающие в конформной супергравитии, влияют па. инфляционные свойства, ранней Вселенной.

1. Конформно инвариантные действия в теории супергравитации

Мы будем строить конформно инвариантное действие N = 1 супергравитации с помощью метода, описанного в работах [22] и [23]. Конформная группа, определяется генераторами дилатаций D и конформных бустов К^т, а также генератора ми группы Пуанкаре М_тт и Р_т. Коммутационные соотношения алгебры Ли конформной группы имеют вид

[Мтт, Мpq] = 4М[^45р] Т], [Мтт, Pq] = 2Р[т5Т\,(1)

[Рт,Кт^] = 2(бттD - Мтт), [Кт,КТ] = 0,(2)

[Мтт, Кр] = 2К[т5Тр, [Мтт, D] = 0,(3)

[Рт, D] = Рт, [Кт, D] = -Кт,(4)

Инфинитезимальное преобразование имеет вид

U (1 + Ш,е,Х,р) = I + (1/2)ЕттМтТ + ЕтРт + eD + РтКт.(5)

Оно порождает бесконечно малое преобразование координат

Атт = ет + етпж„ + Ажт + Рт^ТХт - 2рТт„тт.(G)

Это наиболее общий вид преобразований, сохраняющих причинную структуру пространства-времени (преобразований, инвариантных на. световом конусе).

Алгебра, суперсимметрии является градуированной алгеброй Ли. Генераторы суперсимметрии удовлетворяют следующим антикоммутационным соотношениям

{Q“,Q^ } = 2(ч ^т С ^{- 1} ) “^р Р т .

где Q_a - четырехкомпонентый майорановский спинор, а = 1, 2, 3,4, С - матрица зарядового сопряжения, у^т - матрица Дирака.

Суперкопформпая алгебра, является обобщением конформной алгебры. К генераторам конформной группы D, К^т, М_тт и Р_т добавляются спинорные генераторы суперсимметрии Q_a. Генераторы D, М_тт Р_т и Q_a образуют замкнутую градуированную подалгебру (здесь для краткости мы опускаем спинорные индексные обозначения)

[Q,D] = 2q, [Q,Pт]=0.

Однако, коммутатор генераторов конформных бустов и генераторов суперсимметрии порождает новый тип симметрии (называемой S-суперсимметрией), генератор которой обозначается S_a (и является майорановским спинором подобно Q_a)

[Q, Кт] = -7тS,

Поэтому, чтобы построить замкнутую алгебру, необходимо ввести дополнительный генератор S- суперсимметрии, который удовлетворяет соотношениям

{S, S^T } = -2(7^mC^-1)Km,  [S, Pm] = 7 m Q,

(П)

[S, M mn] = ^mnS,  [S, D] = - 2s,  [S, Km] = 0.

Если вычислить антикоммутатор Q и S, то можно показать, что для замыкания суперкопформпой алгебры необходимо также включить генераторы U киральных преобразований группы U (1),

{Q,S^T } = 2C ^{- 1} D - 2a mn C

1 M ^mn - H75 C ^{- 1} U,

[Q,U ] = -| 17 5 Q,  [S,U ] = |2₇5S,

[U, Pm] = [U, M mn] = [U, D] = [U, Km] = 0.

Существует координатное представление суперкопформпой алгебры, которое имеет вид

— ^д

^M mn — ^m ^д n ^ n ^д m ^{+ 9}^ mn ,) д9

P m = д_т,  U =

- ^975-^, D = x ^m д_m + ¹ 9 ^2, ।   ⁷⁵ д9’             ^{m +} 2 д9’

^K m  2^Xm^{X д} п

X X m

- 97n^n7m д9

2(99) 2 д т

д ^{6 9 ( 9}^ m ^5) , д9

№ =

—

д 1

^{( 99}AA ^{+ 9}7 5 ⁹7 5       ⁺ A⁽⁹^ 5 ^ m ⁹) ⁽ ^ 5 ^ ДД)

д9         д9 2               д9

д

—

—

д

а

+(xm7^m 7 ^п 9д п

Э

XmXm   + 99^m9дm)а, д9

Q =

^Q д9

-7 ^m 9д m ,

где 9 - четырехкомпонентный майорановский спинор, компоненты которого являются антикоммутирующими координатами (грассмановыми числами). Подставив (16)—(20) в (1)-(4) и (8)—(15), можно показать, что эти дифференциальные генераторы действительно реализуют координатное представление суперкопформпой алгебры.

