Краевая задача Римана - Гильберта в классе BMO для обобщенных аналитических функций

1.    Введение. Основные определения

Краевая задача Римана — Гильберта для обобщенных аналитических функций класса BMO рассматривалась в работе автора [1] в предположении, что коэффициент краевого условия г¨ельдеров (умножение функции класса BMO на окружности на г¨ельдерову функцию не выводит из класса BMO; этим и определялось требование на коэффициент). Разумеется, постановка задачи наиболее естественна при предположении, что коэффициент краевого условия принадлежит пространству мультипликаторов класса BMO.

В предположении, что коэффициент краевого условия принадлежит пространству мультипликаторов класса BMO, для голоморфных функций задача рассматривалась автором в [2]. В работе [2] обнаружено, что даже при непрерывном коэффициенте из пространства мультипликаторов задача с неотрицательным индексом может быть неразрешимой в BM O. Даны достаточные условия разрешимости. В настоящей работе результаты из [2] переносятся на обобщенные аналитические функции.

Обозначим D = ^{ z : | z | < 1 } единичный круг комплексной z-плоскости, z = x + iy , i ² = — 1; Г = dD — граница круга D; D = D U Г; A(z), B (z) E L _s ( D), s >  2 (используются обозначения книги [3]), — заданные комплексные функции.

Рассмотрим в D каноническую эллиптическую систему в комплексной записи dz w + A(z) w + B(z) W = 0,                           (1)

где w = w(z) = u(z) + iv(z) — искомая комплексная функция, u и v — ее действительная и мнимая части, d z = 1/2(d/dx + id/dy) — производная в смысле Соболева.

(с) 2011 Климентов С. Б.

Решение w(z) системы (1) называют обобщенной аналитической функцией [3, с. 148].

Определение 1. Следуя [4], будем говорить, что решение системы (1) принадлежит классу H p (A, B ), p > 0, если оно для некоторой положительной постоянной M _p (w) < + то удовлетворяет условию

^(p,w)

2 π

=      [ <     ' ) l p d^ 6 M p (w)

2п J

( V р : 0 6 р <  1, ре '" = z G D).

При A = B = 0 имеем обычный класс Харди H _p голоморфных функций [5, с. 57].

Определение 2. Вещественная функция у G L1(Г), у = ^(ets) = ^(s) называется функцией класса BMOf (Bounded Mean Oscillation) [5, с. 227], [6], если supfdI^iI। j |V - VII ds = NKf < to,

I где I С Г — произвольный интервал на Г, |I| — его длина,

ϕ I

= |7|/ ^Vd^s'

I

f — неубывающая положительная функция, определенная на [0,е], где 0 < £ <  2п.

Для комплекснозначной функции у G L 1 (Г) определение аналогично.

Определение 3. Следуя [5, с. 269], будем говорить, что функция Ф(z) аналитическая в D, принадлежит классу BMOA f , если Ф(z) принадлежит классу Харди H и ее некасательные предельные значения Ф(e ^is ) = Ф(s) на Г принадлежат классу BMO f .

су на

ли

Определение 4. Будем говорить, что решение w(z) системы (1) принадлежит клас- BMO f (A,B), если w(z) G H2(A,B ) и его некасательные предельные значения w(t) Г принадлежат классу BMO f .

При A = B = 0 имеем голоморфный класс BM OA f из определения [3].

Если f = 1, будем использовать обозначение BMO1 = BMO , BMOA1 = BMOA ; ес- f (r) = ln ^{- 1} 1/r, будем использовать обозначения BMO f = LMO , BMOA f = LMOA . Известно [6, 7], [8, с. 223], что LMO П L ^ (Г) есть мультипликатор пространства

BM O , т. е. максимально широкое непрерывный линейный оператор из Обозначим

множество функций, умножение на которые есть BMO в BMO .

Hu(s) =

π

1 У , X »

^- 2П У "W^ctg-

- π

-

s dσ.

Таким образом, v(s) = Hu(s) — с точностью до постоянного слагаемого выражение краевых значений мнимой части аналитической в D функции через краевые значения действительной части [9, с. 59].

Множество BMO(A, B) с нормой kwkBM O

= Л [ ^{| w(t) | | dt |} + llwk * 2п J

Γ является действительным банаховым пространством [1].

