Космологическая модель с идеальной жидкостью и мир де Ситтера

Наблюдения последних десятилетий, в частности открытие ускоренного расширения Вселенной [1], необходимость создания моделий различных космологических объектов, требуют новых исследований в области ОТО. Наиболее интересным в этой связи, па наш взгляд, представляется построение моделей основанных па точных решениях уравнений Эйнштейна. В данной работе предлагается составная сферически-симметричпая космологическая модель построенная па основе решения для идеальной жидкости с однородной плотностью энергии и неоднородным давлением и решения де Ситтера. Необходимым критерием существования подобной космологической модели является непрерывный переход одного пространства, в другое. Возможность существования подобного перехода и условия при которых он происходит есть суть условий сшивки Лихиеровича-Дармуа [2] [3]. Исследуемые решения так же представляют особый интерес. Для однородной анизотропной идеальной жидкости существует общее решение, которое включает в себя как частные случаи три типа пространств: плоское пространство, пространство с отрицательной и пространство с положительной кривизной [4]. Пространственная часть этого решения конформна пространственной части любого из трех однородных и изотропных пространств. Решение Фридмана-Робертсона-Уокера является частным случаем этого решения. Решение де Ситтера интересно в связи с тем, что оно является одним из наиболее вероятных кандидатов па роль космологического вакуума [5].

1. Метод сшивки

Метод сшивки, использованный при построении модели, основан па условиях сшивки Лихиеровича-Дармуа, которые заключаются в следующем: две метрики ds+2 = g+v dx+Mdx+v,    ds-2 = g- dx-dx-(1.1)

можно сшить по некоторой гиперповерхности в том случае, если первая и вторая квадратичные формы этой поверхности, вычисленные в первой и второй метриках, совпадают.

Первая квадратичная форма. - это Риманова, метрика поверхности:

dl2 = aikd^duk     (i = 1,2,3),(1.2)

где a ik = g _fv Z f Z k , Zf = 7777"■ (Знаками " + "и "-"обозначены метрические коэффициенты и координаты первой и второй метрик соответственно.)

Вторая квадратичная форма:

dl2 = bikduiduk,(1-3)

где b ik = v _f ; \ Z i Z k , Z f ~ касательные векторы к поверхности. v^f - нормаль к ней.

• 2.    Массовая фунуция

Массовая функция m(R,t) для сферически симметричной метрики

ds² = e^v(R,t)dt² — e^x(R^dR² — r²(R, t)da²,                           (2.1)

где da² = d9² + sin²(0)dф². имеет вид:

m(R,t) = r(1 + e^ф — eⁿ),                                  (2.2)

где

ф -1/-2 Я -A„,2

e = e r , e = e r .

(2.3)

Массовая функция была введена в [6] и обсуждалась в [7] [8] [9]. В [7] было показано, что массовая функция является инвариантом и может быть определена как полная масса-энергия ограниченная сферой r(R,t). Массовая функция очень удобна при работе с уравнениями Эйнштейна, т.к. опа. существенно упрощает их внешний вид по сравнению со стандартным. В сопутствующих координатах уравнения Эйнштейна с учетом массовой функции принимают вид:

f

m = r r To ,

m = r2rT1,

2m' = тФ' + mtl + 4гГт'Т;2, 2r' = ГФ' + r'ft.

(2-4)

где точка - производная по времени, штрих - по пространственной координате.

• 3.    Сферически симметричное бессдвиговое решение для однородной анизотропной идеальной жидкости

Впервые решение без сдвига для идеальной жидкости с неоднородным давлением рассматривалось в [10], ряд его свойств исследовался в [11] [12] [13]. В этой главе решение получено с помощью массовой функции. Так же обсуждается смысл произвольных функций интегрирования.

Уравнения Эйнштейна для идеальной жидкости с однородной плотностью энергии и неоднородным давлением ( T 0 = E(t),T₁¹ = T 2 = T 3 = — p(R,t) в случае сферической симметрии ( 2.2) принимают вид:

' m' = г2г'е

• ■                  2 •

m = —r rp,

2m' = тФ' + m'^ — 4гт,Гр1

2г- ' = ГФ' + т'^.