Соотношения алгебры (1)-(4) и (8)—(15) можно записать в сокращенной форме,

[Т а ,Т в ]± = / ^С ав Т с .

Введем бесконечно малое суперконформное преобразование

G = 1 + е, е = е ^а Т а ,

где е а - инфинитезимальные параметры преобразований, Т а - генераторы суперкопформпой группы,

Т а = (Р а , M mn , D, K n ,U,Q, S ),

- А     а _тп п _ - -\ е (е ,е , Х, p ,^,E,p),

E = Е ^А Т а = Е^аРа + (1/2)E^mn M mn + XD + p"K„ +aU + IQ + pS,

где фр- майорановские спиноры. Ковариантная производная имеет стандартный вид

где вводятся калибровочные поля

W д = W ^ T_A = е ^ад Р_а + (1/2)u^mn_MMm„ + шb д D + f "  K_u +cA ^ U + ^Q + ф д 8.

где ф_д - поле гравитино, которое является спин-вектором Рариты-Швингера, то есть по индексу ц оно преобразуется как вектор, но кроме того, оно имеет внутренний спинорный индекс а, по которому оно преобразуется как майорановский четырехкомпонентный спинор (подобно 0), 9_д ~ также является спинвектором. Таким образом, полная ковариантная производная принимает вид

D ^ = д д - e\P_a - (1/2)u^mn_MMm„ - шb д D - /_Д"К„

• -cA ^ U - ^Q - ф д 8,

где c- киральный вес. Конформная инвариантность требует, чтобы киральный вес c = w/2. Тензор кривизны, как обычно, определяется следующим образом,

Рд^ = рАц,TA = [D^, Dv]•(29)

Таким образом, можно записать

Р^ = 28V^WV]- [W д,W v],(30)

или, более подробно,

РАд, = ЭдWAv - 6VW% - fABcWBpWcv.(31)

Рассмотрим киральное суперполе, которое содержит только левый спинор xl ^в составе компонентных полей. Так как суперкоординаты 0_а антикоммутируют, произвольное киральное суперполе можно разложить в конечный ряд по суперкоординатам

2 = ф + 6x l + ё(¹⁺^⁵ )0F + ¹ 9х ь х т 99 ^т ф

2          2                                        (32)

• - 2(0750)(0'7^mdmXL) - 8(0750)²D^.

Обычно используется краткая форма, записи

2 = [ф,x,F ]•

Комплексные скалярные поля ф и F и спинорное майорановское четырехкомпонентное поле X образуют супермультплет (неприводимое представление группы суперсимметрии). Мы знаем, как генераторы суперконформной группы действуют па. суперполя — из определния (16)—(20) следует, что эти генераторы являются дифференциальными операторами. Законы преобразования компонентных полей (коэффициентов разложения ф, ф и F) можно найти из равенства е2 = 5(е)ф + 9(5(E)xl) + 0(1^ )0(5(e)F)

• 1    -                   , , , , 1

  
  

  + 2 97 5 7 т 9д ^т (5(е)ф) - 2(0750)07^mdm (5(e)x l )

  - |(0-750)²П№)ф).

Здесь подразумевается, что оператор е в левой части равенства действует на суперполе в соответствии с определением (16)—(20). А оператор 5 в правой части равенства действует только на компонентные поля, не затрагивая суперкоординаты 0. Обычно рассматривается подгруппа Н = G \ {f_a}, которая содержит все генераторы суперконформной группы, кроме трансляций.

