Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий
Автор: Ганиходжаев Расул Набиевич, Эшмаматова Дилфуза Бахрамовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.8, 2006 года.
Бесплатный доступ
В работе изучается асимптотическое поведение траекторий квадратичных автоморфизмов. Доказано, что произвольный квадратичный автоморфизм представим в виде композиции вольтерровского оператора и некоторого пермутатора. Выделен класс автоморфизмов общего положения, которые образуют открытое и всюду плотное подмножество. Изучаются свойства карт неподвижных точек автоморфизмов общего положения.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318179
IDR: 14318179
Текст научной статьи Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий
Ряд задач прикладного характера приводят к необходимости изучения асимптотического поведения траекторий квадратичных отображений симплекса
S m—1
= {x = (x i ,... ,X m ) :
m y^ Xi = 1, Xi > 0 > i=i J
в себя вида
m
V : xk = У2 Pij,kXiXj, k = 1,..., m, i,j=1
где
m
P i,j,k = P ji,k > 0, P ij,k = 1.
(0.1)
k =1
В популяционной генетике эта задача представляет особый интерес в случае, когда V : S m—1 ^ S m-1 — топологический автоморфизм, изучению которого посвящена данная статья. В §§ 2–3 изучается строение неподвижных точек операторов вольтерровского типа и их связь с функциями Ляпунова. В § 4 для операторов вольтерровского типа общего положения вводится понятие карты неподвижных точек и рассматривается вопрос о существовании инвариантных многообразий. Основная цель статьи состоит в установлении регулярного поведения отрицательных траекторий и, как правило, нерегулярного поведения положительных траекторий квадратичных автоморфизмов. Полученные результаты представляют собой обобщение и дальнейшее развитие работ [1–5].
(с) 2006 Ганиходжаев Р. Н, Эшмаматова Д. Б.
1. Общий вид квадратичных автоморфизмов симплекса Sm 1
Если коэффициенты { P ij,k } отображения (0.1) удовлетворяют условию P ij,k = 0 при k = i,j, то V будем называть оператором вольтерровского типа. Согласно [5] a kk = 0 и a ki = 2P ikk — 1 при i = к операторы вольтерровского типа можно привести к виду:
V :
x k = X k
m
1 + X i=1
a ki x i
к = 1,..., m,
(1.1)
причем aki — aiki laki | 6 1. (1.2)
Далее I = { 1, 2,..., m } , точки e i = (a^,..., a mi ), где a i,j — символ Кронекера, вершины симплекса S m-1 . Для а С I через Г а обозначим выпуклую оболочку вершин { e i } i^a . Внутренность Г а в топологии индуцированной из R m на аффинную оболочку Г а называется относительной внутренностью и обозначается через г1Г а . Аналогично определяется относительная граница дГ а грани Г а , | а| — число элементов множества а С I . Следующие предложения легко следуют из определения оператора вольтерровского типа.
-
(1) V(Г а ) С Г а , в частности, все вершины симплекса S m-1 являются неподвижными точками.
-
(2) V(ri Г а ) С ri Г а , V(дГ а ) С дГ а для любого а С I.
Пусть A = (a ki ), где a ki удовлетворяют (1.2). Через A a обозначим матрицу, которая получается из A заменой нулями всех элементов a ki , где (k, i) Е а х а. Пусть V a — сужение V на Г а .
-
(3) V a : Г а ^ Г а также оператор вольтерровского типа.
-
(4) Множество всех операторов вольтерровского типа геометрически представляет m(m-1)
собой (——-) -мерный куб, центром симметрии которого является тождественный оператор (a ki = 0) .
Теорема 1. Оператор вольтерровского типа есть автоморфизм симплекса S m-1 .
-
<1 Доказательство проведем индукцией по m. При m = 1 утверждение верно. Допустим, что оно верно при 1,... ,m — 1. Докажем переход к m.
-
а) Покажем инъективность V : S m-1 ^ S m-1 . Согласно предложениям (1) и (2) имеем
V : dSm-1 ^ dSm-1, V : ri Sm-1 ^ ri Sm-1, учитывая (3) и предположение индукции находим, что V : dSm-1 ^ dSm-1 гомеоморфизм. Поэтому остается проверить инъективность, V : ri Sm-1 ^ ri Sm-1. Пусть x,y Е ri Sm-1 и Vx = Vy. Тогда или
x k
m
1 + X i=1
a ki x i
= y k
m
1+X
i=1
a ki y i
(X k — y k )
m
1+X
i =1
a ki y i
m
— x k a ki ( x i — y i ).
i =1
(1 . 3)
Так как x,y Е riSm 1, то Xk > 0 и m
-
1 + У^ a ki y i > 1 — y 1 — . . . — y k-1 — y k+1 — . . . — y m = y k > 0. i =1
Поэтому из (1.3) получаем
m sgn(xk - Ук) = - sgn£ aki(xi - yi). (1-4)
i =1
Следовательно, m
(xk — Ук) ^aki(xi — yi) 6 0, к = 1,...,m, i=1
или mm
У^ (x k - У к ) У2 a ki (x i - y i ) 6 0.
k =1 i =1
Так как aki = -aik, то mm
У2 (X k - y k ) У2 a ki (X i - y i ) = 0.
k =1 i =1
Следовательно, m
(x k - y k ) ^a ki (x i - y i ) = 0, к = 1,...,m.
i =1
Учитывая (1.4), из последнего равенства находим x = y. Таким образом, V : S m-1 ^ S m -1 инъективно.
-
б) Сюръективность. Допустим, V(S m-1 ) = S m-1 . По индуктивному предположению V (dS m-1 ) = dS m-1 . Можно выбрать x,y Е ri S m-1 так, что x Е V (S m-1 ), y / V (S m-1 ) и отрезок [x,y] содержит хотя бы одну граничную точку z множества V (S m-1 ). Поскольку V : S m-1 ^ V(S m-1 ) гомеоморфизм, то граничная точка переходит в граничную. Поэтому z Е ri S m-1 , V -1 z е dS m-1 , что противоречит равенству V(dS m-1 ) = dS m-1 .
