Кубические уравнения, четырёхугольник ньютона и геометрические построения

Три задачи древности на протяжении многих веков стимулировали развитие математики – задачи квадратуры круга, трисекции угла и удвоения куба. Задача удвоения куба сводится к построению с помощью циркуля и линейки действительного корня ³ 2 кубического уравнения z ³ = 2. Задача трисекции угла приводит к построению корня уравнения 4 z ³ - 3 z - cos Ө = 0. Лишь в XIX столетии было доказано, что эти задачи нельзя решить с помощью циркуля и линейки. Было доказано, что в общем случае корни кубического уравнения z ³ + az ² + bz + c = 0 не выражаются через квадратные радикалы из коэффициентов a , b и c и поэтому не могут быть построены циркулем и линейкой [1].

Однако в частных случаях, когда коэффициенты исходного уравнения связаны какими-либо дополнительными соотношениями, иногда удаётся выразить корни уравнения через коэффициенты существенно более просто, чем по формуле Кардано. Например, если в уравнении x3 + px + q = 0                                    (1)

коэффициенты p и q связаны соотношением q = -2 (p + 4),                                        (2)

то x = 2 является корнем уравнения (1), а остальные два корня выражаются в квадратных радикалах. Легко проверить, что в общем случае z является корнем уравнения (1), если q = ^{- z (} p ^{+ z 2)}.

Четырёхугольник Ньютона

В книге [2] Ньютон посвятил 16 страниц анализу и различным способам вывода уравнения x ³ - ( a ² + b ² + c ² ) x - 2 abc = 0,                               (3)

связывающего стороны a , b , c и x четырёхугольника, вписанного в полуокружность (здесь x – диаметр окружности). Уравнение (3) является кубическим относительно x и квадратным относительно a , b , c . Очевидно, что если задан диаметр x и любые две из трёх сторон a , b , c четырёхугольника, то четвёртая сторона легко строится циркулем и линейкой. А из уравнения (3) видно, что любая сторона a , b , c четырёхугольника выражается в квадратных радикалах через оставшиеся три. Однако в общем случае для произвольно заданных длин трёх сторон a , b и c нельзя построить четвёртую сторону x четырёхугольника, то есть диаметр окружности [3].

Математика

Рассмотрим частный случай. Пусть для коэффициентов p = -(a2 + b2 + c2) и q = -2abc уравнения (3) выполняется равенство (2). Например, если a = 7 2 - V3 , b = 1, c = V2, то получим уравнение x3 -(5 - 3)) x - 2^4 - 2^3 = 0, которое имеет корень x = 2. А если k = m = 42 - 73 , n = 73, то получим уравнение x3-(k 2 + m 2 + n 2) x - 2 kmn = x3-(7 - 273) x - 2 (273 - 3) = 0, (4)

которое также имеет корень x = 2. Следовательно, четырёхугольник со сторонами a, b, c и x = 2 можно вписать в полуокружность диаметра 2, а в другую полуокружность вписать четырёхугольник со сторонами k , m , n и x = 2 . Заметим, что длины сторон a , b , c и k , m , n выбраны так, что вершины этих четырехугольников лежат в вершинах правильного двенадцатиугольника. Причем выполняются равенства (3) и (4), где x – диаметр окружности. Вычитая из равенства (4) равенство (3), получим уравнение

(a2 + b2 + c2 - k^ - m^ - n2)x - 2(kmn - abc) = 0 .

Отсюда находим длину диаметра x = 2 (kmn - abc )Д a2 + b2 + c2 - k2 - m2 - n2).                       (5)

Задача . По сторонам a , b , c и k , m , n шестиугольника найти диаметр x описанной окружности, если известно, что ломаные abc и kmn опираются на диаметр.

Решение . В этом случае длина диаметра находится по формуле (5) при условии, что a ² + b ² + c ² - k ² - m ² - n ² ^ 0. Кроме того, если a , b , c и k , m , n выражаются через квадратные радикалы, то диаметр окружности можно построить циркулем и линейкой.