Приравнивая множители при равных степенях по 0 слева и справа, получим

5ф = шАф + ^ iwаф + ^x l ,

6x l = 2 E^mnUmnXL ⁺ (^{ш +} 2 ) ^aX l + 2 г(ш - | ^ «x l +2(у ⁿD^ фЕ н + F^ l + шф^ ь ),

„   ,    ___ 1

5F = (ш + 1)AF + ^ г(ш - 3)aF + Е н 7 D_n x l - 2(ш - 1)t? l X l , где ст_тп - генератор спинорного представления группы Лоренца, имеющий стандартный вид

^mn    ^П т , ^п]-

Заметим, что здесь мы рассматриваем локальные преобразования, поэтому обычные частные производные заменяются на ковариантные производные

D ^ = ■■ - 5 н (W_M),   D m = h m^ D ^ .

Таким образом, для получения длинной производной достаточно просто заменить параметры еА преобразования 5н па калибровочные поля WAM и вычесть это преобразование из частной производной. Заменяя emn,A, ^n, а, ф ту на калибров очные поля wmHp., b^, /м”, А^, ф^ ф^, соответственно, получим

Конформный вес суперполя определяется по конформному весу компоненты низшей размерности, то есть если поле ф имеет конформный вес шив результате инфинитезимальных масштабных преобразований изменяется следующим образом

5ф = шАф,

где А - параметр преобразования. то по опрсщелсчипо утверждается, что суперполе £ имеет кои- формпый вес ш и обозиачается £ш. F-члеи имеет конформный вес ш + 1.

5F = (ш + 1)AF. (43)

В конформной супергравитации так же как в обычной супергравитации Пуанкаре в результате преобразований суперсимметрии F-члеи изменяется на полную производную, поэтому он используется в качестве лагранжевой плотности при построении суперсимметричного действия (лагранжеву плонтость данного типа назовем плотностью F-типа).

В случае локальной суперсимметрии к F-члену обычно добавляются слагаемые зависящие от поля гравитино, которые также имеют конформный вес ш + 1, и все это умножается на определитель тетрады. Определитель тетрады имеет конформный вес -4, поэтому для получения действия конформной теории супергравитации необходимо в качестве лагранжевой плотности использовать F-члеи. который в случае глобальных коиформ!1ых преобразований имел бы конформный вес 4. Значит действие должно включать в себя F-члеи только такого суперпотенциала, который являются супеполем с конформным весом ш = 3. Тогда, как было показано выше, F-члеи будет иметь вес ш + 1 = 4. С помощью метода Нетер можно показать, что в конформной супергравитации инвариантная плотность F-типа суперполя с конформным весом 3 имеет вид

[S ( _{w =}3)> = e(F + ф н^ x l + Ф ир О¹" ф^ф + h.c.).

Теория также должна содержать действительное суперполе. Рассмотрим действительное суперполе с конформным весом 2,

V = (С,Е, ^,B ^ ,ф,D), ш(V ) = 2,

V = С - 2(^5€) - <759)Re(H) - (W)Im(H) + 2 (^ ^м 9)В_р

-WW + 2 97мдр€) - _(9-759)2 (D + 2 ПС), которое образует супермультиплет, включающий в себя два спинорных поля € и ] одно действительное скалярное поле С и два комплексных скалярных поля Н и D, а также одно векторное поле Вм. Поле D - стандартный D-член, который так же как и F-член в результате преобразований суперсимметрии меняется на. полную дивергенцию, поэтому используется в качестве лагранжевой плотности (плотности D-типа). Введем оператор где Р - суперпроизводная

P l = 2 Р(1 -7 5 YD,

Р

э

= , + 7 ^т 9Э_т. д9

Как известно, в случае глобальной суперсимметрии этот оператор является проектором па. ки-ральные состояния, то есть, действуя этим оператором па. произвольное суперполе (например, действительное суперполе), мы получим киральпое (или если более точно, левокиральное) суперполе,

S(V) = P l V. (49)

Компоненты этого киральпого суперполя имеют вид

W ) = (Н * , i(^ L + 7^м 9 _p € r) , -(D + Э ^ Э ^ С + 27 ^ Э _ц В ^ )).