Следовательно, V(S m-1 ) = S m-1 . Так как непрерывная биекция компакта является гомеоморфизмом, то из а) и б) следует утверждение теоремы. B m
Пусть f (x i ,..., x m ) = ^2 a i 1 ,...,i kx i 1 • • • x i k — однородная симметрическая форма
-
i 1 ,...,i k =1
k-той степени переменных x 1 , . . . x m . Далее мы воспользуемся следующими простыми утверждениями.
-
(5) Пусть U — открытое множество в R m , Г некоторая грань S m-1 , причем U r = U П Г = 0 . Если f | и г = 0 , то f | г = 0 .
Следствие. Если квадратичные операторы V 1 и V 2 совпадают на U Γ , то они совпадают и на Г .
-
(6) Если m > к, то из f | ds m- i = 0 следует f | s m- i = 0 .
Замечание. При m 6 к утверждение (6) не верно.
Следствие. Если m > 2, то квадратичные операторы совпадающие на границе симплекса S m -1 совпадают и на всем симплексе.
Теорема 2. Произвольный квадратичный автоморфизм представим в виде V = T • V o , где T — матрица перестановок (пермутатор-), а V o оператор вольтерровского типа.
C Пусть Г k = { x е S m-1 : x k = 0 } . Поскольку V автоморфизм, то для любого к существуют i и x такие, что x Е riГ i ,Vx Е riГ k . Выберем окрестность U точки x в грани Г так, чтобы V(U) С riГ k . Следовательно, для любого y Е U имеем (Vy) k = 0, где (Vy) k — к-тая координата V y . Тогда согласно следствию из утверждения (5) находим
V(r i ) С Г к . Поэтому 0 = (Vx) k = x i • f i (x), x G r i , где f i (x ) — линейные функционалы. mm
Пусть fi(x) = £ bijXj. Положив aij = bij — 1 и учитывая ^ xj = 1, находим j=1 j=i
( V X ) k = X i
( 1 + J2 a ij x j ) , V j = i /
x G r i .
(1.5)
Так как V автоморфизм, то различным k соответствуют различные i . Поэтому в (1.5) ограничение x G r i можно заменить на x G dS m-1 . Тогда при m > 2, пользуясь следствием из утверждения (6), находим
(V x) k = x i
( 1 + 52 a ij x j ) , j =1
x G S m-1
(1.6)
m
Суммируя (1.6) по k, получаем ^ a ij x i x j = 0 для любого x G S m-1 . Следовательно, i,j=1
a ij = — a ji . Легко заметить, что при | a ij | > 1 можно подобрать 0 < Е < 1 так, что V (Ee i + (1 — E^e j ) G S m-1 . Поэтому a ij = — a ji и | a ij | 6 1. Таким образом квадратичный автоморфизм при m > 2 представим в виде V = T • V q . При m 6 2 утверждение теоремы проверяется непосредственным вычислением. B
Следствие. Множество всех квадратичных автоморфизмов симплекса Sm 1 геомет рически представляется в виде объединения m! попарно непересекающихся кубов раз- m(m-1) 2
мерности
2. Неподвижные точки операторов вольтерровского типа
В этом параграфе даны необходимые сведения о неподвижных точках операторов вольтерровского типа, которые используются для построения функций Ляпунова и карты неподвижных точек в §§ 3-4. Пусть V : Sm-1 ^ Sm-1 — оператор вольтерровского типа,
V ( x ) k = x k
m
1 + X i=1
a ki x i
k = 1 , . . . , m, a ki = — a ik , | a ij | 6 1 ,
(2 . 1)
и X — множество его неподвижных точек. Из (2.1) ясно, что x G X равносильно равен-m ству xk akixi = 0, k = 1, . . . , m, т. е.
i =1
(2 . 2)
supp x П supp Ax = 0, где supp x = {i : xi = 0}.
Лемма 1. Пусть x,y G X и l — прямая, проходящая через точки x и у. Если supp x = supp y, то l П Sm-1 С X.
C Согласно (2.2) и условию suppx = suppу находим supp x П (supp Ax U supp Ay) = 0.
Поскольку supp(Au + (1 — A)v) С supp u U supp v, то supp(Ax + (1 — A)y) П supp(AAx + (1 — A) Ay) С supp x П (supp Ax U supp Ay) = 0.
Следовательно, Ax + (1 — A)y G X или l П S m-1 С X . B
Теорема 3. Изолированная неподвижная точка имеет нечетное число ненулевых координат.
<1 Пусть x = (xi,..., xm) неподвижная точка с четным числом ненулевых координат. Поскольку любая грань Га инвариантна, причем Va также оператор вольтерровского типа, то без ограничения общности будем считать, что m — четное и xi > 0, i = 1,..., m. Согласно (2.2) имеем Ax = 0. Поскольку x = 0, то rgA 6 m — 1. Как известно ([8, с. 261]), ранг кососимметрической матрицы четное число. Поэтому rgA 6 m — 2. Пусть L = Ker A m и Hq = < y G Rm : P yi = 0 f. Так как dim L > 2 и dim Hq = m — 1, то L П Hq = {0}.
I i=1
m
Выберем z G L П H q , z = 0. Поскольку x i > 0, i = 1,..., m и ^ z i = 0, то можно указать i =1
-
5 > 0 такое, что x + ez G S m-1 при |e| 6 5. По построению x + ez G Ker A или учитывая (2.2) имеем x + ez G X. Следовательно, неподвижная точка с четным числом ненулевых координат не может быть изолированной. B
Лемма 2. Если A = (a ki ) — кососимметрическая матрица, то
m x G Sm-1 : X akixi > 0, k = 1,..., m > = 0.
