Крутильные колебания стержневых конструкций с осевой неоднородностью геометрических характеристик

В упругих системах, входящих в состав разного рода механизмов и конструкций, наблюдается явление крутильных колебаний, которое может являться следствием технологического процесса или результатом негативных воздействий. Проблема крутильных колебаний рассматривается, как в рамках самостоятельной спектральной задачи, так и при исследовании параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) в результате динамических воздействий нагрузок. Например, в работах [1, 2] рассматривается построение математических моделей для определения спектра собственных частот крутильных колебаний, включая выявление условий возникновения параметрических резонансов. Исследование параметров структуры и дефектов стержневых конструкций на основе анализа значений первых частот собственных крутильных колебаний рассматривается в статьях [3–5]. Расчетам упругих валов на динамическое воздействие нагрузок посвящены работы [6–8].

В некоторых работах колебания исследуются с учетом нелинейных параметров модели. Так влияние депланации поперечных сечений тонкостенных стержней на параметры колебательного процесса изучено в работе [9]. В статье [10] получено уравнение крутильных колебаний нелинейно деформируемых стержней, указан способ усреднения нелинейных свойств композиционных стержней. Однако для практических целей динамических расчетов упругих стержней наиболее широкое распространение получила волновая модель Сен-Венана и ее решение методом Фурье [11]. Применение метода Фурье для исследования колебаний конического вала с использованием функций Бесселя рассмотрено в работе [12], а случай, когда крутильная жесткость изменяется по линейному закону от продольной координаты, исследован в статье [13], однако в своих работах авторы ограничились лишь рассмотрением частотного уравнения.

Таким образом, исходя из того, что в теории расчетов в настоящее время нет единого подхода к построению математической модели крутильных колебаний для стержней, имеющих нели- нейность геометрических и механических характеристик, поиск и развитие новых решений дан ной задачи является актуальной научно-практической проблемой.

В качестве математической модели рассматриваемого объекта примем упругий стержень длиною l, распределенный момент инерции масс поперечного сечения I m и крутильная жесткость GI x которого изменя

M

M

ется по степенному закону от продольной координаты x :

.      . г                GT .

( 0 <  k <  1 ) , (1)

-m = Yix2za; GIx = GIx2za; z = (1 - k) -+k; k = d l           N GIx 2

где I_{x 2} - момент инерции площади большего основания стержня; у -плотность материала, показатель степени а зависит от конфигурации конструкции, например, для металлоконструкции пирамидальной формы а = 2, для труб конической формы а = 3, а для конического стержня сплошного сечения а = 4 (рис. 1).

Уравнение углов поворота ф(x, t) с учетом принятых обозначений, по аналогии с уравнением продольных колебаний [14] будет иметь вид:

z^a ^ + a z ^{a - 1 Ф} = d z ²           d z

Yl ² а ^d 2Ф .

-------------1 ^z .. - ⁺

G^-k) ² d tt

lг

G- x 2 ( 1 - k ) ²

p ( z , t ) , ⁽²⁾

где G - модуль сдвига, p ( x,t ) - внешняя нагрузка.

Найдем общее решение уравнения (2) при p ( z , t ) = 0 (случай свободных колебаний).

ШшШ, x

Рис. 1. Расчетная схема стержневидной конструкции с осевой неоднородностью крутильной жесткости

Разделяя переменные, получаем уравнение для собственных функций, решение которого имеет вид [15]:

Ф n ( z ) = z ^v ( C J _v ( A n z ) + C ₂ Y _v ( X n z ) ) ,               (3)

где

1 - Ц ,       tonl

v =     ; A = n ,

2 n (1 - k) с ton - собственные частоты колебаний, Jv (z) и Yv (z) - функции Бесселя, c = ДGI у - скорость распространения крутильных волн в стержне [9].

