Краевая задача для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка
Автор: Елеев Валерий Абдурахманович, Белхароева З.М.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Установлены существование и единственность решения одной краевой задачи для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318046
IDR: 14318046
Текст научной статьи Краевая задача для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка
Установлены существование и единственность решения одной краевой задачи для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка.
Рассматривается уравнение
( ихх - Uy + Аш, у > О,
I ^(^ - Uyy + А2иж + А3и), у < О в области Q, ограниченной отрезками ААд, ВВд, АдВд прямых X = 0,X = Y,y = h соответственно и характеристиками АС : X + у = О, ВС : X — у = 1 уравнения (1). Пусть Qi = Q П (у > 0), Q2 = Qn (у < 0), / = (0,1).
Задача 1. Требуется найти функцию и(ж,у) со следующими свойствами:
-
I) и(ж,у) — регулярное решение уравнения (1) в области Q при у ^ 0;
-
2) U непрерывна, в замкнутой области Q;
-
3) частные производные Ux,Uy непрерывны в области Лив точках0(0,0) И А(1,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы;
-
4) U удовлетворяет краевым условиям:
Щ0, у) = Ф1(у), и(1,у) = ф2(у), Дх, -х^ = ?Ыж), Дх,х- 1) = 'фДх^, (2)
где Ф1, ^,-01,-02 — достаточно гладкие функции, причем
У 1(0) = ^1(0), ф2(0) = ^2(0), ^
Н)=^Н)-
Пусть в начале А2 ^ 0, А3 = 0. В области Q2 общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде [1]
и(ж,у) = Дх,у) + ш(у),(3)
где г/(ж,у) — общее решение уравнения
Уст — vyy + Д^$ — 0,(4)
аш(у) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция. Без ограничения общности можно предположить
ш(0) = ш'(0) = 0.(5)
Обозначим т(ж) =и(ж,0), у(ж) = ПуДДУ
@ 2002 Елеев В. А., Белхароева. 3. М.
Лемма 1. Если Ai 0 0 п
lim и(ж, 0)^ (ж, 0) = lim и(ж, 0)иДж, 0) = 0, ж->0+ ж-Ы- то для любого регулярного в области Qi решения уравнения (1) справедливо неравенство
1 1
j r^x^x = - j УЧхД Xv^dx ^0. о о
< Доказательство леммы 1 приведено в [2]. >
Лемма 2. Если п = 0 на ОС U АС, то для любого регулярного в области Q2 решения уравнения (1) справедливо равенство jHa:M^d.,0.
О
-
< Доказательство леммы 2 приведено в [3]. >
Сравнивая (7) и (8) имеем, что т(ж) = 0.
Теорема 1. Пусть и(ж,у) — регулярное решение однородной задачи 1. Тогда tt^x, у) = 0 в Qi.
-
< В области Qi рассмотрим тождество
м(ижж — Uyy + Aiu) = V^x^x — uuy — Мж + ^l^2 = 0.
Проинтегрировав его при однородных граничных условиях (2) и т(ж) = 0, получим
(•Дх^
о
dx +
/(^
Qi
— Aiu2) dx dy = 0.
Отсюда следует, что и(ж,у) = 0 в области Qi. В силу равенств Дж,0) = и(ж,0), г/у(ж,0) = иу(ж,0), имеем, что Дж,у) = 0 в области Q2. Из условия Дж,—ж) = —сДу) заключаем, что сДу) = 0 при —| < у < 0. Следовательно, Дж, у) = 0 в П2, т. е. Дж, у) = 0 в Q и решение задачи 1 единственно. >
Теорема 2. В области Q существует решение задачи (1).
-
< Из параболической части области Q при у —> 0+, получим задачу
т"(ж) — и(ж) + Ахт(ж) = 0,(9)
т(0)<^1(0), т(0) = р2(0).(10)
Решение уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям
^(ж, —ж) ='01 (ж) — ш(—ж), г/(ж,ж — 1) = 02(ж) — ш(ж — 1),(2')
определяется формулой
^-^ и ^ №) - и ч^и 1111
Задача (9), (10) заменой
т(ж) = г(ж) + ж2 + (<12(0) - уд (0) - 1)ж + уд(0) = г(ж) + Д(ж)
приводится к виду z"(x) + А^ж) = /(ж), (12)
г(0)=0, г(1)=0, (13)
где /(ж) = и(ж) — Д(ж) — 2. Решение задачи (12), (13) имеет вид
г(ж) = У G(x, t, Xi)f(t) dt. о
где
С(ж,М1)

^^^^^^^™
^^^^^^^™
sin У—Ai t sin У—Ai (1
^^^^^^^™
ж)
^^^^^^^™
Ai sin
^^^^^^^™
Ai
sin V—Ai ж в™ V—^1(1 — 1)
^^^^^^^™
Ai sin
^^^^^^^™
Ai
0 < t < ж, ж < 1 < 1
— функция Грина. Возвращаясь к функции т(ж), равенство (14) перепишем в виде
1 т(ж) У о
G^x, t, Ai)y(l) dt + /(ж),
где
/ =
1 ад - у о
G(x, t, Ai){2 + Ai/t(l)} dt.
