Критерий сходимости метода сглаживания для сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами

Как обычно, определенную на вещественной оси R комплекснозначную функцию a будем называть кусочно-непрерывной, если она. непрерывна, всюду, кроме конечного числа. точек, в которых имеет разрывы первого рода, и существуют конечные пределы а(±то) = limx ,±_х a(x) Введем действуютщш в пространстве Lp(R) (1 < p <  то) обратимый полный сингулярный интегральный оператор

A = a+P+ + a_-P_- + T, (1)

где a± - куеочио-иепрергявные функция на R. Р± = 2 (I ± S) S - оператор сингулярного интегрирования. T - компактный оператор в пространство Lp(R).

Рассмотрим следующую задачу. Найти последовательность {An} полных сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, непрерывными на. одноточечной компактификации R = R U {то} веществе иной оси R, такую, что к оператору A применим приближенный метод по семейству операторов {An} пр и n ^ то. Последнее означает [1]. что операторы An обратимы при всех ,достаточно больших n п для любой функция g Е Lp(R) реялшня fn Е Lp(R) урашюнпй Anfn = g. находимые единственным образом при указанных значениях n. сходятся по норме при n ^ то к решсиню f уравнения Af = g. Сходимости приближенного метода равносильна существованию такого n_r что все операторы An обратна ня при n > n1 i1 supn>_n1 k A^—1 k < то. Последнее свойство называется равномерной обратимостью семейства {A_n}_n>_n1.

Работа, является продолжением исследования, начатого в [2]. В отличие от [2], здесь рассматриваются широкие классы аппроксимаций и получен критерий сходимости приближенного метода. В [2] рассматривалась фиксированная схема, приближения, и вопрос о критерии там не возникал. Результаты работы докладывались на. международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа, и их приложения-IV» [3].

Обозначим через Ф множество всех функций у, определенных и непрерывных на отрезке [—1;1] и удовлетворяйэщих условиям у(—1) = 0. у(1) = 1. Пзктв a - кусочнонепрерывная функция на. R. x₁,x₂ ,... ,x_n - все ее (конечные) тонки разрыва. Для е > 0 я N >  0 обозначим

Ui(e) := {x Е R : |x — xi| < е}, i = 1, 2,..., n,

U»(N ) := {x е R : |x| >  N }.

Выберем такие Eq > 0. Ng > 0. чтобы окрестпости Ui(eg). i = 1, 2,... ,n, ii U»(Nq ) попарно не пересекались. Обозначим через U (e,N) объединение всех окрестностей (2), (3) при фиксированных е Е (0,e_q ). N Е (N0 , то). Выберем произвольные функции у1,у₂,... ,yn у» Е Ф. Определим функции a^(e’^N ) (0 < е < eg. N > Ng) уемовиями: a^(e’^N )(x) = a(x). если x Е U (е, N ),

a(e,N)(x) = ( 1 — yi ( x—xi ) ) a(xi — e) + yi ( x—xi ) a(xi + e), если x Е Ui(e, N). i = 1, 2,..., n.

a(e,N)(x) = A — у» f— x

a(—N) + у»

если x Е U»(N ).

Отметим, что функции a^(e,N)(x) испрсрь ibiibi на. R.

Для той же функции a введем семейство определенных на. R фуиктщй a®. £ Е R, условиями: a®(x) = a(£). x Е R. ее ли £ Е R \ {x₁,x₂,..., xn}.

a(xi) (x) = < a(xi — 0),

(1 — yi(x — xi)) a(xi

— 0) + yi(x — xi) a(xi + 0),

|x — xi | < 1, x 6 xi — 1,

_va(xi + 0),

x > xi + 1,

a(“) (x) = <

(1 — у» Q)) а(—то) + у^ (1) а(+то),

а(—то),

>а(+то),

|x| > 1,

—1 6 x < 0, 0 < x 6 1.

