Краевые задачи Римана и Гильберта в классе BMO для аналитических функций
Автор: Климентов Сергей Борисович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.12, 2010 года.
Бесплатный доступ
В работе рассматривается разрешимость классических краевых задач Римана и Гильберта в классе BMOA аналитических функций в предположении, что коэффициент краевого условия принадлежит пространству мультипликаторов класса BMO. Построены примеры, когда задача с неотрицательным индексом в такой наиболее естественной постановке неразрешима в классе BMOA. Даны достаточные условия на коэффициент, при которых имеет место обычная картина разрешимости.
Краевые задачи римана и гильберта, классы bmo.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318323
IDR: 14318323
Текст научной статьи Краевые задачи Римана и Гильберта в классе BMO для аналитических функций
1. Введение. Основные определения
Краевая задача Гильберта (Римана — Гильберта) для обобщенных аналитических функций класса BMO (определения рассматриваемых классов см. ниже) рассматривалась в работе автора [1] в предположении, что коэффициент краевого условия г¨eльдеров (умножение функции класса BMO на окружности на г¨eльдерову функцию не выводит из класса BM O ; этим и определялось требование на коэффициент; задача для голоморфных функций при гельдеровости коэффициента рассматривалась в [2]). Разумеется, постановка задачи наиболее естественна при предположении, что коэффициент краевого условия принадлежит пространству мультипликаторов функций из класса BMO. Именно в такой постановке задачи Римана и Гильберта для голоморфных функций рассматриваются в настоящей работе.
Строятся примеры, когда задачи с неотрицательным индексом в такой постановке (даже с непрерывными коэффициентами из LMO) неразрешимы в BMOA.
Хорошо известны примеры неразрешимости задач Римана и Гильберта с непрерывными коэффициентами и правыми частями в непрерывных в замкнутой области голоморфных функциях [3] (а умножение непрерывных функций на непрерывные из класса непрерывных функций не выводит). Причина этого явления состоит в неограниченности сингулярного оператора в непрерывных функциях. В то же время сингулярный оператор в пространстве BMO ограничен!
В нашем случае неразрешимость возникает по другой причине по сравнению с непрерывным случаем, а именно, из-за того, что экспоненты функций классов BMO и LMO, вообще говоря, не принадлежат BMO.
Приводятся достаточные условия на коэффициенты, при которых картина разрешимости та же, что и при г¨ельдеровых коэффициентах, а также пример, демонстрирующий, что при нарушении этих достаточных условий задача в классе BM OA может быть неразрешимой (при разрешимости в любом классе Харди H p , p > 1).
Известно, что конформным отображением краевые задачи Римана и Гильберта для односвязной области с ляпуновской границей сводятся к задачам для единичного круга [4, §§ 14, 29]. В связи с этим ниже в качестве области рассматривается единичный круг.
Обозначим D = {z : | z | < 1 } единичный круг комплексной z-плоскости, z = x + iy, i 2 = — 1; Г = dD — граница круга D; D = D U Г.
Определение 1. Вещественная функция v E L1(Г), v = ^(ei6) = ^(9) называется функцией класса BMOf (Bounded Mean Oscillation) [5, с. 277; 6], если siuP f (I1II। j |V — VII d9 = MUf < to,
I где I С Г — произвольный интервал на Г, |I| — его длина,
V I =
| I | ϕdθ, I
f — неубывающая положительная функция, определенная на [0,е], где 0 < Е < 2п.
Для комплекснозначной функции v E L 1 (Г) определение аналогично.
Определение 2. Следуя [5, с. 269], будем говорить, что функция Ф(z), аналитическая в D, принадлежит классу BMOA f , если Ф(z) принадлежит классу Харди H и ее некасательные предельные значения Ф(e i6 ) = Ф(9) на Г принадлежат классу BMO f .
Будем говорить, что функция Ф(z), аналитическая в дополнении круга D и ограниченная на го, принадлежит классу BMOA f , если Ф(1/z) E BMOA f .
Определение 3. Будем говорить, что функция v(9) E Лf, если ess sup s,θ
| V( s ) — V( 9 ) | f ( I s — 9 | )
= lIVkA f < ro
Очевидно, что Л f С BMO f .
Если f = 1, будем использовать обозначение BMO i = BMO; если f (r) = ln - 1 1/r, будем использовать обозначения BMO f = LMO, Л f = Л / .
