Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром коши

В настоящее время теория сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши находит широкое приложение в математических и технических исследованиях. Широко известным приложениям интеграла Коши и сингулярных интегральных уравнений посвящены монографии Н. И. Мусхелишвили [17, 18], И. Н. Векуа [3], С. Г. Михлина [15], Ф. Д. Гахова [6], З. Пресдорфа [20] и др.

Важность «доведения до числа» решений сингулярных интегральных уравнений не раз подчеркивали известные математики, такие, как Н. И. Мусхелишвили, М. А. Лаврентьев, С. Г. Михлин, Х. Мультопп, И. Н. Векуа. Первые важные результаты в этом направлении были получены в работе М. А. Лаврентьева [11] в 1932 г.

В предисловии академика С. А. Чаплигина к этой работе было отмечено важное значение результатов указанного характера и было выражено пожелание, чтобы эти исследования были продолжены, в частности, в направлении упрощения приема и увеличения его сходимости. Отмечая важность указанной работы, академик Н. И. Мусхелишвили во всех изданиях своей монографии [18] отмечает: «Дальнейшая разработка этого и аналогичных методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений является, как мне кажется, одной из важнейших очередных задач теории этих уравнений».

Важными публикациями середины ХХ века стали работы Г. Н. Пыхтеева [21], В. В. Иванова [9] и ряда их последователей. С точки зрения дальнейшего развития и важностью приложений численных методов решения сингулярных интегральных уравнений особо следует отметить работы С. М. Белоцерковского 1954 года по аэродинамике, послужившее основой создания существенно нового, хорошо известного в настоящее время метода численного решения сингулярных интегральных уравнений — метода дискретных особенностей. Позже этот метод был существенно развит С. М. Белоцерковским

и И. К. Лифановым [1], А. Ф. Матвеевым [13], Ю. В. Генделем [5], В. Ф. Пивнем [19] и их многочисленными учениками.

Из работ других авторов, посвященных приближенному вычислению сингулярных интегралов и решению интегральных уравнений, содержащих такие интегралы, следует отметить работы И. В. Бойкова [2], Б. Г. Габдулхаева [4], Д. Эллиота [35], В. А. Золота-ревского [7, 8], Х. Мультоппа [36], В. И. Мусаева [16], Д. Г. Саникидзе [22–24], В. Н. Сей-чука [25], Н. Я. Тихоненко [28], М. А. Шешко [29], А. А. Корнейчука [10] и их учеников. Несомненно, этот перечень не является полным и его можно было бы продолжить. Подробную библиографию по этим вопросам можно найти в специальных обзорных работах В. В. Иванова [9], Б. Г. Габдулхаева [4], С. М. Белоцерковского и И. К. Лифанова [1], И. К. Лифанова [12].

Особо следует отметить большой вклад академика Соболева С. Л. в теорию квадратурных и кубатурных формул [26, 27]. Благодаря ему квадратурные и кубатурные формулы были исследованы методами функционального анализа и оптимизированы.

1.    Предварительные сведения. Сингулярные интегралы

Приведем некоторые определения, используемые в дальнейшем.

Гладкой разомкнутой кривой ( дугой , контуром ) L называется линия, которую можно описать параметрически следующим образом:

x = x(s), y = y(s), S a 6 s 6 S b ,                             (1.1)

где s a и S b — некоторые постоянные, a x(s), y(s) — непрерывно дифференцируемые функции на [s a , S b ], причем производные x ' (s), y ' (s) одновременно в нуль не обращаются. Различным значениям параметра s Е [s a ,S b ] соответствуют различные точки кривой L.

Гладким замкнутым контуром L называется гладкая кривая, у которой x(s b ) = x(s a ), y(s b ) = y(s a ), причем x 0 (s b - 0) = x(s a + 0) и y (s b — 0) = y (s a + 0). Таким образом, в этом случае функции x(s), y(s), x ' (s), y (s) можно рассматривать как периодические с периодом T = s b — s a .

Гладкой линией ( простой ) называется совокупность конечного числа замкнутых или разомкнутых гладких контуров, не имеющих общих точек (в том числе концов).

Кусочно-гладкой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких разомкнутых кривых, не имеющих общих точек, за исключением, быть может, концов, которые не являются точками возврата.

