Краевые задачи для уравнений третьего порядка с меняющимся направлением времени

Общая теория для неклассических уравнений третьего порядка была построена в работах [1]. В настоящей работе рассматриваются две краевые задачи для неклассических уравнений третьего порядка с меняющимися направлениями времени. Основной целью данной работы будет доказательство существования обобщенных решений для уравнений третьего порядка как по временной, так и по пространственной переменным.

1.    Уравнение третьего порядка по времени

Пусть Q есть конечный интервал ( — 1,1) оси Ox, Q есть прямоугольник Q х (0,T), 0 < T < +го. В области Q рассматривается уравнение третьего порядка с меняющимся направлением времени sgn xuttt + Uxx = f (x,t).                                  (1)

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения вида (1) рассматривались в работах [2 – 5].

Решение u(x,t) уравнения (1) ищем при выполнении начальных условий

u(x, 0) = u(x, T) = 0, x G Q, ut(x, 0) = uo(x), x G (0,1),                                       (2)

u _t (x,T )= u _T (x), x G ( — 1, 0)

и однородных краевых условий

u( — 1,t) = u(1,t)=0, t G (0,T).                               (3)

Введем обозначение (u, v) = J uv dx — скалярное произведение в £ 2 (0). Под обобщен- Ω

о ным решением краевой задачи (1)-(3) понимаем функцию u(x,t) такую, что u Е W2(Q) и выполнено следующее интегральное тождество

T 1

J [(u t , sgnxv tt ) - (u x , V x )] dt + / u o (x)v t (x, 0) dx+

0 T

+ f u_T (x)v _t (x,T) dx = f (f (x,t),v) dt

- 1                         0

о для любой функции v(x, t) Е W 12 (Q) такой, что vtt Е L2(Q) и удовлетворяющей условиям

v _t (x, T ) = 0, 0 < x < 1, v _t (x, 0) = 0,    — 1 < x < 0.

о

Обозначим через H 1 гильбертово пространство функций v(x,t) Е W 2 (Q) таких, что v _tt Е L 2 (Q). В качестве нормы в H 1 возьмем величину

H ullH Mlul^ 1     ⁺ W u tt ^ L ₂ ( Q )^{)1 /2}.

W ₂ ( Q )

Теорема 1. Пусть функция f (x,t) Е L2(0,T; W2 1(0)), uo(x),ut(x) Е £2(0). Тогда краевая о задача (1) — (3) имеет обобщенное решение u(x,t) Е W1 (Q).

Доказательство. Для Е >  0 рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

L ^u = ^{— Eu} tttt ⁺ sgn ^xu ttt ^{+ u} Xx = f^(x, t)

и такую, что для нее выполняются условия (3) и uf(x, 0) = uf (x, T) = 0, ut(x, 0) = uo(x), ut(x, T) = uT(x), x Е 0.

В пространстве H 1 рассмотрим вспомогательную билинейную форму

T ae(uf,v) = J [E(uft, vtt) — (uf, sgnxvtt) + (uX, vx)] dt+ 0

+ J u f (x,T )v _t (x,T) dx + J u f (x, 0)v _t (x, 0) dx

- 1

и задачу о нахождении функции u ^f Е H i :

a _f (u^e,v) = У u o (x)v _t (x, 0) dx + У u _T (x)v _t (x,T) dx —

- 1

T j (f (x,t),v) dt, v Е H1.

Из тождества (8) получим

M^{ue,v) |} <  c i h u ^ H i H ^v ^ H i , где c 1 — положительная постоянная. В равенстве (9) возьмем v = u ^f и, применяя интегрирование по частям, придем к неравенству

T af (ue,uf) > J J [E(utt)2 + (uX)2] dxdt + 1 J [ut(x,T)]2 dx + 1 J [ut(x, 0)]2 dx,

0 Q                              -1

которое можно переписать в виде

|a6(uW)l> C2\\ue\\Hi, где c2 — положительная постоянная, вообще говоря, зависящая от ε. Отсюда, из теоремы Вишика-Лакса-Мильграма (см, например, [6]) следует, что для любой функции f (x,t) G L2(0,T; W2-1(Q)) существует единственный ue G Hi, для которого выполняется равенство (9).