Известно [6; 7; 8, с. 223], что LMO П L ^ (Г) есть мультипликатор пространства BMO, т. е. максимально широкое множество функций, умножение на которые есть непрерывный линейный оператор из BMO в BMO .
Обозначим
π
Hu(s) = — 2П j uMctg ^--s da. (1)
- π
v(s) = Hu(s) — с точностью до постоянного слагаемого выражение краевых значений мнимой части аналитической в D функции через краевые значения действительной части [4, с. 59]. Очевидно, H 2 u = — u.
Обозначим
Ku ( s ) = u^ dT (2)
2кг т — t
Γ где t = eis, т = eiCT.
Имеет место соотношение [4, с. 59]
π
iHu(s) = 2Ku(s)
-
Г u(a) da + 2n J
v o ,
π где vo = const.
Замечание 1. В силу (3) условия H^(s) Е L ^ (F) и K^(s) Е L ^ (F) эквивалентны как для действительной, так и для комплексной функции ^(s).
Известно, что сингулярный оператор, в том числе и (1), (2), ограничен в BMO и LMO [9, 10].
2. Формулировка результатов
Задача Римана [4, § 14]. Найти две функции класса BMOA: Ф + (z) — аналитическую в D(= D + ), и Ф - (z) — аналитическую в D - — дополнении D, включая z = го, удовлетворяющие на контуре Г линейному соотношению
Ф + (t) = G(t)Ф - (t) (однородная задача) (4)
или
Ф + (t) = G(t) Ф - (t) + g(t) (неоднородная задача). (5)
Функцию G(t) называют коэффициентом задачи Римана, а функцию g(t ) — ее свободным членом .
Поскольку на Г выполняется t = e i , везде далее для функций, определенных на Г, пишем ^(e is ) = ^(s).
Задача Гильберта (Римана — Гильберта) [4, § 27]. Найти аналитическую в D функцию Ф(z), удовлетворяющую на контуре Г линейному соотношению
a(s) u(s) + b(s) v(s) = Re nA(s)Ф(s)0 = c(s), (6)
где A(s) = a(s) + ib(s), Ф(z) = u(x, y) + iv(x, y).
Функцию A(s) называют коэффициентом, а c(s) — свободным членом краевого условия (6).
При c(s) = 0 будем иметь однородную задачу и при c(s) = 0 — неоднородную.
Индекс краевого условия. Везде далее будем считать, что G(s), A(s) Е L ^ (Г),
0
и
0 < k i 6 | A | 6 k 2 , (8)
где k i и k2 — некоторые постоянные, вообще говоря, различные в (4) и (6).
Обозначим G(t) = | G(t) | e i 6 , т. е. 9 = arg G. На 9(t) наложим следующие дополнительные условия: существует такое конечное покрытие (B k ) контура Г интервалами, что на каждом из них | 9(t) | < 2п. Аналогично для arg A.
Возьмем на каждом интервале Bk из покрытия (Bk ) точку tk и разрежем Bk в этой точке, т. е. будем принимать точку tk за две точки: t^ и t-. Фиксируя произвольно значение 9(t) в некоторой точке t^ и следуя по направлению обхода контура Г вдоль цепи интервалов Bk, будем последовательно определять 9(t) на встречающихся интервалах так, чтобы |9(t) — 9(t)l < 2п, когда t и t0 принадлежат пересечению соседних интервалов. В результате получим вполне определенную ветвь 9(t), которая в точках tk имеет два значения: 9(t-) до обхода и 9(t+) после обхода.
Обозначим
2ПX{ 9 (t + ) - 9 ( tk^ = ind r [e i6 ( t ) ] = к- k
Поскольку 9(t ± ) соответствует одной и той же точке e i6 ( t k ) , число к — целое. Очевидно, к не зависит от выбора точек t k и покрытия (B k ).
Определение 4. Число к будем называть индексом задач (4) и (5).
Аналогично определяется индекс задачи (6) с использованием функции 9 = arg А.
Теорема 1. Пусть в (4) 1
K ln G(t) G L ^ (r). (9)
При к = ind p G(t) > 0 задача (4) имеет точно к +1 линейно независимых в комплексном смысле решений класса BMOA (которые будут даже из L ^ ).
