Кроссконтексты математических объектов в учебниках по математике для начальной школы

Качественное обучение математике сегодня начинается с детского дошкольного учреждения и начальной школы. Смыслы математических понятий проникают все глубже не только в быт взрослых людей, но и в межличностные отношения современных детей. «Сломанный» смысл математического понятия не позволяет расширять и углублять его изучение. В связи с этим становится очевидной мысль о необходимости учить сразу правильно, начиная с раннего - самого обучаемого - возраста. Сегодня над этим работают многие авторские коллективы, создавая школьные учебники по математике, в том числе и для начальных классов. Процесс создания школьного учебника для начальных классов многогранен c учетом и возрастных особенностей детей, и требований к современному учебнику, и концептуальных авторских задумок, в силу чего он полон противоречий, и вот лишь некоторые из них:

• 1.    Математические понятия и действия должны быть целостно сформированы у обучающихся, но одноактно этого сделать невозможно - противоречие между необходимостью формирования целостного образа математического понятия или действия, как в целом, так и на любом этапе его формирования, и реальной объективной воз-

• можностью рассредоточенного протекания такого процесса и по этапам формирования, и по частям содержания. О необходимости целостного обучения и воспитания говорит К. Роджерс [15].

• 2.    Все компоненты процесса обучения тому или иному математическому понятию или действию должны быть направлены именно на целостность и научность его формирования, но при этом они должны учитывать необходимость процессуальной рассредоточенности протекания соответствующего образовательного процесса - противоречие между целевыми направленностями одних компонент процесса формирования (цели, содержание и результаты) - целостность, интеграция - и вспомогательной (как средств) направленностью других компонент того же процесса формирования (методы, средства и формы) - обособленность, развитие, дополнение.

• 3.    В учебниках по математике для начальных классов представлено много математических понятий и действий, а также логических операций (математические объекты), но практически отсутствуют их научные трактовки или определения - противоречие между целью - необходимость формирования смыслов и терминологической речи научного понятийного аппарата математического объекта и «бытовыми» средствами формирования - бытовыми понятиями и утверждениями, используемыми в текстах школьных учебников.

• 4.    Смысл этих понятий и действий по их применению представлен соответствующими текстами, которые, как правило, рассредоточены по тексту учебника (по времени) - по части или всему курсу математики начальной школы - противоречие между внешней направленностью каждого текста учебника на «что» - явное описание именно математической информации - и внутренней его направленностью на «как» - скрытое описание методической информации, то есть каким образом, какими словами, какими действиями эту математическую информацию следует доносить до ученика. Другое противоречие - противоречие между необходимостью «видеть и понимать» концентрацию смыслов в каждом тексте учебника - и математическую, и логическую, и разнообразную методическую информацию - и отсутствием средств обособления одного вида информации от другой и/или интеграции разных видов информации в один смысл.

• 5.    Описания в разных текстах одного и того же математического объекта, его представленность в явном (словесном) и неявном (контекстном) видах отражают авторский образ соответствующей методики формирования математического объекта или, другими словами, образ методического объекта [10] - противоречие между необходимостью соблюдения целостного авторского описания методики формирования математического понятия и/или действия рассредоточенного по времени (и по текстам учебников) образовательного процесса и необходимостью этим описанием по частям вызывать целостный образ соответствующего методического объекта у школьного учителя.

• 6.    Задаваемый «автором» образ методического объекта должен быть реализован именно в авторской концепции, а реализуется он конкретным учителем на основе имеющегося у него внутреннего контекста формирования этого методического объекта. Может ли учитель «прочитать» эту линию, адаптировать ее смыслы к собственной педагогической деятельности или нет, по субъективным или же по объективным причинам, зависит и от обученности в этом вопросе самого учителя, и от заложенного общего смысла в соответствующие тексты, пронизывающие их контексты, и от умения учителя распознавать методические смыслы за содержанием учебных математических

Проблема исследования: поиск путей и средств распознавания методической информации, рассредоточенной в разных учебниках линейки одного автора.

Объект исследования: методические смыслы учебных материалов по математике, заложенные в тексте учебника, другими словами - контексты учебных материалов по математике в учебниках для начальной школы [13].

Уточним предмет исследования следующими рассуждениями.

текстов. Как показывают многочисленные исследования, стереотипность педагогического мышления прошлого опыта преобладает над распознаванием новых смыслов и преобразованием собственных действий в новых ситуациях, похожих чем-то на ««старые» [10]. Отмечаем противоречие - противоречие между необходимостью распознавать всю линию контекстов, связанных с одним математическим понятием и/или действием (одним методическим объектом) и наличием у учителя средств такого распознавания, средств изменения этого «стереотипного» взгляда в соответствии с авторским замыслом.