Функция ^(t) переменной t (вообще говоря, комплексной) удовлетворяет условию H (ц) (условию Гельдера степени ц) на данном множестве T значений этой переменной, если для любых значений t i и t ^ из этого множества имеем

| ^(t 1 ) — ^(t 2 ) | 6 A | t 1 — t 2 | ^ >                                    (1-2)

где A и ц — положительные числа (0 < ц 6 1), не зависящие от t i и t 2 .

Гладкая кривая (t = x(s)+iy(s), s — естественный параметр) называется ляпуновской, если производные x ' (s), y' (s) удовлетворяют условию Гельдера с некоторым показателем.

Функция ^(t), определенная на контуре L, принадлежит классу H r (ц), r — натуральное число, 0 < ц 6 1, если ^(t) имеет непрерывные производные вплоть до (г — 1)-го порядка, а производная r-го порядка y ^{( r )} удовлетворяет условию Гельдера с показателем µ.

Сингулярным интегралом называется выражение

S(v; t o ) = - [-^ dt (t o e L),                      (1.3)

πi    t - t 0

L где L — некоторый заданный контур, a ^(t) — заданная на L функция. Его будем рассматривать в смысле главного значения, т. е.

S ⁽V5 to⁾ = lim— / -^t)- dt, ε→ 0 πi    t - t 0

L-l где l = t0t00, t0, t00 e L и |t0 — to| = |t00 — to| = e.

Сингулярным оператором (с ядром Коши) называется оператор, определенный формулой

K^ = A(t o )^(t o ) + - / K^(tt^o,t)v(t) dt,                      (1.4)

πi t - t 0

L где t, to — точки на контуре L, а A(to), K(to,t) — заданные на L функции класса H.

Сингулярным интегральным уравнением (с ядром Коши) называется уравнение вида

ACt o^ Ct o ) ⁺

B^ / . . dt +- f k(W>(t) dt = f (t o ), πi t - t 0 πi

LL где to e L, A(to), B(to), k(to,t), f(to) — заданные на L функции класса H, причем A2(to) — B2(t) = 0 на L.

2.    Приближенное вычисление сингулярных интегралов

Известно, что при решении сингулярных интегральных уравнений особое место занимает аппроксимация сингулярного интеграла (1.3). Существуют различные методы в этом направлении. Отметим некоторые из них.

• 2.1.    В [9] строятся квадратурные формулы с помощью представления плотности v(t) отрезком ряда Лорана:

n

V(t) = £ aktk,(2.1)

k=-n где

1 n ak = 2n+l ^ ^(tj)t-k, tj = e2^j.(2.2)

j = -n

Тогда, если L — окружность единичного радиуса с центром в начале координат, получаем

S„(y; to) = X aktk, — X aktk.(2.3)

k =0        k = -n

Подставив в (2.3) вместо ak их значения из (2.2), после некоторого упрощения, полу- чим

S n⁽V ; to) —

2n + 1

n

X Vj j=-n

1+

i sin(2n + 1) ^" 2 ^ j

θ - θ

2 sin —2j

,

(2.4)

где V j = V(t j ), t j = e^{06 j} , 9 j = 22^+1 j , t o = e i⁶ .

Теорема 1. Справедлива оценка

| S(у; t o ) - S n (^; t o ) | 6 [2 + ⁴ + 4ln-(2n + 1)ip n (y),               (2.5)

πππ где величина Pn(y) — наименьшее отклонение на множестве многочленов вида (2.1).

• 2.2.    В [10] в случае простой замкнутой гладкой кривой L, если плотность у (t) определена на L, причем | ϕ ⁰⁰ | < C , строится полигон

• 2.3.    В [21] строятся квадратурные формулы с помощью представления

0y(t) = Vk 7-------7+ Vk+17-------Г", t e tktk+1, tk e L tk+1 - tk         tk+1 - tk и получается следующая оценка

IS(v; to) - Л [ (V |

πi    t - t0

L

n-1 m-1

Фп(у; t,to) = V(to) + £ £        (%   • -t£^[Lv(у; to) - v(tak)],(2.8)

^(t- tak M ^(tak) to - tak

σ=0 k=0

где t e TaT^+1, Ta = tao, _(t) = Q (t - tak), Ja(tak) = Q (tak - taj), точки tak k=o j=k

(a = 0,1,..., n - 1; k = 0,1,..., m - 1) делят контур равномерно относительно длины, L_v(у; to) — интерполяционный многочлен Лагранжа на дуге T_vt_v+i, которому принадлежит точка t0 .