Пусть u ^e G H i удовлетворяет тождеству (9), возьмем v = u ^e и, применяя интегрирование по частям, неравенство Коши в правой части, придем к неравенству

T 5 kMJ² + (1 - <М)²] dxdt + 1 J №,T)] ² dx + 1 J [u f (x, 0)] ² dx <  0 Q                                       - 1                      - 1

< c3(d) (\f(x,t<2(0,T;W—1(Q)) + \u0\L2(0,1) + \\uT\l2(-1,0)) , где cs(5) — положительная постоянная, не зависящая от е и 0 < 5 < 1.

Для получения априорной оценки для u _t берем в качестве функции v в равенстве (9) функцию вида v = e ^Yt u ^e , где знак постоянной y подберем позже.

Интегрируя по частям придем к равенству

T

J J e ^Yt [e(u t_t ) ² — (y sgnx + 2eY 2 )(u t ) ² + 2 (y³ sgnx + ^e Y 4 )(u) ² + (u X ) ² ] dxdt+

0Ω

+eY J [eYTuT(x) — u2(x)] dx + 2 J [eYTuT(x) - u2(x)] dx—(12)

-10

0 T

— 2 J [e ^YT u T (x) — u 2 (x)] dx = — J (f (x, t), e ^Yt u ^e ) dt.

-10

Считая y = sgn x и 0 < е < 2, применяя неравенство Коши в правой части, c учетом неравенства (11), окончательно придем к неравенству e\utt\L2(Q) + (1 — 2e)llut\l2(Q) + \uX\l2(Q) +

< c 4

+ 2 (1 — 2е) [ J u T (x) dx + e T J u 2 (x) dx] <  ( ^{l f(}x,t^{) l} L 2 (0 ,T ; W ^-1 (Q)) ⁺ H u 0 H L ₂ (0 , 1) ⁺ \\ u T \ L 2 ( - 1 , 0) ),

где c 4 — положительная постоянная, не зависящая от ε.

Из оценок (11), (13) следует, что существует последовательность u n = u ^e n , сходящаяся при n ^ ГО к функции u(x,t), при этом функции u n , u _nx , u nt , u ntt ^ u,u _X ,u t ,u tt слабо в L 2 (Q) соответственно (u G W 2 (Q)), u nt (x, 0) ^ u 0 G L 2 ( — 1,1), u nt (x,T ) ^ u t G L 2 ( — 1,1) слабо в L 2 ( — 1, 1). Кроме того,

ε

T j («„..v») 0

dt

< V e \ ^u ntt \ L 2 ( Q ) • V ^e \ ^v tt ^| L 2 ( Q ) ^ ⁰

при е ^ 0.

Используя эти сходимости, переходим к пределу в (9) и получаем, что (9) выполнено для предельной функции u и всех v ∈ H1 . Имеем f (uT — ut(x,T))vt(x,T) dx + J ut(x,T)vt(x,T) dx—

- 1                                    0

— J u t (x, 0)v t (x, 0) dx + / (u o — u t (x, 0))v t (x, 0) dx = 0.

- 1                          o

Отсюда следует, что ut(x, T) = uT(x) E L2(—1, 0),   x < 0;

u t (x, T ) = 0,   x > 0;

u t (x, 0) = u ₀ (x) E L 2 (0,1), x > 0;

u t (x, 0) = 0, x < 0.

Предельное значение u(x,t) является обобщенным решением краевой задачи (1) — (3) в смысле интегрального равенства (3). Теорема 1 полностью доказана.

Замечание 1. Гладкость решений задачи (1)–(3) вплоть до границы не имеет места, даже если все входные данные задачи бесконечно дифференцируемы. Нахождение условий разрешимости задачи (1)–(3) в одномерном случае может быть осуществлено через фундаментальные и элементарные решения Л. Каттабрига [7].

2.    Уравнение с кратными характеристиками

В области Q рассматривается уравнение третьего порядка с меняющимся направлением времени sgn xu — Uxxx = f (x,t).

