Краевые задачи Римана и Гильберта в классе BMO для аналитических функций

1.    Введение. Основные определения

Краевая задача Гильберта (Римана — Гильберта) для обобщенных аналитических функций класса BMO (определения рассматриваемых классов см. ниже) рассматривалась в работе автора [1] в предположении, что коэффициент краевого условия г¨eльдеров (умножение функции класса BMO на окружности на г¨eльдерову функцию не выводит из класса BM O ; этим и определялось требование на коэффициент; задача для голоморфных функций при гельдеровости коэффициента рассматривалась в [2]). Разумеется, постановка задачи наиболее естественна при предположении, что коэффициент краевого условия принадлежит пространству мультипликаторов функций из класса BMO. Именно в такой постановке задачи Римана и Гильберта для голоморфных функций рассматриваются в настоящей работе.

Строятся примеры, когда задачи с неотрицательным индексом в такой постановке (даже с непрерывными коэффициентами из LMO) неразрешимы в BMOA.

Хорошо известны примеры неразрешимости задач Римана и Гильберта с непрерывными коэффициентами и правыми частями в непрерывных в замкнутой области голоморфных функциях [3] (а умножение непрерывных функций на непрерывные из класса непрерывных функций не выводит). Причина этого явления состоит в неограниченности сингулярного оператора в непрерывных функциях. В то же время сингулярный оператор в пространстве BMO ограничен!

В нашем случае неразрешимость возникает по другой причине по сравнению с непрерывным случаем, а именно, из-за того, что экспоненты функций классов BMO и LMO, вообще говоря, не принадлежат BMO.

Приводятся достаточные условия на коэффициенты, при которых картина разрешимости та же, что и при г¨ельдеровых коэффициентах, а также пример, демонстрирующий, что при нарушении этих достаточных условий задача в классе BM OA может быть неразрешимой (при разрешимости в любом классе Харди H _p , p > 1).

Известно, что конформным отображением краевые задачи Римана и Гильберта для односвязной области с ляпуновской границей сводятся к задачам для единичного круга [4, §§ 14, 29]. В связи с этим ниже в качестве области рассматривается единичный круг.

Обозначим D = ^{z : | z | < 1 } единичный круг комплексной z-плоскости, z = x + iy, i ² = — 1; Г = dD — граница круга D; D = D U Г.

Определение 1. Вещественная функция v E L1(Г), v = ^(ei6) = ^(9) называется функцией класса BMOf (Bounded Mean Oscillation) [5, с. 277; 6], если siuP f (I1II। j |V — VII d9 = MUf < to,

I где I С Г — произвольный интервал на Г, |I| — его длина,

V I =

_{| I |} ϕdθ, I

f — неубывающая положительная функция, определенная на [0,е], где 0 < Е <  2п.

Для комплекснозначной функции v E L 1 (Г) определение аналогично.

Определение 2. Следуя [5, с. 269], будем говорить, что функция Ф(z), аналитическая в D, принадлежит классу BMOA f , если Ф(z) принадлежит классу Харди H и ее некасательные предельные значения Ф(e ⁱ⁶ ) = Ф(9) на Г принадлежат классу BMO f .

Будем говорить, что функция Ф(z), аналитическая в дополнении круга D и ограниченная на го, принадлежит классу BMOA f , если Ф(1/z) E BMOA f .

Определение 3. Будем говорить, что функция v(9) E Лf, если ess sup s,θ

| V^{( s ) —} V^{( 9 ) |} f ( I s — 9 | )

= lIVkA f <  ^ro

Очевидно, что Л f С BMO f .

Если f = 1, будем использовать обозначение BMO i = BMO; если f (r) = ln ^{- 1} 1/r, будем использовать обозначения BMO f = LMO, Л f = Л / .

Известно [6; 7; 8, с. 223], что LMO П L ^ (Г) есть мультипликатор пространства BMO, т. е. максимально широкое множество функций, умножение на которые есть непрерывный линейный оператор из BMO в BMO .

Обозначим

π

Hu(s) = — 2П j uMctg ^--s da.                     (1)

- π

v(s) = Hu(s) — с точностью до постоянного слагаемого выражение краевых значений мнимой части аналитической в D функции через краевые значения действительной части [4, с. 59]. Очевидно, H ² u = — u.

Обозначим

^{Ku ( s )} =     u^ dT                       ⁽²⁾

2кг   т — t

Γ где t = eis, т = eiCT.

Имеет место соотношение [4, с. 59]

π

iHu(s) = 2Ku(s)

-

Г u(a) da + 2n J

v o ,

π где vo = const.

Замечание 1. В силу (3) условия H^(s) Е L ^ (F) и K^(s) Е L ^ (F) эквивалентны как для действительной, так и для комплексной функции ^(s).

Известно, что сингулярный оператор, в том числе и (1), (2), ограничен в BMO и LMO [9, 10].

