Краевые задачи экономической динамики с приближенным выполнением краевых условий. Конструктивное исследование

Краевые задачи экономической динамики тесно связаны с реальными задачами экономики, в которых требуется дать ответ на вопрос о возможности достижения заданных значений некоторых целевых показателей развития экономической системы. При этом нередко число целевых условий, сформулированных на основе плановых или желаемых показателей, оказывается больше, чем это допускается математической теорией, требующей строгого согласования числа условий с размерностью соответствующей динамической модели. Обычно такая модель имеет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений, или, в более общем случае, системы функциональнодифференциальных уравнений, позволяющей учитывать при моделировании реальных процессов эффекты запаздывания и наличие внешних импульсных (шоковых) воздействий на систему [9, 10, 12 13, 15]. Краевая задача, т.е. система уравнений динамики и краевых условий, с числом краевых условий, превышающим размерность пространства состояний системы без ограничений, называется переопределенной и требует для ее исследования специальных подходов. Один из таких подходов основан на расширении пространства состояний, позволяющем согласовать число краевых условий с размерностью расширенного пространства. Этот подход применительно к задачам экономической динамики подробно описан в работе [12]. Другой подход (см. [13]) использует идею ослабления ограничений, при котором происходит последовательное расширение множества допустимых состояний. В настоящей работе проблема переопределенности решается путем перехода к постановке краевой задачи, при которой допускается приближенное выполенение всех или некоторых краевых условий, заданных в виде равенств. При этом допустимый уровень погрешности может задаваться индивидуально для каждого краевого условия. Содержательный смысл приближенного выполнения краевых (целевых) условий представляется весьма естественным для реальных задач экономической динамики. Основной математический результат работы в этой части (теорема 1) опубликован без доказательства в кратком сообщении [14].

Исследованию краевых задач для систем дифференциальных уравнений и их обобщений посвящена обширная литература (см., например, [1, 2, 3, 19] и приводимую там библиографию). В этой работе речь идет о направлении исследований, связанном с теоретическим обоснованием и практической реализацией компьютерного (computer-assisted) исследования линейных краевых задач. Целью такого исследования является установление факта разрешимости краевой задачи и построение     гарантированных     оценок погрешности приближенных решений. Основу излагаемого здесь подхода составляют приемы приближенного описания множества решений линейного функционально-дифференциального уравнения с гарантированной оценкой погрешности в сочетании со специальными теоремами, условия которых могут быть проверены в результате доказательного вычислительного эксперимента, использующего современные компьютерные технологии и системы (Maple, Mathematica и др.). В случаях, когда известные достаточные признаки разрешимости краевой задачи оказываются неприменимыми, обсуждаемый подход может оказаться единственно возможным для получения результата [20]. Различные варианты этого подхода применительно к обыкновенным дифференциальным, интегральным уравнениям и уравнениям с частными производными занимают заметное место в современной литературе, начиная с основополагающей монографии Каучера и Миранкера [21]. Из числа недавних отметим работы [22–24].

1. Предварительные сведения

Мы ограничиваемся здесь краевыми задачами

L x = f, lx = в            (1)

с линейным ограниченным оператором L: ACn [0;T ] 4 Ln [0;T ]       и      линейным ограниченным          вектор-функционалом

l: ACn[0;T] 4 Rm .       Здесь       ACn [0;T] — пространство абсолютно непрерывных функций x : [0;T] 4 Rn ,       Ln [0,T] —      пространство суммируемых    по    Лебегу    функций z :[0,T] 4 Rn,

IIxL = Iх(0)1+1К, IzlL = f| z(t)ldt, где |«| = max |ai|    для   a = col (a1,...,an) e R".

i =1,..., n

Систематическое изложение теории краевых задач (1) дается в монографиях [1, 2, 8]. Ниже всюду предполагается, что главная часть оператора l ,  — оператор q = l v , где

( Vz ) ( t ) = f z ( s ) ds , имеет представление 0

(Qz)(t) = Z(t)-IK(t,s)z(s)ds, te[0,T]. (2) Здесь элементы к..(t, s) ядра к (t, s) измеримы на множестве {(t,s):0„ s„ t„ T} и таковы, что на этом множестве

|kj(t,s)|„ к(t), i,J = 1,”*,n, где функция к суммируема на [0,t]. В этом случае     функционально-дифференциальная система lx = f охватывает дифференциальные уравнения с    сосредоточенным и/или распределенным запаздыванием и интегро-дифференциальные    системы    Вольтерра.