< Положив F k = nx G S m 1
m
PP a ki x i > 0
i =1
}
, докажем, что для любого α ⊂ I имеем
Га C [J F k . (2.3)
k ∈ α
Пусть x G Га. Так как aki = —aik, то 22 akixkxi = 0. Поскольку xk > 0, причем xk > 0 i,k∈α хотя бы для одного k ∈ α, то
X akixi > 0(2.4)
i∈α для некоторого k ∈ α, иначе мы имеем
£ a ki x k x i = x k a ki x i < 0.
i,k∈α k∈αi
m
Поскольку x G Га, то согласно (2.4) находим 22 akixi = 22 akixi > 0. Следовательно, i=1
x G [J F k . Согласно комбинаторной лемме Шпернера ([6, с. 612]) из (2.3) следует P = k ∈ α
m
-
П F k = 0 . в
k =1
Следствие 1. Имеет место равенство
m
Q = |x G S m-1 : X a ki x i 6 0, k = 1,..., mJ = 0 .
i =1
-
< Доказательство следует из того, что матрица A также кососимметрична. Итак, P = { x G S m-1 : Ax > 0 } и Q = { x G S m-1 : Ax 6 0 } , где «6» — покоординатный порядок, непустые выпуклые многогранники. B
Следствие 2. Справедливы включения P ⊂ X и Q ⊂ X . C Пусть, например, x ∈ P . Тогда
m
1 + ^akiXi I > xk, k = 1,..., m.
(2.5)
i=1
mm
Поскольку 52 xk = 52 Xk = 1, то из (2.5) находим x k = X k , т. е. x E X. B k=1 k=1
Пример 1. Рассмотрим три квадратичных оператора действующих на S 2 :
a)
x 01 = X 1 (1 + X 2 - X 3 ), < X2 = X 2 (1 — X 1 + X 3 ),
b)
^3 = X 3 (1 + X 1 - X 2 ),
x 1 = X 1 (1 + X 2 + X 3 ), X 0 2 = X 2 (1 - X 1 + X 3 ), 4X 3 = X 3 (1 — X 1 — X 2 ),
c)
x 1 = X 1 (1 + X 2 — X 3 ),
X 0 2 = X 2 (1 - X 1 ),
4x3 = X 3 (1 + X 1 ).
Для каждого из этих операторов легко находим неподвижные точки:
-
a) X = {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1), ( 3 , 3 , 3 )},
-
b) X = { (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) } ,
-
c) X = { (0, A, 1 - A) : 0 6 A 6 1 } U { (1, 0, 0) } .
Далее решив неравенства Ax > 0, x E S 2 , и Ax 6 0, x E S 2 , получаем:
-
a) P = Q = ( 3 , 3 , 3 ),
-
b) P = (0, 0,1), Q = (1, 0, 0),
-
c) P = {(0, A, 1 - A) : 2 6 A 6 1}, Q = {(0,A, 1 - A) : 0 6 A 6 2 } .
Для а С I положим P a = { x E Г а : A a x > 0 } , Q a = { x E Г а : A a x 6 0 } . Ясно, что P a и Q α также непустые выпуклые многогранники, причем
Pα ⊂ Xα , Qα ⊂ Xα , где Xa = X П Га.
Заметим, если M С S m-1 выпукло и x,y E ri M, то supp x = supp y. Действительно, для минимальной грани Г а содержащей M имеем ri M С ri Г а . B
Лемма 3. Если x E ri P , то supp x U supp Ax = I .
C Поскольку P С X, то из x E ri P согласно (2.2) имеем suppx П supp Ax = 0. Поэтому допустив, что лемма не верна, без ограничения общности будем считать, что x = (x1, ...,xm-1,0), Ax = (0,..., 0), (2.6)
где X 1 > 0,..., x m-1 > 0. Общий случай можно свести к виду (2.6) переходом к рассмотрению подходящей грани Г а и соответствующего сужения, поскольку x E ri P и x E Г а влекут x E ri P a .
Учитывая кососимметричность матрицы A, а также (2.6) находим:
Ker A ± Im A, Ker A © Im A = R m , Ker A = { 0 } . (2.7)
-
a) Пусть существует z = (z 1 ,..., z m ) E Ker A такой, что z = 0. Пусть z m > 0. Тогда при достаточно малых E > 0 имеем X i + EZ i > 0, i = 1,..., m и
- У = x + Ez e sm—1 n Ker A, |x + EZ|
m где |x + ez| = 52 (xi + ezi). Поскольку Ay = 0, то y E P .Из x E ri P, y E P следует i=1
x+y E ri P . По построению supp y = I , supp x = I . Тогда неравенство supp x+y = supp x противоречит включениям x, x+y E ri P .
-
б) Пусть Ker A C { z : z m = 0 } . Тогда (0,..., 0,1) E Im A согласно (2.7). Пусть Au = (0,..., 0,1), где u = (u i ,..., u m ). Так как A = - A, то (u, Au) = 0, т. е. u m = 0. Далее при достаточно малых | e | имеем x i + eu i > 0, i = 1,..., m — 1 и ■jx+pfu E S m-1 , причем A ( ix + eu, ) = 0 при e = 0. Следовательно, .x+ eu e P и ,x-eu E P , где e > 0. Точка x
у |x+eu| у ' р / , |x+su| |x-5u| r-, лежит на отрезке с концами |Xpfuj и |X-^U|, поскольку
| x + eu | x + eu | x — eu | x — eu
2 |x + eu| 2 |x — eu|
3 . Функции Ляпунова
и mmm
|x + eu| + |x — eu| = ^^(xi + eui) + ^^(xi — eui) = 2 ^^ xi = 2. i=1 i=1
Таким образом, (|X^U|, x) C ri P, но x - εu
( x, kr / P = 0, |x - εu| что противоречит условию x E ri P. B
Пусть V : S m-1 ^ S m-1 оператор вольтерровского типа и x 0 E S m-1 . Последовательность { x (n) } , где x (n) = V n x 0 , называется траекторией при n E Z , положительной (отрицательной) траекторией при n E N ( — n E N ). Через w + (x 0 ) и w - (x 0 ) обозначаются множества предельных точек, соответственно, положительной и отрицательной траекторий. Непрерывный функционал ^ : S m-1 ^ R называется функцией Ляпунова для дискретной динамической системы
m
-
1 + X a ki x^ n ) , k = 1,...,m, n E Z , i=1 /
(3.1)
если для любой начальной точки x0 E Sm 1 существуют пределы lim y(x(n)), lim y(x(n)).
n^+^ n^—^
Теорема 4. Если p = (p 1 ,..., p m ) E P, то ^(x) = x p 1 ... x p^ m — функция Ляпунова для (3.1) .