Для удобства решения задач с разными граничными условиями введем следующие обозначения функций:

A (Z)=П Zo (Jv (Z) Yv-1 (Zo)-Yv (Z) Jv-1 (Zo));

B (Z )=П2 Zo (Yv (Z) Jv (Zo)-Jv (Z) Yv (Zo));

c(Z )=П Zo (Jv-1 (Z) Yv-1 (Zo)-Yv-1 (Z) Jv-1 (Zo));

D(Z) = ПZo(Yv-1 (Z) J, (Zo)-Jv-1 (Z)Yv (Zo)).

где Z _o = A n k - значение аргумента в начальной точке отсчета. Исходя из рекуррентных соотношений для функций Бесселя [16], представленные функции будут иметь следующие частные зна-

A(Zo) = D(Zo) = 1; B(Zo) = C(Zo) = o.

Используя принятые зависимости, произвольные постоянные в уравнении (3) можно выразить через угол поворота Ф о и момент M _o в нулевом сечении, тогда выражения для деформаций и усилий для произвольной формы колебаний можно представить в виде:

Фn(z)=zv^Фok-vA(^nz)+   Mol   k^B(Aiz)^;                   (4)

(                GIx 2 (1- k) An         )

Механика

M n ( - ) = GI^X 2 ( 1 k ) -   Ф , ( -• ) = - ф GI^X 2 ( 1 k ) кC ( » . - ) + M 0 k ^{v - 1} D ( k n - ) 1 (5)

l                                к l                                                7

На основании теоремы о взаимности работ [17], при отсутствии сосредоточенных масс собственные функции будут ортогональны с весом р ( - ) = - ^{1 - 2 v} . Для нахождения квадрата нормы собственных функций вначале поступим аналогично, как в работе [14] для собственных функций с различными индексами:

(2² - 22 Иг^1-2 ^и Ф Ф dz = Ф (z^1-2^' ) - ф (z^1-2^' V .

n m z m n z m z n n z m .

kk

Перейдя к пределу при m ^ n , получаем:

2 k n 1 - ^{1 -} 2 ^V Ф 2 ( - ) d-   '^ ( - ^{i - 2 v} ф , ) - ф n ^д(^{- ф})

-М,                   дЛп

.

k

Определив частные производные по kn, квадрат нормы собственных функций находим в ви- де:

(             2VV            2^

А2=- 2- ^Ф2 +—г  'ф) —- z1-2^ )ф   .(6)

n ^ n«  1 .2 (-       'n)      .2 (-       'n)'n     .

2 к           kn              Лп7

Теперь рассмотрим случай вынужденных колебаний, для этого требуется найти решение ф ₂ ( -, t ) неоднородного уравнения:

(- 1-2vф/)- в - 1-гvф = ^2- Р (-, t), в =        .(7)

^{V !}                 YI x 2                  С ( 1 ^{- k} )

Решение уравнения (7) представим в виде ряда по собственным функциям: ^

ф2 (-,t) = Еwn (t)фn (-) .

n =1

Подставив этот ряд в уравнение (7) и принимая во внимание соотношение k _n = Peo n , получаем:

Еw., + on wn )=1-2"Фn =-^i-tl.(9)

n =1                                    Y I X '2

Применив метод Фурье к уравнению (9), при учете свойства ортогональности собственных функций с весом, получим уравнение относительно коэффициентов w_n :

1 - k 1,4,4.

w n ⁺ ° n w n =J p ( ^- , t )^Ф n ( ^- ) d ^- .                          ⁽¹⁰⁾

Y I X 2 ^l ^ n к

В качестве примера, рассмотрим схему внезапного приложения момента к верхнему торцу стержня, на котором расположена локальная инерционная нагрузка с моментом инерции I_M , а нижний его конец жестко закреплен (рис. 1). Такая схема может моделировать конструкции опор линий электропередач в аварийной ситуации при обрыве провода.

