Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий

Ряд задач прикладного характера приводят к необходимости изучения асимптотического поведения траекторий квадратичных отображений симплекса

S m—1

= {x = (x i ,... ,X m ) :

m y^ Xi = 1, Xi > 0 > i=i                  J

в себя вида

m

V :   xk = У2 Pij,kXiXj,      k = 1,..., m, i,j=1

где

m

P i,j,k = P ji,k > 0,       P ij,k = 1.

(0.1)

k =1

В популяционной генетике эта задача представляет особый интерес в случае, когда V : S ^m—1 ^ S m-¹ — топологический автоморфизм, изучению которого посвящена данная статья. В §§ 2–3 изучается строение неподвижных точек операторов вольтерровского типа и их связь с функциями Ляпунова. В § 4 для операторов вольтерровского типа общего положения вводится понятие карты неподвижных точек и рассматривается вопрос о существовании инвариантных многообразий. Основная цель статьи состоит в установлении регулярного поведения отрицательных траекторий и, как правило, нерегулярного поведения положительных траекторий квадратичных автоморфизмов. Полученные результаты представляют собой обобщение и дальнейшее развитие работ [1–5].

(с) 2006 Ганиходжаев Р. Н, Эшмаматова Д. Б.

1.    Общий вид квадратичных автоморфизмов симплекса Sm 1

Если коэффициенты { P ij,k } отображения (0.1) удовлетворяют условию P ij,k = 0 при k = i,j, то V будем называть оператором вольтерровского типа. Согласно [5] a kk = 0 и a ki = 2P ikk — 1 при i = к операторы вольтерровского типа можно привести к виду:

V :

x k = X k

m

1 + X i=1

^a ki ^x i

к = 1,..., m,

(1.1)

причем aki — aiki laki | 6 1.                                        (1.2)

Далее I = { 1, 2,..., m } , точки e i = (a^,..., a mi ), где a i,j — символ Кронекера, вершины симплекса S ^m-1 . Для а С I через Г _а обозначим выпуклую оболочку вершин { e i } i^_a . Внутренность Г _а в топологии индуцированной из R m на аффинную оболочку Г _а называется относительной внутренностью и обозначается через г1Г _а . Аналогично определяется относительная граница дГ _а грани Г _а , | а| — число элементов множества а С I . Следующие предложения легко следуют из определения оператора вольтерровского типа.

• (1)    V(Г _а ) С Г _а , в частности, все вершины симплекса S m^-1 являются неподвижными точками.

• (2)    V(ri Г _а ) С ri Г _а , V(дГ _а ) С дГ _а для любого а С I.

Пусть A = (a ki ), где a ki удовлетворяют (1.2). Через A _a обозначим матрицу, которая получается из A заменой нулями всех элементов a ki , где (k, i) Е а х а. Пусть V _a — сужение V на Г _а .

• (3)    V a : Г _а ^ Г _а также оператор вольтерровского типа.

• (4)    Множество всех операторов вольтерровского типа геометрически представляет m(m-1)

собой (——-) -мерный куб, центром симметрии которого является тождественный оператор (a ki = 0) .

Теорема 1. Оператор вольтерровского типа есть автоморфизм симплекса S m^-1 .

• <1 Доказательство проведем индукцией по m. При m = 1 утверждение верно. Допустим, что оно верно при 1,... ,m — 1. Докажем переход к m.

• а)    Покажем инъективность V : S ^m-1 ^ S m^-1 . Согласно предложениям (1) и (2) имеем

V : dSm-1 ^ dSm-1,    V : ri Sm-1 ^ ri Sm-1, учитывая (3) и предположение индукции находим, что V : dSm-1 ^ dSm-1 гомеоморфизм. Поэтому остается проверить инъективность, V : ri Sm-1 ^ ri Sm-1. Пусть x,y Е ri Sm-1 и Vx = Vy. Тогда или

x k

m

1 + X i=1

a _ki x i

= y k

m

1+X

i=1

a ki y i

(X k — y k )

m

1+X

i =1

^a ki y i

m

^— x k     a ki ^{( x} i ^{— y} i ).

i =1

(1 . 3)

Так как x,y Е riSm 1, то Xk > 0 и m

• ¹    + У^ a ki y i >  ^{1 — y} 1 ^— . . . ^{— y} k-1 ^{— y} k+1 ^— . . . ^{— y} m = y k > 0. i =1

Поэтому из (1.3) получаем

m sgn(xk - Ук) = - sgn£ aki(xi - yi).                        (1-4)

i =1

Следовательно, m

(xk — Ук) ^aki(xi — yi) 6 0, к = 1,...,m, i=1

или mm

У^ (x k - У к ) У2 a ki (x i - y i ) 6 0.

k =1           i =1

Так как aki = -aik, то mm

У2 (X k - y k ) У2 a ki (X i - y i ) = 0.

k =1           i =1

Следовательно, m

(x k - y k ) ^a ki (x i - y i ) = 0, к = 1,...,m.

i =1

Учитывая (1.4), из последнего равенства находим x = y. Таким образом, V : S m-1 ^ S ^{m -1} инъективно.

• б)    Сюръективность. Допустим, V(S ^m-1 ) = S ^m-1 . По индуктивному предположению V (dS ^m-1 ) = dS ^m-1 . Можно выбрать x,y Е ri S ^m-1 так, что x Е V (S ^m-1 ), y / V (S ^m-1 ) и отрезок [x,y] содержит хотя бы одну граничную точку z множества V (S ^m-1 ). Поскольку V : S ^m-1 ^ V(S ^m-1 ) гомеоморфизм, то граничная точка переходит в граничную. Поэтому z Е ri S ^m-1 , V ^-1 z е dS ^m-1 , что противоречит равенству V(dS ^m-1 ) = dS ^m-1 .

Следовательно, V(S ^m-1 ) = S ^m-1 . Так как непрерывная биекция компакта является гомеоморфизмом, то из а) и б) следует утверждение теоремы. B m

Пусть f (x i ,..., x _m ) =   ^2 a i 1 ,...,i _kx i 1 • • • x i k — однородная симметрическая форма

• i 1 ,...,i _k =1

k-той степени переменных x 1 , . . . x _m . Далее мы воспользуемся следующими простыми утверждениями.