Решение u(x,t) уравнения (15) ищем при выполнении начальных условий

u(x, 0) = uo(x), x E (0,1), u(x,T)= uT(x), x E (—1, 0)

и однородных краевых условий

u(—1,t)= Ux(—1,t)= u(1,t) = 0, t E (0,T).

В работе [8] разрешимость поставленной краевой задачи для уравнения (15) сводится к системе сингулярных интегральных уравнений, которая в классе регулярных решений однозначно и безусловно разрешима. Отметим также работу первого автора [9].

Под обобщенным решением краевой задачи (15) — (17) понимаем функцию u(x, t) такую,

о что u E L2(0,T; W2( —1,1)),ut E L2(Q) и выполнено следующее интегральное тождество

T

• —    J [(u, sgnxv t ) + (u x , V xx )] dt =

  
  

⁰ T                    0                          1

= J (f (x,t)v) dt + / uT(x) v(x,T)dx + J uo(x)v(x, 0)dx o                   -1                         o для любой функции v(x, t) E L2(0, T; W22 (—1, 1)) такой, что vt E L2(Q) и удовлетворяющей условиям

v( — 1, t) = v(1, t) = 0, v x (1, t) = 0

v(x, T) = 0, 0 < x < 1,  v(x, 0) = 0,    — 1 < x < 0.

о

Обозначим через H гильбертово пространство функций v(x,t) G L 2 (0,T; W 1 ( — 1,1) П W 2 ( - 1,1)) таких, что v t G L 2 (Q) и v x (1,t) = 0. В качестве нормы в H возьмем величину

H u H H 2 = ^{( H} u ^H L 2 (0 ,T ; W ₂ ² ( - 1 , 1)) ⁺ H u t H l 2 ( Q ) ^{) 1 / 2}-

Теорема 2. Пусть функция f (x,t) G L2(0,T; W2 '(Qj). Uo(x),ut(x) G L2(^)- Тогда краевая о задача (15) — (17) имеет обобщенное решение u G L2(0,T; W1 ( — 1,1)).

Доказательство. В пространстве H рассмотрим вспомогательную билинейную форму ae(u, v) = J u(x,T)eY(x+1)v(x, T) dx + J u(x, 0)v(x, 0)eY(x+1) dx—

— J e ^{Y ( x +1)} sgn x uv t dxdt + e J u t v t dxdt —                      (20)

QQ

• —    J u _X (x, t)(e ^{Y ( x +1)} v(x, t)) _xx dxdt + eJ u _XX (x,t)v _XX (x,t) dxdt (e >  0)

QQ и задачу о нахождении функции ue G H2 :

a _e (u ^e ,v) = J e ^{Y ( x +1)} f (x,t)v(x,t) dxdt+

0                 Q             1

+ J e ^{Y ( x +1)} u _T (x) v(x,T ) dx + J e ^{Y ( x +1)} u ₀ (x)v(x, 0) dx

-10

для всех v G H 2 . Вещественный параметр y будет выбран позже.

Докажем неравенство

K(ue,ue)|> C1Hu6HH2-

В самом деле, вначале докажем одно вспомогательное неравенство. Выберем y < 0 такое, что e ² | ^Y | <  2. Откуда имеем

I e ^{Y ( x +1)} u ² dx <

u ² dx.

Справедливы неравенства

/

- 1

u ² dx <  4

/

- 1

u X dx <  8 У e ^{Y ( x +1)} u X

- 1

dx

для всех u G W^ — 1,1) таких, что u( —1) = u(1) = 0. Действительно, первое неравенство доказывается интегрированием по частям. Имеем u dx = u x|1-1 —    2uuxxdx, откуда с учетом неравенства uux < (1/4)u2 + uX при |x| < 1, получим

У u ² dx <  2 У | uu _x | | x | dx <  (1/2) У u ² dx + 2 У u X dx.

Используя (24), из неравенства (23) получим что и требовалось.

- 1

e ^{Y ( x +1)} u ² dx <  8

- 1

e ^{Y ( x +1)} u X dx,

Далее, рассмотрим интеграл

I = — У u _X (e ^{Y ( x +1)} u) _XX dxdt, u G H ₂ .