Множество BMO f с нормой H ^ H sMO f = k ^ k L 1 (г) + k ^ k * f является банаховым пространством [6].

Определение 5. Функцию w(z) G H p (A,B ), p >  1, будем называть решением краевой задачи Римана — Гильберта для уравнения (1), если ее некасательные предельные значения на Г w ⁺ (t) = w(t) почти всюду на Г удовлетворяют краевому условию

Re { A(t)w(t) } = g(t),                                         (3)

где А = A(t) — ограниченная, измеримая по Лебегу на Г комплексная функция, g(t) G Lp(H

Определение 6. Однородной краевой задачей, сопряженной задаче (1), (3), будем называть задачу [3, с. 301]:

dzw' — Aw' — Bw' = 0,(4)

Re {A(t)t'(s)w'(t)} = 0, t G Г,(5)

где s — длина дуги на Г, t ' (s) = dt/ds .

Будем считать, что

0 < ki 6 |А| 6 k2,(6)

где k i и k2 — некоторые постоянные. Таким образом, A(t) = | A | e ^{i6 ( t )} , где 9(t) — действительная измеримая функция.

На 9(t) наложим следующие дополнительные условия: существует такое конечное покрытие (B k ) контура Г интервалами, что на каждом из них | 9(t) | < 2п. В этих условиях корректно определен индекс краевого условия (3).

Индекс краевого условия. Возьмем на каждом интервале B k из покрытия (B k ) точку t k и разрежем B k в этой точке, т. е. будем принимать точку t k за две точки: t+ и t - . Фиксируя произвольно значение 9(t) в некоторой точке t^ и следуя по направлению обхода контура Г вдоль цепи интервалов B k , будем последовательно определять 9(t) на встречающихся интервалах так, чтобы | 9(t) — 9(t) | < 2п, когда t и t ' принадлежат пересечению соседних интервалов. В результате получим вполне определенную ветвь 9(t) , которая в точках t k имеет два значения: 9(t ^- ) до обхода и 9(t ++ ) после обхода.

Обозначим

2- ЕЖ ) — 6(t ^- )} = i -^ ] = к. k

Поскольку 9(t ± ) соответствует одной и той же точке e^l8(tk ) , число к — целое. Очевидно, к не зависит от выбора точек t k и покрытия (B k ).

Определение 7. Число к будем называть индексом задачи (3).

2.    Формулировка основных результатов

Теорема 1. Пусть в краевом условии (3) A(t) G L ^ (Г) П LMO, g(t) G BMO и H9(t) G L _х (Г) ¹ .

При к = ind- [A(t)] > 0 однородная краевая задача (1), (3) (т. е. при g(t) = 0) имеет точно 2 к + 1 линейно независимых в вещественном смысле решений, принадлежащих классу LMO(A, B) П L^. Неоднородная (при g(t) ^ 0) задача (1), (3) всегда имеет решение класса BMO(A, B), линейно содержащее 2к + 1 произвольных вещественных постоянных.

При к <  0 однородная задача (1), (3) имеет только нулевое решение. Для существования ( единственного) решения класса BMO(A, B ) неоднородной задачи (1), (3) необходимо и достаточно выполнение следующих условий на функцию g(t):

Г w 0 (t)g(t)

v / dt = 0,   j = 1,2      — 2 к - 1

J     A(t)

где w j (z) G BMO(-A, —B ) — полный набор линейно независимых в вещественном смысле решений однородной сопряженной задачи (4), (5).

• 3.    Вспомогательные сведения

Некоторые свойства функций класса BMO f . Имеет место следующее очевидное утверждение [6].

Лемма 1. Если | F(x) — F (y) | 6 C | x — y | , где C — некоторая постоянная, то

/

I

| F (y(0)) — [F (y)] i |

de 6 2C

j Ие) — vi1

I

dθ.

Следствие 1. Если у G BMO f , то F (y) G BMO f .

Следствие 2. Если значения комплекснозначной функции ϕ ∈ BMO f принадлежат области, в которой функция F удовлетворяет условию Липшица, то F(у) G BMO f .

Лемма 2 [2] . Если у G BMO f , то | y | G BMO f .

Если при этом 0 < k i 6 | у | 6 k 2 , где ki и k2 — некоторые постоянные, то 1/у G BMO f .