Пространство всех решений однородной системы L x = 0 имеет размерность n . Пусть { x ,..., x_n } - базис в этом пространстве. Матрица X = ( x ₁,..., x_n ) называется фундаментальной матрицей (для определенности будем считать, что x (0) = E ,— единичная n х n -матрица). Задача Коши

Lx = f, x(0) = а однозначно разрешима при любых f e Ln [0,T] и a e Rn и ее решение представимо в виде x (t ) = X (t )а +(C (t, s) f (s) ds,         (3)

J 0    '

где c ( t , s ) — матрица Коши.

Вектор-функционал l в задаче (1) имеет представление T lx = Tx (0) + Ф( s) x (s) ds,            (4)

где элементы m х n -матрицы ф измеримы и ограничены в существенном на [0,т], T -постоянная m х n -матрица. Мы будем считать, что компоненты l, i = 1,..., m , вектор-функционала l = col (lx,..., lm) образуют линейно независимую систему. Вектор-функционалы вида (4) исчерпывают класс линейных ограниченных          вектор-функционалов, определенных на   ACn [0,т] . Краевые условия lx = в охватывают многочисленные классы конкретных краевых условий, встречающихся в приложениях, в том числе двух- и многоточечные, интегральные, нагруженные интегральные и др.

В случае m = n необходимое и достаточное       условие       однозначной разрешимости задачи (1)  — обратимость матрицы     lX = (x,...,lxn) . Теория и реализуемая       схема       доказательного вычислительного эксперимента, ориентированного на исследование задачи (1), изложена в [1, 2, 8, 16], там же приведены конкретные примеры эффективного исследования конкретных краевых задач. В основе реализованного подхода лежит известная теорема об обратном операторе [17, с.141], из которой следует, что если удастся найти такую обратимую n х n -матрицу г, для которой

II lX -П <р|. ⁽⁵⁾ то матрица lX тоже обратима и, следовательно, задача (1) однозначно разрешима. При этом однозначно разрешимыми оказываются все краевые задачи с i и х , попадающими в указанную выше окрестность матрицы Γ . Этот факт играет принципиальное значение для установления факта однозначной разрешимости краевых задач с неточно заданными параметрами.

Оказалось, что матрицу г целесообразно искать в виде г = lxa, где Т: ACn [0,T] ^ Rn - вектор-функционал, близкий к i, а матрица ха со столбцами из ACn[0,T] и свойством Xa(0) = E дает для оператора L : ACn [0,T] 4 Ln [0,T], близкого к l , def _ достаточно малую «невязку» А = LXa и, таким образом, служит приближением для фундаментальной матрицы X . Степень близости Т и i, l и l и степень малости а , гарантирующие однозначную разрешимость задачи (1), определяется специальными теоремами [1, с. 211-256], [2, с. 226-249]. При этом фактическое построение матрицы iXa и достоверная проверка неравенства (5) стали возможными с развитием современных компьютерных технологий. Эти технологии предъявляют определенные требования к операторам l и Г — они должны принадлежать специальным классам «вычислимых» операторов [1, с. 217].

которое не может быть установлено в результате вычислительного эксперимента, оперирующего с приближенными данными и/или использующего вычисления с конечной точностью. Кроме того, в прикладных задачах, где краевая задача (1) возникает как модель реальных изучаемых процессов, упомянутое тонкое свойство либо указывает на неадекватность модели, либо приводит к необходимости изменить постановку задачи. Подход к преодолению проблемы переопределенности, связанный с расширением основного пространства и обобщением понятия решения, был предложен в [5], его систематическое изложение можно найти в [1, 2, 8]. Конструктивная реализация этого подхода подробно описана в [12]. Здесь мы используем другой подход.

С учетом того, что в любом случае на практике доступно для построения лишь приближенное решение (т.е. функция, дающая достаточно малую невязку при подстановке в уравнение и краевые условия), естественной представляется следующая постановка переопределенной краевой задачи (1).

Зафиксируем £ = col {^,..., £т}, £ ^0, i = 1,...,m . Будем называть £ -приближенным решением краевой задачи (1) такое решение x уравнения lx = f , что

Iiix-в\„ £, i = 1,—,m, т.е. краевые условия ix = в выполняются приближенно с точностью, определяемой заданным вектором £.