Для исследования параметров НДС конструкции необходимо решить граничную задачу (2):

M(0,t)- 1мф(0,t) = 0; ф(l,t) = 0,(11)

с однородными начальными условиями:

ф(x,0) = 0; ф(x,0 ) = 0.(12)

Решение уравнения (2) ищем в виде ряда (8). Собственные функции определим, используя метод начальных параметров, тогда с учетом первого граничного условия (11) получим выражения углов поворота (4) и крутящих моментов (5) для произвольной гармоники:

Фп (-) = Ф0-V (k-VA (kn-)-^knkV-1B (kn-));

M, (-• ) = я,GIx2 ^ni^L-kl- 1- (k-VCц.)-6Xik--1D(л,-)),

IM (1 - к)                                               to1

здесь 4 =-------- - относительный момент инерции, Л = -— n— --собственные значения час-

YIx 21                                                  (1- к) c тотного уравнения.

Из второго граничного условия (11) получаем уравнение для нахождения собственных значений:

A ( л , ) - 4Л , к ^{2 v - 1} в ( л , ) = 0.

Оценим влияние параметра к на значения первого собственного числа уравнения (14) to = Л с / 1 , Л , = Л , ( 1 - к ) , аналогичным образом определяются частоты для стержней постоянного сечения [11]. Численные исследования зависимости Л от величины параметра к для пирамидальной каркасной конструкции (v = -0,5), конического полого (v = -1,0) и сплошного (v = -1,5) стержней без учета сосредоточенной массы ( 4 = 0) представлены на рис. 2. Из графика видно,

ɶ

ɶ

что для случая к = 1 величина Л ! совпадает с известным значением Л 1 = п /2 = 1,571 [11], обозначено штрихпунктиром.

На графике рис. 3 представлена зависимость Л от величины локальной инерционной нагрузки 4 для параметров стержня v = - 1; к = 0,5, пунктиром показана зависимость для упро-свободы [18]:

Рис. 2. Зависимость Л 1 от величины параметра относительного поперечного размера k

ɶ

			v k		= -1,0 = 0,5
1 1 I
I \ \ L \
\ \ \ \

0,1       0,2       0,3      0,4        $

Рис. 3. Зависимость Л 1 от относительного момента инерции ξ

- tol л = —

c

2v(1 - к)2

^ 4(1 -к2v) '

Анализ результатов расчета собственных чисел для разных параметров (v, к , £) показал, что различие значений величины к по зависимости (15) и первого корня уравнения (14) - X наиболее существенно для стержней имеющих относительный поперечный размер к = 0,4 ^ 0,8, при этом для рассматриваемых объектов различие не превышает 5 % при значениях $ > 0,5.

С учетом наличия инерционной нагрузки на верхнем торце стержня (рис. 1), собственные функции будут ортогональны с весом р ( - ) = - ^{1 - 2 v} + 43 ( - - к ) , где 3 ( - ) - дельта функция Дирака. Тогда из соотношения (6) квадрат нормы собственных функций будет определяться по формуле:

А, = 2(к'((Л,) - 4Лnkv-1D(Л, ))2 - 4(Лк2v + 2v - 2) -

к ^{2 - 2 v}

•

Для случая внезапного приложения момента M в сечении - = к требуется найти общее решение уравнения, которое в соответствии с (10) будет иметь вид:

Механика

.       M (1 - k)    , , wn + ®n wn = -         Фn (k) .                            (16)

Y I x 2 ^{1 A} n

С учетом начальных условий (12) общее решение уравнения (16) будет:

Ml 1

wn ( t) = ~П iVl A2„2(1 - cos ®nt) .

(1 - k ) GIx2 AnAn

Таким образом, в окончательном виде получим уравнения углов поворота и крутящих моментов:

ф(z, t) = -ф0 -^V E"T^k (k^A (Anz) - ^-1B (Anz))(1 - cos tont) ;

^{1 - k} n = 1 ^A n ^ n

~

M (z, t) = -Mz1-V £~!   (k"C ( Anz) - ^nk-1D (Anz))(1 - cos ®nt) , n=1 A nAn

_    Ml ( 1 - k^{2 v} )

где ф ₀ =------------- - статический угол закручивания.