Подставляя (2.8) в (1.3), получаем следующую квадратурную формулу с ( + \ т ( + X X    Lv(у; to) - v(t^k)

(2.9)

Sn(y; to) = Lv(у; to) + > v , Pak------7----7-------- t -t

σ=0 k=0          0 σk которая в точках tvj (v = 0,1,..., n - 1; j = 0,1,..., m - 1) при m = 4 принимает вид где

^Sn^(v; tvj ) -

n-1 2

1 + XX

_CT=a k=o

<7= V

p^∗_σk tνj - t

+X k=0 k=j

p^∗_νk tνj^-

+ P^j X гЛ7 V(tvj) tνj   t k=0 J k=j

n-1 2       _∗                  2       _∗                      3

-X T-vpV y(tak) -X r^p"^ y(tvk)+pvj Xdvk (tvj )v(tvk), 7^ k= tvj ^-tak        t0 tvj ^-tvk           7t

7 = V                              k=j                             k=j

(2.10)

pak —

ni П (tak - taj) j=0 j = k

I

τσ⁴+1

-

+

τσ²+1

-

τ_σ²

£ taj taj0

k=j,j = 0 ^j<^j0

τσ⁴

-

3 τσ+1

-

³ τ_σ

tσj j=0 j = k

(2.11)

^-(^Ta+1 ^{- T}a)

II taj k j=0 J j = k

pak = j" ’

[Pa-1,3 + PaG, dvk (tvj ) = П (t jo '' j0=kj

a = 0,1’-- - ,n - 1’ k = 1, 2, (2-12) ct = 0,1,-- - ,n - 1’ k= 0, 3 / - tvjo ) / ^J (tvk - tvjo )- (3-13) jo о j0 = k

Теорема 2. Если p E Hr (a), L — гладкий замкнутый контур, то для погрешности квадратурной формулы (2.9) имеет место неравенство

|S(p; to) - Sn(p; to)| 6 O^nnT+a) -                           (2-14)

• 2.4.    В [22] рассматриваются сингулярные интегралы вида

S⁽p;^x) = - / -—vt^^^{dt (-1 6 x 6} U            ⁽²-¹⁵⁾

П -1 (t - x)V1 - t²

S*(p;x) = [ ^P^^ dt (-1

t-x

-1

Для существования их в смысле главного значения Коши достаточно требовать, чтобы p(t) удовлетворяла на заданном отрезке условию Гельдера. Изучаются следующие квадратурные процессы

1     ^(-1)    V¹- xkUn—^{1 (x)}- ¹ . .

(2-17)

Sn(y; x) = ^^---------—--------p(xk), k=1

1 X Ь¹)^ V¹- —k (Hn-1(x)+ Tn(x)ln 1+X ) - Akn

Sn(p; x) ~ - X--------------------------------------------------^(—k)’       (2-18)

• n       nx

k=1

где

T_n(x) = cos narccos x, U_n-1(x) =

^sinnarccosx,  x„ = cos2k-ln (k =1,2’...’n)’

V1-^2 ’ k 2n v ’ ’’ 7’

m

Ak = ²[1 - 2 X n

r=1

4r²-

_ cos          nl,

1n

m = /

n- 1,

n — нечетное,

n - 2,

n — четное,

n

Hn-1(x) = X Ak k=1

Tn(x)

. x -xk

Формулы (2.17) и (2.18) являются точными, когда ϕ представляет произвольный многочлен степени не выше n - 1.

Теорема 3. Если p E Hr (a) (r > 0, 0 < a 6 1), что при n = 2, 3, - - - справедливы неравенства

max |R_n(p; x)| 6 (C1 + C₂lnn) — xC [-§,§]                                       (n

-

max |R* (p; x)| 6 (C* + C2 lnn + C3 ln²n) xe[-e,?]

1)r+a ’

(2-19)

(n - 1)^r+a’

(2.20)

где Ci, C2, C*, C*, C*, — не зависящие от n константы, известным образом определяемые постоянной Гёльдера функции ^(r); Rn(у; x) и Rn(у; x), соответственно, остаточные члены формул (2.17) и (2.18), [-£; £] (0 < ( < 1) — произвольный отрезок содержащийся в^(-1,¹⁾

• 2.5.    Одним из наиболее простых способов приближенного вычисления сингулярного интеграла является метод дискретных особенностей [12]. Суть этого метода состоит в следующем. Для сингулярного интеграла строится квадратурная формула