Из равенства (11) имеем
, X , X , (Х\ , /ж + 1\ / XX (х — 1А г/(ж,0) = т(ж) = 'фг (-) + Д2 (^^—J -ш V^J ” ш (-2/ ’ ^16^
, X , X 1 , , (X \ 1 ,, /ж + 1А 1 , / ж \ 1 , /ж — 1 А .
му(ж,0) = ж(ж) = --^г + -'Ф2 —— - -ш - -ш —— . (17)
Подставляя (16), (17) в равенство (15), получим интегро-функциональное уравнение
Ш("9 +Ш (^"1) = I /^^^^^{^("f) +Ш'(| "I)} dt + 9^, (18) о где
д(ж) = [ С(жД,А1) + |)| ^ + ^1(|) +^(^^) +/(ж).
о
Дифференцируя равенство (18), получим ш' (“ 2) “ ш' ^2 ~ 2) = ,/ ^Ж(ж’^ ^ {ш'(”2) + ^'(2 ” 2) } ^ = -29'^ж^ (19) о
Обозначая ш' (— |) = p(z), получим интегро-функциональное уравнение вида
р(г) - р ^-z - - ^ = - I £Дж, у, Ai) ^p(t) + ^(”^”2)} ^ ~ 2g(-2z).
о
Функцию p(z) будем искать в виде p(z) = r(z) — r^—z — ^.
Учитывая последнее слагаемое в равенстве (20), получим функциональное нение
урав-
r^-T^-z- |) = -2д^-2г^
которое является частным случаем линейного функционального уравнения [4]
AfWWHBfM^=F^,
где t — переменная, А, В, ■г/Д), ?(t), F(t) — заданные функции t, f — неизвестная операция, обращающая уравнение (22) в тождество.
Используя теорию итерационного исчисления, доказывается, что функциональное уравнение (21) имеет решение [4]. Из единственности решения задачи 1 следует, что функция ш(у) определяется единственным образом. Таким образом, функция и(ж,у) полностью определена в области Q.
Пусть теперь Аг — 0, A3 > 0. Доказательство единственности решения задачи 1 в этом случае проводится аналогично предыдущему.
В области Иг общее решение уравнения (1) имеет вид (3), где Дж, у) — общее решение уравнения
VXx — ^уу + А3/У = 0- (23)
Решение задачи Коши с начальными данными
^(ж,0) = и(ж,0) = т(ж), му(ж,0) = иу(ж,0) = «(ж), имеет вид [5]
ж+у
^,s)-^4±i!^+i у MV^VE^^htods
+ Н T^^J«('A'=A^<>^)«Ю^„ ж-у где Jq (^) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Удовлетворяя (24) краевым условиям (2'), получим
Ж
т(ж) = 2^ (|) - 2^(0) + j Jo ^V^aV^^ - $YH^ dE о
ж
+ 9 [ T^-^-Jo(V^3V^^ - ж)) ^ - 2ш (-9) , Z J U JL- \ /
о
Ж
т(ж) = 2^2 (^^) -2^2(0) - У Jo(\A3 V(€ - 1)(€ - ж))у(ж) J€
ж
+ У T^"g^Jo^V^3V^ -!)(€“ ж)) ^ - 2ш (---—^ .