• (5)    Пусть U — открытое множество в R m , Г некоторая грань S ^m-1 , причем U r = U П Г = 0 . Если f | и _г = 0 , то f | г = 0 .

Следствие. Если квадратичные операторы V 1 и V 2 совпадают на U Γ , то они совпадают и на Г .

• (6)    Если m > к, то из f | ds m- i = 0 следует f | s m- i = 0 .

Замечание. При m 6 к утверждение (6) не верно.

Следствие. Если m > 2, то квадратичные операторы совпадающие на границе симплекса S ^{m -1} совпадают и на всем симплексе.

Теорема 2. Произвольный квадратичный автоморфизм представим в виде V = T • V o , где T — матрица перестановок (пермутатор^-), а V o оператор вольтерровского типа.

C Пусть Г ^k = { x е S ^m-1 : x _k = 0 } . Поскольку V автоморфизм, то для любого к существуют i и x такие, что x Е riГ ⁱ ,Vx Е riГ ^k . Выберем окрестность U точки x в грани Г так, чтобы V(U) С riГ ^k . Следовательно, для любого y Е U имеем (Vy) k = 0, где (Vy) k — к-тая координата V _y . Тогда согласно следствию из утверждения (5) находим

V(r i ) С Г ^к . Поэтому 0 = (Vx) k = x i • f i (x), x G r i , где f i (x ) — линейные функционалы. mm

Пусть fi(x) = £ bijXj. Положив aij = bij — 1 и учитывая ^ xj = 1, находим j=1                                               j=i

( V X ) k = X i

( ¹ + J2 a ij x j ) ^, V j = i /

x G r i .

(1.5)

Так как V автоморфизм, то различным k соответствуют различные i . Поэтому в (1.5) ограничение x G r i можно заменить на x G dS m^-1 . Тогда при m > 2, пользуясь следствием из утверждения (6), находим

(V x) k = x i

( ^{1 +} 52 a ij ^x j ) ^, j =1

x G S m^-1

(1.6)

m

Суммируя (1.6) по k, получаем ^ a ij x i x j = 0 для любого x G S ^m-1 . Следовательно, i,j=1

a ij = — a ji . Легко заметить, что при | a ij | > 1 можно подобрать 0 < Е <  1 так, что V (Ee i + (1 — E^e j ) G S m^-1 . Поэтому a ij = — a ji и | a ij | 6 1. Таким образом квадратичный автоморфизм при m >  2 представим в виде V = T • V q . При m 6 2 утверждение теоремы проверяется непосредственным вычислением. B

Следствие. Множество всех квадратичных автоморфизмов симплекса Sm 1 геомет рически представляется в виде объединения m! попарно непересекающихся кубов раз- m(m-1) 2

мерности

2.    Неподвижные точки операторов вольтерровского типа

В этом параграфе даны необходимые сведения о неподвижных точках операторов вольтерровского типа, которые используются для построения функций Ляпунова и карты неподвижных точек в §§ 3-4. Пусть V : Sm-1 ^ Sm-1 — оператор вольтерровского типа,

V ( x ) k = x k

m

1 + X i=1

^a ki ^x i

k = 1 , . . . , m,   a ki = — a ik ,    | a ij | 6 1 ,

(2 . 1)

и X — множество его неподвижных точек. Из (2.1) ясно, что x G X равносильно равен-m ству xk    akixi = 0, k = 1, . . . , m, т. е.

i =1

(2 . 2)

supp x П supp Ax = 0, где supp x = {i : xi = 0}.

Лемма 1. Пусть x,y G X и l — прямая, проходящая через точки x и у. Если supp x = supp y, то l П Sm-1 С X.

C Согласно (2.2) и условию suppx = suppу находим supp x П (supp Ax U supp Ay) = 0.

Поскольку supp(Au + (1 — A)v) С supp u U supp v, то supp(Ax + (1 — A)y) П supp(AAx + (1 — A) Ay) С supp x П (supp Ax U supp Ay) = 0.

Следовательно, Ax + (1 — A)y G X или l П S ^m-1 С X . B

Теорема 3. Изолированная неподвижная точка имеет нечетное число ненулевых координат.

<1 Пусть x = (xi,..., xm) неподвижная точка с четным числом ненулевых координат. Поскольку любая грань Га инвариантна, причем Va также оператор вольтерровского типа, то без ограничения общности будем считать, что m — четное и xi > 0, i = 1,..., m. Согласно (2.2) имеем Ax = 0. Поскольку x = 0, то rgA 6 m — 1. Как известно ([8, с. 261]), ранг кососимметрической матрицы четное число. Поэтому rgA 6 m — 2. Пусть L = Ker A m и Hq = < y G Rm : P yi = 0 f. Так как dim L > 2 и dim Hq = m — 1, то L П Hq = {0}.

I             i=1

m

Выберем z G L П H q , z = 0. Поскольку x i > 0, i = 1,..., m и ^ z i = 0, то можно указать i =1

• 5 >  0 такое, что x + ez G S ^m-1 при |e| 6 5. По построению x + ez G Ker A или учитывая (2.2) имеем x + ez G X. Следовательно, неподвижная точка с четным числом ненулевых координат не может быть изолированной. B

Лемма 2. Если A = (a ki ) — кососимметрическая матрица, то

m x G Sm-1 : X akixi > 0, k = 1,..., m > = 0.

< Положив F k = nx G S ^{m 1}

m

PP a ki ^x i >  ⁰

i =1

}

, докажем, что для любого α ⊂ I имеем

Га C [J F k .                                     (2.3)

k ∈ α

Пусть x G Га. Так как aki = —aik, то 22 akixkxi = 0. Поскольку xk > 0, причем xk > 0 i,k∈α хотя бы для одного k ∈ α, то

X akixi > 0(2.4)

i∈α для некоторого k ∈ α, иначе мы имеем

£ a _ki x _k x i =    x k     a ki x i < 0.

i,k∈α             k∈αi

m

Поскольку x G Га, то согласно (2.4) находим 22 akixi = 22 akixi > 0. Следовательно, i=1

x G [J F k . Согласно комбинаторной лемме Шпернера ([6, с. 612]) из (2.3) следует P = k ∈ α

m

• П F k = 0 . в

k =1

Следствие 1. Имеет место равенство

m

Q = |x G S ^m-1 : X a ki x i 6 0, k = 1,..., mJ = 0 .

i =1

• < Доказательство следует из того, что матрица A также кососимметрична. Итак, P = { x G S ^m-1 : Ax >  0 } и Q = { x G S ^m-1 : Ax 6 0 } , где «6» — покоординатный порядок, непустые выпуклые многогранники. B

Следствие 2. Справедливы включения P ⊂ X и Q ⊂ X . C Пусть, например, x ∈ P . Тогда

m

1 + ^akiXi I > xk, k = 1,..., m.