C Вычислив ^(Vx), находим m m pk m m pk
^(Vx) = x k 1+ a ki x i J J = ^(x) 1+ a ki x i .
(3.2)
k=1 i=1 k=1 i=1
m
Поскольку P k > 0 и 52 P k = 1, то используя неравенство Юнга [7], получаем k=1
m m pk m mm m
П 1 + Е aki xi 6 Е pk 1 + Е akixi j — 1 + ЕЕakixipk k=1 i=1 ' k=1 i=1 ' k=1 i=1,„ mm m / m x
— 1 -EEaikXiPk — 1 -EEaikPk jxi 6 1, k=1 i=1 i=1
так как 1 + Pm akixi > 0, aki — -aik, 52 aikPk > 0 и xi > 0. i=1
Учитывая (3.3) из (3.2), имеем y(Vx) 6 ^(x). Следовательно, lim y(x (n) ) и n ^ ^
lim y(x (n) ) существуют. B n →-∞
Замечание. При определении функции ^(x) — x p 1 ... x pm на границе S m-1 считаем, что 0 0 — 1.
Для r — (r1,..., rm) G Sm-1 положим m m rk x G Sm-1
Ф г (x) — x4 ... x m ;
< (x) — П 1 + E akixi , k=1 i=1
Ясно, что ф г — вогнутая функция и max — ф г (x) — ф г (r), причем максимум до- x ∈ S m -1
стигается только лишь в точке r — (r1,..., rm). Заметим, что ^r также вогнута, так как m является композицией аффинного отображения xk ^ 1+52 akixi и вогнутой функции фг. i=1
Очевидно, 0 6 ^ r (x) 6 2, причем, из r G P следует c r (x) 6 1 для всех x G S m-1 .
Лемма 4. Если ^ т (x) 6 1 для всех x G S m-1 , то r g P .
C а) Сначала докажем, что r G X. Пусть u — V -1 r. Тогда из ф г (r) — ф г (Vu) — ф г (u) • ^ r (u) 6 ф г (u) следует u — r, поскольку функция ф г своего максимума на S m-1 достигает только лишь в единственной точке r. Следовательно, r — V -1 r, т. е. r G X.
m
-
б) Докажем, что r G P . Допустив обратное, для некоторого к ' имеем 52 a^ i r < 0. Так
i =1
m как r G X, то из (2.2) следует r^ — 0. Выберем к" так, что rkoo > 0. Тогда 52 a^ir — 0
i =1
также вытекает из (2.2). Положим x — (x 1 ,..., x m ), где
ε
xi — rkoo — E ri г
при i — к', при i — к 00 , при остальных i.
(3.4)
m
Если 0 6 E 6 rkoo, то x G Sm-1. Напомним, что 52 akiri — 0 при rk > 0. Тогда, i=1 m учитывая (3.4), находим 52 akixi — E • (akko - akkoo )• i=1
Поэтому для всех к — 1,..., m имеем m rk
1 + Е akixi i=1
— 1 + E • r k • ( a kk o — a kk 00 ) + 0( e ).
Следовательно, m m rk
< (х) = П U + E akixi k=1 i=1 '
m
= 1 + e ^^ r k ( a kk 0 - a kk 00) + 0(e).
k=1
Поскольку
mm
E Г к a kk oo = - E a k oo i r i = 0,
то mm
C r (x) = 1 + E • E a kk o r k + 0(e) = 1 - e • E a ^i r i + 0(e) > 1
k =1 i =1
при достаточно малом e > 0. Итак, допущение r Е P приводит к противоречию с условием леммы. B
Следствие. E r (x) 6 1 на симплексе S m-1 тогда и только тогда, когда r Е P.
Пусть
Arg max f (x) = {y Е Sm-1 : f (y) = max f (x)} x∈Sm-1
-
— множество точек достижения максимума функции f : S m-1 ^ R .
Лемма 5. Если r Е ri P, то Arg max u r (x) = [M] — замыкание множества M = { x Е X : supp x = supp r } .
C (a) Согласно лемме 4 имеем u r (x) 6 1. При x Е M из r k > 0 следует x k > 0. m
Поскольку x Е X, то xk > 0 влечет ^ akixi = 0. Следовательно, i=1
E r (x) =
m m r k
П 1 + Е akixi k=1 i=1
= 1,
т. е. M С Arg max v r (x). Таким образом, [M] С Arg max v r (x).
-
б) Пусть y Е Arg max v r (x). Так как v r (x) непрерывная вогнутая функция, то множество Argmax ^ r (x) замкнуто и выпукло. Поскольку r Е M , то u r (r) = 1. Поэтому из u r (y) = v r (r) = 1 следует, что
- vr(Ay + (1 — X)r) = 1, 0 6 А 6 1.
Дифференцируя это равенство по λ находим
m
-
m r k • E a ki (y i - r i )
E---m--- i =---m--------=0 , 0< X < L
-
k=1 1 + E a ki r i + А • E a ki (y i - r i )
i =1 i =1
-
(3.5)
m
Так как r Е ri P С X, то согласно (2.2) имеем r k • E a ki r i = 0, k = 1,..., m. Следова- i =1
тельно, (3.5) можно переписать в виде
m
-
m r k · P a ki y i
E — ii=m— = 0 , 0< X < 1-
-
k=1 1 + А • E a ki y i
i =1
-
(3.6)
m
Нетрудно заметить, что из (3.6) имеем r k • ^2 a ki y i = 0, т- е - i=1
supp r П supp Ay = 0 .
m
Далее, учитывая a ki = — a ik и r k • 22 a ki y i = 0, находим i =1
mmmm rk akiyi = - yi aikrk = 0.
k=1 i=1 i=1
mm
Поскольку yi > 0, 22 aikrk > 0, то из последнего равенства получаем yi • ^ aikrk = 0 k=1
или supp y П supp Ar = 0 .
m
Согласно лемме 3 supp r U supp Ar = I , т. е. r k и 22 a ki r не могут одновременно быть i =1
нулями. Поэтому из supp r n supp Ay = 0 и supp y n supp Ar = 0 следует supp y n supp Ay = ∅ .