с ( + \ _¹ XX ^у(tk^)Atk                           /9 911

Sn^; toj) = ni L tk - t₀j ’                          ⁽²-²¹⁾

где tk = e^l6k, tok = eⁱ⁶0^k, 9k = 2Пk, ^ok = 9k + n, Atk = tk+i - tk, k= 1, 2, 3,.. . ,n, т. е. имеем каноническое разбиение контура множествами E = {tk}(k = 1,n) и Eo = {toj} (j = Vn)-

Теорема 4 [12]. Пусть у удовлетворяет условию H(а) на L. Тогда выполняется неравенство

|S(у;toj) - Sn(y; toj)| 6 9(toj-), j = 1,2,.. . ,n,

(2.22)

⁹⁽toj )= O( -^ат) + Mtoj )IO(-) •

В случае разомкнутого контура L = [a, b] получается такая оценка

1 Q            О (h“| ^{-n h| +}|y^(tOj^|h! A -b - a          /9991

^{|S (у}; tOj)    ^Sn^(у; tOj )| 6 Ol /,                , x I, h =       -..             ^(2.23)

У (toj - a)(b - toj) ) n + 1

• 2.6.    Эффективные оценки приближенного процесса построенного в [21], см. п. 2.3.

В оценке (2.14) ничего не оговорено на счет постоянных, присутствующих в последнем выражении. Мы поставили задачу сделать эффективные оценки для указанного процесса, т. е. оценить в нем существующие постоянные.

Теорема 5 (см. [34]). Если y(t) имеет на L ( L — замкнутая простая гладкая линия") непрерывные производные (г — 1)-го порядка и производная r-го порядка удовлетворяет условию Г¨ельдера, то справедливо неравенство

|S(у; to) - Sn(y; to)| 6 (Ci Inn + C2)n^,                   (2.24)

где

C = (b-a^r+aH^ "1 _{+ 3}r+a m ₊    2mp^2m-i     ₊     3mp²m     #

¹       n(r - 1)!    [ p     min(xk+i - Xk)^m-i   min(xk+i - Xk'm' ¹ | ’

C2 = (b - aVr+aH^r’ "3 + —^Pm-—. (П + ln2p2) + ⁶m<7 - ■      + # ’

n(r - 1)!        min(xk+i - Xk)^{m 1}               min(xk+i - Xk)^{2m 2}

kk

p

max t∈L

|s-s0| |t-t0 |

у'^Г. {xkit^-1

T TT(r)                                                     1

— характеристика контура L, Hϕ — постоянная Г¨ельдера для функции

— некоторая система точек, заданных на отрезке [0,1], b - a — длина

контура L.

3.    Квадратурные формулы интерполяционного типа 3.1.    Сингулярный интеграл на окружности. Пусть функция y(t) принадлежит классу Hr (а) на окружности L единичного радиуса с центром в начале координат. Рассмотрим для нее следующий многочлен: yn (t) — 1    2n      t2n+1 — t2n+1 2n + 1 k= У (tk) (t — tk)tntn (3.1) где точки tk разбивают окружность L на 2n + 1 равных частей. С помощью деления многочлена на многочлен несложно показать, что yn(tk) — y(tk), k — 0,1,..., 2n. Так как

1 t²ⁿ⁺¹- tkⁿ⁺¹_—( 1 при t — t_k, k — 0,1,..., 2n, 2n + 1 (t — t_k)tⁿtn | 0 при t — tm, m — k,k — 0,1,..., 2n.

Рассмотрим теперь сингулярный интеграл

S(y; to) —- [ -^t)- dt, ni J t — to

(3.2)

L где y(t) G Hr (а) на окружности L. Обозначим Sn(y; to) функцию, получаемую из (3.2), если вместе y(t) в нее подставить многочлен yn(t). Тогда можно написать приближенную формулу

c (        X ^y(tk)   ¹

Sn(y; to) — / v         „     1 2tk tk — to 2n + 1

k=o                L

-

2n+1    2n+1

to ⁺tk nn t_ot_k

.

(3.3)

Теорема 6. Если y G Hr (а), то справедлива оценка

|S(y,tom) — Sn(y,tom)| 6 о(n+a)’ m — 0,1,2,..., 2n.

(3.4)

• 3.2.    Сингулярный интеграл на отрезке. Теперь рассмотрим интеграл

S(y; x) = — [ p(t) У dt,                              (3.5)

π t-x

-1

где p(t) — (1 + t)^p(1 — t)q, —1 < p, q < 0, y (t) G Hr (а).