(2.5)

i=1

mm

Поскольку 52 xk = 52 Xk = 1, то из (2.5) находим x k = X k , т. е. x E X. B k=1      k=1

Пример 1. Рассмотрим три квадратичных оператора действующих на S ² :

a)

x ⁰1 = X 1 (1 + X 2 - X 3 ), < X2 = X 2 (1 — X 1 + X 3 ),

b)

^3 = X 3 (1 + X 1 - X 2 ),

x 1 = X 1 (1 + X 2 + X 3 ), X ⁰ ₂ = X 2 (1 - X 1 + X 3 ), ₄X 3 = X 3 (1 — X 1 — X 2 ),

c)

x 1 = X 1 (1 + X 2 — X 3 ),

X ⁰ ₂ = X 2 (1 - X 1 ),

₄x3 = X 3 (1 + X 1 ).

Для каждого из этих операторов легко находим неподвижные точки:

• a)    X = {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1), ( 3 , 3 , 3 )},

• b)    X = { (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) } ,

• c)    X = { (0, A, 1 - A) : 0 6 A 6 1 } U { (1, 0, 0) } .

Далее решив неравенства Ax > 0, x E S ² , и Ax 6 0, x E S ² , получаем:

• ^a)    P = Q = ( 3 , 3 , 3 ),

• b)    P = (0, 0,1), Q = (1, 0, 0),

• c)    P = {(0, A, 1 - A) : 2 6 A 6 1}, Q = {(0,A, 1 - A) : 0 6 A 6 2 } .

Для а С I положим P _a = { x E Г _а : A _a x > 0 } , Q _a = { x E Г _а : A _a x 6 0 } . Ясно, что P _a и Q α также непустые выпуклые многогранники, причем

Pα ⊂ Xα ,  Qα ⊂ Xα , где Xa = X П Га.

Заметим, если M С S ^m-1 выпукло и x,y E ri M, то supp x = supp y. Действительно, для минимальной грани Г _а содержащей M имеем ri M С ri Г _а . B

Лемма 3. Если x E ri P , то supp x U supp Ax = I .

C Поскольку P С X, то из x E ri P согласно (2.2) имеем suppx П supp Ax = 0. Поэтому допустив, что лемма не верна, без ограничения общности будем считать, что x = (x1, ...,xm-1,0), Ax = (0,..., 0),                          (2.6)

где X 1 > 0,..., x _m-1 > 0. Общий случай можно свести к виду (2.6) переходом к рассмотрению подходящей грани Г _а и соответствующего сужения, поскольку x E ri P и x E Г _а влекут x E ri P _a .

Учитывая кососимметричность матрицы A, а также (2.6) находим:

Ker A ± Im A, Ker A © Im A = R m , Ker A = { 0 } .             (2.7)

• a)    Пусть существует z = (z 1 ,..., z m ) E Ker A такой, что z = 0. Пусть z m > 0. Тогда при достаточно малых E > 0 имеем X i + EZ i > 0, i = 1,..., m и

• У = x + Ez e sm—1 n Ker A, |x + EZ|

m где |x + ez| = 52 (xi + ezi). Поскольку Ay = 0, то y E P .Из x E ri P, y E P следует i=1

x+y E ri P . По построению supp y = I , supp x = I . Тогда неравенство supp x+y = supp x противоречит включениям x, x+y E ri P .

• б)    Пусть Ker A C { z : z m = 0 } . Тогда (0,..., 0,1) E Im A согласно (2.7). Пусть Au = (0,..., 0,1), где u = (u i ,..., u m ). Так как A = - A, то (u, Au) = 0, т. е. u m = 0. Далее при достаточно малых | e | имеем x i + eu i > 0, i = 1,..., m — 1 и ■jx+pfu E S ^m-1 , причем A ( i^x + ^eu, ) = 0 при e = 0. Следовательно, .^x+ ^eu e P и ,^x-eu E P , где e > 0. Точка x

у |x+eu| у  '        р       /                                 , |x+su|               |x-5u| r-, лежит на отрезке с концами |Xpfuj и |X-^U|, поскольку

| x + eu |    x + eu | x — eu |    x — eu

• 2      |x + eu|        2      |x — eu|

3 . Функции Ляпунова

и mmm

|x + eu| + |x — eu| = ^^(xi + eui) + ^^(xi — eui) = 2 ^^ xi = 2. i=1                i=1

Таким образом, (|X^U|, x) C ri P, но x - εu

( x, kr / P = 0, |x - εu| что противоречит условию x E ri P. B

Пусть V : S m^-1 ^ S ^m-1 оператор вольтерровского типа и x ⁰ E S m^-1 . Последовательность { x ⁽ⁿ⁾ } , где x ⁽ⁿ⁾ = V ⁿ x ⁰ , называется траекторией при n E Z , положительной (отрицательной) траекторией при n E N ( — n E N ). Через w ⁺ (x ⁰ ) и w ^- (x ⁰ ) обозначаются множества предельных точек, соответственно, положительной и отрицательной траекторий. Непрерывный функционал ^ : S m^-1 ^ R называется функцией Ляпунова для дискретной динамической системы

m

• 1    + X a ki x^ n ) , k = 1,...,m, n E Z , i=1        /

  (3.1)

  
  

если для любой начальной точки x0 E Sm 1 существуют пределы lim y(x(n)),     lim y(x(n)).

n^+^         n^—^

Теорема 4. Если p = (p 1 ,..., p m ) E P, то ^(x) = x p ¹ ... x p^ m — функция Ляпунова для (3.1) .