Следовательно, y E X и вообще, Arg max E r (x) С X . Далее
(3.7)
supp y С supp r, что вытекает из равенств supp y П supp Ar = 0, supp r U supp Ar = I. Учитывая (3.7) и r E M, получаем (y,r] С M. Следовательно, y E [M]. Таким образом, Arg max Er (x) С [M].
Итак, Arg max E r (x) = [M] при r E ri P . B
Теорема 5. Если x 0 E X, то w + (x 0 ) С dS m 1 .
C Допустив обратное, выберем r E ш + (x 0 ) П ri S m-1 . Если p E ri P , то согласно теореме 4 существует lim y p (x (n) ) = c > 0. Очевидно, y p (r) = c. Поскольку r E ri S m-1 , n^+^
то y p (r) = c > 0. Следовательно, ^ p (r) = ^(Vr) = 1. Пользуясь леммой 5 получаем r E [M], в частности, r E X . Для внутренней неподвижной точки согласно (2.2) находим Ar = 0. Поэтому r E P и lim y r (x (n) ) = y r (r). С другой стороны, x 0 = r, поэтому n^+^
y r (x 0 ) < y r (r). Далее, { y r (x (n) ) } — невозрастающая последовательность (теорема 4). Следовательно, y r (r) = lim y r (x (n) ) 6 y r (x 0 ) < y r (r). Последнее противоречие завер- n^+^
шает доказательство теоремы. B
Теорема 6. Если положительная траектория не сходится, то ш + (x 0 ) бесконечно.
C Пусть ш + (x 0 ) = { y 1 ,..., y t } , 1 < t < го . Тогда с точностью до нумерации имеем Vy i = y i+1 при i = 1,... ,t — 1 и Vy t = y 1 . Пусть Г минимальная грань содержащая y 1 . Тогда y 1 E riГ и в силу инвариантности пГ имеем ш + (x 0 ) С пГ. С другой стороны y 1 E X и согласно теореме 5 имеем w + (y 1 ) = ш + (x 0 ) С д Г. Поскольку rir П дГ = 0 , то получаем противоречие. Итак, допущение 1 < t < го приводит к противоречию. B
Лемма 6. dim[M] = dim ri P.
C Пусть Г а — минимальная грань содержащая P . Тогда ri P С riГ a . m
По определению
Если x ∈ M , то
M также имеем ri P С M С riГ a . Пусть L k = s z E R m : ^2 a ki Z i > 0 k i =1
m xk > 0 для всех k E а. Поскольку M С X, то xk > 0 влечет ^2 akixi = 0. Для y E ri P i=1
m согласно лемме 3 при к Е а имеем ^ akiyi > 0. Следовательно, i=1
ri P = Q(M П L k ).
(3.8)
k 6 ∈ α
Поскольку M выпукло, L k открыто и M П L k = 0 , то dim M = dim(M П L k ).
Поэтому из (3.8) получаем dim M = dim ri P . B
Следствие. Семейство функций { ^ r } , r Е ri P разделяет точки M, т. е. если x,y Е M и x = y, то существует r Е ri P такое, что ^ r (x) = ^ r (y).
C Пусть x,y Е M и P r (x) = P r (у) для всех r Е ri P . Поскольку supp x = supp у = supp r = а, то ^ r (x) = ^ r (y) > 0. Поэтому логарифмируя равенство ^ r (x) = ^ r (y)
находим
ri In x i = 0. y i ∈ α i
(3.9)
Так как dim M = dim ri P , то из (3.9) следует x = y. B
Теорема 7. Отрицательные траектории сходятся, причем ш - (x 0 ) Е P, если x 0 Е ri S m-1 .
C а) Для любого p Е ri P имеем y p (x 0 ) > 0, поскольку x 0 Е ri S m 1 . Далее, { ^ p (x ( n) ) } — неубывающая последовательность (теорема 4). Следовательно,
-
* p
l-n) ) = Sxx - nA ^ 1 при n ^ + “ •
-
т. е. ш - (x 0 ) C [M]. Так как ^ p (x 0 ) > 0, то supp y > supp p для любого y Е ш - (x 0 ). Следовательно, ш - (x 0 ) C M . Поскольку { ^ p } , p Е ri P разделяет точки M , то ш - (x 0 ) состоит из единственной точки. Действительно, из сходимости { ^ p (x |-n) ) } следует сходимость любой ее подпоследовательности к тому же пределу. Поэтому, если y,z Е ш - (x 0 ), то V p (y) = ^ p (z) для всех p Е ri P , т. е. y = z. Итак, отрицательные траектории сходятся.
m
-
б) Докажем, что ш - (x 0 ) Е P . Пусть ш - (x 0 ) = { y } и y Е P . Тогда ^2 a ki y i < 0 для i =1
некоторого k, причем в достаточно малой окрестности y последнее неравенство сохраня-m ется. Поскольку y Е X, то из ^ akiyi < 0 следует yk = 0. Так как i=1
l- n ) l- n -1) x k = x k
m
) < x k-n-1)
-
-I । |-n-1)
-
1 + / у a ki x i i =1
в достаточно малой окрестности y, то xk n)возрастает. Поэтому xk n)^ yk = 0. Следовательно, ш-(x0) Е P. B
4. Карта неподвижных точек операторов вольтерровского типа
Замечание. Если положительная траектория сходится и x 0 Е ri S m-1 , то ш + (x 0 ) Е Q.
Пример 2. Пусть V : S 3 ^ S 3 имеет вид:
x 1 = x 1 (1 + x 2 - x 3 + x 4 ),
V : < x 0 2 = x 2 (1 — x 1 + x 3 + x 4 ),
I x3 = x3(1 + x1 - x2), x4 = x4(1 — x1 — x2).