Замечание. В [3] дана рациональная параметризация a , b и c , для которой x также рационально. Можно построить бесконечно много уравнений вида (3), разрешимых в квадратных радикалах. Например, пусть z выражено в квадратных радикалах. Выберем два параметра b и c так:    0 < b < z,    0 < c < 4z2 - b2 . Тогда третью сторону положим равной a = (-bc + b2c2 + z2 (z2 - b2 - c2) |/4. Очевидно, что для таких чисел a , b и c уравнение (3) разрешимо в квадратных радикалах. Приведём еще две серии уравнений вида (3), разрешимых в квадратных радикалах. Для произвольных комплексных чисел a , b и c при условии a2 + b2 + c2 = 4a2b2c2 -1 уравнение (3) разрешимо в квадратных радикалах потому, что имеет корень 2abc . А при условии a2 (2a2 + b2 + c2 ) = 4b2c2 уравнение (3) разрешимо в квадратных радикалах потому, что имеет корень 2bc a .

Построение треугольника по биссектрисам

Известно, что для любых заданных трёх положительных чисел l_a , l_b и l_c существует единственный треугольник со сторонами a , b и c , имеющий биссектрисы l_a , l_b и l_c . Однако в общем случае его построение циркулем и линейкой невозможно. Более того, даже построение циркулем и линейкой равнобедренного треугольника по трём его биссектрисам в общем случае невыполнимо. Рассмотрим уравнение [4]

y ³ - 2 ty ² - 3 у/ 4 + 1 = 0,                                   (6)

связывающее длины биссектрис l_a = lb , l_c и углы A = B равнобедренного треугольника. В уравнении (6) t = l_c /( 2 l_a ) , у = sin ( A/ 2 ) .

Решив кубическое уравнение (6), находим стороны a = b и c по формуле для биссектрисы:

,    2 bc     ( A A    2 ac     ( A A    2 a 2 a cos ( A )     ( A A    4 a cos ( A )     ( A A

L =-----cos I — I =-----cos I — I =----------;—?cos I — I =--------;—rcos I — I •

b + c   ^ 2 )  a + c   ^ 2 )  a + 2a cos(A)   ^ 2 )  1 + 2cos(A)   ^ 2 )

Выражая cos (A) и cos (A/2) через y = sin(A/2), получим выражение для стороны а и ана логично для стороны c = lc 2ctg (A)

г       3 - 4 У ²            , 1 - 2 У 2

a = la--------- 1     , c = lc—1=

4 ( 1 - 2 y ² ) Ay      У /-7

Следовательно, если y = sin ( A/ 2 ) выражается в квадратных радикалах, то и стороны а = b и c выражаются в квадратных радикалах. И равнобедренный треугольник можно построить по его биссектрисам. В таблице приведены некоторые частные случаи, когда такое построение циркулем и линейкой возможно. В последней строке таблицы даны приближённые значения а/la = b/l_b и c l_c потому, что точные выражения через квадратные радикалы громоздки. Для сравнения заметим, что для равностороннего треугольника а/la = b/^ = c/l_c = 2/43 = 1,15.

l c /( 2 l a )	sin ( A/ 2 )	A = B	C	a/l a = b/l b	c lc
14	( 4~5 - 1 ) /4	36 °	108 °	( 45 + 1 )/ 110 + 245	( 6 + 275 )/ 710 + 275
11 56	14	= 83,6 °	= 12,8 °	33 5 20	5 10
23 84	13	= 38,9 °	= 102,2 °	69 2 112	724
116	23	= 28,96 °	= 122,1 °	22 15 105	14 15 15
27 2 4	64	= 75,5 °	= 29 °	3 10 5	2 15
27 2 18	(76 - 22 ) /4	30 °	120 °	63	23
= 0,2826	171 500	= 40,0 °	= 100,0 °	= 0,879	= 2,38
27 2 8	( 7102 - Тб ) /16	= 57,1 °	= 65,8 °	= 1,09	= 1,29

Трисекция угла

Пользуясь формулой cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos а для косинуса тройного угла, запишем уравне ние

4cos³ ( A/ 2 ) - 3cos ( A/ 2 ) - cos ( 3 A/ 2 ) = 0 .

Для заданного угла 3 A 2 косинус угла A 2 находится из кубического уравнения (8). Следовательно, если уравнение (8) решается в квадратных радикалах, то трисекция угла 3 A 2 циркулем и линейкой возможна.