Оператору (1) поставим в соответствие действующие в пространстве Lp(R) операторы

Л — л(^£,N )         ^(e,N ) Р I т

Ae,N = a+ P+ + a- P- + T ,

A(^) = a^)p+ + a- p-,  ^ е R,

A(^) = a+»)p+ + a-») p-.

При злом прелнолагаем-я. что для фликцпй a+N) 11 a-N) в елкнае совпадения точек разрыва соответствующие функции класса Ф могут быть выбраны независимо друг от друга. Подчеркнем, что введенные операторы A(^), А(») являются характеристическими сингулярными интегральными операторами с кусочно-непрерывными коэффициентами, для которых критерий обратимости может быть сформулирован в стандартных эффективных терминах [5] (необращение в нуль некоторых функций и равенство нулю индекса функции). Отметим также, что при е ^ 0, N ^ то опера торы Ae,N сходятся к оператору A в сильной операторной топологии и аналогичное соотношение связывает соответствующие сопряженные операторы.

В приводимой ниже теореме речь идет о применимости к оператору A приближенного метода по семейству операторов {A_e,N} пр и е ^ 0, N ^ то. Определение этого свойства аналогично приведенному выше для простейшего случая последовательностей операторов с заменой условия n > n1 уеловием 0 < е < е1, N > N1. Аналогичная замена, имеет место в утверждении о равносильности сходимости приближенного метода, и равномерной обратимости некоторого подсемейства, аппроксимирующего семейства.

Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. К действующему в пространстве Lp(R) (1 < p < то) обратимому полному сингулярному интегральному оператору A с кусочно-непрерывными коэффициентами применим приближенный метод по семейству операторов {A_e,N} щэи е ^ 0, N ^ то в том и только том случае, когда для каждой точки С G R, в которой хотя бы одна из функций а₊. а- терпит разрыв, обратпм оператор A® и обратнаi оператор A' ^х .

Доказательство теоремы 1. Оно использует конструкции, предложенные в [2, 4]. Поэтому мы достаточно кратко останавливаемся на, них, уделяя внимание только существенным особенностям. Заметим также, что в [4] имеются подробные ссылки на, предшествующие работы по теории сходимости приближенных методов, а, также приведено изложение основных определений и утверждений используемого ниже локального принципа, Гохберга, - Крупника. Слово «оператор» в доказательстве теоремы всюду означает «линейный непрерывный оператор, действующий в пространстве L_p (R)». Через A будем обозначать введенный выше обратимый полный сингулярный интегральный оператор с кусочно-непрерывными коэффициентами, а через A_e,N (е > 0, N >  0) -введенное семейство полных сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, непрерывными на R.

В дальнейшем считаем, что все пределы имеют место при е ^ 0, N ^ то. Обозначим через A множество всех семейств {B_e,_N : е > 0, N >  0} операторов, удовлетворяющих следующим условиям:

sup {|Be,N|| : е > 0, N > 0} < то, существует предел операторов Be,N в сильной операторной топологии, который мы обозначаем через s- lim Be,N, и аналогичный предел существует для семейства сопряженных операторов. Множество A с «покоординатно» выполняемыми операциями и нормой

{Be,N} ^ sup {|Be,N|| : е > 0, N > 0} становится банаховой алгеброй.

Введем следующие подмножества множества A:

I o = {{B_e,N}G A : lim |B₆,n || = 0},

I s = {{B_e,N}G A : s-lim B ₆,n = 0}.

Обозначим через Ik множество всех семейств операторов вида

{T + A£,n : е> 0, N> 0}, где T - компактный оператор, {A£,n} G Io.

Множества Iq, Is, Ik являются собственными замкнутыми двусторонними идеалами в алгебре A. Имеет место равенство Is П Ik = I0. Из него следует, что для элемента. {B_e,N} € A обратимость смежного класса

{Be,N} + Iq € A/Iq равносильна, обратимости двух смежных классов

{B_e,N } + Ik € A/Ik,   { B _e,n } + Is € A/Is.

