Критерии задержки решений сингулярно возмущенных систем с аналитическими функциями
Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki
Рубрика: Естественные науки
Статья в выпуске: 10 т.12, 2026 года.
Бесплатный доступ
Исследуется явление задержки решений автономных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. Рассматривается система, содержащая быстрые и медленные переменные, для которой система быстрых переменных имеет положение равновесия, устойчивость которого зависит от значения медленной переменной. При прохождении медленной переменной через критическое значение положение равновесия теряет устойчивость. Однако решение системы может оставаться в окрестности этого неустойчивого положения равновесия в течение конечного интервала изменения медленной переменной. Данное явление называется задержкой решения вблизи неустойчивого положения равновесия. Явление задержки исследовано для широких классов сингулярно возмущенных систем. В известных результатах, как правило, устанавливаются достаточные условия возникновения задержки. Вопрос о необходимых и достаточных условиях в рассматриваемом классе задач требует дальнейшего исследования. В настоящей работе установлен критерий задержки решения в терминах линий уровня соответствующих гармонических функций. Показано, что необходимым и достаточным условием возникновения задержки является существование линий уровня, соединяющих устойчивый и неустойчивый интервалы. Полученный критерий позволяет характеризовать асимптотическое поведение решений в окрестности положения равновесия, теряющего устойчивость.
Короткий адрес: https://sciup.org/14139232
IDS: 14139232 | УДК: 517.928 | DOI: 10.33619/2414-2948/131/01
Criteria for the Delay of Solutions to Singularly Perturbed Systems with Analytic Functions
The phenomenon of delay of solutions in autonomous singularly perturbed systems of differential equations is investigated. A system involving fast and slow variables is considered, in which the system of fast variables has an equilibrium state whose stability depends on the value of the slow variable. As the slow variable passes through a critical value, the equilibrium state loses stability. However, the solution of the system may continue to remain in a neighborhood of this unstable equilibrium state for a finite interval of variation of the slow variable. This phenomenon is referred to as the delay of solutions near an unstable equilibrium state. The delay phenomenon has been studied for broad classes of singularly perturbed systems. In existing results, sufficient conditions for the occurrence of delay are generally established. The problem of determining necessary and sufficient conditions for the considered class of problems requires further investigation. In this paper, a criterion for the delay of solutions is established in terms of the level lines of the corresponding harmonic functions. It is shown that the existence of level lines connecting the stable and unstable intervals is a necessary and sufficient condition for the occurrence of delay. The obtained criterion makes it possible to characterize the asymptotic behavior of solutions in a neighborhood of an equilibrium state undergoing a loss of stability.
