Квадратурные формулы высокого порядка аппроксимации
Автор: Силаев Дмитрий Алексеевич
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 4 т.6, 2013 года.
Бесплатный доступ
Работе предлагается метод построения квадратурной формулы высокого порядка аппроксимации для широкого класса областей, основанный на приближении гладкой функции на плоскости полулокальным сглаживающим сплайном или S-сплайном. Полулокальные сглаживающие сплайны были введены Д.А. Силаевым. Ранее рассматривались и применялись сплайны 3-й и 5-й степени. Настоящая работа посвящена использованию S-сплайнов более высоких степеней. Появление устойчивых S-сплайнов класса C 0 (только непрерывных), состоящих из полиномов высокой степени n (n=9,10) позволило получить квадратурные формулы 10-го и 11-го порядков аппроксимации. Предполагается, что интегрируемая функция принадлежит классу C p (p=10,11) в несколько большей области, чем исходная область, по которой ведется интегрирование. Предполагается также, что граница области задана параметрически, что позволяет с высокой степенью точности учесть границу области. Подобный подход возможен и для построения кубатурных формул.
Аппроксимация, сплайны, интегралы, квадратурные формулы, численные методы
Короткий адрес: https://sciup.org/147159245
IDR: 147159245 | УДК: 519.6+517.9
Quadrature formulas with high order approximation
In the article the method of creation the quadrature formulas with high order approximation for a wide class of the areas is given. This method is based on approach of smooth function on the plane by the semilocal smoothing spline or S-spline. Semilocal smoothing splines are initiated by D.A. Silaev. Earlier the splines of the third and fifth degree are considered and applied. This work is devoted to use of S-splines of higher degrees. Steady S-splines of a class of C 0 (only continuous), consisting of polynoms of high degree of n (n=9,10) makes it possible to receive quadrature formulas of the 10th and 11th orders of approximation. It is supposed that integrand function belongs to C p class (to p=10,11) in a bigger area, than initial area on which integration is conducted. It is also supposed that the border of area is set parametrically that helps to consider area border with a fine precision. Similar approach is possible for the construction of cubature formulas.
Список литературы Квадратурные формулы высокого порядка аппроксимации
- Бабенко, К.И. Основы численного анализа/К.И. Бабенко. -М.; Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2002.
- Соболев, С.Л. Введение в теорию кубатурных формул/С.Л. Соболев. -М.: Наука, 1974.
- Мысовских, И.П. Интерполяционные кубатурные формулы/М.П. Мысовских. -М.: Наука, 1981.
- Крылов, А.Н. Лекции о приближенных вычислениях/А.Н. Крылов. -М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
- Стечкин, С.Б. Сплайны в вычислительной математике/С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. -М.: Наука, 1976.
- Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций/Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. -М.: Наука, 1980.
- Колмогоров, А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций одного переменного и сложения/А.Н. Колмогоров//Избранные труды. Математика и механика. -М.: Наука, 1985.
- Соболев, С.Л. Кубатурные формулы/С.Л. Соболев, В.Л. Васкевич. -Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
- Рамазанов, М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем/М.Д. Рамазанов. -Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009.
- Силаев, Д.А. О кубатурных формулах высокого порядка аппроксимации для широкого класса областей/Д.А. Силаев, Д.О. Коротаев//Сб. тр. XVI междунар. конф. "Математика. Компьютер. Образование"/под ред. Г.Ю. Ризниченко. -Ижевск, 2009. -Т. 2. -С. 20-38.
- Силаев, Д.А. О кубатурных формулах высокого порядка аппроксимации для произвольных областей/Д.А. Силаев//Сб. тр. междун. конф. "Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики"/под ред. А.А. Артемова. -Тамбов, 2008. -С. 65-70.
- Силаев, Д.А. Полулокальные сглаживающие S-сплайны/Д.А.Силаев//Компьютерные исследования и моделирование. -2010. -Т. 2, № 4. -С. 349-358.
- Силаев, Д.А. Приближение S-сплайнами гладких функций/Д.А. Силаев, Г.И. Якушина//Тр. семинара имени И.Г. Петровского. -1984. -Вып. 10. -С. 197-206.
- Силаев, Д.А. S-сплайн на круге/Д.А. Силаев, Д.О. Коротаев//Тез. междунар. конф. "Математика. Компьютер. Образование". -Пущино, 2003. -С. 157.