Q

Интегрируя (26) по частям, получим, что

I = — 2 ,^(3u X

-

Y ² u ² )e ^{Y ( x +1)} dQ.

Используя неравенство (25), получим, что

I >— Y ^ u X (3 — 8y ² )e ^{Y ( x +1)} dQ.

Выбирая теперь y < 0 так, чтобы одновременно выполнялись неравенства

(3 - 8y²) >  1, e ^{2 Y} <  2,

что возможно при малых отрицательных γ , получим неравенство

I ≥-

Y Q u X e ^{Y ( x +1)} dQ,

которое в силу (25) также можно переписать в виде

I > —     / (u X + u ² )e ^{Y ( x +1)} dQ, u G H 2 .

16 Q ^x

Далее считаем, что параметр γ зафиксирован и удовлетворяет неравенствам (26). Возьмем в (21) v = u ^e . Интегрируя по частям, получим

J e ^Y ( x ⁺¹⁾ sgnxu ^e u | dxdt = (1/2) J e ^{Y ( x +1)} sgnx (u ^e ) ² | T dx =

Q                                 - 1

= (1/2) J e ^{Y ( x +1)} sgnx ((u ^e ) ² (x,T) — (u ^e ) ² (x, 0)) dx =

- 1

= (1/2) J e ^{Y ( x +1)} ((u^(x,T ) — (U) ² (x, 0)) dx —

• — (1/2) J e ^{Y ( x +1)} ((U) ² (x,T) — (u ^e ) ² (x, 0)) dx,

  - 1

используя (28), имеем

J (ue)2(x,T)eY(x+1) dx + J (ue)2(x, 0)eY(x+1) dx — J eY(x+1) sgn x UU dxdt+ 0                         -1

+e J (u ^e ) ² dxdt — J u X (e ^{Y ( x +1)} u ^e ) _xx dxdt + e J (u ^e ) Xx dxdt >

QQQ

• > J (u ^e ) ² (x,T)e ^{Y ( x +1)} dx + J (u ^e ) ² (x, 0)e ^{Y ( x +1)} dx —

— (1/2) J e ^{Y ( x +1)} ((u ^e ) ² (x, T ) — (u ^e ) ² (x, 0)) dx+ 0 0

+(1/2) J e ^{Y ( x +1)} ((u ^e ) ² (x,T) — (u ^e ) ² (x, 0)) dx+

- 1

+e J (u ^£ ) 2 dxdt — J u X (e ^Y ( ^{x +1)} u ^e ) _xx dxdt — QQ

— (y/16) J ((u ^£ ) X + (u ^e ) ² )e ^Y ( ^{x +1)} dxdt + e J (u ^e ) Xx dxdt =

= (1/2) J (u ^e ) ² (x,T)e ^{Y ( x +1)} dx + (1/2) J (u ^e ) ² (x, 0)e ^{Y ( x +1)} dx+

-1

+e J (u£)2 dxdt — (y/16) J (4+)X + (ue)2)eY(x+1) dxdt + e J (ue)Xx dxdt, QQQ окончательно получим неравенство

J (u ^e ) ² (x,T)e ^{Y ( x +1)} dx + J (u ^e ) ² (x, 0)e ^{Y ( x +1)} dx+

-1

^{+E J ((U) 2 + (u} Xx ^{) 2} ) ^{dxdt + J} Q ^((u X ^{) 2 + (u e ) 2 )}e ^{Y ( x +1) dQ} <

Q

• <    c( l J e ^{Y ( x +1)} f (x,t)v(x,t) dxdt + J e ^{Y ( x +1)} u _T (x) v(x,T)dx+

Q                              - 1

J e ^{Y ( x +1)} u o (x)v(x, 0)dx | ) = c | a(u ^e ,u ^e ) | ,

- 1

где c – некоторая положительная постоянная.