C Вычислив ^(Vx), находим m          m        pk        m      m       pk

^(Vx) =      x k 1+     a ki x i J J = ^(x)      1+     ^a ki ^x i    ^.

(3.2)

k=1           i=1                    k=1 i=1

m

Поскольку P k >  0 и 52 P k = 1, то используя неравенство Юнга [7], получаем k=1

m     m     pk   m       mm m

П 1 + Е aki xi   6 Е pk 1 + Е akixi j — 1 + ЕЕakixipk k=1       i=1      '      k=1          i=1      '         k=1 i=1,„ mm              m / m x

— 1 -EEaikXiPk — 1 -EEaikPk jxi 6 1, k=1 i=1                i=1

так как 1 + Pm akixi > 0, aki — -aik, 52 aikPk > 0 и xi > 0. i=1

Учитывая (3.3) из (3.2), имеем y(Vx) 6 ^(x). Следовательно, lim y(x ⁽ⁿ⁾ ) и n ^ ^

lim y(x ⁽ⁿ⁾ ) существуют. B n →-∞

Замечание. При определении функции ^(x) — x p ¹ ... x pm на границе S ^m-1 считаем, что 0 ⁰ — 1.

Для r — (r1,..., rm) G Sm-1 положим m      m       rk x G Sm-1

Ф г (x) — x⁴ ... x m ;

< (x) — П 1 + E akixi   , k=1      i=1

Ясно, что ф _г — вогнутая функция и max — ф _г (x) — ф _г (r), причем максимум до- x ∈ S ^{m -1}

стигается только лишь в точке r — (r1,..., rm). Заметим, что ^r также вогнута, так как m является композицией аффинного отображения xk ^ 1+52 akixi и вогнутой функции фг. i=1

Очевидно, 0 6 ^ _r (x) 6 2, причем, из r G P следует c _r (x) 6 1 для всех x G S ^m-1 .

Лемма 4. Если ^ _т (x) 6 1 для всех x G S ^m-1 , то r g P .

C а) Сначала докажем, что r G X. Пусть u — V ^-1 r. Тогда из ф _г (r) — ф _г (Vu) — ф _г (u) • ^ _r (u) 6 ф _г (u) следует u — r, поскольку функция ф _г своего максимума на S ^m-1 достигает только лишь в единственной точке r. Следовательно, r — V ^-1 r, т. е. r G X.

m

• б)    Докажем, что r G P . Допустив обратное, для некоторого к ' имеем 52 a^ i r <  0. Так

i =1

m как r G X, то из (2.2) следует r^ — 0. Выберем к" так, что rkoo > 0. Тогда 52 a^ir — 0

i =1

также вытекает из (2.2). Положим x — (x 1 ,..., x _m ), где

ε

xi —   rkoo — E ri г

при i — к', при i — к ⁰⁰ , при остальных i.

(3.4)

m

Если 0 6 E 6 rkoo, то x G Sm-1. Напомним, что 52 akiri — 0 при rk > 0. Тогда, i=1 m учитывая (3.4), находим 52 akixi — E • (akko - akkoo )• i=1

Поэтому для всех к — 1,..., m имеем m        rk

1 + Е akixi i=1

^{— 1 + E} • r k • ^{( a} kk ^{o — a} kk ⁰⁰ ) ^{+ 0( e )}.

Следовательно, m      m       rk

< (х) = П U + E akixi k=1       i=1      '

m

= ^{1 +} e ^^ r k ⁽ a kk 0 ^- a kk ⁰⁰) + 0(e).

k=1

Поскольку

mm

E Г к a kk oo = - E a k oo i r i = 0,

то mm

C r (x) = 1 + E • E a kk o r k + 0(e) = 1 - e • E a ^i r i + 0(e) > 1

k =1                          i =1

при достаточно малом e >  0. Итак, допущение r Е P приводит к противоречию с условием леммы. B

Следствие. E r (x) 6 1 на симплексе S m^-1 тогда и только тогда, когда r Е P.

Пусть

Arg max f (x) = {y Е Sm-1 : f (y) = max f (x)} x∈Sm-1

• — множество точек достижения максимума функции f : S m^-1 ^ R .

Лемма 5. Если r Е ri P, то Arg max u _r (x) = [M] — замыкание множества M = { x Е X : supp x = supp r } .

C (a) Согласно лемме 4 имеем u _r (x) 6 1. При x Е M из r k > 0 следует x k > 0. m

Поскольку x Е X, то xk > 0 влечет ^ akixi = 0. Следовательно, i=1

E r (x) =

m      m       r k

П 1 + Е akixi k=1      i=1

= 1,

т. е. M С Arg max v r (x). Таким образом, [M] С Arg max v r (x).

• б) Пусть y Е Arg max v r (x). Так как v r (x) непрерывная вогнутая функция, то множество Argmax ^ _r (x) замкнуто и выпукло. Поскольку r Е M , то u _r (r) = 1. Поэтому из u _r (y) = v r (r) = 1 следует, что

• vr(Ay + (1 — X)r) = 1, 0 6 А 6 1.

Дифференцируя это равенство по λ находим

m

• m          r k • E a ki (y i - r i )

E---m--- i =---m--------=^{0 , 0}< ^X < ^L

• k=1 1 + E a ki r i + А • E a ki (y i - r i )

i =1             i =1

• (3.5)

m

Так как r Е ri P С X, то согласно (2.2) имеем r k • E a ki r i = 0, k = 1,..., m. Следова- i =1

тельно, (3.5) можно переписать в виде

m

• _m   r k · ^P a ki y i

E — ii=m— = ^{0 , 0}< ^X < 1-

• k=1 1 + А • E a ki y i

i =1

• (3.6)

m

Нетрудно заметить, что из (3.6) имеем r k • ^2 a ki y i = 0, ^т- ^е - i=1

supp r П supp Ay = 0 .

m

Далее, учитывая a ki = — a ik и r k • 22 a ki y i = 0, находим i =1

mmmm rk    akiyi = -    yi    aikrk = 0.

k=1   i=1           i=1

mm

Поскольку yi > 0, 22 aikrk > 0, то из последнего равенства получаем yi • ^ aikrk = 0 k=1

или supp y П supp Ar = 0 .

m

Согласно лемме 3 supp r U supp Ar = I , т. е. r k и 22 a ki r не могут одновременно быть i =1

нулями. Поэтому из supp r n supp Ay = 0 и supp y n supp Ar = 0 следует supp y n supp Ay = ∅ .