Обратимость последнего смежного класса, равносильна, обратимости оператора, slim B..N,

A операторов Ae,N при е ^ 0, N ^ ж равносильна равномерной обратимости семейства {Ae,N : 0 < Е < Е1, N > N1} при подходящих Е1, N1 > 0. Последнее свойство равносильно обратимости смежного класса.

{A_£,n } + Iq € A/Iq .                                  (4)

Из обратимости оператора А следует, что смежный класс (4) обратим тогда и только тогда, когда, обратим смежный класс

{ A _£,n } + Ik € A/Ik.                                  (5)

Мы получим критерий обратимости последнего смежного класса.

Замечание. Несовпадение областей определения операторов A_e,N и операторов из алгебры A несущественно, поскольку рассматриваемые смежные классы не зависят от продолжения семейства A_e,N нa R₊ х R₊.

Для получения критерия обратимости смежного класса. (5) воспользуемся локальным принципом Гохберга. — Крупника. [5], основные положения которого предполагаются известными.

Обозначим через Mg (£ € R) множество всех определенных и непрерывных на R функций у. обладающих следутотними свойствами: 0 6 у(х) 6 1 для всех х € R. множество у^-1 ({1}) С R является некоторой окрестностью точки ф Пусть Mg (Д € R) — множество всех элементов алгебры A/Ik вида. {у1 : е >  0,N > 0} + Ik. г.те у € M_g. Элементы этих смежных классов порождаются семействами, не зависящими от е и N Семейство {M_g}_geIR является покрывающей системой локализующих классов в алгебре A/Ik и анализируемый смежный класс {A_e,N} + Ik коммутирует со всеми элементами этих локализующих классов.

Введем операторы U_x (А > 0) ii H_g ^ € R). действующие в пространстве Lp(R) по формулам

(Uxf )(x) = A^1/pf(Ах), x € R,

(Hgf )(x) = f (x - Д, x € R.

Это изометрические обратимые операторы, коммутирующие с оператором S, а, следовательно. ii с операторами Р±.

(g) ,

Для £ € Ri i е > 0 определим операторы Ay^J формулой

A'^g = Hg U1/_eA^(g) U_eH-g .

Определим операторы А^ ) (N > 0) формулой А^ ) = U1/N A^(oo)UN.

Приведем некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Для любого £ G R смежные классы {A_e,N} + Ik и

{A 0, N > 0} + Ik являются М^эквпвалептпыми.

C Достаточно рассмот^>еть частный случай A = al. где a — кусочно-непрерывная (f)

функция на. R. Е<зли £ — точка непрерывности функции a. то A^ = a(£)I. В этом случае утверждение тривиально.

Предположим, что е - точка разрыва фуиктпш a. Пусть у G Ф - фуикпия. определяющая функцию a^N) в окрести,юти точки ф т е.

a(e,N)(x) = (1 - у xx - ^^ a(e - е) + у xx £ ^ a(^ + е), если |х — е| < е.

( f )

Оператор Ac является оператором з'мпожепня на фупктшю be(x). задаваемую в окрестности {x : |х — е| < е} формутой be(x) = (1 — У xx - ^^ a(e ~ 0) + у xx-—^ a(e + 0).

Требуемая локальная эквивалентность следует из равенства lim sup |a(e,N)(x) — be(x)| = 0. > ' ' 0 |x-f |

Лемма 2. Смежные классы {A_e,N} + Ik и

{A^) : е> 0, N> 0} + Ik являются Мо-эквпвалептпымп.

C Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1. п мы его опускаем. B

• (f)

Лемма 3. Смежный класс {Ae ф + Ik (£ G R) Mf-обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор A^(f).

C Предположим. что £ G R и обратим оператор A^(f). В силу обратимости и изомет-(f)

ричности операторов Hf и U_e, семеиство {A^ : е > 0} равномерно обратимо. Тогда обратим и элемент

{AC^f) : е > 0, N > 0} G A.

(f)

Следовательно, обратим, а тогда и Mf-обратим смежныи класс {Ae J} G A/Ik.