Если p — 2, q — — 2, то в [34] построена следующая квадратурная формула:

1ⁿ

Sn⁽y;^{x) —} nI2

j=1

( — 1)j^-1

x-

xj

(V^{1 —}xj Tn^{(x) + X}j^(x)) y⁽xj ),

(3.6)

где Xj (x) — ^1 —

n

2 P D Tn(x) xj    ^Bσ x-xσ

^=1

+

(—1)j Bjn, B_CT — ²cos²²^¹ n (a — 1, 2,...,n),

xj —

^cos22^{-1 п}

Теорема 7. Если y G Hr (а)

(r > 1,0 < а 6 1) и y G (1/2,1], то справедливо

неравенство

In n kS(y;x) — Sn(y;x)kH(y-1/2) 6 O(nr+a+Y-1),                     (3.7)

где k · k — г¨ельдеровская норма.

• 3.3.    Среди интерполяционных квадратурных формул (см. [29]) следует отметить формулы вида

4.    Квадратурные формулы для сингулярных интегралов, с наперед заданными узлами

X ¹     ^Р^(t)

Sn(v to) — X ni /   t - t0 dt, tkttk+1

где ^n^t) — линейная аппроксимация функции v на дугах tktk+1, k — 0,1, 2,..., n — 1, tk — точки гладкого разомкнутого контура L — ab.

Теорема 8. Если v Е H(а), 0 < а 6 1, to Е L, L — a — гладкая разомкнутая дуга, то последовательность S_n(v, to) равномерно сходится к S(у; to) при to Е L и справедлива оценка

IS(v,to) — Sn(v to)| 6 сl^n, to Е L,                        (3.8)

nα где C — некоторая постоянная, не зависящая от n.

В прикладных задачах часто возникает необходимость построения таких квадратурных формул, часть узлов которых задается заранее. Квадратурные формулы указанного вида впервые рассмотрел выдающий русский ученый XIX столетия А. А. Марков. Результаты А. А. Маркова обобщил В. И. Крылов. Но он ограничился лишь регулярными интегралами.

Теперь рассмотрим сингулярный интеграл вида (3.5). Для него построена следующая квадратурная формула [30]:

П y₍1—t)^a(1+1)

^e^^(t) dt и A(x)v(—1) + X Ak(x)v(xk), t^{— x}                  k=1

(4.1)

где

Ak (x) — ¹ π

j (1 — t)^a(1 + t)^e

(t + 1)^(t)

dt

(t — xk)(xk + 1)^0(xk) t —

—, k — 1, 2,..., n, x

^(x)—²n _r n^!r(a^{+ e+}n+¹) p(^a'^e) (x), ^v '     Г(а + в + 2n + 1)    n ^v ’

РП^а,в)(х) —

FTin (!^—x^)-a(^{1 +} x^)-e£П

·n                         x

^a+n(1 + x)^e+n)

— многочлен Якоби, Г(х) — функция Эйлера.

Формула (4.1) имеет один наперед заданный узел x — — 1.

Строится и такая формула

¹ h1 — t)^a(1 + t)^e^(t)- dt « B(x>(1) + X Ak(x)v(xk), π                t-x

-1                                         k=1

(4.2)

где

B(x) = 1 /"(1 - t)a(1 + t)e    ^.t)    dt’ nJ            Ц1Ж - x)

-1

Ak(x) = П j(1 - t)^a(1 + t)^e

-1

^{(t -}l)^(t)

(t - Xk)(xk - l)^⁰(xk)(t - x)

dt,

k = 1, 2,..., n.

Формула (4.2) тоже имеет один фиксированный узел. Построена и такая формула

П y₍1 - t)^a(1+1)

-1

вy^(t)

t-x

n dt « A(x>(-1)+B(x>(1) + X Ak(x>(xk), k=1

(4.3)

где

A(x) =

1      t)a(l  t)e(t-JMt)

nJ⁽¹ t^)U+ t) (-2)^(-1)(t - x) dt’

B(x)

= 1 Л1 -t)^a(1 + t)^e„^(t_l1;*^:!l dt, nJ                2w(1)(t - x)

-1

Ak (x) =

l

π

j (1 - t)^a(1 + t)^e

-1

(t² -

⁽t - xk⁾⁽xk

-

-----X dt, k = ¹’ ^2,...’n. 1)^⁰(xk)(t - x)