2.    Формулировка результатов

Задача Римана [4, § 14]. Найти две функции класса BMOA: Ф ⁺ (z) — аналитическую в D(= D ⁺ ), и Ф ^- (z) — аналитическую в D - — дополнении D, включая z = го, удовлетворяющие на контуре Г линейному соотношению

Ф ⁺ (t) = G(t)Ф ^- (t) (однородная задача)                     (4)

или

Ф ⁺ (t) = G(t) Ф ^- (t) + g(t) (неоднородная задача).                 (5)

Функцию G(t) называют коэффициентом задачи Римана, а функцию g(t ) — ее свободным членом .

Поскольку на Г выполняется t = e i , везде далее для функций, определенных на Г, пишем ^(e is ) = ^(s).

Задача Гильберта (Римана — Гильберта) [4, § 27]. Найти аналитическую в D функцию Ф(z), удовлетворяющую на контуре Г линейному соотношению

a(s) u(s) + b(s) v(s) = Re nA(s)Ф(s)0 = c(s),                        (6)

где A(s) = a(s) + ib(s), Ф(z) = u(x, y) + iv(x, y).

Функцию A(s) называют коэффициентом, а c(s) — свободным членом краевого условия (6).

При c(s) = 0 будем иметь однородную задачу и при c(s) = 0 — неоднородную.

Индекс краевого условия. Везде далее будем считать, что G(s), A(s) Е L ^ (Г),

0 i 6 |G(s)| 6 k2                                  (7)

и

0 < k i 6 | A | 6 k 2 ,                                        (8)

где k i и k2 — некоторые постоянные, вообще говоря, различные в (4) и (6).

Обозначим G(t) = | G(t) | e i ⁶ , т. е. 9 = arg G. На 9(t) наложим следующие дополнительные условия: существует такое конечное покрытие (B k ) контура Г интервалами, что на каждом из них | 9(t) | < 2п. Аналогично для arg A.

Возьмем на каждом интервале Bk из покрытия (Bk ) точку tk и разрежем Bk в этой точке, т. е. будем принимать точку tk за две точки: t^ и t-. Фиксируя произвольно значение 9(t) в некоторой точке t^ и следуя по направлению обхода контура Г вдоль цепи интервалов Bk, будем последовательно определять 9(t) на встречающихся интервалах так, чтобы |9(t) — 9(t)l < 2п, когда t и t0 принадлежат пересечению соседних интервалов. В результате получим вполне определенную ветвь 9(t), которая в точках tk имеет два значения: 9(t-) до обхода и 9(t+) после обхода.

Обозначим

2ПX^{{ 9 (}t ^{+ )} - ^{9 ( t}k^ = ind r [e ^{i6 ( t )} ] = ^к- k

Поскольку 9(t ± ) соответствует одной и той же точке e ^{i6 ( t k )} , число к — целое. Очевидно, к не зависит от выбора точек t k и покрытия (B k ).

Определение 4. Число к будем называть индексом задач (4) и (5).

Аналогично определяется индекс задачи (6) с использованием функции 9 = arg А.

Теорема 1. Пусть в (4) ¹

K ln G(t) G L ^ (r).                                   (9)

При к = ind p G(t) >  0 задача (4) имеет точно к +1 линейно независимых в комплексном смысле решений класса BMOA (которые будут даже из L ^ ).

Общее решение задается формулой

Ф(z) = P k (z) X(z),

где P _K (z) — произвольный многочлен (с комплексными коэффициентами) степени не

выше κ,

X (z) = X + (z)=exp / — / HZ- ^ GXl dT I , z G d + ,         (11) 2ni J      t — z г X (z) = X - (z) = z -K exp < --- [— -----^^-dT >  , z G D - .         (12) 2ni J      t — z г

При к <  0 задача (4), безотносительно к условию (9), в классе BMOA имеет только тривиальное ( нулевое ) решение.

Если при этом G(t) G LMO П L ^ (r), то решение (10) при любом фиксированном многочлене P _K (z) будет класса LMOA П Ь ^ .

Замечание 2. Отказ от условия (9) может привести к тому, что при к >  0 задача не будет иметь нетривиальных решений класса BMOA . В то же время это достаточное условие необходимым не является (см. пример в п. 5.1).

Теорема 2. При к >  0 для разрешимости однородной задачи (4) в классе BMOA П L ^ необходимо и достаточно, чтобы exp {K lnG(t) } G L ^ (r). Если при этом G(t) G LMO П L ^ (r), для разрешимости в LMOA П L ^ необходимо и достаточно, чтобы exp {K lnG(t) } G LMO П L ^ (r). При G(t) G LMO П L ^ (r) для разрешимости в BMOA необходимо и достаточно, чтобы exp {K ln G(t) } G BMO. Во всех случаях общее решение дается формулой (10) .

Замечание 3. В случае G(t) G LMO П L ^ (r), но exp {K lnG(t) } G L ^ (r), о примере разрешимости в BMOA см. замечание 10.

Теорема 3. Пусть для краевого условия (5) выполнено (9), G(t) G LMO П L ^ (r).

