Краевые задачи интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа

В работе [2] доказано, что задача Коши для всех интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры [1] преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом, решение которого существует и притом единственное при выполнении условий ограниченности функций, входящих в уравнение. В данной работе исследуем вопрос о возможности аналогичных преобразований линейной краевой задачи для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа.

Постановка задачи и ее решение

Выпишем общий вид уравнений запаздывающего типа

_y ( n )

l   n - 1

x

x

^{( x} ) + ZZ ^j ^{( x} ) У ⁽ i ^{) (} u j ^{( x})) + ^A J K ij (^x,n)y ⁽ i ^{) (} u j (n))dn + ^ J K n o ⁽ x , n)y ⁽ n ^{) (} n ) dn = ^f(^x ),

j = 0 i = 0

aa

где u ₀( x) = x , u j ( x ) <  x V j = 1, l и u j ( x ) ^ x , функции f j ( x ), U j ( x ) и f ( x ) - непрерывны, ядра K ij ( x , n ) — регулярны в квадрате a <  x , n ^ b , с начальными функциями

У(i)(uj(x)) = У(i)(xо)Ф(i)(uj(x)Х i = 0, n - 1, x е Ex0,

l где Ex = ^Ex , Ej - множество точек, для которых соответствующие uj- (x) < x при x > x0

0 j=0

Vj = 1, l, а Ex0 = [a, x0 ] и с линейными билокальными краевыми условиями n-1

Z [ат У(i)(x0) + eiT У(‘)(x1)] = Yt , Т=0, n-1, a < x0 < x1 < b .

i = 0

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, будем искать ее решение на отрезке x G [ x 0 , b ] , применив для преобразований одну из модификаций функции гибкой структуры

y ( i ) ( u ( x )) = D ^-1 [E y ^{( 5 - 1)}( x ₀) d ^{A 5} ( u j, ⁽ x ) x ⁰) + J ^{5Л n (} u j ⁽ x ) t ) M⁽t ) dt ^{] +} YU j ^{( x} ) M ^{( u} j ^{( x} )X    ⁽⁴⁾

j         t!              dx         tox x0

где i = 0, n, D : D(r1, r2, ^, rn) - определитель Вандермонда, составленный из неопределенных па раметров r1,r2,^,rn, которые определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определители Л5 (x -t), 5 = 1, n получаются из определителя D заменой s-ой строки строкой exp r1( x -t ),exp r2( x -t ),...,exp rn (x -t), ц( x) - новая неизвестная функция и Yn = 1, Yi = 0 Vi = 0, n-1.

Обозначим через C j наименьшие из корней U j ( x ) = x ₀ на отрезке x G [ x 0 , b ] , если же таковых нет, то полагаем соответствующие C j = b. Далее разобьем интегралы в уравнении (1) на суммы от известных и неизвестных частей в выражениях от запаздываний, в соответствии с (2), считая при этом y ⁽ⁿ⁾ ( u j ( x )) : y ^{(n - 1)} ( x ₀ ) ^ ⁽ⁿ⁾ ( u j ( x )).

Используя начальные функции (2), краевые условия (3) и функцию гибкой структуры и ее производные (4) определим y ^{( i )} (x₀) через новую неизвестную функцию µ ( x ) , при этом могут возникнуть три возможных ситуации: 1 . x ₀ <  x 1 <  C j V j = 0, l ; 2 . x ₀ <  C j <  x 1 V j = 0, l ; 3 . x 1 таково, что

3 j = 0, l , что для некоторых выполняется x ₀ <  x 1 <  C j и для других x ₀ <  C j <  x 1 .

Первый случай наиболее простой он напрямую сводится к решению задачи Коши. Во втором и третьем случаях, применив функцию гибкой структуры и ее производные (4), выразим значения y(i)(x1) i= 0, n -1 через новую неизвестную функцию p(x) и начальные значения искомой функции и ее производных y(i)(x0) i = 0, n -1

n y'i'(x,) = D-1 [^y *5-"( x 0 )Л*;'( x,

5 = 1

—

x0) + f^—n^xi—t)M*t)dt], i=0, n -1. x     dx x0

Подставив полученные выражения y ^{( i )}(x₁) в краевые условия (3), n - 1                                                        ^x 1 d i Л ( x - 1 )

Z {aTy()(x0) + eiTD Ёy( )(x0)Л5)(x1 -x0) +f--------M(t)dt]} : Yt,t : 0,n - 1, td перегруппировав слагаемые, придем к системе алгебраических уравнений относительно y(i) (x0)

n - 1                                               .n - 1    ^x 1 biXtY.-th

E[a,. + A,D-'Л(+1(x1 -x„)1V>(x,) :: Y, -D- E A, f    ’E'   'M(t)dt, T : 0,n - 1.

i = 0                                                                i = 0 X       dx x0

Обозначив главный определитель системы (5) через ω to = det[«T + e„^i(x1)], i,T : 0,n -1, а алгебраические дополнения к элементам главного определителя через ωiτ по формулам Крамера найдем n-1 СП              n-1      x1

y ⁽" (x 0 )= E ^ i¹-     D ¹ E в к , J

T = 0 ^to           к = 0      x

x ₀

⁵ k ^Л d x  t ) M ( t ) dt ] ,i= 0, n - 1 .