Решив необходимые неравенства находим P = { x G S 3 : Ax > 0 } = { (0, 0, Л, 1 - Л) : 0 6 А 6 2 } , Q = { x G S 3 : Ax 6 0 } = { ( 3 , 3 , 3 ,0) } , M = { (0, 0, Л, 1 — Л) : 0 < Л < 1 } . Любая отрицательная траектория сходится к некоторой точке из P . Положительные траектории не сходятся.
Итак, в § 3 установлена сходимость всех отрицательных траекторий. В этом параграфе изучается асимптотическое поведение положительных траекторий.
Теорема 8. Если все главные миноры четного порядка кососимметрической матрицы A положительны, то X конечно.
C Допустим, что X бесконечно. Тогда существуют x,y G X, x = у, такие, что suppx = suppу. Положив а = suppx = suppу, рассмотрим r a ,V a и A a . Поскольку x G г1Г а , suppx П supp A a x = 0 и supp A a x С а, то A a x = 0. Аналогично A a y = 0. Так как x и у линейно независимы, то dimker A a > m — | a | +2. Следовательно, все главные миноры порядков | а | и | а | — 1 кососимметрической матрицы A a равны нулю. Тогда матрица A имеет хотя бы по одному главному минору порядков | а | и | а | — 1 равному нулю. Поскольку x = у , то | а | > 2, и следовательно, A имеет нулевой минор четного порядка. B
Оператор вольтерровского типа V : S m-1 ^ S m-1 будем называть типичным, если все главные миноры четного порядка кососимметрической матрицы положительны. Поскольку определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка всегда равен нулю, а четного порядка неотрицателен, причем произвольно малым возмущением элементов его можно сделать положительным, то множество всех типичных операторов открыто и всюду плотно в множестве всех операторов вольтерровского типа. Далее будем рассматривать только лишь операторы являющиеся типичными. Поскольку X конечно, то согласно теореме 3 для любого x G X число | supp x | нечетно. Напомним также, если x конечно, то из x,y G X и supp x = supp у следует x = у (лемма 1). Поэтому обозначение неподвижной точки с носителем α через z α является корректным.
Лемма 7. Если x G X , то supp x U supp Ax = I .
m
C Допустим, что существует k G I, для которого x k = ^2 a ki x i = 0. Пусть supp x = a i=1
и в = a U { k } . Поскольку | a | нечетно, то | в | = | a | + 1 четно. Рассмотрим Г е и соответствующие сужения V e , A e . Поскольку x G X П Г е , то согласно (2.2) находим A e x = 0, т. е. det A e = 0. Следовательно, A имеет нулевой главный минор четного порядка. B
Теорема 9. Пусть V 0 (z a ) производная оператора V в неподвижной точке z a G X и a(V 0 (z a )) ее спектр. Тогда
-
i) 1 G a(V 0 (z a )) ;
-
ii) a(V 0 (z a )) имеет | a | — 1 комплексных чисел по модулю больших чем 1 и m — | a | действительных чисел отличных от 1 .
C Вычислив якобиан, находим
/ 1 + P a ii x i |
a 12 x 1 . |
. a 1m x 1 |
|||
V 0 (x) = |
a 21 x 2 . . . |
1 + 12 a 2i x 2 . . . . .. |
. a 2m x 2 . . |
. (4.1) |
|
a m1 x m |
a m2 x m . |
. 1 + a mm x m |
После необходимой перенумерации можно считать z a = (z i ,..., z |a| , 0,..., 0). Учитывая (2.2) и лемму 7, находим Az a = (0,..., 0, ^ |a|+1 ,..., ^ m ), где ^ i = 0 при i > | a | + 1. Следовательно, из (4.1) получаем
E + diag(z i ,...,z t )A t ,
(4.2)
где E — единичная матрица порядка t, A t = (a ij ) (i, j = 1,..., t ) — кососимметрическая матрица. Поскольку t нечетно, то det A t = 0. Поэтому 1 G a(V 0 (z a )). То, что 1 собственное число кратности один следует из того, что все главные миноры A t порядка t — 1 положительны. Все собственные числа кососимметрической матрицы либо 0, либо чисто мнимые, поэтому t — 1 собственных чисел V 0 (z a ) имеют вид 1 + ic k . B
m
Замечание. Так как на S m-1 переменные x i ,..., x m связаны условием ^2 X i = 1 и i=1
-
1 G a(V 0 (z a )) отражает этот факт, то 1 следует исключить из относительного спектра. Следствие. Все неподвижные точки оператора V являются гиперболическими. Элементы X представим в виде точек на плоскости, затем точки z α , z β ∈ X соединим дугой, направленной от z a к z e G X, если A Y z a > 0, A Y Z e 6 0, где y = a U в. Полученный ориентированный граф назовем картой неподвижных точек оператора V и обозначим через G V .
Пример 3. Рассмотрим V : S3 ^ S3, где x01 = X1(1 — X2 + X3 — x4), x02 = x2(1 + Xi — X3 + X4), X3 = Хз(1 — X1 + X2 — X4), x4 = x4(1 + X1 — X2 + X3).
Легко заметить, что V имеет 6 неподвижных точек:
X=
{(1, 0, 0, 0);(0,1, 0, 0);(0, 0,1, 0), (0, 0, 0,
1):(3 • 3-3 • °M0’ 3’1 • 3)}-
Далее неподвижные точки z α ∈ X будут называться также вершинами карты G V . Висячая вершина карты — вершина в которую не входит ни одной дуги.
Теорема 10. Карта неподвижных точек имеет единственную висячую вершину.
-
<1 1) Поскольку X конечно, то P = { x G S m-1 : Ax > 0 } состоит из одной неподвижной точки. Далее для a D supp x имеем
(Ax) i , i G a, (A a x ) i = <
-
[0, i G a.
Поэтому для любого a D supp P имеем A a P > 0, т. е. P — висячая вершина.