Ослабить отрицательное влияние этой «стереотипности» можно при условии наличия у учителя умения объективного распознавания и осмысленного «вычитывания» дополнительной методической информации из текстов школьных учебников. Поясним сказанное.

Каждый текст из «набора» текстов, во-первых, связан с конкретным понятием или действием; во-вторых, преследует разные дидактические цели (а иначе зачем он нужен); в-третьих, контекстное содержание каждого такого текста в отдельности можно интерпретировать смыслами, находящимися вне общего смысла всего «набора» текстов; в-четвертых, контекстный смысл всего ««набора» текстов определяет контекстный смысл отдельно взятого текста, его роль и методическую значимость. Но поскольку цель и содержание одного текста (из «набора» текстов) отличается от других, то реализации в текстах и других компонент образовательного процесса имеют существенные отличительные черты. Каждый текст «совокупности» многофункционален: с одной стороны, он предназначен обучающемуся, школьнику и в самом тексте нет «методики» его изучения, но, с другой - эта «методика» в нем содержится в скрытом виде - как «методика» отдельного текста, так «методика» реализации всего «набора» рассредоточенных по учебнику текстов. При этом каждый текст обладает собственным методическим смыслом - собственным контекстом - с одной стороны, а с другой - он определяет и определяется контекстом всего «набора». А вся «линейка» смыслов представляет собой единый поэтапно конкретизированный смысл. Мы называем его кроссконтекстом математического понятия или действия (иногда кроссконтекстом).

Следует отличать «кроссконтекст математического понятия» от «методической линии развития этого понятия». «Линия» предназначена ответить на вопрос «Как в целом должно быть?», а «кроссконтекст» отвечает на вопрос «Как детально это сделано в учебнике?». Другими словами, «линия» предусматривает выполнение методических действий по изучению математического понятия, а «кроссконтекст» отражает в тексте учебника нюансы, особенности (все или их часть) того отрезка «линии», который, прежде всего, соответствует психологическим этапам формирования понятия и действия. Кроме «психологии» кроссконтекст отражает полноту соблюдения психологодидактических условий развития понятия, «движение» смыслов его развития от одного прообраза данного понятия к другому прообразу и, наконец, к собственно понятию. Методическая линия все это должна предусматривать теоретически, а кроссконтекст призван освещать полноту и глубину реализации этого «долженствования».

Предмет исследования : кроссконтексты математических понятий или действий, описанные в последовательности разных текстов учебников математики для начальных классов одной ««авторской» линейки.

Понятие «кроссконтекст математического понятия» было введено в статьях [11, 13, 14]. Данное понятие имеет «смысловые аналогии», например, понятие «кросскуль-турный контекст» [9].

Вышесказанное и анализ текстов учебников по математике [2-8] позволили определить понятие «кроссконтекст математического понятия» следующим образом.

Кроссконтекст математического понятия (действия) в школьном учебнике по математике трактуем как интеграцию объективных смыслов, порождаемых воспринимаемыми различными учебными текстами, которые: 1) представляют данное понятие (действие) в соответствии с хронологической последовательностью их появления в учебнике; 2) принадлежат «линейке» учебников ««одного автора».

Все сказанное выше дает возможность сформулировать следующие основные противоречия : между расчлененностью методических объектов или действий в разных текстах учебников и необходимостью целостно их распознавать в линии математических объектов или действий с их помощью; между имеющимися у учителя теоретическими знаниями по методике обучения математике и отсутствием практических средств распознавания скрытых методических смыслов, направленных на формирование одного математического объекта в рассредоточенной последовательности текстов одной «линейки» учебников по математике.

Представим некоторые особенности кроссконтекста математического понятия для целостности понимания этого понятия на примере понятия «угол». Этот пример позволит выделить другие особенности понятия «кроссконтекст».

Описание понятия «угол» рассмотрим на примере текстов учебников по математике для начальных классов по программе «Школа 2100» [2-5].

Общепринятое определение понятия «угол» не представлено в указанной линейке учебников. Приведем его.

Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла , а общее начало - вершиной угла [1, с. 8].

Пример. В учебнике для первого класса по программе «Школа 2100» представлен урок № 3.17 «Угол. Прямой угол». Это первое целенаправленное знакомство с научным понятием «угол» [2, с. 54].

Задание №1 . «Сколько лучей провел Петя из каждой точки?

Рис. 1.

Как бы вы назвали фигуры на рисунке?» [2, с. 54]

Это - углы.

Точки - вершины углов. Лучи - стороны углов.

Здесь представлены существенные признаки понятия «угол». Угол - это два луча, проведенные из общей точки. Представленные образы говорят о целостности информации в данном тексте учебника с точки зрения общепринятого научного определения понятия «угол».