Г.А. Шишкин. Краевые задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа

где i - 0, n , j - 0, l , q_n - 1, q i - 0 V i - 0, n — 1 , x e [ c j , b ].                  (8)

Разбиваем интегралы в уравнении (1) на сумму в соответствии с определившимися начальными множествами Exj и подставляем функцию гибкой структуры и ее производные (8), полученные для краевой задачи, в уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла. Затем, проведя преобразования выражений под знаками интегралов, содержащих неизвестную функциюµ(x), заменив переменную η на t и сменив порядок интегрирования в двойных интегралах, получим разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра–Фредгольма с обыкновенным аргументом x1                                    uj (x)

^ ( x ) + j G j ( x , t ) ^ ( t ) dt + X j H j ( x , t ) ^ ( t ) dt - F ( x ),                     (9)

x ₀                                x ₀

где для ядер G_j ( x , t ) , H_j ( x , t ) и свободной функции F( x ) получены формулы.

Пример. Найдем решение следующей краевой задачи: x y,(x) + xy(f) — j y(n) dn - 1, У(x) - 2, y(f) - 4, x0 - 0, 3y(0) + y(1) - 1.

Решение. В данной краевой задаче и ₀( x ) - x , “ 1 (x ) - x , c ₀ - 0, c 1 - 0, E x_o - [ 0 ] . Так как начальное множество состоит из одной точки, совпадающей со значением нижнего предела интегрирования, то начальные функции на значения интеграла влиять не будут. Выпишем функцию гибкой структуры по формулам (3) и ее значение для y ( x ₁) , учитывая условия краевой задачи x 1

y ( x ) - y (0) e rx + j e r ^{( x —} t ’ p ( t ) dt , y (1) - y (0) e r + j e r ^{(1 —} t ’ _M (t ) dt , 00

• и, подставив полученное выражение для y ( x ₁) в краевые условия задачи, найдем

  y (0) -

  
  
  
  

  _-

  
  
  
  

  3 + e r   3 + e r

  
  

  j e ^{(1 —} t ⁾ p ( t ) dt .

  
  

Затем, подставив полученное выражение для y (0) в функцию гибкой структуры, найдем ее выражение в соответствии с условиями краевой задачи:

y ( x ) -

rx          rx ee

-

3 + e  3 + e

x

j e r ⁽¹ t ⁾ ^ ( t ) dt + j e r ^{( x} t ⁾ p ( t ) dt и

y (f) -

rx e2

—

rx e2

3 + e r 3 + e r

x

^{1                     2} r ( x — t )

j e r ^{(1 }} ^(t ) dt + j e ² ц(t ) dt .

С целью сокращения объема выкладок положим туры упростятся:

r - 0, тогда выражения функции гибкой струк-

x

1    1 1               x                           1    1 1              2

y ⁽ x ^{) -}-^— -j M⁽t ^{) dt +} j M⁽t ^{) dt} и y ⁽| ) ^--^— -j M^(t ) ^{dt +} j M⁽t ) ^dt .

3 30          0               2    3 30          0

Подставив эти выражения функции гибкой структуры в уравнение краевой задачи после необхо- димых преобразований получим разрешающее интегральное уравнение:

x

2 x

^( x)+j ^(t) dt—j (x—t) ^( t) dt -1, решение которого будет µ(x) = 1. Подставив это значение µ(x) в функцию гибкой структуры для краевой задачи найдем ее решение y = x. Нетрудно проверить, что все условия краевой задачи выполняются.

Заключение

В журнальной литературе имеются работы, которые затрагивают многие вопросы решения ин-тегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом, но мало работ, которые бы поднимали и решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В данной статье исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для краевой задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа. Для всех уравнений запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры этот вопрос решен положительно. Для уравнений нейтрального и опережающего типов скорее всего такое преобразование возможно только для некоторых видов уравнений. Полученные аналитические выражения модели начальной задачи дают возможность оптимизировать нахождение ее точного или приближенного решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Этому и будут посвящены дальнейшие исследования и разработки программ.