-
2) Обратно, пусть z a — висячая вершина. Допустим, что (Az a ) i < 0 для некоторого i Е I . Согласно (2.2) имеем i Е а. Пусть в = а U{ i } . Тогда A e z a 6 0. Решение неравенства А в x > 0, x Е Г е обозначим через Zy . Следовательно, A e z a 6 0, A e Zy > 0, причем z a = Zy . Поэтому z α и z γ соединены дугой направленной из z γ в z α , т. е. z α не может быть висячей вершиной. Таким образом, Az a > 0 или z a = P . B
Вершины z a и z e кары G y назовем соседними, если | а | = | в | = | а U в | - 1.
Лемма 8. Соседние вершины всегда соединены дугой.
-
<1 Пусть z a и z e соседние вершины. Полагая y = а U в, находим, что одна из этих вершин является решением неравенства. Ay x > 0, x Е Г Y , а другая решением неравенства Ay x 6 0, x Е Г 7 . Действительно, Ay z a и Ay z e имеют только лишь по одной ненулевой координате согласно лемме 7. B
Утверждение обратное лемме 8 неверно.
Пример 4. Для V : S3 ^ S3, где x1 = xi(1 + x2 + x3 + x4), x02 = x2(1 - xi + x3 - x4), x03 = x3(1 - xi - x2 + x4), x4 = x4(1 - xi + x2 - xa), легко находим X = ©(1, 0, 0, 0);(0,1, 0, 0);(0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1); (0, 3, 3, 3)}, Ясно, что z1 и z234 не являясь соседними вершинами соединены дугой. Карту неподвижных точек назовем однородной, если из того, что две вершины zα и zβ соединены дугой следует, что |а| = |в|.
Лемма 9. Пусть G V однородная карта. Тогда число дуг инцидентных вершине z α не меньше чем m - | α | .
-
< Согласно (2.2) и лемме 7 имеем (Az a ) = 0 при i Е а и (Az a ) i = 0 при i Е а. Выбрав i Е а, положим y = а U { i } . Тогда z a является решением одного из неравенств
A y x > 0, x Е Г Y , или A y x 6 0, x Е Г Y . (4-3)
Пусть z e решение другого из неравенств (4.3). Поскольку (Ay z a ) i = (Ay z e ) i = 0 , то z a = z e , причем они соединены дугой. Ясно, что различным i соответствуют различные β. Следовательно, каждой нулевой координате точки z α соответствует дуга инцидентная вершине z a . Поэтому число дуг, инцидентных z a , не меньше чем m — | а | . B
Следствие. Если G V — однородная карта, то из z α ∈ X следует существование не менее m — | а | + 1 неподвижных точек с | а | ненулевыми координатами.
Нетрудно заметить, что однородная карта состоит из следующих связных компонент: неподвижные точки (вершины) с одной ненулевой координатой, затем неподвижные точки с тремя ненулевыми координатами и т. д. Для определенности связные компоненты будем располагать слева направо в порядке возрастания количества ненулевых координат вершин. Положим G y = G V) U G V U Gy ) U ..., где Gy k+1) — связная компонента, состоящая из неподвижных точек с 2k + 1 ненулевыми координатами. Если G y = G V , то карту назовем транзитивной. Заметим, если G V — транзитивная карта, то все положительные траектории сходятся.
Теорема 11. Пусть G V однородная и нетранзитивная карта и z α решение неравен ства Ax 6 0 , x Е S m-1 , т. е. z a = Q . Тогда существует (m — | а | ) -мерная инвариантная поверхность, содержащая решение неравенства Ax > 0 , x Е S m-1 .
m
C Пусть za = (z1,... zm) и i 0 а. Тогда (Aza)i < 0. Далее, 1 + ^ aijZj > 0, поскольку j=1
aij не могут быть отрицательными при всех j ∈ α, что вытекает из однородности и нетранзитивности карты GV . Поэтому согласно теореме 9 все m - |α| вещественных собственных чисел V0(za) заключены в интервале (0,1). Следовательно, V — локальный диффеоморфизм в некоторой окрестности zα . Пусть aff Sm-1 = Ls® Lu
-
— разложение аффинной оболочки S m-1 в точке z α на «сжимающуюся» и «растягивающуюся» части ([9, с. 80]). По построению «растягивающаяся» часть L u совпадает с affГ а , причем она является инвариантной не только для V 0 (z a ), но и для V. Заметим, что dim L u = | а | — 1 и dim L s = m — | а | . Согласно теореме Гробмана — Хартмана [9] в достаточно малой окрестности z a существует инвариантная (m — | а | )-мерная поверх- ∞
ность, которую обозначим через Mo. Пусть Mn = V(-n)(Mo) и M = U [Mn]. Ясно, что n=1
M 0 ⊂ M 1 ⊂ . . . Далее, любая отрицательная траектория { x (-n) } сходится. Поскольку
M 0 T ri S m-1 = 0 , то P = { x G S m-1 : Ax > 0 } G M . B
Следствие. Если z α и z β — соседние вершины, то существует инвариантная кривая, соединяющая неподвижные точки z α и z β .
C Доказательство непосредственно следует из теоремы 11, если положить y = а U в и рассмотреть V γ . B
Пример 5. Пусть V : S 4 ^ S 4 , где
V : =
Х 01 = Х 1 (1 + Х 2 — Х з + X 4 — X 5 ), Х 02 = X 2 (1 — X 1 — X 3 + X 4 + X 5 ), x 3 = Х з (1 + X 1 + X 2 + X 4 — Х 5 ), x 4 = X 4 (1 — X 1 — X 2 — X 3 + Х 5 ), У5 = X 5 (1 + X 1 — X 2 + Х з — X 4 ).
Заметим, что V кроме вершин симплекса S 4 имеет еще 4 неподвижные точки:
z 145 =
z 345 =
( о , 0, 0, о , о ) , z125 (o’ o’ 0, 0, о) ,
3 3 3 3 33
[ 0, 0, , X, 7Т/, z235 ( 0, , ,0’ о/ *
333 333
В данном случае m = 5, P = Z 145 , Q = Z 235 , а = { 2, 3, 5 } , m — | а | = 2. Легко проверить, что z 145 , z 125 , z 345 , z 235 лежат на одной плоскости, пересечение которой с S 4 является инвариантным относительно оператора V .