(3.1)

Выражая из первого уравнения системы массовую функцию и подставляя полученное значение в третье уравнение системы получаем:

е fl _ 4 , ; (згФ + зr отсюда получаем выражение для Ф:

2r') = 0,

(3.2)

Ф = ln г2ф2, где ф = ф(t) - произвольная функция интегрирования. Четвертое уравнение дает выражение для fi:

(3.3)

т '2

(3.4)

fi = ln rk где k = k(R) - произвольная функция интегрирования.

Теперь с помощью (2.3) можно записать вид метрики для однородной анизотропной идеальной жидкости в случае отсутствия сдвига:

:2

(3.5)

ds² =      dt² — r²(k'²dR² + da²).

r2ψ2

Используя (3.3) (3.4) находим массовую функцию:

rl2

m = r (1 + r2^2--тлд).(3.6)

Г 2 ' 2

С учетом первого уравнения системы (2.5) получаем:

er- = r + r3# - -r^(3.7)

А отсюда следует выражение для r = r(R, t):

r = 2(ek+ - Ze-k-n)-1,(3.8)

Z = Ф2 - 3e.(3.9)

В зависимости от знака Z ( 3.8) принимает вид:

r-1 = VC sinh(k + 6), Z > 0, r-1 = Vici cosh(k+6),z< о,                              (з.ю)

r-1 = ek+ ,Z = 0, где ee = VlC[en-

В отличае от модели Фридмана, где существует три непереходящих друг в друга решения, здесь существует общее решение, а тип пространства определяется функцией Z- К тому же, решение для однородной анизотропной идеальной жидкости переходит в однородное изотропное пылевидное решение [12] при Z = 0. При Z = 0 переход происходит при:

•

П = 0, ф = -, a k = lnctg R ,Z < 0,

(З.П)

k = Incth у ,Z> 0.

Решение для идеальной жидкости имеет достаточно много произвольных функций интегрирования: k(R), ф(t), n(t) Z(t) На первый взгляд может показаться, что произвольных функций слишком много, по анализ решения (3.5) показал, что возможно попять смысл каждой из них и выбрать их вид исходя из физических соображений.

k(R), вообще-то, можно выбрать любым удобным образом, т.к. тот или иной выбор вида этой функции ведет просто-напросто к переходу в другую систему координат. В метрике (3.5) замена k^,2(R)dR² iia dk² есть ничто иное как переход от координаты R к координате к. Эту произвольную функцию можно выбрать так, что пространственная часть метрики (3.5) будет конформна пространственной части одного из трех однородных и изотропных пространств:

dk2 + da2 =--------(dR2 + sinh2(Ri )da2) = —---(dR2 + sin2(R2 )da2) = sinh2(R1)     1                        sin2(R2)     2

V2 (dR 2 + R3da²). (3.12)

R3

Выбор n(t) тоже относиться к чисто координатным преобразованиям. Так метрика быть переписана в виде:

(3.5) может

(3.13)

r2

ds2 = 9n 9 dn"2 — r2(k'2dR2 + da2), r2ψ2

^r n = dr-

Анализ инвариантов тензора, пространственной кривизны метрики (3.5) показал, что инварианты зависят только лишь от произвольной функции Z(t) Так, например, пространственная кривизна, и инвариант Кречмана:

R = 6Z(t),

(3.14)

R ^vx, R^rvX = 12Z2(t).

(3.15)

Таким образом можно считать Z (t) функцией, которая определяет пространственную кривизну. Тот факт, что Вселенная, описываемая этим решением, является открытой, закрытой или плоской полностью определяется функцией Z(t) Этот факт также обсуждался в статьях [14], [15].

ф (t) имеет смысл критической плотности энергии. Когда пространственная скалярная кривизна равна нулю, то соответственно Z (t) = 0 (3.14). И, согласно (3.9):

^ 2 ^(t) = 3 e c ⁽f).

(3.16)

• 4.    Сшивка решения однородной анизотропной идеальной жидкости и решения де Ситтера

  Итак, как уже упоминалось, метрика для однородной анизотропной идеальной жидкости имеет вид:

  
  

  г²

  ^dS Pf = 7272 d^T

  
  
  
  

  r² (dk² + da²^ ,

  
  

  (4.1)

  
  

  где r = r(k, т ), ф = ф(т), точка - производная по времени.