Воспользуемся тождеством sin² а + cos² а = 1 и результатами предыдущего пункта. Так, если A = 36 ° , то sin( A/ 2) = ( 75 - 1 ) /4 и поэтому cos( A /2) = /( 5 + 75 ) /8 является корнем уравнения

(8), в котором cos

(3 A/ 2) = ( 75- 1)7(5 + 55)/2 /4. Следовательно, угол 3A/2 = 54° можно разде- лить циркулем и линейкой на три равные части.

Известно, что трисекция угла 3A/2 = 60° невозможна. Однако можно с любой точностью выбрать приближение sin(20°) рациональным числом, например, положим sin(20°) = 171/500. Тогда = cos(20°)        является корнем уравнения (8), где cos(3A/2) = 332597220759/31250000 = 0,50006. Поэтому угол 3A/2 = 59,996° можно разделить циркулем и линейкой на три равные части. Так получим приближённое решение задачи о трисекции угла 60° .

Теперь заметим, что если y = sin (A/2) выражается в квадратных радикалах, то cos (A/2) и cos (3A/2) выражаются в квадратных радикалах. Следовательно, если циркулем и линейкой

Математика можно построить равнобедренный треугольник по трём его биссектрисам la = lb, lc, то можно выполнить трисекцию угла 3A 2 . И наоборот, если можно выполнить трисекцию угла 0 < 3 А/ 2 < 135°, то cos (А/ 2) и y = sin (А/ 2) выражаются в квадратных радикалах. Затем находим биссектрисы la = lb и lc, которые определяются равенством (6). И, наконец, строим треугольник, пользуясь выражениями (7). В этом смысле эти две задачи равносильны. А задача построения треугольника по произвольным трём биссектрисам оказывается сложнее задачи трисекции угла.

Правильные многоугольники

Задача трисекции угла связана и с построением правильного многоугольника. По теореме Гаусса–Ванцеля правильный n -угольник можно построить циркулем и линейкой, если n = 2 k p 1 p ₂... pm , где k - натуральное число или 0, pi - различные простые числа Ферма (3, 5, 17, 257...). Следовательно, для таких чисел n можно построить sin ( 180 °/ n ) = a/ ( 2 R ) , где a - сторона правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса R . Затем строим cos ( 180 °/ n ) и, пользуясь равенством (8), строим cos ( 3 - 180 °/ n ) . То есть задача трисекции угла 3 - 180 °/ n решена. Например, трисекция угла 3 - 180 °/ n , где n = 5, 10, 15, 17, 34, 51, ... выполнима.

Кубические уравнения

Кубическое уравнение

x3 + wx2 + px + q = 0,

где w = -(n3q2 + (n +1)p3)Дn2pq), а параметры n, p и q - произвольные комплексные числа, имеет корень x = nq/p. Остальные два корня находятся из уравнения x2 - (n +1)p21 (n2q) x - p/n = 0. Следовательно, уравнение (9) является бесконечной трёхпара метрической серией уравнений, разрешимых в квадратных радикалах. Если n = -3, то получим двухпараметрическую серию уравнений x3 +(2p3 + 27q2 )Д9pq) x2 + px + q = (x + 3q/p)(x - x2)(x - x3) = 0 ,(10)

3q Vk+1 ± 1   ,     27q2                                       , A3

где x ₂₃ =±--- , k =-- г-. Если в уравнении (10) k = m ( m + 2 ) , то x ₂ = —,

, p k              p3

= - 3 q

³ ( m + 2 ) p

то есть корни уравнения выражаются через коэффициенты рационально. Если в уравнении (10) k = -1, то m = -1 и уравнение имеет трехкратный корень x1 2 3 = - 3q/p.

Вот ещё несколько примеров кубических уравнений, разрешимых в квадратных радикалах. Уравнение x3 + px + 5p^6p /9 = 0, где p - произвольное комплексное число, имеет корни x1 = -2у/p/6 , x2,3 = у/p/6 ± 3д/-p/6 , то есть разрешимо в квадратных радикалах. Уравнение x3 + px + ^ 2 - 4 p /4 = 0, где p - произвольное комплексное число, имеет корень x1 =- V2 - 4 p /2,   следовательно,   разрешимо в квадратных радикалах. Уравнение x3 + px + Д-p3 (6 + 3V2) /9 = 0, где p произвольное комплексное число, имеет корень

x1 = 3 p2 q/ (p3 + 27 q2), поэтому также разрешимо в квадратных радикалах. Один из корней урав нения x3 + px + ^-2p3 = 0 равен -2p и это уравнение разрешимо в квадратных радикалах. Ин- тересно отметить, что пакет прикладных программ Mathematica генерирует для корней этого уравнения громоздкие выражения с использованием кубических радикалов. Ещё несколько разрешимых в квадратных радикалах кубических уравнений специального вида можно найти в [5].