Теорема 12. Пусть G V — однородная и нетранзитивная карта, а M — инвариантная поверхность упомянутая в теореме 11 . Если x 0 G ri S m-1 \ M, то положительная траектория { x (n) } не сходится.
C Действительно, если {x(n) } сходится, то согласно замечанию к теореме 7 имеем lim x(n) = Q. Поскольку V — автоморфизм и Q — гиперболическая точка, то последнее n→+∞
не возможно только лишь при x 0 ∈ M .
Итак, отрицательные траектории всегда сходятся, а положительные траектории, как правило, не сходятся, причем ш + (х 0 ) — бесконечное множество. B
5. Построение функций Ляпунова для динамической системы (3.1)
Оценка ш(х 0 ) С dS m-1 , полученная в теореме 5, в ряде случаев допускает улучшения. В этом параграфе предложен метод построения немонотонных функций Ляпунова для динамической системы (3.1). Пусть V : S m-1 ^ S m-1 — квадратичный оператор вольтерровского типа и G V — однородная карта. Следующие предложения дают представление о строении однородных карт:
-
(1) Пусть z a ,z \ Е Gv , причем | а | = | А | . Тогда существует цепочка вершин z a ,z e , z γ , . . . , z λ такая, что любые две рядом стоящие в ней вершины являются соседними.
-
(2) Если Gv содержит орцикл (гамильтонов контур) [5] , например z a ^ z e ^ ... ^ z \ ^ z a , то существует вершина z ^ такая, что ^ С а U в U ... U А и | ^ | > | а | +2 .
-
(3) Если z α — висячая вершина, то для любой другой вершины z β карты G V имеем | в | 6 | а | .
Доказательства этих утверждений можно провести комбинаторными методами с использованием фактов из теории орграфов.
Пусть z a = (r i ,..., r m ) Е X. Положим ^ а (х) = х^1 ... х ^ , x Е ri S m-1 .
Теорема 13. Пусть z α висячая вершина однородной карты G V . Если z β ∈ X , причем | в | = | а | , то ^ в — функция Ляпунова для динамической системы (3.1) .
Доказательству теоремы предпошлем несколько простых замечаний:
-
(1) Если х 0 Е X , то ш + (х 0 ) П ш - (х 0 ) = 0 .
-
(2) Если у Е ш + (х° ), то ш ' (у) С ш + (х 0 ) и ш - (у) С ш + (х 0 ).
-
(3) V(ш + (х 0 )) = ш + (х 0 ), V(ш - (х 0 )) = ш - (х 0 ).
-
(4) Пусть Z a ,z e Е X , | а | = | в | , а = в. Тогда ^ a (z в ) = ^ в (z a ) = 0.
-
<1 Доказательство теоремы 13. Без ограничения общности будем считать, что х 0 Е ri S m-1 \ M . Тогда согласно теореме 12 ш + (х 0 ) бесконечное множество. Покажем, что lim ^ в (x (n) ) = 0. Допустив противное, имеем ^ я (у) > 0 для некоторого у Е ш + (х 0 ). n^+^
Ясно, что из ^ в (у) > 0 следует supp у D в. Далее отрицательная траектория начинающаяся в точке у сходится, причем ш - (у) С ш + (х 0 ). Пусть ш - (у) = {zy } . Так как supp у D в, то, учитывая теорему 7 и однородность карты Gv , получим |y | = | в | - Рассмотрим разложение aff S m-1 в точке zy на «сжимающуюся» L s и «растягивающуюся» L u части. Пусть My инвариантная поверхность соответствующая L s . Поскольку zy Е ш + (х 0 ) и { x (n) } не сходится, то M γ обязана содержать хотя бы одну предельную точку положительной траектории { x (n) } . Пусть u Е M y П ш + (х 0 ). Тогда ш - (и) С ш + (х 0 ). Так как отрицательные траектории сходятся, то ш - (u) = { z ^ } . Нетрудно заметить, что | 5 | = | в | . По построению вершины z δ и z γ на карте G V соединены дугой направленной от z δ к z γ . Так как последняя связная компонента (компонента содержащая вершины P и Q) однородной карты не может иметь орциклов, то продолжая приведенное выше рассуждение в конце концов получаем P = { х Е S m-1 : Ах > 0 } С ш + (х 0 ), что противоречит теореме 4. B
Следствие. Если х 0 Е ri S m-1 \ M , то ш + (х 0 ) С Т в ^ -1 (0) , где пересечение берется по всем в таким, что | в | = | а | и z в некоторая вершина карты Gv , а z a — висячая вершина.
Для примера 5 теорема 13 позволяет получить следующие функции Ляпунова:
П4б (х) = (х 1 х 4 х б ) 3 , ^ 125 (х) = (х 1 х 2 х б ) 3 , ^ 34б (х) = (х з х 4 х 5 ) 3 , ^ 235 (х) = (х 2 х з х 5 ) 3 .
Список литературы Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий
- Kesten H. Quadratic Transformations: a Model for Population Growth. I//Adv. Appl. Probab.-1970.-V. 2, № 1.-P. 1-82.
- Валландер С. С. О предельном поведении последовательности итераций некоторых квадратичных преобразований//Докл. АН СССР.-1972.-Т. 202, № 3.-С. 515-517.
- Menzel M. T., Stein P. R., Ulam S. M. Quadratic Transformations. 1.-Los Alamos, 1959.-158 p. (Rep. T.A2305).
- Jenas R. D. Quadratic Differential Systems for Interactive Population Models//J. Diff. Eq.-1969.-V. 5.-P. 497-514.
- Ганиходжаев Р. Н. Квадратичные стохастические операторы, функции Ляпунова и турниры//Мат. сб.-1992.-Т. 183, № 8.-С. 121-140.
- Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.-М.: Наука, 1984.-752 c.
- Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства.-М.: ИЛ, 1948.
- Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.-М.: Мир, 1989.
- Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику.-М.: Мир, 1975.