При к = ind p G(t) >  0 задача (5) разрешима в классе BMOA при любом свободном члене g(t) Е BMO и ее общее решение дается формулой

*« = Xli "X^ Т^ + X(Z) PK■ г где X(z) определена в (11), (12), а PK(z) — многочлен степени к с произвольными комплексными коэффициентами.

Если к = — 1, задача (5) разрешима в классе BMOA и имеет единственное решение

Mz) =

X^{( z )} [ д ^{( т} )     d-т

2ni J X ⁺ (т ) т — z

г

В случае к <  — 1 для разрешимости (в классе H _p D BMOA, p >  1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член удовлетворял — к — 1 условиям

Г ^{g ( T} ) _Tk-i_{dT = 0}

k — 1, 2,..., —к — 1.

1 X ⁺ (т) ^T  d^{T 0}

г

Замечание 4. В отличие от однородной задачи (см. теорему 1), снижение требований на коэффициент G(t) до принадлежности лишь L ^ (r) приводит, вообще говоря, к неразрешимости задачи при к >  0 в классе BMOA даже при g(t) Е L ^ (r) (см. пример из пункта 5.2).

Теорема 4. Для того, чтобы при G(t) Е LMO П L ^ (Г) и отказе от условия (9) имели место все утверждения теоремы 3, достаточно, чтобы exp {± K ln G(t) } Е LMO П L ^ (Г).

Замечание 5. Вопрос о необходимых условиях пока остается открытым.

Перейдем к обсуждению краевой задачи Гильберта (6).

Теорема 5. Пусть в (6)

H9(t) Е L ^ (r),                                   (16)

где 6(t) = arg A(t).

При к = ind r >  0 однородная задача (6) имеет 2 к + 1 линейно независимых в действительном смысле решений класса BMOA (которые будут даже из L ^ ).

Общее решение задается формулой

Ф(z) = zK eiY(z)Q(z),(17)

где

• Y(z) = S \9(t) — к arg t] (z),(18)

Sy = у + iH^ — оператор Шварца;

κ

Q(z) = ieo + X |ckzk — Ckz-k| ,(19)

k=1

во — произвольная вещественная постоянная, C k , k = 1,..., к, —произвольные комплексные постоянные.

При к <  0 однородная задача (6) в классе H p D BM OA, p >  1 , имеет только тривиальное ( нулевое ) решение.

Если при этом A(t) G LMO П L ^ (Г), то решение (17) при любых фиксированных постоянных в о , C k , к = 1, • • •, к, будет класса LMO П L ^ .

Замечание 6. Отказ от условия (16) может привести к тому, что при к >  0 задача не будет иметь нетривиальных решений класса BMOA. В то же время это достаточное условие необходимым не является (см. пример в п. 5.1).

Теорема 6. При к >  0 для разрешимости однородной задачи (6) в классе BMOA П L ^ необходимо и достаточно, чтобы e - ^^{( s )} g L ^ (r), где w(s) = Hd(s). Если при этом A(t) G LMO П L ^ (Г), для разрешимости в LMOA П L ^ необходимо и достаточно, чтобы — e ^^{( s} ) g LMO П L ^ (Г). При A(t) G LMOПL _ГО (Г) для разрешимости в BMOA необходимо и достаточно, чтобы e - ^^{( s )} g BMO. Во всех случаях решение дается формулой (17).

Замечание 7. В случае A(t) G LMO П L ^ (r), но e - ^^{( s )} G L ^ (r), о примере разрешимости в BMOA см. замечание 10.

Теорема 7. Пусть для краевого условия (6) выполнено (16) и A(t) G LMO П L ^ (r).

При к = ind p A(t) >  0 неоднородная задача (6) разрешима в классе BMOA при любом свободном члене c(s) G BMO и ее общее решение дается формулой

ФИ = -К[S (™)  ' ^ '

где ^(t) = H9(t) = Im y (t), y ( z ) и Q(z) определены формулами (18) и (19).

При к < 0 неоднородная задача (6) разрешима и имеет в классе BMOA единственное решение фzKei*’[S (ww)4

тогда и только тогда, когда выполнены — 2 к — 1 действительных условий разрешимости

2П

/ e ^^{( s )} c(s) cos ks             Г e ^^{( s )} c(s)sm ks

-----.-----ds = 0,      ----- ।-----ds = 0, k = 0,1,..., —к — 1.(22)

|A(s)|                               |A(s)| о0

Замечание 8. В отличие от однородной задачи (см. теорему 5), снижение требований на коэффициент A(t) до принадлежности лишь L ^ (r) приводит, вообще говоря, к неразрешимости задачи при к >  0 в классе BMOA даже при c(s) G L ^ (r) (см. пример из п. 5.2).

Теорема 8. Для того, чтобы при A(t) G LMO П L ^ (r) и отказе от условия (16) имели место все утверждения теоремы 7 достаточно, чтобы e ± ^ ⁽ s g LMO П L ^ (r).

Замечание 9. Вопрос о необходимых условиях пока остается открытым.

3.    Вспомогательные сведения

Имеет место следующее очевидное утверждение [6].

Лемма 1. Если | F(x) — F (y) | 6 C | x — y | , где C — некоторая постоянная, то