Из данного примера можно сделать ряд выводов. 1. Контекстная информация: а) выявление образа восприятия понятия «угол» в житейском смысле (без точки - вершины) следует рассматривать как необходимый акт учебного процесса. Его результат служит основой создания образа восприятия понятия «угол» в математическом смысле; б) внутренний контекст понятия «угол» образуется за счет «пополнения» житейского понятия «угол» новым представлением: вершина угла - точка. Кроме этого, у учащихся могут возникнуть образы восприятия таких понятий, как «прямой угол», «тупой угол», «острый угол»; в) новое представление возникает на основе рассмотрения частных примеров, то есть по индукции. Следовательно, именно индукция (как контекст рациональных рассуждений [12, с. 120-129]) вызывает смыслы о новом представлении - об образе восприятия «вершины угла» (как контекст цели логического рассуждения [13, с. 44-49]). Контекст индукции приводит к обобщению, а в данном примере он может стать «инструментом, средством» создания образа восприятия «другого» понятия «угол», что может привести к двойным смыслам. 2. Кроссконтекстная информация: а) методическая составляющая кроссконтекста: создание образа восприятия реализует цель - наведение на существенные признаки понятия «угол». А это значит, что один смысл (контекст «индукция») вызвал образ восприятия, а он, в свою очередь, обеспечил осмысление существенных признаков понятия «угол» (контекст цели использования логического рассуждения) [13, с. 44-49]; б) взаимосвязанность контекстов одной составляющей направлена на осмысление «образа восприятия» понятия «угол» (первый этап формирования понятия); в) выполнение упражнения, связанное с распознаванием существенных признаков, задает начальный этап кроссконтекста действия - «подведение объекта под понятие». Контекст «подведение объекта под понятие» является целью выполнения задания. Контекст этого действия формируется не одномоментно, а рассредоточенно вплоть до середины изучения систематического курса геометрии. В этом смысле математические тексты, способствующие формированию действия «подведения объекта под понятие», образуют целостную методическую линию, а контексты соответствующих текстов можно объединить в кроссконтекст, внутри которого находятся тексты (задания) на распознавание понятия «угол» даже на этапе создания «образа восприятия».

Второй этап формирования понятия «угол» - создание представлений - начинается на этом же уроке. Представлением служит представление прямого угла, которое задается с помощью контекста рациональных рассуждений - «эксперимент». Развитие понятия «угол» продолжается на уроке № 3.33 «Уменьшаемое, вычитаемое, разность», где создается представление о том, что на одном и том же рисунке изображены два луча и точка как отдельные фигуры, а вместе - это угол. Логическая цель - замена понятия «угол» его определением. Распознавание лучей и точки - подведение под понятие. Распознавание угла - замена термина его определением.

Таким образом, кроссконтекст понятия «угол» формируется с помощью разных видов контекста: контекстов индукции и дедукции (замена термина его определением и подведение объекта под понятие), контекстов формирования этапов формирования понятия и умственного действия. Развивается содержание контекста в содержании соответствующей методической линии: виды углов, равенство углов, видов треугольников.

Анализ школьных учебников позволяет ввести понятия: состав кроссконтекста математического объекта и структура кроссконтекста математического объекта.

К составным частям кроссконтекста математического объекта, которые можно распознать в учебниках по математике для начальных классов, относим следующие:

• -    линия математического объекта (основные, вспомогательные понятия, отношения между ними, последовательность и др.);

• -    общие методики формирования математического объекта (компоненты, цели, содержания, методы и другие этапы формирования методического объекта);

• -    содержание конкретных текстов в учебниках математики в изложении их автором;

• -    интерпретация предполагаемых методических действий (указания из нормативных документов, методических рекомендаций авторов учебников);

• -    средства методического обеспечения, отраженные в УМК.

Структура кроссконтекста в текстах учебников по математике для начальных классов: учебно-математическая - построение и развитие математического объекта; методико-математическая - построение и развитие методического объекта; логикоматематическая - построение и развитие математического объекта в формализованных логических понятиях и действиях и понятиях рациональной логики, и наоборот.

Методическую рациональность введения понятий «кроссконтекст математического объекта», «состав кроссконтекста математического объекта» и «структура кроссконтекста математического объекта» подтверждают и другие примеры. Кратко обозначим их.

В учебнике по математике для начальных классов можно выделить кроссконтексты других математических понятий, например кроссконтекст «квадрат». Выделим некоторые этапы кроссконтекста «квадрат»: форма квадрата [2, с. 4], родовое понятие понятия «квадрат» - замкнутая ломаная [2, с. 36-37], четырехугольник [2, с. 53], прямо- угольник [2, с. 56], определение квадрата и видовые отличия [3, с 74], свойство квадрата - плоская фигура, куб - объемная фигура [5, с. 46], метрические соотношения - периметр, площадь квадрата [7, с. 6], [7, с. 40].