Отметим один частный случай. Пусть a = формулы (4.3) имеем

-

2,^e =

- 2, т. е. p(x) = ,11 2. Тогда для

A(x) =

(x - 1)Tn(x) (-2)(-1)ⁿ

B(x) =

(x + 1)Tn(x)

n X k=1

n X k=1

Ak x - xk

Ak x -xk

+

+

Ak (x)=     (x2 '^n"    (X - n(-1)kУ 1 - xk(x - xk) I j=1 Ж

B x- 1

A

+ xn

x

Aj

-

где Tn (x) — многочлен Чебышева первого рода,

- -I;,

n>⁰’ B = n= 1,

! 0,

B

I

xj

+-- x

A x + 1

I )

-

-

B

-

A x + 1 ’

B x - 1 ’

A

1+ x+1

-

Ak x-xk^,

n > 0, n = 1,

^Ak={n,

n > 1, n = 1.

Теорема 9. Если ^ Е Hr (А), то для погрешности справедливо представление

ln n №’^x)- Sn⁽^^{x)| 6} O(nr+A-1/2) •

(4.4)

5.    Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с применением внешних узлов

Пусть L — замкнутый ляпуновский контур на плоскости и ^(t) — заданная на L (достаточно гладкая) функция. Под t = t(s) = x(s) + iy(s) (0 6 s 6 l) будем подразумевать уравнение L относительно дуговой абсциссы s. Введем на L систему равноотстоящих (по длине L) узлов {Tj}2= 1 (Tj = t(sj),Sj = jП). Подобно классическому методу дискретных особенностей (см. [1, 12]), ниже мы применим приближенную схему для интеграла вида (1.3) на основе двоякого разбиения контура L.

Заменим на каждой дуге т₂„ । т₂„ . । (ст = 0,1, 2,..., n — 1) выражение ^(tt-^t⁰) линейным интерполянтом по схеме

^(t) — ^(to) t — T2_CT+1     ^(т2_ст-1 — ^(to)

≈· t — to       t2ct-1 — T2a+1 T2a—1 — t0

t ^{— t}2ct-1     ^^(t2^+1^—^^(t0)

·

^T2a+1^{— T}2^ I     ^T2a+1^—t0

(5.1)

t ^{E T}2^ I ^T2a+1i t0 ^E {^T2p^}n=1 •

Тогда получается следующая квадратурная формула

- / dt ^ S    t) = ^(t0) + E(P2-1 + P)   2            , t0 E {T2p}n= p ni J t - t0                                                 T2a+1 — t0

L

(5.2)

Аналогично, заменяя на дугах т₂„т₂^. ₂(ст = 0,1,..., n — 1) ^(tt-^t⁰) на соответствующий линейный интерполянт, получаем

Е [ ^Y dt « Sn(V; t0) = ^(t0) + X(P2, + P2.+2) V|T2"+2) — ^

ni J t — t0                                               T2a+2 — t0

L t0 E {T2p-1}P=p где Pj = 2ni(Tj+2 — Tj) j = 1, 2, ••• , 2n.

Для оценки погрешности справедлива (см. [32])

Теорема 10. Если существует производной ϕ⁰⁰⁰на L, контур L ляпуновски с показателем δ, тогда справедливо неравенство

|S(^,t0) — Sn(^,t0)| 6 o(nnn^)•                           (5.4)

Построенные формулы (5.2) и (5.3) принадлежат классу формул типа дискретных особенностей (см. [12]), так как t0 принимает значения в серединных точках дуги T2_ct-1 T2O-+1 или Т2_СТТ2а+2, и узлы {Tj}2= 1 осуществляют кононическое разбиение контура L на множествах E = {T1, T3,..., T2_n-1} и E0 = {T2, T4,..., T2_n}, которые, как расчетные и контрольные, сменяют друг друга. В формулах (5.2) точки E0 — контрольные, точки принадлежащие E — расчетные, а в формулах (5.3) — наоборот.

Очевидно, применением более точных квадратурных формул может быть всегда увеличена точность приближения самого интеграла (1.3). Однако, что касается численного решения сингулярных интегральных уравнений, то обоснование построенных на таких квадратурных формулах схем не всегда укладывается в общие принципы схем метода дискретных вихрей (так это имеет место для формул типа Симпсона и аналогичных) и оказывается в значительной степени затруднительным.

Тем не менее, если вместо класса замкнутых квадратурных формул рассматривать формулы, содержащие узлы вне множества интегрирования, можно указать конкретную квадратурную формулу довольно высокой степени точности, для которой получение интересующих нас утверждений оказывается возможным.