В случае локальной суперсимметрии обычные производные просто заменяются па. ковариантные производные DM, которые определяются аналогично производным (40)-(41),

W ) = (Н*, 2(] l + 7 ^m D M € r ) -(D + ПДОС + 27 ^M D ^ B ^M )), w(S) = 3.

Таким образом мы можем образовать киральпое суперполе из векторного суперполя. Причем если исходное векторное поле (46) имело конформный вес 2, то полученное киральпое суперполе (51) будет иметь конформный вес 3 (см. [22]), и следовательно это киральпое суперполе может быть использовано для построения конформно инвариантного действия. Подставляя (51) в формулу плотности F-типа (44), мы получим локальное обобщение плотности D-типа для действительного суперполя с конформным весом 2

• 1                            . ,                                . .                                1

[V^d = e(D + ПС - 2^ д.д 7 ^м2 (A l + 7^MD^ € r) - ^Rm^R' Н * ),          (52)

где даламбертиан □ = D ^C _MD M.

То есть мы получили обобщение лагранжевой плотности D-типа, инвариантное относительно локальных преобразований суперкоифомриой группы. Используя уравнения так называемых стандартных связей (см. [23]) можно показать, что лагранжеву плотность (52) можно переписать в более привычном виде (подобно обычной теории супергравитации Пуанкаре)

V d = e(D + -С (R + ]_дЯ^м) -  ' 7  ^ 5, ■ - W7 ^мП 5 €

• 3    1               2                  1 _(53)

+ _^N^v^xB - СА^ - ^т/^€)), где

№ = -5-АКг,-мА7(54)

a D^ - лоренц-ковариантная производная

D“ = 9м -           у,(55)

7м = епм7п,(56)

R = ea^eb”Rab^, R“V = ^м^ „=o’

^mv = 20^4-/“' - 2w[Macw,]cb + ф^ЧМ,(58)

^р.аЬ(е,Ь,ф) = wyab(e,b) - |(ф“7м^ь + ^7a-0b - ^м7^а),(59)

«м^Ь(е,Ь) = -ujuab(e) + 2b

где w^^ab(e) - обычная лоренцева связноеть. Можно показать, что поле Ь_м исчезает из действия (53) в силу его инвариантности относительно конформных бустов [16]. Поэтому далее будем полагать Ьм = 0.

• 2.    Космологические модели

Попятно, что для построения реалистической космологической модели необходимо получить лагранжиан с положительной гравитационной постоянной. Но дело в том, что в конформных теориях супергравитации эта. константа вообще говоря не положительна, и зависит от точки пространства-времени. Было показано, что реалистическую модель с положительной гравитационной постоянной можно получить, используя скалярное поле с единичным конформным весом, являющееся духом, то есть имеющее положительный знак кинематического члена, при сигнатуре (+ +--) (см. наир. [16]). Причем здесь возможны два. варианта, развития событий. Дело в том, что если поле является духом, то F-член, генерируемый его суперпотенциалом, дает только отрицательный вклад в энергию вакуума, (если суперпотепциал вообще существует). Поэтому для получения вакуумных решений с положительной плотностью темной энергии необходимо вводить либо дополнительное калибровочное поле, так как в этом случае положительный вклад в энергию вакуума может давать D-член векторного супермультиплета У, либо еще одно скалярное поле, не являющееся духом.