Следовательно, y E X и вообще, Arg max E r (x) С X . Далее

(3.7)

supp y С supp r, что вытекает из равенств supp y П supp Ar = 0, supp r U supp Ar = I. Учитывая (3.7) и r E M, получаем (y,r] С M. Следовательно, y E [M]. Таким образом, Arg max Er (x) С [M].

Итак, Arg max E r (x) = [M] при r E ri P . B

Теорема 5. Если x ⁰ E X, то w + (x ⁰ ) С dS m 1 .

C Допустив обратное, выберем r E ш + (x ⁰ ) П ri S ^m-1 . Если p E ri P , то согласно теореме 4 существует lim y _p (x ⁽ⁿ⁾ ) = c >  0. Очевидно, y _p (r) = c. Поскольку r E ri S m^-1 , n^+^

то y _p (r) = c >  0. Следовательно, ^ p (r) = ^(Vr) = 1. Пользуясь леммой 5 получаем r E [M], в частности, r E X . Для внутренней неподвижной точки согласно (2.2) находим Ar = 0. Поэтому r E P и lim y r (x ⁽ⁿ⁾ ) = y r (r). С другой стороны, x ⁰ = r, поэтому n^+^

y r (x ⁰ ) <  y r (r). Далее, { y r (x ⁽ⁿ⁾ ) } — невозрастающая последовательность (теорема 4). Следовательно, y r (r) = lim y r (x ⁽ⁿ⁾ ) 6 y r (x ⁰ ) <  y r (r). Последнее противоречие завер- n^+^

шает доказательство теоремы. B

Теорема 6. Если положительная траектория не сходится, то ш ⁺ (x ⁰ ) бесконечно.

C Пусть ш ⁺ (x ⁰ ) = { y ¹ ,..., y t } , 1 < t <  го . Тогда с точностью до нумерации имеем Vy i = y i⁺¹ при i = 1,... ,t — 1 и Vy t = y ¹ . Пусть Г минимальная грань содержащая y ¹ . Тогда y ¹ E riГ и в силу инвариантности пГ имеем ш ⁺ (x ⁰ ) С пГ. С другой стороны y ¹ E X и согласно теореме 5 имеем w + (y 1 ) = ш ⁺ (x ⁰ ) С д Г. Поскольку rir П дГ = 0 , то получаем противоречие. Итак, допущение 1 < t <  го приводит к противоречию. B

Лемма 6. dim[M] = dim ri P.

C Пусть Г _а — минимальная грань содержащая P . Тогда ri P С riГ _a . ^m

По определению

Если x ∈ M , то

M также имеем ri P С M С riГ _a . Пусть L k = s z E R m : ^2 a ki Z i > 0 k i =1

m xk > 0 для всех k E а. Поскольку M С X, то xk > 0 влечет ^2 akixi = 0. Для y E ri P i=1

m согласно лемме 3 при к Е а имеем ^ akiyi > 0. Следовательно, i=1

ri P = Q(M П L k ).

(3.8)

k 6 ∈ α

Поскольку M выпукло, L k открыто и M П L k = 0 , то dim M = dim(M П L k ).

Поэтому из (3.8) получаем dim M = dim ri P . B

Следствие. Семейство функций { ^ r } , r Е ri P разделяет точки M, т. е. если x,y Е M и x = y, то существует r Е ri P такое, что ^ _r (x) = ^ _r (y).

C Пусть x,y Е M и _{P r} (x) = _{P r} (у) для всех r Е ri P . Поскольку supp x = supp у = supp r = а, то ^ _r (x) = ^ _r (y) > 0. Поэтому логарифмируя равенство ^ _r (x) = ^ _r (y)

находим

ri In x i = 0. y i ∈ α        ⁱ

(3.9)

Так как dim M = dim ri P , то из (3.9) следует x = y. B

Теорема 7. Отрицательные траектории сходятся, причем ш - (x ⁰ ) Е P, если x ⁰ Е ri S m^-1 .

C а) Для любого p Е ri P имеем y _p (x ⁰ ) > 0, поскольку x ⁰ Е ri S m 1 . Далее, { ^ _p (x ( ⁿ⁾ ) } — неубывающая последовательность (теорема 4). Следовательно,

• * p ^{l-n) )} = Sxx - nA ^ ^{1 при n} ^ + “ •

• т. е. ш ^- (x ⁰ ) C [M]. Так как ^ p (x ⁰ ) > 0, то supp y > supp p для любого y Е ш ^- (x ⁰ ). Следовательно, ш ^- (x ⁰ ) C M . Поскольку { ^ p } , p Е ri P разделяет точки M , то ш ^- (x ⁰ ) состоит из единственной точки. Действительно, из сходимости { ^ _p (x ^|-n) ) } следует сходимость любой ее подпоследовательности к тому же пределу. Поэтому, если y,z Е ш ^- (x ⁰ ), то V p (y) = ^ p (z) для всех p Е ri P , т. е. y = z. Итак, отрицательные траектории сходятся.

m

• б) Докажем, что ш ^- (x ⁰ ) Е P . Пусть ш ^- (x ⁰ ) = { y } и y Е P . Тогда ^2 a ki y i < 0 для i =1

некоторого k, причем в достаточно малой окрестности y последнее неравенство сохраня-m ется. Поскольку y Е X, то из ^ akiyi < 0 следует yk = 0. Так как i=1

l- n ) l- n -1) x _k = x _k

m

) < x k^-n-1)

• -I ।               |-n-1)

• 1    + / у a ki x i i =1

• в достаточно малой окрестности y, то xk ⁿ⁾возрастает. Поэтому xk ⁿ⁾^ yk = 0. Следовательно, ш^-(x⁰) Е P. B

4. Карта неподвижных точек операторов вольтерровского типа

Замечание. Если положительная траектория сходится и x ⁰ Е ri S ^m-1 , то ш ⁺ (x ⁰ ) Е Q.

