Квазидиагональные изоморфизмы степенных пространств Кёте второго рода
Автор: Чалов Птр Афанасьевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.9, 2007 года.
Бесплатный доступ
Исследуется проблема существования квазидиагональных изоморфизмов для степенных пространств Кёте второго рода. Введена система многопрямоугольных характеристик (\mu_m)_{m\in N}. Эквивалентность таких систем характеристик для двух пространств означает, что каждая характеристика одной системы оценивается через соответствующую характеристику другой системы. Показано, что система характеристик (\mu_m)_{m \in N} является полным квазидиагональным инвариантом на классе степенных пространств Кёте второго рода.
Степенные пространства кёте второго рода, многопрямоугольные характеристики, квазидиагональный изоморфизм
Короткий адрес: https://sciup.org/14318221
IDR: 14318221
Текст научной статьи Квазидиагональные изоморфизмы степенных пространств Кёте второго рода
Пространством Кете, определяемым матрицей Кете A = (a i,p ) i,p e N , называют пространство Фреше
K (A) :=
I
∞
= ( ^ i ) : | x | p : = ^ l € i | a i,p < го , i=1
p ∈ N
с топологией, задаваемой системой преднорм {| x | p : p Е N } (см., например, [1, 2]); символом e = (e i ) i e N обозначают канонический базис этого пространства.
Следуя 3, 4, степенным пространством К¨ете второго рода будем называть пространство К¨ете вида:
F (A,a):= K (exp(^ p (A i )a i )), (1)
где a = (a i ) i e N , a i > 1, и A = (A i ) iGN , A i > 1, — числовые последовательности, а ^ p : [1, го ) — » R + , p Е N — функция, заданная равенством
ViM) = min {p
-
1 ,e - 4.
pp
Далее будем предполагать, что F (A, a) — монтелевское пространство, то есть a i ^ го . Оператор T : K (A) ^ K (A) называется квазидиагональным, если Te i = t i e CT(i) , где (t i ) — числовая последовательность, a : N ^ N ; при этом, если T является изоморфизмом (изоморфным вложением), будем говорить, что K (A) квазидиагонально изоморфно (квазидиагонально вкладывается в ) K (ye) и писать K (A) ' K (ye) (K(A) =- Д K (ye) соответственно).
Введем характеристики приспособленные для исследования степенных пространств
F (A, a). Пусть a = (a i ) iGN и b = (b i ) i e N , b i > a i > 1, m € N. На множестве четверок m-мерных векторов
Т = (T k ), t = (t k ), a = (a k ), s = (s k ) € R m (2)
определим считающую функцию последовательностей a и b:
^ m,b) (T, t; a, s) =
m
[J {i : T k < a i 6 t k , k=1
a k i 6 s k }
|i : (a i ,b i ) €
m
U Pk k=1
где P k := (T k , t k ] x (a k , s k ] , k = 1, 2,..., m.
Подобные характеристики были рассмотрены нами впервые для семейств гильбертовых пространств [5–7].
Функцию (3) называют m-прямоугольной характеристикой пары a, b. Будем также писать p m вместо p mb , если b = (b i ) = (A i a i ) и X = F (A, a).
Пусть a = (a i ), b = (b i ), b i > a i > 1, a = (a i ) и b = (b i ), b i > a i > 1. Назовем системы функций ymm’^j и ^m,b)J эквивалентными (кратко будем писать (p m^bj ~
(Pm ,b ))), если существуют постоянная a > 0 и неубывающая функция Ф : R + ^ R + , обеспечивающие следующие оценки:
^m,b) (t, t; a, s) 6 ^m^ (—, at; a — at, s + at) ,(4)
^m,b) (t, t; a, s) 6 ^mm,b) (~, at; a — at, s + at)(5)
для каждого m € N и всех параметров (2) таких, что sk 6 Ф(тk), или ak 6 Ф(тk), sk = +го.(6)
Здесь дана характеризация квазидиагональных изоморфизмов пространств (1) в инвариантной форме, а именно, доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть X = F(A, a) и X = F(A,a) — монтелевские пространства. Тогда следующие утверждения равносильны:
-
(a) X кд X ; e
-
(b) (^ X ) ~ (^ m) ) .
Но прежде приведем несколько известных фактов, которые понадобятся при доказательстве этой теоремы.
Пространства
Ea(a) := K (exp(apai)), где a = (ai), ai > 1, ap f a(—гo < a 6 +го), введенные А. Гротендиком [8, II, с. 122], называют степенными пространствами Кете конечного типа, если a < го, или бесконечного типа, если a = го [4] (в другой терминологии, центрами шкал Рисса [9], либо пространствами степенных рядов [10]). Так как при a < го пространства Ea(a) изоморфны между собой, обычно рассматривают только Eq (a) и E^(a) .
