Краевые задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным аргументом опережающего типа

В работе [2] задача Коши для всех интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры [1] преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом и указаны типы уравнений нейтрального и опережающего типов для которых такие преобразования возможны.

Так как функция гибкой структуры содержит начальные условия, то ее применение к решению краевых задач напрямую невозможно. Поэтому в работе [3] получена другая модификация функции гибкой структуры для решения краевых задач и в работе [4] эта новая форма применена для решения краевых задач уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа.

В данной работе исследуем вопрос о возможности аналогичных преобразований линейной краевой задачи для одного вида интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом опережающего типа.

Постановка задачи и ее решение

Выпишем общий вид одного класса уравнений опережающего типа с запаздываниями ln-1xln-1 y(n)(ul(x))+∑∑fij(x)y(i)(uj(x))+λ∫∑∑Kij(x,η)y(i)(uj(η))dη= f(x),        (1)

j = 0 i = 0                            _a j = 0 i = 0

где u ₀ ( x ) ≡ x , u_j ( x ) ≤ x ∀ j = 1, l и u_j ( x ) ≡/ x , функции f_{i j} ( x ), u_j ( x )и f ( x )непрерывны, ядра

K_{i j} ( x , η ) – регулярны в квадрате a ≤ x , η ≤ b . С начальными функц иями

y ^{( i )} ( u_j ( x )) = y ^{( i )} ( x ₀) ϕ ^{( i )} ( u_j ( x )), i = 0, n - 1, x ∈ E_{x 0},                (2)

l где Ex = |^J Ex , EJx — множество точек, для которых соответствующие uj (x) < x при x > x0 j=0

Vj = 1, l, а Ex. = [a, x0 ] и с линейными билокальными краевыми условиями n -1                                                           ___________

2 [ « г У ⁽‘) ( x 0 ) + в т У ⁽‘) ( x i )] = У т , ^т = 0, n - 1 a <  x 0 <  x <  b .            (3)

i = 0

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, будем искать ее решение на отрезке x е [ x ₀, b ] применив для преобразований новую модификацию функции гибкой структуры [3]

n

У ®(Uj( x)) = D  V s =1

5 ^{1 A} s ( u j ( x ) ^— x 0 )

5 xⁱ

n — 1

2 [ Y t

7 = 0 ^to

—

D ^-1 2 Р к т J ' ^{k A} n ⁽ x t ) Ж • ) dt ] + k = 0      x ₀       ^d x 1

u j ( x )

+ J x0

5¹A n ⁽ u j ⁽ x ) ^— t )

5 x i

-ц( t ) dt } + Y i U j n ( x ) X u j ( x )),         (4)

где i = 0,n j = 0,l Yn = 1, Yi = 0 Vi = 0,n — 1, D = D(rvr2,...,rn) - определитель Вандер- монда, составленный из неопределенных параметров r1,r2,...,rn, которые определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определители As (x — t), s = 1, n получаются из определителя D заменой s-й строки строкой expr1(x — t),expr2(x — t),...,exprn (x — t), ц(x) - новая неизвестная функция и to главный определитель системы полученной при отыскании начальных значений с использованием краевых условий

to = det [ a _{i T} + e _{i T} D ⁴ A ( + 1 ( x 1 — x ₀) ] , i , т = 0, n — 1 ,

а to _{i T} - алгебраические дополнения к элементам главного определителя.

Обозначим через c j наименьшие из корней уравнений u j ( x ) = x ₀ на отрезке x е [ x 0 , b ] , если же таковых нет, то полагаем соответствующие c j = b . Далее разобьем интегралы в уравнении (1) на суммы от известных и неизвестных частей в выражениях от запаздываний, в соответствии с (2), считая при этом y ⁽ⁿ⁾ ( u j ( x )) = y ^{(n —} 1) ( x ₀ ) ^ ⁽ⁿ⁾ ( u j ( x )).

При построении разрешающего уравнения поставленной краевой задачи с помощью новой модификации функции гибкой структуры и ее производных (4) как и для уравнений запаздывающего типа могут возникнуть три возможных ситуации:

1. x0 < x1 < cj Vj = 0, l; 2. x0 < cj < x1 Vj = 0, l; 3. x1 таково, что 3j = 0,l, что длянеко- торых выполняется x0 < x1 < Cj и для других x0 < Cj < x1.