Обратное утверждение докажем от противного. Предположим, что смежный класс {iiCf)} G A/Ik Mf-обратим, а оператор A(f) необратим. Последнее означает, что inf {kA(f)f k : f G Lp(R), kf k = 1} =0                         (6)

или аналогичное утверждение верно для оператора, сопряженного к A(f). Мы рассмотрим первый случай, второй рассматривается аналогично.

(fB

Выпишем условие Mf-обратимости элемента {Acф + Ik слева:

B_e,NA^yI = yI + T + ^_e,N,                        (₇)

где {B_e,n} G A, ^ G M?, T — компактный оператор в пространстве Lp(R), {A_£,n} G Iq.

Пусть {An} - последователь!юсть функций из M?. носители которых стягиваются к точке £. Операторы, сопряженные к ^_nI, сильно сходятся к нулевому оператору. Отсюда следует, что limn^ ||T^nIk = 0. Выберем функцию A из этой последовательности. такхю. что ^ = ^ 11 ||T^I || 6 1. Умножая обе части (7) справа, на. оператор ^1. получаем:

B,,N Af AI = AI + TAI + A_£,n ^I.                     (8)

Выберем такие Ё, N > 0, чтобы выполнял ось неравенство |A_£,n || 6 4 для всех е G (0, ё), N G (N, то). Тогда для тех же значений е, N соотношение (8) с учетом вида (?)

Aε

B,,n H? Ui/A") U,H-? AI = AI + A ,,n ,                    (9)

где A,,n = TAI + A,,nI. Следов;пельно. ||A_e,N || < 2.

Обозначим c = sup,,_N ||B,,_N||. Выберем функцию f G L_p(R) такую, что kf || = 1, |A⁽?)f || < 4c- He нарушая общности рассужденшi. можно предполагать, что функция f финитная.

Рассмотрим семейство функций g, = H?U_1/ef. е> 0. При е ^ 0 носители функций g, стягиваются к точке £. Выберем и зафиксируем такое е. 0 < е < Ё. чтобы выполнялось равенство Age = д, Применяя к функции д, операторы в левой и правой частях (9), соответственно получаем:

kB_e,NH?U_1/eA^U_eH-?Ag,! 6 cHA^U,H—?Ag,|| = c|A⁽?⁾f || 6 |,

MAI + A_£,nЫ > Шk-kA_e,Ng_ek > 2.

Полученные неравенства, противоречат соотношению (9).

В случае, когда, аналог соотношения (6) выполняется для оператора, сопряженного к A(?) , выписывается условие М?-обратимости с межного класса {A,?)}+Ik справа. В нем нужно перейти к сопряженным операторам, остальные построения проводятся по той же схеме. B

По аналогии с леммой 3 доказывается следующее утверждение.

Лемма 4. Смежный класс {A^)} + Ik M^-обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор A⁽~\

Завершим доказательство теоремы. Необходимость условий теоремы вытекает из лемм 1-4 и локального принципа. Гохберга. - Крупника.

Для доказательства, достаточности отметим дополнительно, что из обратимости оператора A следует выполнение условия a±(^) = 0 во всех точках, в которых обе эти функции непрерывны. Поэтому для этих точек обратимы операторы A⁽?). Следовательно. равномерно обратимо семейство {A,?) : е > 0}. Отсюда вытекает обратимоств. а тогда, п М?-обратпмость смежного класса.

{A,?)} + Ik G A/Ik.

Остается воспользоваться леммами 1-4 и рассматриваемым локальным принципом. Теорема. 1 доказана.

Приведенные построения могут быть перенесены на случай пространств Ь_р(Г (1 < p< то) в предположении, что Г — контур в комплексной плоскости, состоящий из конечного числа простых замкнутых попарно непересекающихся кривых, удовлетворяющих условию Ляпунова. Соответствующие построения для частного случая приведены в [2], и мы не будем на. этом останавливаться.