Предложение 1 [9, предложение 18] . Пусть a = (a i ) , a i % го, a = (a i ) , a i % го и v = 0, го . Тогда E q (a) ' E ro (a) и
E v (a) ' E v (a) ^^ a i x a i , т. е. 3 L > 1 : a i 6 a p(i) 6 La i , i € N.
Для пространств (1) справедливо следующее утверждение.
Предложение 2 [3, 4] . Пусть I : = { i s } sGN — возрастающая последовательность натуральных чисел и X i — базисное подпространство монтелевского пространства F (A, a) , натянутое на множество {e i : i E I } , т. е. X i := span {e i : i E I } . Для пространства X i имеется три возможности:
-
(i) X i ' E o (b) ( ^^ sup { A i s : s E N } < ro );
-
(ii) X i ‘ E ^ (b) ( ^^ lim A i s = ro );
s →∞
-
(iii) X i ' E a (b) ( ^^ lim A i s < ro , sup { A i s : s E N } = ro ) , где b = (b s ) seN , b s = a i s , s E N .
Сформулируем для пространств К¨ете утверждение, которое в неявном виде было доказано в [11] для пространств Фреше.
Предложение 3 (см., например, [4, лемма 1.1]) . Если имеют место квазидиагональ-ные вложения K (A) 4 K (vl) и K (ye) ‘ 4 K (A) , то K (A) ' K (ye) .
В [4, лемма 2.3] В. П. Захарюта доказал критерий квазидиагонального изоморфизма степенных пространств К¨ете второго рода, который положен в основу доказательства теоремы 1. Сформулируем этот критерий в несколько модифицированном виде.
Лемма 1. Пусть a i 4 ro. Для того чтобы F (A, a) ' F (A, a), необходимо и достаточно, чтобы существовали биективное отображение р : N 4 N, положительная постоянная А < ro и возрастающая функция 7 : R . 4 R + , y ( £ ) 4 ro при £ 4 ro, такие, что
-
(i) последовательности (a i ) и (A p(i) ) слабо эквивалентны, т. е. a i 6 A p(i) 6 La i , i E N, с некоторой постоянной L > 1;
-
(ii) выполняется оценка g -1 (A i ) 6 A p(i) 6 g(A i ), i E N, с некоторой возрастающей функцией g : R . 4 R . такой, что g(£) 4 ro при £ 4 ro;
-
(iii) неравенство I A i — A p(i) ap^ l 6 А выполняется для A i 6 Y(a i ), i E N.
C Пусть выполнены условия (i)–(iii). Непосредственная проверка показывает, что оператор T : F(A, a) 4 F(A, a), задаваемый формулой Tei = ti ep(i), i E N, с ti { exp (Aiai
-
1, если A i > y (a i ),
— Ap(i)Qp(i)), если Ai 6 Y(ai), является искомым квазидиагональным изоморфизмом.
Пусть теперь существует квазидиагональный изоморфизм Te i = t i e p(i) , i E N, пространства F (A, a) на пространство F (A, a). Ввиду непрерывности операторов T и T -1 , по любому p E N найдутся q = q(p), r = r(p), p < q < r, и C = C (p), такие что справедлива оценка:
C exp (^ p (A i ) a i ) 6 | t i | exp (^ q (A p(i) ) a p(i) ) 6 C exp (^ r (A i ))a i , i E N.
оценок
Возьмем такую же оценку для другой тройки p 0 < q 0 < r 0 с p 0 > r. Из этих выводим:
-
— MC p C p< ) + (^ p 0 ( A i ) — V r ( A i )) a i 6 ( V q 0 ( A p(i) ) — V q ( A p(i) )) a p(i)
-
6 ( V r 0 ( A i ) — V p ( A i )) a i + ln ( C p C p 0 )•
Отсюда сразу следует утверждение (i) с некоторой константой L. Вместе с (7) это дает также оценку (которая понадобится ниже)
ln | t i | a i
6 M, i ∈ N,
с некоторой постоянной M.
Теперь докажем утверждение (ii). По предложению 1 для любого l < ∞ как базисное подпространство X / , натянутое на множество {e i : A i 6 1}, так и его изоморфный образ, оба имеют конечный тип. Поэтому, в соответствии с предложением 2, имеем 1 := sup { A p(i) : A i 6 1} < го . Отсюда следует утверждение (ii).
Чтобы доказать (iii), возьмем любое l < ∞, l как выше и рассмотрим (7) с p > max{1,1}. Тогда, учитывая (i), получим оценку ln Itil Л Т ®p(i)\ L ln C .
I A i — A p(i)----- ) 61 пРи A i 6 l- (10)
a i V ai ) q a i
Правая часть этого неравенства не превосходит L + 1, если a i > ф(1). При этом можно считать, что функция ф возрастает и ф(€) ^ го когда € ^ го . Комбинируя оценки (9), (10), заключаем, что (iii) выполняется с A = M + L + 1 и y ( x ) : = Ф - 1 (x). B
C Доказательство теоремы 1. Пусть выполняется утверждение (a). Докажем, что тогда справедливо и утверждение (b), т. е. выполняются оценки (4) и (5) при каждом m Е N с (не зависящими от m) постоянной а = А и функцией ф«):= Lg-1(Y(О), € > 0, (11)
где L и g определяются условиями (i) и (ii) леммы 1.