Первая модель достаточно проста, так как предполагает наличие единственного скалярного поля (дилатона) и космологического Л-члена, который генерируется за счет взаимодействия этого скалярного поля с калибровочным полем. При этом зависимость гравитационной постоянной от точки пространства-времени устраняется простым вейлевским преобразованием масштаба. Для простоты в качестве калибровочной группы будем рассматривать U(1). Тогда действие запишется в виде

S = j d⁴x^-|[E0e^-25^y0 S₀]_D + jRe[W_aC “^Wp ]_F ),                  (61)

где Eo - компенсаторное киралыюе суперполе едииичиого киралыюго и конформного веса. W_a -киральное суперполе со спинорным индексом а, определяющее напряженность векторной компоненты действительного суперполя У0 ^с нулевым коне])ормным весом, С“^р - матрица зарядового сопряжения. Таким образом векторное суперполе E0e^-2V°Eo имеет суммарный конформный вес 2, поэтому его D-член действительно является конформно инвариантным. Суперполе W в случае глобальной суперсимметрии вычисляется следующим образом

W_a = -' D(1 - 75W“V0.                           (62)

О

А затем, чтобы получить локальный супермультиплет, обычные частные производные заменяются на. ковариантные производные, обеспечивающие инвариантность относительно локальных преобразований полной суперконформной группы [16]. Киралыюе суперполе W_a имеет конформный вес 2- Следоватслыю W_aC“^pWp имеет конформный вес 3.

Вторая модель допускает генерацию гравитационной постоянной в результате спонтанного нарушения масштабной инвариантности. Следует отметить, что в данном случае также целесообразно введение дополнительной калибровочной симметрии, так как наличие полей, нейтральных относительно всех групп симметрии теории в результате вторичного квантования может приводить к бесконечным петлевым поправкам (см. монографию [24]). С другой стороны введение повой симметрии, дополнительно к симметриям стандартной модели, приводит к тому, что прямые взаимодействия данных полей с уже открытыми частицами стандартной модели могут быть запрещены законами сохранения, а. это объясняет, почему эти поля до сих пор не были обнаружены на. БАК. Следовательно кванты таких полей являются естественными кандидатами на. роль частиц космологического темного сектора, а. именно скалярные поля могут быть составляющей темной энергии (точнее их вакуумное среднее), а. их суперпартнеры - составляющей темной материи. Причем если законы сохранения запрещают квантам этих полей распадаться па. частицы стандартной модели, то первые могут оказаться стабильными, даже имея достаточно большие массы. Для простоты рассмотрим группу U(1). Действие для двух суперполей с единичным конфрмным весом имеет вид

S = I d⁴x{2[£0е-2^°Eo]_D + |[£^:

*e-2"2V0 S]o

+ jne[W“C“pWp]f + 2Re[/(S, So)]f), где единственно возможный суперпотеициал, удовлетворяющий конформной симметрии и законам сохранения, имеет вид

/(S, So) = ASEO,

причем заряды заданы следующим образом

91 = 1,

9- =

-2.

Этот суперпотеициал имеет конформный вес 3, значит его F-член также конформно инвариантен.

3. Космологическая постоянная

Рассмотрим первую модель, о которой шла. речь в предыдущем разделе. Бозонная часть действия (61) имеет вид

S = У d⁴_Жe(Dрф*D^рф - Vo + ||ф|^-Д - 4F.,F^p),

где

^Dр^ф = Эр^ф - |^Ар^{ф -}д2^Вр^ф, ^Fpv   ^д[р^В^].

д - калибровочная константа, связи. В_р - векторная компоимгта супермульттшлета V0. Vo - потенциал, зависящий от D-члена суперполя Vo,

V_D = ^D, D = ^д |ф|^-. °     2 ,         2

Легко заметить, что лагранжиан не вспомогательное, а. не динамическое удобно использовать представление

содержит кинематического члена поля Ар, значит это поле и его можно исключить из лагранжиана. В данном случае

ф = Зе^гш.

где 3 и ш - вещественные поля. Тогда, варьируя действие по полю А_р, при 3 = 0 получим равенство

2(Ар + дВ.) = Эрш.