После обращения интегральных уравнений (25), (26) относительно т(ж), соответственно получим [3]
Ж
т(ж) = 2^1 (|) -2ш(-|) + j J0(VMx - ЕУМ^Ш о
ж
~"У ^° (^^"^ ж(ж ” ^) (^(2) ^(f)) ^ о
Ж
т(ж) =2^2 (^У“) - 2ш (^) ~ / J° VVM-k + £М£)) dE
ж
“2 / -^-Jo(\A3V(1 “ ж)(^ “ ж)) Сфг^у;—) -ш(^—^-
J Ju \ X Дд / х Zi / 1
Равенства (27), (28) соответственно перепишем в виде
т(ж) =
Ж
У v(^)Jo(\A3(® -^)) dE о
ж
ж
+ У V’i ^|) Jo (V^sVж(ж - €)) + Iш' ^-|) ^° (V^sV^t^^lT) dE-
о
о
т(ж) =
Ж
™У y(£Vo (V^a^ — ж)) dE
+
У < (^) ^о(^У(1-ж)(е-ж)) dE
ж
+ j ш' ^^—^ Jo (V^sV(1 _ ж)(€ _ ж)) dE- 1
В левую часть равенства (15) вместо т(ж) подставим (29) и полученное равенство продифференцируем по ж. В результате будем иметь смешанное интегральное урав нение где
Ж
у(ж) + [ v^-^-Jo
J ОХ о
(\Аз(ж - С)) d^ = j о
СДх^ХхММ
X
~ Ш' ( 2) ” j Ш' ( I) дж^^^^Ж(Ж “ €)) + 9'(Ж): О
д(ж) = /(ж)
X
-1Фг ^|) ^о (V-^V^C^^IT) dJ- о
Если обозначить через R^x,^ резольвенту уравнения (31) и предварительно считать его правую часть известной, то решение этого уравнения можно представить по формуле
у(ж) —
j <Мх,СН^ d^ = -ш' (^) - У Q^x.^w' (-|) ^ + 9(ж) = р(ж),(32)
оо
<Мх^
<№^
= Сж(ж,фА1) + У Rlx^G^t^XiW. о
— 3^ (V^V х^х — С^ + Щх,^) + R^x^^tx-Jq^Vx^V ф(ф — О) dU,,
Ju J kJ
х
9^ = У R(x,^q'^ dU о
Таким образом, получим относительно у (ж) уравнение Фредгольма второго рода. С помощью резольвенты Т^х,^ уравнения (32), значение у(ж) записывается следующим образом
1 у(ж)=р(ж) + У T^x^^pV^d^. о
Подставив значение р(ж) в равенство (33), получим
у(ж) = У М^х.^ш' (-|) d^ - ш' (-|) + Р(ж), о
где
(Мх^-Т^ + jT(x,^)Q^i,Mi, 0 < С < х,
М^ =
-Т(Ж,е) + jTlx^CM^M,, 5
х <е < 1,
Р^ = У Т(х,^<Ш о
С другой стороны, задачу (1), (2) в параболической части Qi области Q, и = еХ1У, можно свести к задаче заменой
vw=Vxx, ^(,0,у^ = e^^ip^yY п<Д,у^ = е^узДуУ
Решение задачи (35) имеет вид
^(®,у) = У о
т^С^Лх,уШ + У о
eXlhipi^G^0, h\ х, у^ dh
у
У eXlh(p2(h)G^l,h;x,y) dh, о где G^, h; х,у^ — функция Грина первой краевой однородной задачи (35). Найдем производную Иу, затем в полученном равенстве положим у = 0. Будем иметь
Эи "w = а?
= [ W^M^ d^ + 0(ж), у=о {
где _ _
КМ = А1(<Ж0;ж,0) + Сж(С0;ж,0)), а е^ = — ех^у Эу
у
У
eXlh
и j eXlh(p2(h)G^l,h;x,y) dh о
Подставляя теперь (15) в равенство (36), получим
у(ж) = У о
/*ч/
К(,х,^и^ d^ + 0(ж),
где
К^х,^ = У о
K^,^G^,^,X^d^
Обозначим через _А(ж,£) резольвенту уравнения (37), решение этого уравнения мы можем представить по формуле
«(ж)
= 0(ж) + j о
W^WM-
Подставляя выражение (38) для «(ж) в формулу (34) получим относительно ш' интегральное уравнение Фредгольма второго рода
Н)
ш' ("I) = / M^V (-() d^ + e^, о
где 0(ж) = Р^ — «(ж).
Так как эквивалентность всюду сохраняется, то из единственности решения задачи 1 следует однозначная разрешимость интегрального уравнения (39).
Аналогичным образом можно получить интегральное уравнение (39) относитель-
—
I™
но ш' ^^^У Таким образом, определены функции т(ж), «(ж), ш(у). Следовательно, определена функция и(ж,у) в области Q. >
Список литературы Краевая задача для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка
- Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа.-Ташкент: ФАН, 1974.-156 с.
- Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром//Дифференц. уравнения.-1989.-Т. 25, № 1.-С. 117-126.
- Базаров Д. Задача Дирихле для одного уравнения смешанного типа//Изв. АН ТССР, сер. физ.-мат. наук.-1984.-№ 6.-С. 81-84.
- Герсеванов Н. М. Итерационное исчисление и его приложения.-М.: Машстройиздат, 1950.-69 с.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1977.-716 с.