0 2 v GI x n ( 1 - k )

Введем обозначения для безразмерного времени т = tc / 1 , тогда выражения для динамических коэффициентов угла закручивания верхнего торца стержня К ф и крутящего момента в заделке K_M получим в виде:

K.(т) = -r^kivEТЛТ(k"VA(A,k)-5A,kV-1B(A,k))(1 - cosИ„т);

^{1 - k} n = 1 ^A n ^A n

Km (т) = -E4r(k"VC(Xn) - ^^nkv-1D(An ))(1 - cosу^пт) .

n = 1 ^A n ^A n

На рис. 4 представлены графики зависимостей (17) и (18), из которых видим, что характер поведения и максимальные значения динамических коэффициентов при отсутствии инерционного момента ( ^ = 0) существенно отличаются от известных решений аналогичной задачи для вала однородной структуры [18], для которого максимальные значения коэффициентов равны 2. При значениях параметров конструкции: v = - 1, k = 0,5 численно из выражений (17), (18) получим K

Рис. 4. Зависимость динамических коэффициентов угла закручивания свободного конца стержня и момента в заделке от безразмерного времени при отсутствии инерционного момента ( ξ = 0)

На рис. 5 представлены графики динамических коэффициентов (17), (18) при наличии локальной инерционной нагрузки для параметров конструкции: v = - 1, k = 0,5 , ^ = 0,2, пунктиром показаны динамические коэффициенты для невесомого упругого стержня с одной степенью свободы, полученные известным способом [17]:

1 - k^2v        .

Кф (т) = -(1 - cos Ат); KM (т) = 1 - ^Я2---------cos Ат.

2v(1 - k )2

Царенко С.Н. Крутильные колебания стержневых конструкций с осевой неоднородностью геометрических характеристик

Из графиков (рис. 5) видим, что упрощенная модель дает достаточную точность расчета при наличии определенной величины локальной инерционной нагрузки. При этом очевидно, что метод приведения масс не отражает реальную картину динамического процесса в случае отсутствия сосредоточенных инерционных нагрузок.

Рис. 5. Зависимость динамических коэффициентов угла закручивания свободного конца стержня и момента в заделке от безразмерного времени при наличии инерционного момента ( ξ = 0,2)

Выводы

• 1.    Стержневые модели имеют широкое применение в инженерной практике расчета многих объектов машиностроения, металлургии, строительства, горного оборудования, биомеханики и пр. При этом они используются как для непосредственного решения тех или иных прикладных задач, так и в создании теоретических основ для целого ряда методологических разработок. Таким образом, создание методологии расчета на крутильные колебания упругих стержней с осевой неоднородностью геометрических характеристик является актуальной научной проблемой, которая имеет существенное фундаментальное и прикладное значение.

• 2.    Для исследования параметров НДС стержневых систем используются как аналитические, так и численные методы решения задач. Численные методы, наряду с использованием программных комплексов объектного и имитационного моделирования, позволяют рассматривать задачи практически любой сложности, но имеют такие недостатки, как, например, необходимость привязки к конкретным параметрам объекта исследования, что затрудняет их применение на стадии проектных разработок, оценку результатов расчета и т. п. Предложенное аналитическое решение лишено указанных недостатков и помимо этого позволяет получить более полное представление о механизме динамического процесса и степени влияния характеристик модели на его параметры.

• 3.    Теоретическая ценность работы заключается в получении нового аналитического решения задачи крутильных колебаний на основе волнового уравнения, а также в разработке алгоритма применения метода Фурье для динамических расчетов упругих стержней с осевой неоднородностью геометрических свойств.

• 4.    Практическая значимость работы состоит в выводе расчетных зависимостей, которые могут быть непосредственно применены для моделирования НДС при динамических воздействиях нагрузок в таких объектах, как: валы сложной конфигурации, элементы бурильного оборудования, конструкции опор линий электропередач и пр. Полученное аналитическое решение также можно использовать для построения эталонных моделей и верификации расчетных данных при работе с программными комплексами объектного и имитационного моделирования. Предложенный алгоритм расчета может быть положен в основу инженерных методов и практических рекомендаций при разработке технической и регламентирующей документации.