Краевые задачи для модельного гиперболического уравнения третьего порядка с нелокальными условиями I рода

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.95                                        

Исследование влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенной среде, фильтрации жидкости в пористых средах, приводят к изучению уравнениям в частных производных гиперболического типа третьего порядка [1–3].

Известно, что решение выше указанных и многих прикладных задач биологии, механики, физики сводится к исследованию локальных и нелокальных краевых задач для уравнений третьего порядка гиперболического типа. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса исследованы в работах [4, 5].

Нелокальные задачи для гиперболических уравнений третьего порядка исследованы в работах [6].

Краевые задачи для различных уравнений гиперболического типа третьего порядка изучены в работах [7]. Однако мало исследованы некоторые виды общих уравнений третьего порядка гиперболического типа, обеспечивающих существование и единственность решения соответствующих задач. Локальные, нелокальные задачи для уравнений в частных производных третьего, четвертого порядков гиперболического типа изучены в работах Л. С. Пулькиной, М. Х. Шханукова, А. Сопуева и их учеников [4, 5, 8–13].

В данной работе исследованы нелокальные задачи I рода в области

D = { ( x , y ) :0 <  x <  l ,0 <  y <  h }

для модельного гиперболического уравнения третьего порядка,

решения которых получены в явном виде. Полученные представления могут применяться при решении вызываемых большой практический и теоретический интерес различных биологических и физических задач.

Постановка задачи. В области D рассмотрим нелокальную задачу I рода для

модельного уравнения

u xxy ⁽ x , У ) + cu ⁽ x , У ) = f ⁽ x , У ),

где

f (x , y ), u(x , У ) е C(D ), u(x, y ) е C ²⁺¹( D ).

Задача 1. Найти в области D решение уравнения (1), удовлетворяющее нелокальным условиям I рода:

h f K ( y ) u (x, y) dy = 0,

о

u (0, y ) = P i ( y ), 0 <  x <  h ,

U x (0, y ) = ^ ₂( y ), 0 <  x <  h ,

где P i ^{( y} ), i = ¹,², ^{K ( y} )   заданные гладкие функции.

Разрешимость задачи

Сначала рассмотрим вспомогательную задачу.

Задача Гурса (Вспомогательная задача). Найти в области D решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (4), (5) и

u(x, y) = p(y), 0 < y < l,

где

^( x )

— пока неизвестная функция, причем

P ( y ) е C ¹ [ 0, h ] , i = 1,2, p ( x ) е C ² [ 0, l ]

и

условиям согласования

Pi(0)=K0),P2<0)=/(0),

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 10. №5. 2024

V M ( x , y ) e D , имеем область

Для удобства перейдем к переменным

D , = D , D = { 0 <  . < x ,0 <  у <  y ^} Через _ТОчку M ( x . y )

проведем две прямые, параллельные

координатным осям. Имеет место тождество:

_v .  dQ   d P                                 (8)

vL ⁽ u ) - uL ⁽ v ) = ———

d. ду

L * (v ) = v + cu                          Q = VU'„- vm„ , P = v„u.

где ^{v 7} xxy      сопряженное уравнение, а        ..у   .. у      ..

д D

Используя формулу Грина, будем интегрировать тождество (8) по контуру 1 и получим представление решение задачи Гурса (4) - (6) в виде

xy u (x, y) = v. (x, y; x, 0М x) + j v.. (x, y;., 0)^(.) d. - j [ v. (x, y; 0, у )ф[(у) -00

.у

-V.(x, y;0, у )^2 (у) + j d . j V(x, y;., у) f(., у) dy, 00

где ^{V ( x} , ^{y ;} . ^{, у )} — функция Римана, удовлетворяющую условиям:

V (x, y ;.,у)

— решение сопряженной задачи.

L (V) = V. - cV = 0,

V ( x , y ; x, у ) = 0, V . ( x , y ; x , у )| у=_y = 1, v ( x , y ; . , y ) = ю ( x , y , . ) ,

„ © ( x , y , . )

где        — решение следующей задачи Коши

^V .. ( ^x , y; . , y ) = ⁰,

^V ( x , y ; . , y )| .=x = ⁰, ^V .

= 1.

v,, ( x , y ; . , y ) = 0                .                           .

Интегрируя уравнение ..              дважды по ’ в пределах от x до ’ и учитывая свойства функции, получили:

V ( x, y;., y ) = . - x,

тогда из (10) получили следующее интегральное уравнение

.

^V ( ^x , y ; . , у ) = . ^{- x -} c j d . i j ( . ^- . , ) ^V ( . ^, у ; . 1^, у , ) ^d У 1 .

x

Решение уравнения (13) нашли методом последовательных приближений [9]: v = v + Av + A v +... + Av +..., 0  12

где ^A действительный параметр.

Из (13) последовательно определили ^V 0 , ^V 1 , ^V 2^, .“, ^Vn ,^." .

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 10. №5. 2024

v0 = %-x, V1 =-2cc(J-x)3 (n-y)■                        vv

Например,                  3!                  Аналогично нашли 2, 3’." .В конечном результате получили следующую функцию Римана:

v ⁽ x , y ^J , n ) = £ 2 n '1) ^c, ^(J - x ^{) 2} " + ⁽ n - y ) n = 0 n • ( ² n + ^{1 )} -

Нетрудно проверить, что функция (14) удовлетворяет всем условиям задачи (10), (11).

Учитывая условия (3) из (9), имеем:

hxh

.

v (x ) J K ( y ) v , ( x , y ; x ,0) dy + J j K ( y ) v ,, ( x , y ; J ,0) dy ^ ( J ) d , = g ( x )

0                             0 \ 0

h(16)

J K ( y ) v J ( x , y ; x ,0) dy ^ 0

то (15) можно привести к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. Используя метод последовательных приближений найдя

^(x )

и поставляя в (9) получим решение

нелокальную задачу 1.

Теорема 1. Если выполняются условий (2)–(5) и (16) то уравнение (1) в области D имеет единственное решение. Из способа получения решения задачи следует, что поставленные задачи могут иметь лишь единственное решение, так как мы получили для неизвестных функций явные и однозначно определенные выражения, не делая никаких предположений о них, кроме их существования [14, 15].

В заключение отметим, что задачи методом функции Римана, могут быть обобщены для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа третьего порядка.