Общее решение задается формулой
Ф(z) = P k (z) X(z),
где P K (z) — произвольный многочлен (с комплексными коэффициентами) степени не
выше κ, |
X (z) = X + (z)=exp / — / HZ- ^ GXl dT I , z G d + , (11) 2ni J t — z г X (z) = X - (z) = z -K exp < --- [— -----^^-dT > , z G D - . (12) 2ni J t — z г |
При к < 0 задача (4), безотносительно к условию (9), в классе BMOA имеет только тривиальное ( нулевое ) решение.
Если при этом G(t) G LMO П L ^ (r), то решение (10) при любом фиксированном многочлене P K (z) будет класса LMOA П Ь ^ .
Замечание 2. Отказ от условия (9) может привести к тому, что при к > 0 задача не будет иметь нетривиальных решений класса BMOA . В то же время это достаточное условие необходимым не является (см. пример в п. 5.1).
Теорема 2. При к > 0 для разрешимости однородной задачи (4) в классе BMOA П L ^ необходимо и достаточно, чтобы exp {K lnG(t) } G L ^ (r). Если при этом G(t) G LMO П L ^ (r), для разрешимости в LMOA П L ^ необходимо и достаточно, чтобы exp {K lnG(t) } G LMO П L ^ (r). При G(t) G LMO П L ^ (r) для разрешимости в BMOA необходимо и достаточно, чтобы exp {K ln G(t) } G BMO. Во всех случаях общее решение дается формулой (10) .
Замечание 3. В случае G(t) G LMO П L ^ (r), но exp {K lnG(t) } G L ^ (r), о примере разрешимости в BMOA см. замечание 10.
Теорема 3. Пусть для краевого условия (5) выполнено (9), G(t) G LMO П L ^ (r).
При к = ind p G(t) > 0 задача (5) разрешима в классе BMOA при любом свободном члене g(t) Е BMO и ее общее решение дается формулой
*« = Xli "X^ Т^ + X(Z) PK■ г где X(z) определена в (11), (12), а PK(z) — многочлен степени к с произвольными комплексными коэффициентами.
Если к = — 1, задача (5) разрешима в классе BMOA и имеет единственное решение
Mz) =
X( z ) [ д ( т ) d-т
2ni J X + (т ) т — z
г
В случае к < — 1 для разрешимости (в классе H p D BMOA, p > 1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член удовлетворял — к — 1 условиям
Г g ( T ) Tk-idT = 0
k — 1, 2,..., —к — 1.
1 X + (т) T dT 0
г
Замечание 4. В отличие от однородной задачи (см. теорему 1), снижение требований на коэффициент G(t) до принадлежности лишь L ^ (r) приводит, вообще говоря, к неразрешимости задачи при к > 0 в классе BMOA даже при g(t) Е L ^ (r) (см. пример из пункта 5.2).
Теорема 4. Для того, чтобы при G(t) Е LMO П L ^ (Г) и отказе от условия (9) имели место все утверждения теоремы 3, достаточно, чтобы exp {± K ln G(t) } Е LMO П L ^ (Г).
Замечание 5. Вопрос о необходимых условиях пока остается открытым.
Перейдем к обсуждению краевой задачи Гильберта (6).
Теорема 5. Пусть в (6)
H9(t) Е L ^ (r), (16)
где 6(t) = arg A(t).
При к = ind r > 0 однородная задача (6) имеет 2 к + 1 линейно независимых в действительном смысле решений класса BMOA (которые будут даже из L ^ ).
Общее решение задается формулой
Ф(z) = zK eiY(z)Q(z),(17)
где
-
Y(z) = S \9(t) — к arg t] (z),(18)
Sy = у + iH^ — оператор Шварца;
κ
Q(z) = ieo + X |ckzk — Ckz-k| ,(19)
k=1
во — произвольная вещественная постоянная, C k , k = 1,..., к, —произвольные комплексные постоянные.
При к < 0 однородная задача (6) в классе H p D BM OA, p > 1 , имеет только тривиальное ( нулевое ) решение.
Если при этом A(t) G LMO П L ^ (Г), то решение (17) при любых фиксированных постоянных в о , C k , к = 1, • • •, к, будет класса LMO П L ^ .