Наша цель — сформулировать условия £ -приближенной разрешимости в форме, позволяющей производить их проверку с помощью вычислительного эксперимента в ситуации, когда параметры краевых условий (матрицы т и ф ) могут быть заданы неточно, с известными оценками погрешностей. Для формулировки таких условий введем следующие обозначения.

Каждой матрице B , элементы которой могут принимать значения из заданных отрезков, поставим в соответствие пару матриц в и B, элементами которых являются соответственно левые и правые концы упомянутых отрезков. Через в обозначим множество матриц, элементами которых являются всевозможные сочетания левых и правых концов соответствующих отрезков. Значки ., - и ~ при необходимости будем использовать применительно к элементам матрицы в . Так, например, b g [b,bij ], bij = {bij,bij}. Через K(t) обозначим n х n - матрицу {к(t)}i .=1  n, R(t) = K(t)exp|j'K(r)dr}.

Пусть,    далее,     xa (t) -    приближенная фундаментальная матрица, xa (0) = e ; △(t) - ее невязка:                 (LXa) (t) = △(t), t e [0,T];

Л ( t ) = [ △ ( t ) J + R ( t ) j [ △ ( t ) J d T . Здесь и ниже для 0

матрицы B = {b}  через  [ B J  обозначена матрица {|b|}. Обозначим y(t) = Xa(t)-Л(t),

Y ( t ) = X^a ( t ) + Л ( t ), Y ( t ) = { y j t ) } , yij X t ) „ У д ( t ) „ y ij ( t ) , t e [0, T ] ;

0 = j o ( s)Y ( s ) ds , g ( t ) = j c ( t , s ) f ( s ) ds , 0                                   0

b=в - ig.

Определим матрицу a равенством

A = T + 0 .

и,    таким

образом,     е -приближенная

разрешимость краевой задачи — это

разрешимость системы неравенств

n

X ^a A^- b i j =1

„ e i , i = 1,..., m ,

где A = { a ij } = IX , b = P i ^{- (} lg ).

Критерий разрешимости (7) дает теорема С.Н. Черникова [18, с. 66-70]: необходимым и достаточным условием совместности системы (7) ранга r >0 ( r - ранг матрицы, составленной из коэффициентов при ее неизвестных) является существование в ее

матрице такого отличного от нуля минора r -го порядка

aa i1 j1               i1 jr

△ r =

a irj1

Теорема 1. Пусть rang A = r для всех

A = { a^ } , a^■ „ a_tj „ a ij . Пусть, далее, найдутся последовательности индексов { i ,..., i_r } и { j ,..., j_r } и такая последовательность нулей и единиц V' .., v } ; V e {0,1}, k = 1,..., r, что

и такого решения ( u ‘,..., u ‘ ) системы

I    ~ b k l = ^е , ^k = ¹ — ^r ,

что для всех i = 1,..., _m удовлетворяется

соотношение

a

|max

a i1 j1

a i1 jr

\ + (   ) ■ е

1 i

a

r i1 j1

u'

„ ei- aij rr

a

^u ’

r

a

a ir jr

b + ( - 1) ^V r ^

ajh

aijr

bi

„

aijx aij jr

b i

Тогда краевая задача (1) е -прибли- женно разрешима.

Доказательство.       Представление решения (3) сводит задачу об е -приближенной разрешимости к задаче о разрешимости системы линейных     алгебраических     неравенств.

Действительно, применяя вектор-функционал i к обеим частям представления (3), получаем lx = IX a + lg ,

Непосредственная проверка условий этой теоремы не представляется возможной. В нашем случае мы имеем приближенную информацию о параметрах задачи. При этом дело не только в неточном задании компонент вектор-функционала, но и в отсутствии точной фундаментальной матрицы x ( _t ) . Приводимые ниже соображения позволяют утверждать, что при выполнении условий (6) гарантируется выполнение условий теоремы С.Н.Черникова для любых возможных значений компонент _a.. и b i .

Построим сначала двухстороннюю оценку приближения производной    X^a ( t )

фундаментальной матрицы по ее невязке △ ( t ) . Из        ( L X^a ) ( t ) = △ ( t )        следует,       что

X ( t ) - X^a ( t ) = j c ( t , s ) △ ( s ) ds . Учитывая свойства 0

матрицы Коши C ( t , s ) [7, 11], имеем

X ( t ) - X^й ( t ) = A ( t ) +_J C ‘ ( t , s ) A ( s ) ds .