Уравнения шестой степени

В общем случае алгебраические уравнения выше четвёртой степени неразрешимы в радикалах. Однако если коэффициенты уравнения связаны некоторыми дополнительными соотношениями, то это уравнение разрешимо в радикалах. Так, для произвольных комплексных чисел k , m , n иі справедливо тождество x ⁸ + kx ⁶ - mx ⁴ + nx ³ + lx ² + knx + k ( km + 1 ) = ( x ² + k ) x

x ( x ⁶ -

mx ² + nx + 1 + km ) , которое при l = - km — n ² /( 4 m ) приводит к трёхпараметрическому раз-

( 2 . ,W 3 .

x + k ) ( x + mmx

- n^(24m))(x3 - mmx + nl(24m)). То есть корни соответствующего полинома

выражаются в радикалах. Например, при k = - 4, m = 9 и n = - 30 получим уравнение

( x ² - 4 )( x ³ + 3 x + 5 )( x ³ - 3 x - 5 ) = 0, разрешимое в радикалах.

Теорема . Полином шестой степени x ⁶ + cx ⁴ + dx ³ + ex ² + fx + g можно представить произведением двух полиномов третьей степени вида x + px + q тогда и только тогда, когда выполняется равенство g ( с ² - 4 e ) - cdf + d ² e + f ² = 0. Эта факторизация имеет вид:

x ⁶ + cx ⁴ + dx ³ + ex ² + fx + g =

x ³ +

с + w

----x +

d + v II 3 ,

---- x ³ +

2 JI

с - w

----x +

d ± v I

2 J ’

где f = ( cd ± vw )/2, v = d d ² - 4 g , w = cc ² - 4 e .

Справедливость разложения (11) легко проверяется перемножением скобок [5]. Если g = d 2/4 , то разложение (11) принимает вид

6     4      3 ^с 2

x + cx + dx +-- x

cd    d ² I ₃ с    d I ²

+--x +--= x +— x +—

2     4 ^    2    2 J и полином имеет три двукратных корня. Если g = d /4 и 2c + 27d = 0, то полином (11) имеет один двукратный и один четырехкратный корень. Тождество (11) является частным случаем факторизации многочлена на трёхчленные множители [6]:

с + w „ d + v Y _m с - w „ d ± v ----xn +   x^m + xn +

2        2 J{ 2        2

x ² m + cx^{m + n} + dx^m + ex ^{2 n} + ^c^ ±4 wxⁿ + g = I xm

2 I

Если полиномы третьей степени в правой части тождества (11) можно факторизовать с помощью квадратных радикалов, то это алгебраическое уравнение шестой степени оказывается разрешимым в квадратных радикалах. Например, корни уравнения

3 .

x + px +

- p3 (б + 342) /91 (x3 + mx + V-2 m3)

= 0 можно выразить через коэффициенты p и m

с помощью квадратных радикалов. Для произвольных комплексных чисел p и m уравнение шестой степени ^ x ³ - px + ^( p + 1 )/ 2 /2 J x ³ - mm x + ^( m + 1 )/ 2/2 J = 0 имеет корни -J( P + 1 ) /2 /2, -7( m + 1)/2 /2, следовательно, разрешимо в квадратных радикалах. Пакет прикладных программ Mathematica не находит решения в квадратных радикалах этих двух уравнений шестой степени. Даже для численных значений коэффициентов p = 24, m = V3 пакет Mathematica выражает корни через кубические радикалы.

Заключение

Другие примеры разрешимых в квадратных радикалах алгебраических уравнений выше третьей степени и некоторые приложения к задачам механики можно найти в [5]. Заметим, что кубические уравнения нередко возникают и в физико-технических задачах. Например, уравнение Ван-дер-Ваальса (уравнение состояния реального газа) является кубическим уравнением относительно объёма.

Математика