Замечание 6. Отказ от условия (16) может привести к тому, что при к > 0 задача не будет иметь нетривиальных решений класса BMOA. В то же время это достаточное условие необходимым не является (см. пример в п. 5.1).
Теорема 6. При к > 0 для разрешимости однородной задачи (6) в классе BMOA П L ^ необходимо и достаточно, чтобы e - ^( s ) g L ^ (r), где w(s) = Hd(s). Если при этом A(t) G LMO П L ^ (Г), для разрешимости в LMOA П L ^ необходимо и достаточно, чтобы — e ^( s ) g LMO П L ^ (Г). При A(t) G LMOПL ГО (Г) для разрешимости в BMOA необходимо и достаточно, чтобы e - ^( s ) g BMO. Во всех случаях решение дается формулой (17).
Замечание 7. В случае A(t) G LMO П L ^ (r), но e - ^( s ) G L ^ (r), о примере разрешимости в BMOA см. замечание 10.
Теорема 7. Пусть для краевого условия (6) выполнено (16) и A(t) G LMO П L ^ (r).
При к = ind p A(t) > 0 неоднородная задача (6) разрешима в классе BMOA при любом свободном члене c(s) G BMO и ее общее решение дается формулой
ФИ = -К[S (™) ' ^ '
где ^(t) = H9(t) = Im y (t), y ( z ) и Q(z) определены формулами (18) и (19).
При к < 0 неоднородная задача (6) разрешима и имеет в классе BMOA единственное решение фzKei*’[S (ww)4
тогда и только тогда, когда выполнены — 2 к — 1 действительных условий разрешимости
2П
/ e ^( s ) c(s) cos ks Г e ^( s ) c(s)sm ks
-----.-----ds = 0, ----- ।-----ds = 0, k = 0,1,..., —к — 1.(22)
|A(s)| |A(s)| о0
Замечание 8. В отличие от однородной задачи (см. теорему 5), снижение требований на коэффициент A(t) до принадлежности лишь L ^ (r) приводит, вообще говоря, к неразрешимости задачи при к > 0 в классе BMOA даже при c(s) G L ^ (r) (см. пример из п. 5.2).
Теорема 8. Для того, чтобы при A(t) G LMO П L ^ (r) и отказе от условия (16) имели место все утверждения теоремы 7 достаточно, чтобы e ± ^ ( s g LMO П L ^ (r).
Замечание 9. Вопрос о необходимых условиях пока остается открытым.
3. Вспомогательные сведения
Имеет место следующее очевидное утверждение [6].
Лемма 1. Если | F(x) — F (y) | 6 C | x — y | , где C — некоторая постоянная, то
Список литературы Краевые задачи Римана и Гильберта в классе BMO для аналитических функций
- Климентов С. Б. Классы BMO обобщенных аналитических функций//Владикавк. мат. журн.-2006.-Т. 8, вып. 1.-С. 27-39.
- Климентов С. Б. Стохастическая краевая задача Римана -Гильберта в конформных мартингальных классах H_p и BMO//Изв. вузов, Сев.-Кав. рег. Естеств. науки.-2004.-№ 3.-С. 6-12.
- Симоненко И. Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом//Докл. АН СССР.-1959.-Т. 124, № 2.-С. 278-281.
- Гахов Ф. Д. Краевые задачи.-М.: Наука, 1977.-640 с.
- Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции.-М.: Мир, 1984.-469 с.
- Janson S. On functions with conditions on the mean oscillation//Ark. Math.-1976.-Vol. 14, № 2.-P. 189-196.
- Stegenga D. A. Bounded Toeplitz operators on H^1 and applications of the duality between $H^1$ and the functions of bounded mean oscillation//American J. of Math.-1976.-Vol. 98, № 3.-P. 573-589.
- Мазья В. Г., Шапошникова Т. О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций.-Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1986.-404 с.
- Peetre J. On convolution operators leaving $L^{p,\lambda}$ spaces invariant//Ann. Mat. Pura Appl.-1966.-Vol. 72, № 4.-P. 295-304.
- Bramanti M., Brandolini L. Estimates of $BMO$ type for singular integrals on spaces of homogeneous type and applications to hypoelliptic pdes//Rev. Mat. Iberoamericana.-2005.-Vol. 21, № 2.-P. 511-556.
- Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости.-М.: Наука, 1975.-296 с.