Кроссконтекст понятия «задача» можно проследить в этапах формирования понятия «задача», которые скрыты в большом наборе заданий для обучающихся: I. Составление рассказа (сюжета) по рисунку (вычленение информации из рассказа и рисунка; ответы на вопросы по рисунку; моделирование информации на рисунке; составление вопросов к рисунку; составление рассказа (сюжета) по рисунку, вычленение информации из рассказа и рисунка, ответы на вопросы по рисунку, моделировании информации на рисунке, составление вопросов к рисунку); II. Понятие «задача» [3, с. 36], простые задачи, раскрывающие смыслы сложения и вычитания: [3, с. 38], [3, с. 44], [3, с. 48], [3, с. 54]. Составные задачи, раскрывающие смыслы сложения и вычитания: [4, с. 2]. III. Сюжетные задачи: простые задачи, раскрывающие смыслы умножения и деления [6, с. 64], [7, с. 54]. Решение составных задач с помощью уравнения [8, с. 66]. Задача на движение. Задача на производительность. Также в учебнике по математике для начальных классов можно выделить кроссконтексты логических понятий (например, логическое понятие «классификация» было рассмотрено в статье [11]), математического действия (например, кроссконтекст дедукции [14]). Обобщение и действия с определением - замена термина его определением является следующим этапом по формированию действий дедукции.

Выделим особенности понятия «кроссконтекст», демонстрируя отличия его контекста: 1) контекст текста - это «системность» текста; кроссконтекст - «системность» контекста одной «линии» текстов; 2) контекст понятия представлен в одном отдельном тексте учебника; кроссконтекст понятия представлен в разных текстах учебника одного автора; 3) контекст и кроссконтекст - это квазитекстовые феномены, порождаемые информацией текстов во внутреннем профессиональном контексте учителя [10]; 4) контекст выражен обособлением и/или супераддитивностью смыслов, кроссконтекст выражен только супераддитивностью смыслов [10]; 5) контекст - смысл, кросскон текст - смысл «смыслов»; 6) контекст текста - целостность текстового выражения единицы математической информации, в смысловом осознании методической информации (прообраз математического понятия) выражен в заданиях (действиях с понятием) для ученика; кроссконтекст - целостность совокупности текстовых выражений единицы математической информации (например, психологических этапов/ или этапа) в математической информации (например, в совокупности прообразов математического понятия или прообразов действий «по определению»); 7) контекст - системность текстов; кроссконтекст - системность контекстов; 8) предназначение контекста и кроссконтекста: а) распознавание имеющейся, скрытой, явной, неявной текстовой информации, б) распознавание контекстной информации и их взаимосвязь, в) обнаружение недостатка информации, г) дополнение информации, кроме того, кроссконтекст пополняет субъективный опыт учителя личностно значимой методической информацией.

Выводы:

• 1.    Кроссконтекст - это интеграция смыслов контекстов разных текстов, связанных с одним понятием в учебниках по математике для начальных классов одной линейки. Особенностью кроссконтекста является образование системности контекстов.

• 2.    Кроссконтекст математического понятия, описанного в последовательности текстов учебника, - это интеграция смыслов (контекстов) этих текстов в новый смысл, который связан с одной или несколькими составляющими текстов (математического, методического, логического). Математическая составляющая отражает развитие содержания математического понятия в его новых свойствах и/или новых образах и представлениях, а она также может отражать правомерность и/или обоснованность новых свойств и/или существенных признаков математического понятия. Методическая составляющая представляет дидактические цели изучения понятия, показывает пример(ы) реализации цели в текстах, а также отражает этапы формирования

• 3.    Кроссконтекст как интеграция смыслов возникает в виде квазитекстового феномена на основе системности и целостности контекстов, его создающих. С одной стороны, кроссконтекст внешне «вычитывается» из текстов школьного учебника, а, с гой - «вычитывание» возможно при условии, что читатель способен распознать эту контекстную информацию взаимосвязей, указанных в ней, и может дополнить эту информацию до объективно значимой и личностно реализуемой им.

• 4.    Введение термина «кроссконтекст математического понятия» в научный оборот объясняется необходимостью и целесообразностью распознавать в учебной информации методический смысл и адаптировать его к собственной педагогической деятельности.

понятия и/или этапы формирования действий «по определению» (подведение под понятие, выведение следствия). Логическая составляющая отражает правомерность введения понятия, правомерность действий по его использованию, а также представляет смыслы логических операций, связанных с математическим понятием, и смыслы различных приемов мыслительной деятельности.