Подставив это равенство в лагранжиан, можно показать, что действие принимает вид

поле ш исчезает из лагранжиана и

S = У d⁴xe(3p39^p3 — у3⁴ + 63²R — 4Fp,F^p"),

Зависимость гравитационной постоянной от точки пространства-времени устраняется вейлевским масштабным преобразованием

З^

g^v =     g^v,                                           (-2)

где к = 8kG, где G - ньютоновская гравитационная постоянная, (мы используем систему единиц, в которой скорость света с = 1, ио если использовать стандартную систему единиц, то данное равенство принимает вид к = ^-kG/g3^. Тогда скалярная кривизна преобразуется по формуле g-к„, = (33 )->[ф„ - 2ДЦ33>(1п())]•         ч3)

В данном случае предполагается, что геометрия физического пространства-времени описывается конформно инвариантной метрикой g^, а не g^. Тогда, подставив в лагранжиан (72), (73) и поделив его па. 2, мы получим действие с положительной космологической постоянной где

■■^F- Зл ^-Л - 8 ■^;),

Л=

9g2

4к2

Данная модель не предполагает спонтанного нарушения симметрии, так как потенциал не имеет отличного от нуля минимума. Далее мы рассмотрим совершенно иную модель, в рамках которой возможно спонтанное нарушение симметрии.

• 4.    Спонтанное нарушение конформной инвариантности

Механизм спонтанного нарушения симметрии заключается в следующем [24]. Как известно, вакуум является состоянием с наименьшей энергией. Поэтому сначала, строится лагранжиан, включающий скалярные поля, с потенциалом U(ф), который должен иметь по меньшей мере один локальный минимум, отличный от нуля. Затем каждое из данных скалярных полей ф представляется в виде суммы ф = фо + ф, (76)

вакуумного среднего фо = (ф) и квантового поля ф (или квантового возмущения), которое при квантовании превращается в оператор (предполагается, что в вакууме это квантовое поле равно нулю). Чтобы найти вакуумные решения, квантовые поля приравнивают к нулю ф = 0, и все скалярные поля в полевых уравнениях движения заменяются их вакуумными средними ф = фо. Вакуумные средние скалярных полей должны удовлетворять условию экстремальности потенци ала.

dU I

=о.

Оф 1у=уо

Решения таких уравнений называются вакуумными решениями, так как определяют плотность энергии вакуума, (или темной энергии), которая является постоянной величиной, не зависящей от точки пространства. Для того, чтобы симметрия была, спонтанно нарушена, вакуумные средние скалярных полей должны соответствовать положению устойчивого равновесия (минимуму потенциала), следовательно вторая производная от эффективного потенциала, должна, быть больше нуля в точке ф = фо (меньше нуля для духов, так как их кинематические члены имеют обратный знак)

d²U\

Эф² 1^=У0

> 0.

Описанный механизм эквивалентен механизму Хиггса, вакуумное среднее которого определяет массы частиц. Массы частиц не должны зависеть от точки пространства, следовательно вакуумные средние полей Хиггса, и других скалярных полей, которые вносят вклад в массу частиц, должны быть постоянными величинами. Бозонная часть действия (63) имеет вид

S =

j d⁴xe^D_цф*D^^lф - D^D^p - W(ф, р)

+ 6(|ф|2 - |p|2)R - 4f^F^),

где ковариантные производные имеют вид

D^ = д_цф -

' л .       г91 п .

| ^Ац^{ф -}9у ^Вц^ф,

D^p = д_цр -

' л          "h .,

| ^А^р - 9—В^ср,

F^ = d^B_vV

Суммарный потенциал равен

W = Vf + V_D,

где Vf - потенциал, зависящий от F-члеиов су"перполей Xg i1 X.

Vf = F\2 -F² = |А|²|ф|⁴ - 4|А|2|ф|2|р|², p* ₌df ⁽p,^ф)       ₌ д/(р,_ф)                          (82)

*        др , Ф дф , a Vd - потенциал, зависящий от D-члеиа суперполя Vg.

Vd =    , D = |(₉1|ф|² - Q2IP²Y                             (83)

Вклады в потенциал от ф и р имеют разные знаки, так как одно из полей является духом. Согласно вышесказанному представим эти поля в виде ф = 3 + а, р = а + р.