В начале мы приведем соответствующую квадратурную формулу в существующем ее виде для случая промежутков [sj-, Sj+2] действительной оси:

sj+2

j ^^(s)ds to sj+224 sj {-^(sj-2) + 13(^(sj)+ Г⁽_Л+)) - Wsj+4)}.       (5.5)

sj

Остаточный член (в известных предположениях относительно ψ) имеет вид [14]:

R = - 7y0(²h)⁵^⁽⁴⁾(^€).

Теперь, зафиксировав to = t_v в одной из систем узлов E = {T2p—i}n₌₁, Eq = {T2p}n₌₁, к интегралу от функции ^(tt-^t⁰) на каждой из дуг TjTj+2, с принадлежащей к другой системе концами, применим формулу комплексного аналога (5.5) (при изменении четности указанные две системы узлов взаимозаменяются), получим

Д [ -££L dt to . ■) + X¹C,(v)         ■ ^-- '),              (5.6)

ni J t - Tv            ^        T,₊2a+1 - Tv

L                        " ⁰

где C, (v) = Д. 2, 3 + lv+2,-1 + lv+2,+1 + lv+2,+3, lj обозначают коэффициенты формулы комплексного аналога (5.5). Погрешность формулы (5.6) при соответствующих предположениях относительно функции и контура (см. [32]) имеет вид O( nynr+nr).

Ставится вопрос: можно ли построить квадратурные формулы с применением внешних узлов более высокой точности, которые можно использовать в вычислениях сингулярных интегралов на замкнутых контурах L. По крайней мере с точки зрения практического использования представляет интерес рассмотрение таких формул шестью узлами, т. е. если ввести дополнительно еще два внешних узла. Для этого сперва построим квадратурную формулу с внешними шестью узлами в случае промежутков [sj, Sj+2] действительной оси. Она имеет вид [34]

^sj+2

j ^(s)ds

т2^ {⁵⁵⁽Wsj-4⁾⁺ ^(sj+6)) ^-46⁵⁽^⁽sj-2⁾⁺ ^⁽sj+2^))+4010W^Sj⁾⁺ ^(sj+2))}.

sj

(5.7)

Остаточный член при соответствующей гладкости функции ^ есть O(h⁷).

Применяя последнюю формулу, получаем

Теорема 11. Если ϕ имеет ограниченную производную седьмого порядка, L — контур Ляпунова с показателем 6, то для погрешности формулы (5.8) справедлива оценка ln n

IS⁽y;to) - Sn(y,to)| 6 ^О(пб+?)•                             ⁽⁵-⁹⁾

6.    Приближенное вычисление интегралов типа Коши

Для интегралов типа Коши ^П J ^(-^dt, где y — единичная окружность с центром в γ начале координат, в [9] построена квадратурная формула

πi

γ

y(t) dt t-z

n

Ф+(z) to P akzk,       |z| 6 1, k=0

-1

^^(z)to - P akzk, |z| > 1, k=-n

(6.1)

где ak даются формулой (2.2).

Теорема 12. Справедлива оценка max |z|61

n

Ф+ (z) - J>zk k=o

+ max |z|>1

Ф^-(z) - X akzk

-n

2 +1— In —(2n + 1)1 pn(y). πππ

(6.2)

Численная реализация тех или иных задач с применением метода граничных интегральных уравнений на завершающем этапе обычно требует приближенного вычисления интегралов типа Коши вида

I⁽y;^z) =                dt                                    ⁽6.³⁾

2ni J t — z

L и их производных различных порядков для значений z из некоторой конечной или бесконечной области D комплексной плоскости, ограниченной контуром L. Такие интегралы могут быть приближенно вычислены в фиксированных точках z ∈ D обычными квадратурными формулами. Однако точность таких формул может существенно понижаться при сколь угодном приближении z к границе области. В работе [23] предлагается приближенная вычислительная схема для интегралов типа Коши, основанная на определенном процессе аппроксимации их плотностей. Такие схемы приводят к довольно удобно реализуемым процессам и позволяют получить равномерные оценки погрешности по всей области вплоть до ее границы.