Пример 2. Пусть V : S ³ ^ S ³ имеет вид:

x 1 = x 1 (1 + x 2 - x 3 + x 4 ),

V _{: <} x ⁰ ₂ = x 2 (1 — x 1 + x 3 + x 4 ),

I x3 = x3(1 + x1 - x2), x4 = x4(1 — x1 — x2).

Решив необходимые неравенства находим P = { x G S ³ : Ax >  0 } = { (0, 0, Л, 1 - Л) : 0 6 А 6 2 } , Q = { x G S ³ : Ax 6 0 } = { ( 3 , 3 , 3 ,0) } , M = { (0, 0, Л, 1 — Л) : 0 < Л < 1 } . Любая отрицательная траектория сходится к некоторой точке из P . Положительные траектории не сходятся.

Итак, в § 3 установлена сходимость всех отрицательных траекторий. В этом параграфе изучается асимптотическое поведение положительных траекторий.

Теорема 8. Если все главные миноры четного порядка кососимметрической матрицы A положительны, то X конечно.

C Допустим, что X бесконечно. Тогда существуют x,y G X, x = у, такие, что suppx = suppу. Положив а = suppx = suppу, рассмотрим r _a ,V a и A _a . Поскольку x G г1Г _а , suppx П supp A _a x = 0 и supp A _a x С а, то A _a x = 0. Аналогично A _a y = 0. Так как x и у линейно независимы, то dimker A _a > m — | a | +2. Следовательно, все главные миноры порядков | а | и | а | — 1 кососимметрической матрицы A _a равны нулю. Тогда матрица A имеет хотя бы по одному главному минору порядков | а | и | а | — 1 равному нулю. Поскольку x = у , то | а | > 2, и следовательно, A имеет нулевой минор четного порядка. B

Оператор вольтерровского типа V : S m-1 ^ S m-1 будем называть типичным, если все главные миноры четного порядка кососимметрической матрицы положительны. Поскольку определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка всегда равен нулю, а четного порядка неотрицателен, причем произвольно малым возмущением элементов его можно сделать положительным, то множество всех типичных операторов открыто и всюду плотно в множестве всех операторов вольтерровского типа. Далее будем рассматривать только лишь операторы являющиеся типичными. Поскольку X конечно, то согласно теореме 3 для любого x G X число | supp x | нечетно. Напомним также, если x конечно, то из x,y G X и supp x = supp у следует x = у (лемма 1). Поэтому обозначение неподвижной точки с носителем α через z _α является корректным.

Лемма 7. Если x G X , то supp x U supp Ax = I .

m

C Допустим, что существует k G I, для которого x k = ^2 a ki x i = 0. Пусть supp x = a i=1

и в = a U { k } . Поскольку | a | нечетно, то | в | = | a | + 1 четно. Рассмотрим Г е и соответствующие сужения V e , A e . Поскольку x G X П Г е , то согласно (2.2) находим A e x = 0, т. е. det A e = 0. Следовательно, A имеет нулевой главный минор четного порядка. B

Теорема 9. Пусть V 0 (z _a ) производная оператора V в неподвижной точке z _a G X и a(V 0 (z _a )) ее спектр. Тогда

• i)    1 G a(V 0 (z a )) ;

• ii)    a(V 0 (z _a )) имеет | a | — 1 комплексных чисел по модулю больших чем 1 и m — | a | действительных чисел отличных от 1 .

C Вычислив якобиан, находим

/ 1 + P a ii x i		a 12 x 1        .	.       a 1m x 1
V 0 (x) =	a 21 x 2 . . .	1 + 12 a 2i x 2 . . . .                 ..	.      a 2m x 2 . .		.               (4.1)
	a m1 x m	a m2 x m     .	. 1 + a mm x m

После необходимой перенумерации можно считать z _a = (z i ,..., z |_a| , 0,..., 0). Учитывая (2.2) и лемму 7, находим Az _a = (0,..., 0, ^ |_a|+1 ,..., ^ m ), где ^ i = 0 при i >  | a | + 1. Следовательно, из (4.1) получаем

1 a21 z2 a12z1 1 . . .          a1tz1 a23z2 . . .    a2tz2 ∗       ... ∗       ... ...      ∗ ...      ∗ V 0(Za) = ... at1 zt ... at2zt ...         ... .. .att-i zt     1 ... ∗ ... ... ...      ... ...      ∗ 0 . 0 . ...         0 . 1 + №+1 0 ...      0 3 . . 0 . . 0 . ...            . ...         0 ... 0 ... ... ...      ... 0 1 + ^m / где t = |a|. Из правого нижнего блока получаем, что a(V0(za)) имеет m — |a| действительных чисел отличных от 1. Левый верхний блок представим в виде:

E + diag(z i ,...,z t )A t ,

(4.2)

где E — единичная матрица порядка t, A t = (a ij ) (i, j = 1,..., t ) — кососимметрическая матрица. Поскольку t нечетно, то det A t = 0. Поэтому 1 G a(V 0 (z _a )). То, что 1 собственное число кратности один следует из того, что все главные миноры A _t порядка t — 1 положительны. Все собственные числа кососимметрической матрицы либо 0, либо чисто мнимые, поэтому t — 1 собственных чисел V 0 (z _a ) имеют вид 1 + ic k . B

m

Замечание. Так как на S m^-1 переменные x i ,..., x m связаны условием ^2 X i = 1 и i=1

• 1    G a(V 0 (z _a )) отражает этот факт, то 1 следует исключить из относительного спектра. Следствие. Все неподвижные точки оператора V являются гиперболическими. Элементы X представим в виде точек на плоскости, затем точки z _α , z β ∈ X соединим дугой, направленной от z _a к z e G X, если A _Y z _a > 0, A _Y Z e 6 0, где y = a U в. Полученный ориентированный граф назовем картой неподвижных точек оператора V и обозначим через G V .

Пример 3. Рассмотрим V : S3 ^ S3, где x01 = X1(1 — X2 + X3 — x4), x02 = x2(1 + Xi — X3 + X4), X3 = Хз(1 — X1 + X2 — X4), x4 = x4(1 + X1 — X2 + X3).

Легко заметить, что V имеет 6 неподвижных точек:

X=

{(1, 0, 0, 0);(0,1, 0, 0);(0, 0,1, 0), (0, 0, 0,

1):(3 • 3-3 • °M0’ 3’1 • 3)}-

Далее неподвижные точки z _α ∈ X будут называться также вершинами карты G V . Висячая вершина карты — вершина в которую не входит ни одной дуги.