Первый случай наиболее простой он напрямую сводится к решению задачи Коши. Во втором и третьем случаях разбиваем интегралы в уравнении (1) на сумму в соответствии с определившимися начальными множествами Ex и подставим функцию гибкой структуры и ее производные (4), полученные для краевой задачи, в уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла. Затем, проведя преобразования выражений под знаками интегралов содержащих неизвестную функцию ц(x), заменив переменную п на t и сменив порядок интегрирования в двойных интегралах, получим разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра - Фредгольма с запаздывающим аргументом ujn (x) ^( ut (x)) + ^Т j=0

x ,                                      ^u j ^{( x} )

J Gj (x, t)^(t)dt + к J Hj (x, t)^(t)dt x0                               x0

= F ( x ),

где для ядер Gj (x, t), Hj (x, t) и свободной функции F(x) получены определенные формулы. Уравнение (6) легко преобразуется к уравнению с обыкновенным аргументом, если ввести но- вую переменную z = ut (x). Тогда x = u-^z), где u-^z) - обратная функция для функции ul (x) .

Далее, поделив разрешающее уравнение (6) на u l ' ” (x) * 0 , введем новые обозначения для известных функций и ядер

Т , ( z , t ) = u f ” ) ( u r¹(z))G j ( uX (z),t), Q j (z,t) = u ; ⁽ " ” ) (z) H , (uX(z),t),

R ( z ) = u ‘ ⁽— ” ) (z) F ( u ^z))

и положив v j ( z ) = u j ( u l ¹ ( z )), получим интегральное уравнение с обыкновенным аргументом

ц( z) +L j=0

■ x ,                                          v j ⁽ z )

j T j ( z , t ) ц ( t ) dt + X j Q j ( z , t) ц ( t ) dt ] = R (z).

x 0                                ^x 0

Пример. Найти решение краевой задачи для уравнения второго порядка опережающего типа

x

⁴ у" Д ⁺ y ⁽ x ) ⁺ f y'⁽п ) ^d n = ^{x - 1}

/ J

у (0) - у (1) = - 2, у (0) - 2 у (1) = 0.

Решение: Начальное множество состоит из одной точки E = [ 0 ] .

Для уменьшения объема выкладок воспользуемся возможным вариантом для значений параметров r, = r2 = r = 0. Выпишем новую модификацию функции гибкой структуры (4) для этих значений параметров при i = 0, j = 0 и, предварительно вычислив выражения для <у и toiT, по формулам (5) найдем у (x) = — 1 - x j (1 -t) ц( t) dt + j( x -t) ц (t) dt,

2 j0

тогда у'(x) = — J (1 -t) ц( t) dt + j ц( t) dt,

2   t

x

„    „       „ 12 _ xxxx

у (-) = .^{1 -} 7 I ^{(1 -} t ) ц ⁽ t ) ^{dt +} I ⁽7 ^- t ) ц ⁽ t ) ^dt ,

2   4     2

x у (x) = 7 - X j(1 -1)ц(t)dt + jX ц(t)dt, у (x) = 7 ц(x).

*"t      0                     0 “                 ““

Полученную функцию у(x) и ее производные у'(x) и у''(—) подставим в исходное урав- нение

ц (—) + — - 1 - x j (1 - 1 ) ц ( t ) dt +

2    2          -0

x 1      1                          n

+ j —j (1 - 1 ) ц ( t ) dt + j ( n - 1 ) ц ( t ) dt d n = x - 1, n ²   Л                     Л

x

n

1                                    1                                  x

Ц (2)

- x j (1 - 1 ) ц ( t ) dt + x j (1 - 1 ) ц ( t ) dt + j (1 - 1 ) ц ( t ) dt 0                           0                        0

= 0.

Откуда, в силу единственности решения, ц (х) = 0.

Подставив это значение µ (x) ≡ 0 в выражение функции гибкой структуры данной краевой задачи, найдем решение первоначально поставленной задачи.

Ответ: y ( x ) = ^x - 1. Нетрудно проверить, что условия краевой задачи выполняются.

Заключение

В журнальной литературе имеются работы, которые затрагивают многие вопросы решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом, но мало работ, которые бы поднимали и решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В данной статье исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для краевой задачи одного вида интегродифференциальных уравнений Вольтерра опережающего типа. Для всех уравнений запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры этот вопрос решен положительно [4]. Для уравнений нейтрального и опережающего типов такое преобразование возможно только для некоторых классов уравнений. Полученные аналитические выражения модели начальной задачи дают возможность оптимизировать нахождение ее точного или приближенного решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Этому и будут посвящены дальнейшие исследования и разработки программ.