Будем считать контур L гладким, а также замкнутым. Вводится система точек (узлов) {rj-}ⁿ=i, разбивающих L на равные части, причем возрастание индексов соответствует положительному направлению обхода с учетом периодичности. Пусть

Lv (y; t) = lvo(t)y(Tv) + lvi(t)y(Tv+i)

— лагранжев линейный интерполянт, to € T_vT_v+i (1 6 v 6 n). Будем приближать y(t), где t € т_стr_CT+i(1 6 ст 6 n) следующим образом:

y(t) to L(y;to) + (t — to) X l„_b(t)^y(T’^+k) - Lnk^(y; t^o),               (6.4)

- где to = Ta+k, Lnk(y; to) = y(to) при a + k = v, v + 1 и Lnk(y; to) = Lv(y; to) при a + k = v, v + 1, a = 1, n. На основе замены y(t) в I(y; t) выражением (6.4) имеем

I(y; z) « I(1, z)Lv(y; to) + X t pak^(to, ^z)               ,

(6.5)

σ=1 k=0                ^{τσ+k -t0}

где

Pak(_М = Л  / U(t)dt +      /       .

2ni J               2ni   J t — z

Ta T_a+ 1                      T_aT_a+1

Если y(t) дважды дифференцируемая функция, то для остаточного члена справедлива равномерная оценка вида O( ln# ), которая очевидна при z внутри области D. Но n если z близко к контуру интегрирования, то под t0 будем подразумевать ближайшую к z точку контура L и снова получаем равномерную относительно z аналогичную оценку ln n .

O

П2 у

Кроме интегралов типа Коши вида (6.3) в задачах математической теории упругости для вычисления компонентов напряжения и смещения широко используются интегралы типа Коши следующего вида:

1      y(t)                     1      y(t) ,- u(z)   2/ t—zdt, u1(z)   2/ t—zdt,

1 г -y(t)                _ 1 г -y(t)                       ⁽⁶'⁶⁾

^u2^(z) = 2ni J (t — z)^{2 dt},^u3^(z) = 2ni J (t — z)3 ^dt‘

LL

В работе [23] построена вычислительная схема основанная на методе свободных параметров, пригодная только для первого интеграла из (6.6). В работе [31] обобщается указанный метод до такой степени, чтобы можно было вычислить все интегралы, приводимые в (6.6). Далее метод применяется для вычисления компонентов напряжения и смещения в задачах плоской теории упругости.

Полагая, что t0, t1, t2 (свободные параметры) — произвольные точки контура L, а v (1 6 v 6 n) — номер, для которого to, ti, t2 G T_vt_v+i, представим функцию y(t), t G T_aT_a+i (1 6 a 6 n), следующим образом:

y(t) = y(to) + (t — to)y(to, t1) + (t — to)(t — t1)y(to, t1, t2) +(t — to)(t — t1)(t — t2)y(t, to, t1, t2),

(6.7)

т. е. по формуле Ньютона, где y(to,t1), y(to, t1,t₂), y(t, to, t1, t₂) — соответствующие разделенные разности. Тогда приближенную формулу y(t) можно записать следующим образом:

o) + (t — to)y(to, ti) + (t — to)(t — ti)y(to, ti, t2)

(6.8)

^{+ (t —}to^{)(t —}ti^{)(t —}t2) У^lak^(t)y^(Ta+k, to, ^t1^,t2⁾

k=0

для погрешности rn(y; t,to,ti,t2) = y(t,to ,ti,t2) — ^lak (t)y(Ta+k,to,ti,t2).

k=0

В предположении существования ограниченной 6-ой производной на L функции ϕ справедливо представление

|rn(^,t,to,t1,t2)| 6 OfП13).

(6.9)

Подставляя (6.8) в первом интеграле из (6.6) и выполнив соответствующие выкладки, получаем

1 Г ^(tl dt _ ^(to) + (z - to)^(to,ti) + (z - to)(z - ti)^(to,ti,t2) 2ni   t — z n L                                                                                    (6.10)

+ Z^(A^(zMt?>tc>t1 ,t2) + ACT + 1(z)^(TCT + 1,t0,t1,t2) + A^+2(z)^(tct+2, to, t1,t2)), где коэффициенты ACT(z), ACT+i(z), ACT+2(z) вычисляются точно.

Для погрешности получена равномерная оценка

|Rn⁽^; ^z)|6 Of^).

n³

Аналогично строятся квадратурные формулы и для остальных интегралов в (6.6). Благодаря выбору параметров t0, t1, t2, для погрешности также получается равномерная оценка порядка O _n¹₃.

В заключение следует отметить, что теория и приложения сингулярных интегралов развивается бурно. Соответственно развиваются методы аппроксимации таких интегралов. Поэтому вышеизложенный обзор не является полным.