  Сшивка происходит по гиперповерхности т Касательные к поверхности:

  
  

  Нормаль находим из уравнений:

  
  
  
  

  νµ νµ

  z r =

  = const.

  0 0 0\

  1 0 0

  0 1 0

  0 0 1/

  v r = 1,

  z r = 0.

  
  

  (4.2)

  
  

  (4.3)

  
  

  Единственная ненулевая нормаль:

  
  

  r

  V0 = —.

  rψ

  Получаем первую и вторую квадратичные формы:

  
  

  (4.4)

  
  

  dl 2 = r²dk² + r²da²,

  
  

  (4.5)

  
  

  dl 2 = r²^dk² + r²^da².

  Теперь находим квадратичные формы для метрики де Ситтера:

  
  

  (4.6)

  
  

  dS =0 - 02) ^dt

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  dr ² - r ² dσ ² , 2 s s

  r _s

  a ²

  
  

  (4.7)

  
  

  коор: r s = r s (k, т ). t = t(k, т ). a = Касательные к гиперповерхности:

  
  

  zr =

  
  
  
  

  t' т ' r_s 0

  
  
  
  
  
  

  (4.8)

  
  

Черточка - производная по координате k. С помощью уравнения (4.3) находим нормали:

/A rr'^ — At'2 , t'

/A V² — At'² ,

(4.9)

(4.Ю)

где A = 1 - a2.

Теперь находим первую и вторую квадратичные формы для де Ситтера:

dl 2 = (A 1rS2 — At'²) dk² + r²da²,                              (4.11)

,   rs t' (t'²A — 3r2A^-1) , r_sAt' ₉

dl² = a ^{2 V         s} ’ dk² + , s      = da².

(4.12)

^ A 1^2 — At'²         ^ A 1^2 — At'²

Из равенства первых и вторых квадратичных форм на. гиперповерхности сшивки получаем сле-

дующие условия:

r2 = r 2 ,                                               (4-13) r2 = A-1rS2 — At'2,                                      (4.14) 9      rs t ' (t ' 2A — 3r'2A-1)                                       .     . r2^ = a 2 ,            s       ’,                                     (4.15) V A-1rS2 — At'2 r2^ =       rs At '      .                                    (4.16) ^ A 1^2 — At'2

Итак, были получены условия сшивки па гиперповерхности постоянного времени решения для однородной идеальной жидкости и решения де Ситтера. Существование условий сшивки свидетельствует о том, что па. гиперповерхности сшивки геодезические остаются непрерывными. Выполнение этих условий па гиперповерхности сшивки является критерием существования космологической модели построенной па основе используемых решений.

• 5.    Плотность энергии на гиперповерхности сшивки

Из (4.15), (4.16) следует равенство:

rsAt' = rst' (t'2A — 3r'2A-1) ,(5.1)

a2

с учетом (4.14) получаем:

A = 0 2 — 2 — 2r?A ^{- 1} ) ,

(5-2)

(5.3)

(5.4)

„2_ 2

r2 - a2 r'2 =      .

s

Используя (3.7) и (4.13) получаем значение энергии на гиперповерхности сшивки:

epf = 02.

Известно, что плотность энергии для пространства де Ситтера не зависит от времени и имеет постоянное значение:

e s =    .                                                   (5.5)

a ²

В итоге получаем равенство плотностей энергии на. гиперповерхности сшивки для используемых решений:

e pf = e s                                             (5.G)

Это означает, что в предложенной модели отсутствует скачок плотности энергии па. гиперповерхности сшивки.

Заключение

Построена, космологическая модель, в которой отсутствует первоначальная сингулярность, т.е. Большой взрыв. Если в инфляционных теориях на ранней стадии развития Вселенной, после Большого взрыва, Вселенная находилась в неустойчивом вакуумноподобном состоянии с уравнением состояния e + p = 0, т.е. описывалась решением де Ситтера, то в рассматриваемой космологической модели Большой взрыв отсутствует, Вселенная путем фазового перехода переходит из вакуумноподобного состояния в состояние, описываемое рассматриваемой космологической моделью.