Теорема 10. Карта неподвижных точек имеет единственную висячую вершину.

• <1 1) Поскольку X конечно, то P = { x G S m^-1 : Ax > 0 } состоит из одной неподвижной точки. Далее для a D supp x имеем

(Ax) i , i G a, ⁽A a ^{x )} i = <

• [0,        i G a.

Поэтому для любого a D supp P имеем A _a P > 0, т. е. P — висячая вершина.

• 2)    Обратно, пусть z _a — висячая вершина. Допустим, что (Az _a ) i <  0 для некоторого i Е I . Согласно (2.2) имеем i Е а. Пусть в = а U{ i } . Тогда A e z _a 6 0. Решение неравенства А в x > 0, x Е Г е обозначим через Zy . Следовательно, A e z _a 6 0, A e Zy >  0, причем z _a = Zy . Поэтому z _α и z γ соединены дугой направленной из z γ в z _α , т. е. z _α не может быть висячей вершиной. Таким образом, Az _a >  0 или z _a = P . B

Вершины z _a и z e кары G y назовем соседними, если | а | = | в | = | а U в | - 1.

Лемма 8. Соседние вершины всегда соединены дугой.

• <1 Пусть z _a и z e соседние вершины. Полагая y = а U в, находим, что одна из этих вершин является решением неравенства. Ay x > 0, x Е Г Y , а другая решением неравенства Ay x 6 0, x Е Г ₇ . Действительно, Ay z _a и Ay z e имеют только лишь по одной ненулевой координате согласно лемме 7. B

Утверждение обратное лемме 8 неверно.

Пример 4. Для V : S3 ^ S3, где x1 = xi(1 + x2 + x3 + x4), x02 = x2(1 - xi + x3 - x4), x03 = x3(1 - xi - x2 + x4), x4 = x4(1 - xi + x2 - xa), легко находим X = ©(1, 0, 0, 0);(0,1, 0, 0);(0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1); (0, 3, 3, 3)}, Ясно, что z1 и z234 не являясь соседними вершинами соединены дугой. Карту неподвижных точек назовем однородной, если из того, что две вершины zα и zβ соединены дугой следует, что |а| = |в|.

Лемма 9. Пусть G V однородная карта. Тогда число дуг инцидентных вершине z _α не меньше чем m - | α | .

• < Согласно (2.2) и лемме 7 имеем (Az _a ) = 0 при i Е а и (Az _a ) i = 0 при i Е а. Выбрав i Е а, положим y = а U { i } . Тогда z _a является решением одного из неравенств

A _y x > 0, x Е Г _Y , или A _y x 6 0, x Е Г _Y . (4-3)

Пусть z e решение другого из неравенств (4.3). Поскольку (Ay z _a ) i = (Ay z e ) i = 0 , то z _a = z e , причем они соединены дугой. Ясно, что различным i соответствуют различные β. Следовательно, каждой нулевой координате точки z _α соответствует дуга инцидентная вершине z _a . Поэтому число дуг, инцидентных z _a , не меньше чем m — | а | . B

Следствие. Если G V — однородная карта, то из z _α ∈ X следует существование не менее m — | а | + 1 неподвижных точек с | а | ненулевыми координатами.

Нетрудно заметить, что однородная карта состоит из следующих связных компонент: неподвижные точки (вершины) с одной ненулевой координатой, затем неподвижные точки с тремя ненулевыми координатами и т. д. Для определенности связные компоненты будем располагать слева направо в порядке возрастания количества ненулевых координат вершин. Положим G y = G V) U G V U Gy ) U ..., где Gy k⁺¹⁾ — связная компонента, состоящая из неподвижных точек с 2k + 1 ненулевыми координатами. Если G y = G V , то карту назовем транзитивной. Заметим, если G _V — транзитивная карта, то все положительные траектории сходятся.

Теорема 11. Пусть G V однородная и нетранзитивная карта и z _α решение неравен ства Ax 6 0 , x Е S ^m-1 , т. е. z _a = Q . Тогда существует (m — | а | ) -мерная инвариантная поверхность, содержащая решение неравенства Ax > 0 , x Е S ^m-1 .

m

C Пусть za = (z1,... zm) и i 0 а. Тогда (Aza)i < 0. Далее, 1 + ^ aijZj > 0, поскольку j=1

aij не могут быть отрицательными при всех j ∈ α, что вытекает из однородности и нетранзитивности карты GV . Поэтому согласно теореме 9 все m - |α| вещественных собственных чисел V0(za) заключены в интервале (0,1). Следовательно, V — локальный диффеоморфизм в некоторой окрестности zα . Пусть aff Sm-1 = Ls® Lu

• — разложение аффинной оболочки S ^m-1 в точке z _α на «сжимающуюся» и «растягивающуюся» части ([9, с. 80]). По построению «растягивающаяся» часть L ^u совпадает с affГ _а , причем она является инвариантной не только для V ⁰ (z _a ), но и для V. Заметим, что dim L u = | а | — 1 и dim L s = m — | а | . Согласно теореме Гробмана — Хартмана [9] в достаточно малой окрестности z _a существует инвариантная (m — | а | )-мерная поверх- ∞

ность, которую обозначим через Mo. Пусть Mn = V(-n)(Mo) и M = U [Mn]. Ясно, что n=1

M 0 ⊂ M 1 ⊂ . . . Далее, любая отрицательная траектория { x ^(-n) } сходится. Поскольку

M 0 T ri S m-1 = 0 , то P = { x G S ^m-1 : Ax >  0 } G M . B

Следствие. Если z _α и z β — соседние вершины, то существует инвариантная кривая, соединяющая неподвижные точки z _α и z β .

C Доказательство непосредственно следует из теоремы 11, если положить y = а U в и рассмотреть V γ . B

Пример 5. Пусть V : S ⁴ ^ S ⁴ , где

V : =

Х 01 = Х 1 (1 + Х 2 — Х з + X 4 — X 5 ), Х 02 = X 2 (1 — X 1 — X 3 + X 4 + X 5 ), x 3 = Х з (1 + X 1 + X 2 + X 4 — Х 5 ), x 4 = X 4 (1 — X 1 — X 2 — X 3 + Х 5 ), У5 = X 5 (1 + X 1 — X ₂ + Х з — X 4 ).