Если v i , у 2 G LMO П L ^ (r), то произведение y i • у 2 G LMO П L ^ (r).

Следствие 3. Если A(t) G LMO и удовлетворяет (6), то e(t) = arg A(t) G LMO.

Теорема 3 [10]. Множество LMO(A, B) с нормой kwkLMO

м

2n J

Γ

| w(t) | | dt | + k w k * LMo

является действительным банаховым пространством.

В частности, (8) — банахова норма в LMO A.

Пусть к >  0 — целое число. Следуя [3, с. 293], обозначим

Т к f (z) = — Lff CfZ) + zf\ z = 4 + in.         (9)

ⁿ J J \Z ^— z 1 — zz )

D

Отметим, что Re { t ^к Т _к f (t) } = 0 при t G Г.

Теорема 3 [10] . Если w ( z ) G LM O ( A, B ) , то имеет место соотношение

w(z) + Т _к (Aw + Bra) = Ф(z),

где Ф(z) € LMOA и почти всюду на Г

Re {t ^-K w(t)} = Re {t ^-K Ф^)} , t € Г.                       (11)

Если Ф(z) € LMOA, то соотношением (10) однозначно определяется функция w(z) € LMO(A, B ), удовлетворяющая на Г условию (11), и формула (10) устанавливает ( вещественный ) линейный изоморфизм банаховых пространств LMO(A, B) и LMOA.

Регуляризующий множитель. Перейдем к обсуждению краевого условия (3) в предположениях теоремы 1.

В силу леммы 2 1/ | A(t) | € LMO П L ^ (r), а поскольку LMO П L ^ (r) — мультипликатор пространства BMO, g(t)/ | A(t) | € BMO и мы без ограничения общности можем считать, что | A(t) | = 1, т. е. что A(t) = e ⁱ⁰ ( t ) , и в силу следствия 2 и следствия 3 9(t),eⁱ⁶^ t € LMO П L ^ (r).

Обозначим y ( z ) = ^(z) + i^ i (z) = S ( 9 ( t ) — к • arg т )(z), S — оператор Шварца, ^(z) = Re y ( z ) , ^ i (t) = Hw(t), t € Г. Тогда функция e i^Y ( ^{z )} € L ^ , а следовательно, имеет почти всюду на Г некасательные предельные значения e i^{Y ( t )} € L ^ (r) [5, с. 64]. Следуя [9, с. 275], будем называть функцию е ^ш 1 ^{( t )} регуляризующим множителем краевого условия (3).

Лемма 3. e ^ ^{1 ( t )} и e i/ ^ t € LMO П L ^ (Г), а следовательно, e i^z € LMOA П L ^ .

<1 Поскольку сингулярный оператор в LMO ограничен [11, 12], е ^ш 1 ^{( t )} € LMO П L ^ CT). B

• 4.    Доказательство теоремы

Случай канонического краевого условия. Рассмотрим краевую задачу (1), (3) в частном случае A(t) = t ^K :

Re {t ^-K w(t)} = g(t).                                     (12)

Следуя [3, с. 246], краевое условие (12) будем называть каноническим .

Рассмотрим сначала случай к >  0. Формулой (10) устанавливается (вещественный) линейный изоморфизм между решениями краевой задачи (1), (12) и решениями краевой задачи для голоморфных функций

Re {t ^-K Ф^)} = g(t).                                   (13)

Учитывая результаты из [2] для краевой задачи (13), получаем соответствующее утверждение теоремы 1.

Случай к <  0 исследуется сведением к случаю нулевого индекса посредством замены w o (z) = z ^-K w(z) дословным повторением соответствующих рассуждений из [3, с. 298301].

Случай неканонического краевого условия. Умножим краевое условие (3) на регуляризующий множитель коэффициента A(t) = e ⁱ⁰ ( t ) :

Re nt ^-K e ^{- iY ( t )} w(t)o = r ^{J ( t )} g(t).

Обозначим еш1(t)g(t) = g* (t) € BMO (в силу леммы 3), eiY(z) w(z)= w*(z).                                      (14)

Функция w* = w*(z) удовлетворяет уравнению dzw* + A(z)w* + B *(z)w* =0,(15)

где

и краевому условию

B*(z) = B(z)e-2iRey(z) G Ls(D)(16)

Re {t-Kw*(t)} = g*(t).(17)

Поскольку LMO П L ^ (r) есть мультипликатор BMO, w * (z) G BMO(A,B * ) при условии, что w(z) G BMO(A, B ) (и наоборот).