Таким образом,

I X ( t ) - X^й(t )| „ I A ( t )| + J | C ( t , s )|I A ( s )| ds.

Как показано в [7, 11, 1, c. 242], матрица Коши C ( t , s ) связана с резольвентным ядром r (_t, s ) ядра к ( t , _s ) соотношениями

R(t , s ) = C ‘ ( t , s ),  0 „ s „ t „ T .              ⁽⁸⁾

Приведем иллюстрирующий пример.

Рассмотрим краевую задачу

x ^(f) ⁺ t J/ s ^{- 2)2 x} ( s ) ^ds = ^y y ⁽ t )^- ^ z ⁽ t );

^{y (} t ) = ^{- 1} x ⁽ t ) ^- J^ y ⁽ s ) ^ds +^ z ( t );

z ( t ) + — [ z ( s ) ds = —— x ( t ) + — y ( t ) - — z ( t );

10 Jo          10      100      20

t e [0,2].

C ( t , s ) = E + J R ( t , s ) d r ,  0 „ s „ t „ T .

Спектральный радиус интегрального оператора Вольтерра с ядром к ( t, s ) равен нулю [6, c. 153], поэтому

R ( t , s ) = K ( t , s ) + K ₂ ( t , s ) + • • • + K ( t , s ) + • • •, ^где K ( t , s ) = к ( t , s ),

K q ( t , s ) = J K ( t , £ ) K q - 1 ( ^ , s ) d^ , q = 2,3,....

Покажем, что из неравенства

| ^Kq ⁽ t ’ ^s )| „ ^{K (} t )

f t-        T q ^-1

J K ( r ) dT

( q - 1)!

следует неравенство

|^K q + 1 ⁽*’ s )| „ ^{K (} t )

tq

J k ( t ) dT q ^!

.

Действительно,

|^Kq + 1 ⁽ t ’ s )| „ ^{K (} t ) J^ ^ )

Ц ^ К ^ ^ )^

( q — 1)!

-I q ^-1

■ d^ =

= K ( t )

q !

q

.

( q — 1)!

Отсюда

|R(t, s)| „ K(t)exp {JK(r)dr}, и для x(t), учитывая введенные обозначения,

получаем

Y ( t ) = X^й ( t ) -Л ( t ) „ X ( t ) „ X^й ( t ) + Л ( t ) = Y ( t ).

Теперь, по построению, a.. „ af. „ ay, bi „ bz „ bi i = 1,...,m; j = 1,...,n и все ^ и b допускают эффективное вычисление.

Для    завершения    доказательства остается заметить, что из определения интервальных операций [4, c. 16] следует, что условия теоремы С.Н.Черникова выполнены для всех возможных значений параметров системы неравенств.

J x ⁽ s ) ds + y ⁽¹⁾ + z ⁽²⁾ = 1;

x ^{(1) +} Jo У ⁽ s ) ds ⁺ z ⁽⁰⁾ = ² ;

x (0) + y (2) + Jq sz ( s ) ds = 3;

J x ⁽ s ) ^ds + J y ⁽ S ) ^ds +

Г 2

Первые три уравнения определяют динамику развития трех отраслей с состояниями x(t), y(t), z(t)      соответственно.     Отрасли оказывают взаимное влияние друг на друга, сила     этого     влияния     определяется соответствующими    коэффициентами,    и обладают полной памятью об изменении своих состояний. Интегральные и точечные характеристики функционирования системы определены левыми частями четырех краевых условий. Требуется дать ответ на вопрос, достижимы ли значения этих показателей, заданные в правых частях, при заданном допустимом уровне погрешности.

В этом примере 8 -приближенная разрешимость установлена с помощью вычислительного эксперимента, реализованного в системе Maple, для

и 9    9    9    9 А

8 = COl (,,,) .

250 250 250 250

Матрица           К(t) = {к(t)}, i,j = 1,...,3, используемая в процессе вычислительного эксперимента, имеет элементы t e [0,—];

t e [—,2].

k ⁽ t ) = -

5’

2 1 ,

Для представления о порядке коэффициентов a приведем их приближенные значения:

a ₁₁

a_xД Г 1.659910494

a ₄₃

0.6987867571

0.5638229580

1.526003338

0.8539527760

1.427084461

0.005162564559

1.447018074

0.2829884432

0.8931947935

1.840289503

1.380024455