Заметим, что V кроме вершин симплекса S ⁴ имеет еще 4 неподвижные точки:

^z 145 ⁼

^z 345 ⁼

( о , 0, 0, о , о ) ,    z125     (o’ o’ 0, 0, о) ,

3      3 3              3 33

[ 0, 0, , X, 7Т/,    z235      ( 0,   , ,0’ о/ *

333        333

В данном случае m = 5, P = Z 145 , Q = Z 235 , а = { 2, 3, 5 } , m — | а | = 2. Легко проверить, что z 145 , z 125 , z 345 , z 235 лежат на одной плоскости, пересечение которой с S ⁴ является инвариантным относительно оператора V .

Теорема 12. Пусть G V — однородная и нетранзитивная карта, а M — инвариантная поверхность упомянутая в теореме 11 . Если x 0 G ri S ^m-1 \ M, то положительная траектория { x ⁽ⁿ⁾ } не сходится.

C Действительно, если {x(n) } сходится, то согласно замечанию к теореме 7 имеем lim x(n) = Q. Поскольку V — автоморфизм и Q — гиперболическая точка, то последнее n→+∞

не возможно только лишь при x ⁰ ∈ M .

Итак, отрицательные траектории всегда сходятся, а положительные траектории, как правило, не сходятся, причем ш ⁺ (х ⁰ ) — бесконечное множество. B

5. Построение функций Ляпунова для динамической системы (3.1)

Оценка ш(х ⁰ ) С dS m^-1 , полученная в теореме 5, в ряде случаев допускает улучшения. В этом параграфе предложен метод построения немонотонных функций Ляпунова для динамической системы (3.1). Пусть V : S m^-1 ^ S m^-1 — квадратичный оператор вольтерровского типа и G V — однородная карта. Следующие предложения дают представление о строении однородных карт:

• (1)    Пусть z _a ,z \ Е Gv , причем | а | = | А | . Тогда существует цепочка вершин z _a ,z e , z γ , . . . , z λ такая, что любые две рядом стоящие в ней вершины являются соседними.

• (2)    Если Gv содержит орцикл (гамильтонов контур) [5] , например z _a ^ z e ^ ... ^ z \ ^ z _a , то существует вершина z ^ такая, что ^ С а U в U ... U А и | ^ | >  | а | +2 .

• (3)    Если z _α — висячая вершина, то для любой другой вершины z β карты G V имеем ^{| в |} 6 ^{| а |} .

Доказательства этих утверждений можно провести комбинаторными методами с использованием фактов из теории орграфов.

Пусть z _a = (r i ,..., r m ) Е X. Положим ^ _а (х) = х^¹ ... х ^ , x Е ri S m^-1 .

Теорема 13. Пусть z _α висячая вершина однородной карты G V . Если z β ∈ X , причем | в | = | а | , то ^ в — функция Ляпунова для динамической системы (3.1) .

Доказательству теоремы предпошлем несколько простых замечаний:

• (1)    Если х ⁰ Е X , то ш ⁺ (х ⁰ ) П ш ^- (х ⁰ ) = 0 .

• (2)    Если у Е ш + (х° ), то ш ' (у) С ш ⁺ (х ⁰ ) и ш ^- (у) С ш ⁺ (х ⁰ ).

• (3)    V(ш ⁺ (х ⁰ )) = ш ⁺ (х ⁰ ), V(ш ^- (х ⁰ )) = ш ^- (х ⁰ ).

• (4)    Пусть Z a ,z e Е X , | а | = | в | , а = в. Тогда ^ a (z в ) = ^ в (z a ) = 0.

• <1    Доказательство теоремы 13. Без ограничения общности будем считать, что х ⁰ Е ri S m^-1 \ M . Тогда согласно теореме 12 ш ⁺ (х ⁰ ) бесконечное множество. Покажем, что lim ^ в (x ⁽ⁿ⁾ ) = 0. Допустив противное, имеем ^ я (у) > 0 для некоторого у Е ш + (х ⁰ ). n^+^

Ясно, что из ^ в (у) > 0 следует supp у D в. Далее отрицательная траектория начинающаяся в точке у сходится, причем ш ^- (у) С ш ⁺ (х ⁰ ). Пусть ш - (у) = {zy } . Так как supp у D в, то, учитывая теорему 7 и однородность карты Gv , получим |y | = | в | - Рассмотрим разложение aff S m^-1 в точке zy на «сжимающуюся» L s и «растягивающуюся» L u части. Пусть My инвариантная поверхность соответствующая L s . Поскольку zy Е ш + (х ⁰ ) и { x ⁽ⁿ⁾ } не сходится, то M γ обязана содержать хотя бы одну предельную точку положительной траектории { x ⁽ⁿ⁾ } . Пусть u Е M _y П ш ⁺ (х ⁰ ). Тогда ш ^- (и) С ш + (х ⁰ ). Так как отрицательные траектории сходятся, то ш ^- (u) = { z ^ } . Нетрудно заметить, что | 5 | = | в | . По построению вершины z δ и z γ на карте G V соединены дугой направленной от z δ к z γ . Так как последняя связная компонента (компонента содержащая вершины P и Q) однородной карты не может иметь орциклов, то продолжая приведенное выше рассуждение в конце концов получаем P = { х Е S m^-1 : Ах > 0 } С ш ⁺ (х ⁰ ), что противоречит теореме 4. B

Следствие. Если х ⁰ Е ri S ^m-1 \ M , то ш ⁺ (х ⁰ ) С Т в ^ ^-1 (0) , где пересечение берется по всем в таким, что | в | = | а | и z в некоторая вершина карты Gv , а z _a — висячая вершина.

Для примера 5 теорема 13 позволяет получить следующие функции Ляпунова:

П4б (х) = (х 1 х 4 х б ) ³ , ^ 125 (х) = (х 1 х 2 х б ) ³ , ^ 34б (х) = (х з х 4 х 5 ) 3 , ^ 235 (х) = (х 2 х з х 5 ) 3 .