Задача (15), (17) с каноническим краевым условием нами уже исследована. Пусть w * (z) G BMO(A, B * ) — решение этой краевой задачи при к >  0. Аналогично [3, с. 296] представим w ^* ( z ) в виде

w * (z) = Ф * (z)w o (z),                                     (18)

где Ф * (z) голоморфна в D ,

(if f\f (Z)    zf (Z)

d^dn\ G C a (D),

s - 2

a =--- s

^w „ (^z) = ^exp| nJJ [—-. .

D f A(z) + B*(z) 5, w* (z) = 0,

0 ,                     w ^* ( z ) = 0 .

Очевидно, w * (z) G BMO(A, B * ) тогда и только тогда, когда Ф * (z) G BMOA ; также очевидно, что Im w g (t) = 0, t G Г.

Подставив (18) в (17), получим, что голоморфная функция Ф * (z) G BMOA есть решение краевой задачи

Re {t ^-K Ф*^)} = g * (t)w ₀ ¹ (t) G BMO.                      (20)

Отсюда [2, (20)]

Ф * (z) = z ^K [ S (g * wo- ¹ ) + Q(z)] ,                             (21)

где S — оператор Шварца, Q(z) = ieo + 52K =i (c k z k - ^ k z - k ), C k — комплексные постоянные, во — вещественная постоянная.

Умножим (18) на e i^{Y ( z} ) , где e i^{Y ( z}) — та же голоморфная в D функция, что и в (14), и обозначим

w(z) = w * (z)e i^{Y ( z )} ; Ф(z) = Ф * (z)e i^{Y ( z )} .                           (22)

При этом (18) перепишется в виде

w(z) = Ф(z)w o (z).

Вместе с тем, в представлении для w o (z), с учетом (16) и (19), будем иметь

( z ) =

0 ,

A(z)+ B (z) w , w(z)=0,

w(z) = 0, откуда получаем, что w(z) в (23) есть решение уравнения (1).

Поскольку, по лемме 3, e i^{Y ( z} ) g LMOA П L ^ , w(z) G BMO(A, B ), Ф(z) G BMOA .

Покажем, что w(z) удовлетворяет краевому условию (3). Для этого достаточно показать, что Ф(z) в (23) удовлетворяет краевому условию

Re ne ^{- i6 ( t )} Ф^)} = g(t)w ₀ ¹ (t), t e Г.                          (24)

Подставим выражение для Ф * (z) из (22) в (21). Отсюда получим, что Ф(z) удовлетворяет (24).

В случае к <  0 проделаем ту же замену (14) и так же придем к задаче (15), (17). Условие ее разрешимости:

t ^K w j (t)g * (t)dt = 0, j = 1, 2,..., — 2 к — 1,                     (25)

г где wj*(z) — полная система линейно независимых в вещественном смысле решений задачи dzw'* — A(z)w'* — B*(z)w'* = 0, Re {tKt'(s)w'*(t)} = 0.

Обратная замена (22) так же приведет к решению w(z) e BMO(A, B) задачи (1), (3), только в рассуждениях ссылки на [2, (20)] надо заменить ссылками на [2, (21)]. Условие разрешимости (25) после замены w'* (z) = w'(z) егАА перейдет в условие e^^w'j(t)g(t)dt = 0, j = 1, 2,..., —2к — 1,                    (26)

г где wj(z) e LMO(—A, — B) — полная система линейно независимых в вещественном смысле решений задачи, сопряженной однородной задаче (1), (3):

d z w' — A(z)w ' — B(z)w ⁰ = 0, Re {e i ⁶^ ⁰ (s)w ' (t)| = 0.

Итак, формулы (14) и (22) устанавливают линейное в вещественном смысле взаимнооднозначное соответствие между решениями класса BM O(A, B) краевой задачи (1), (3) в предположении | A(t) | = 1 и решениями класса BMO(A, B * ) краевой задачи с каноническим краевым условием (15), (17). Отсюда получаем утверждение теоремы 1.