Используя неравенство Коши с малым параметром в правой части, получим

J e ^{Y ( x +1)} f (x,t)v(x,t) dxdt + J e ^{Y ( x +1)} u _T (x) v(x,T)dx + J e ^{Y ( x +1)} u o (x)v(x, 0)dx <

Q                                - 1                              0

• <    E 1 J e ^{Y ( x +1)} (u ^e (x, t)) ² dxdt + C _e 1 J (f (x,t)) ² dxdt+

QQ

+e ₂ J e ^{Y ( x +1)} (u ^e (x, T)) ² dxdt + C _e 2 J (u _T (x,t)) ² dxdt+

- 1                                    - 1

+е з J e ^{Y ( x +1)} (u ^e (x, 0)) ² dxdt + C _e 3 J (u o (x)) ² dxdt.

Тогда из (31) получим

J (u ^e ) ² (x,T)e ^{Y ( x +1)} dx + J (u ^e ) ² (x, 0)e ^{Y ( x +1)} dx+

^{+ e} J ^((u / ^{) 2 + (u} Xx ^{) 2 ) dxdt +} J q ^{(( u} X ^{) 2 + (}u ^{e ) 2 )e Y ( x +1)} d^Q <                   ⁽³³⁾

Q

• <    c ^{1 (} ^ ^{f (x},t) H L 2 (0 ,T ; W -i ( - 1 , 1)) ⁺ >T ^ L 2 ( - 1 , 0) ⁺ h u o h L 2 (0 , 1) ),

где постоянная c i не зависит от е. В частности, из (31) получим

^{| a}(^{u e} ,^{u e} ) | >  MulH,

где постоянная 5 o , вообще говоря, зависит от параметра е. Эта оценка и теорема Вишика-Лакса-Мильграма [6] гарантируют существование функции u ^ε такой, что выполнено (21) для всех v G H 2 . Функция и ^е удовлетворяет априорной оценке (33).

Из оценки (33) вытекает, что найдется подпоследовательность u k = u ^ek такая, что

7^1

U k ,U kx ^ u, u x слабо в L ₂ (Q) соответственно (u G L ₂ (0, T ; W 2 (^)), U k (x, 0) ^ u o G L ₂ ( - 1,1), U k (x, T ) ^ u t G L 2 ( - 1,1) слабо в L ₂ ( — 1,1). Кроме того,

T е/ (“kxx ,vxx) dt o

< V^h ^u kxx ^ L 2 ( Q ) * V^l v xx IIl2( Q ) ^ ⁰

при е ^ 0,

T

^E j ^(u t ,v t ) dt < V ^{E | u} kt ^| L 2 ( Q ) •V ^{E |} v t ^| L 2 ( Q ) o

^ 0

при е ^ 0.

Используя эти сходимости, переходим к пределу в (21) и получаем, что (21) выполнено для предельной функции u и всех v G H2. Далее получим oi

/ e ^{Y ( x +1)} (u t - u(x,T ))v(x,T) dx + / e ^{Y ( x +1)} u(x,T)v(x,T) dx -

- 1                                            0

oi

— J e ^{Y ( x +1)} u(x, 0)v(x, 0) dx + J e ^{Y ( x +1)} (u ₀ — u(x, 0)) dx = 0.

- 1                                 0

Отсюда следует, что u(x, T) = uT(x) G L2(—1, 0), x < 0;

u(x, T ) = 0, x > 0;

u ( x, 0) = u 0 ( x ) G L 2 (0 , 1) , x >  0;

u ( x, 0) = 0 , x <  0 .

Предельное значение u(x,t) является обобщенным решением краевой задачи (15) — (17) в смысле интегрального равенства (18). Теорема 2 доказана.

Замечание 2. Гладкость решений задачи (15)–(17) вплоть до границы также не имеет места, даже если все входные данные задачи бесконечно дифференцируемы. Определение условий разрешимости задачи (15)–(17) может быть осуществлено через фундаментальные и элементарные решения Л. Каттабрига [10].

Работа проводилась при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012–2014 гг. (проект №4402, 5562) и ФЦП ≪ Научные и научно-педагогические кадры инновационной России ≫ на 2009–2013 гг. (ГК 02.740.11.0609) и соглашения №14.132.21.1350.