где Зиа- классические вакуумные средние, которые, как уже говорилось, должны быть постоянны и независимы от точки пространства, как и в случае с полем Хиггса [24], аир- квантовые поля (поля, которые подвергаются вторичному квантованию). Вакуумные уравнения для 3 и а, следующие из действия (79), гд^^ I   =0, д8(фзр) I =0, дф   Ф=0        др где

и(ф,p) = W +|(|р|2 -|ф|2)R,(8G)

могут быть сведены к равенствам (при 3 = 0 и а = 0)

13|2 = 16RP + |а 12,

(8|А|2 - 392)(48|А|2|а|2 + R) = 0.(88)

Как обычно, будем использовать метрику Робертсона-Уокера ds2 = a2(t)(dx2 + dx"2 + dx2) - dt2.(89)

Если выполняется закон Хаббла.

<1 = На, а = a0eHt,(90)

то тензор Римана и тензор Риччи соответственно равны

RR i шуфЗ   Н (9 ц,а91у ^   9 цР9va),(^1)

R^v = 3Н 29М,.(92)

Таким образом, скалярная кривизна.

R = 12Н 2,(93)

должна, быть постоянной положительной величиной, так как мы используем сигнатуру (+ + + -). Из уравнения (88) видно, что единственное решение, совместимое с положительной скалярной кривизной, получается, если положить

8|А|2 = 392.

Уравнения Эйнштейна имеют вид

^-^ (r^, - 2Rg^v) = [2 . F F - 4 F J -<.) +D^p*D_vр - D^ф*D_vф - 2 9^ (d^p* D^p - D цф*D^цф + W)],

W = |А|2|ф|4 + 92 (|ф|2 + 2|р|2) 2 - 4|А|2|ф|2|р|2.(96)

При выполнении (94) потенциал принимает простой вид

W =3|А|2(|ф|2 -|р|2)2.(97)

Считается, что вакуумные средние векторных полей равны пулю. Вакуумные средние скалярных полей а и ф являются постоянными величинами. Тогда из (95) следует, что вакуумные уравнения Эйнштейна, сводятся к следующему

',   "R = 8|А|2(|ф|2 -|а|.(

Если подставить сюда, равенство (87), то это уравнение превращается в тождество. Для того, чтобы гравитационная константа, в результате спонтанного нарушения симметрии принимала, значение к, необходимо, чтобы выполнялось равенство

|ф|2 -|а|2 = 6.(99)

к

Подставив равенства. (93) и (94) в уравнение (87), легко показать, что равенство (99) выполняется, если константы взаимодействия удовлетворяют соотношениям

2 ^Н2^к   _Ш2 ^Н2^к

• ⁹ = — •  ^|А| = — •

В таком случае решение является устойчивым положением равновесия, если а удовлетворяет пера-

венствам	9"и (ф,р)|    > 0   92и (ф,р)|    <0                            (101) Эф2     1Ф=Р> •        др2     1 . ..     •
Отсюда.	к (lа|2 - 3 ) +4Н2 > 0,                                  (102) 3        к К (|а|2 + 9) - 4Н2< 0.                                  (103) 3        к

Заключение

В данной работе были рассмотрены две различные космологические модели. Первая эквивалентна. космологической модели с положительной космологической постоянной. Во второй постоянная Хаббла, и гравитационная константа, устанавливаются в результате спонтанного нарушения конформной симметрии. Для последней модели было найдено вакуумное решение, описывающее экспоненциальное расширение Вселенной. Легко видеть, что неравенство (103) может выполняться только при больших значениях постоянной Хаббла, значительно превышающих наблюдаемое значение, а. это возможно лишь на. ранней стадии развития Вселенной. Дело в том, что мы не учли вклад поля Хиггса, в энергию вакуума. Так как вакуумное среднее поля Хиггса, отлично от пуля, в теории супергравитации это поле, вообще говоря, также должно вносить вклад в темную энергию, что необходимо учитывать, поэтому целью дальнейших исследований является построение космологической модели, учитывающей наличие поля Хиггса.