Возьмем произвольный набор параметров (2), удовлетворяющий условию (6), любой номер к = 1, 2,..., m и номер i Е N такой, что
τ k < a i 6 t k , σ k < b i 6 s k .
Тогда, согласно утверждению (i) леммы 1, получаем оценку
τ k
L
< a- p(i) 6 Lt к -
Пусть S k 6 Ф(т к ). Тогда из (12) выводим оценку b i 6 S k 6 Ф(т k ) < Ф(a i ) 6 a i Y ( a i ). Поэтому A i 6 Y(a i ). Отсюда и утверждения (iii) леммы 1 получаем | b i — b p(i) | 6 Aa i 6 At k . Благодаря этому имеем:
O k — At k < b p(i) 6 s k + At k - (14)
Пусть теперь Sk = +го, но Ok 6 Ф(тk). Если Ai 6 Y(ai), из утверждения (iii) леммы 1 следует, что Ok — Atk < bp(i)- Если же Ai > y(ai), из утверждения (ii) леммы 1 выводим оценку Ap(i) > g-1 (Ai) > g-1 (Y(ai)). Поэтому, учитывая (i) леммы 1, получаем bp(i) = ^p(i)ap(i) > Lg 1(Y(ai)) = ф(ai) > Ф(тk) > Ok > Ok — Atk-
Таким образом, снова приходим к (14) (естественно полагая, что го + const = го ). Итак, для всякого i Е N, удовлетворяющего условию (12) при некотором к = 1,... ,m, число p(i) удовлетворяет условию (14). Поскольку отображение биективно, выводим отсюда неравенство (4) с Ф и а = A не зависящими от m. Ввиду симметрии справедливо и неравенство (5). Тем самым, условие (b) доказано.
Пусть теперь справедливо утверждение (b). Для каждого к Е N определим число nk := sup
| n : na k
6 Ф (a k- 1) },
где a, Ф — постоянная и функция из определения эквивалентности систем ^х^ и ( x mm Для n = 1,... ,n k + 1 введем в рассмотрение множества N k,n , M k,n , полагая
N k,n := |i : a k 1 < a i 6 a k , (n — 1)a k < b i 6 nak} ,
Mk,n := {i : ak 2 < ai 6 ak+1, (n — 1)ak — ak+1 < bi 6 nak + ak+1j, если n 6 nk, и
N k,n k +1 := |i : a k 1 < a i 6 a k , n k a k < bq , M k,n k +1 := {i : a k-2 < a i 6 a k+1 , n k a k — a k+1 < b i j .
По предположению, для каждого конечного множества L пар (k, n), справедлива оценка
N k,n 6
(k,n) e L
M k,n .
(k,n) e L
Следовательно, по теореме Холла–Кенига о различных представителях [12] найдется инъективное отображение р : N ^ N такое, что p(Nk,n) С Mk,n, n = 1, 2,...,nk + 1, k G N.
Определим последовательность (ri), полагая ri =
exp(b i — b p(i) ), 1
nk если i ∈ Nk,n, keN n=1
для остальных i.
Непосредственно проверяется, что оператор T : X ^ X, заданный равенством Tei = riep(i), i G N, осуществляет квазидиагональное вложение X в X. В силу симметрии кд кд условий имеем также X ,→ X. По предложению 3 получаем X ' X . B
Таким образом доказано, что система характеристик (x m ) meN является полным ква-зидиагональным инвариантом на классе степенных пространств К¨ете второго рода.
Автор искренне благодарен В. П. Захарюте за постановку задачи и ряд полезных советов при подготовке статьи.
Список литературы Квазидиагональные изоморфизмы степенных пространств Кёте второго рода
- Meise M., Vogt D. Introduction to Fuctional Analysis.-New York: Oxford Univ. Press, 1997.-437 p.
- Драгилев М. М. Базисы в пространствах Кёте.-Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского гос. ун-та, 1983.-144 с.
- Захарюта В. П. Об изоморфизме и квазиэквивалентности базисов для степенных пространств Кёте//Тр. VII зимней школы по мат. программированию и смежным вопросам. Дрогобыч, 1974.-М.: ЦЭМИ.-1976.-C. 101-126.
- Zahariuta V. P. Linear topological invariants and their application to generalized power spaces//Turkish J. Math.-1996.-V. 20, № 2.-P. 237-289.
- Чалов П. А. Квазиэквивалентность базисов в семействах гильбертовых пространств//Актуальные вопросы математического анализа.-Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского гос. ун-та.-1978.-С. 167-173.
- Чалов П. А. Линейные топологические инварианты на классе семейств гильбертовых пространств.-Ростов-на-Дону, 1980.-28 с.-Деп. в ВИНИТИ, № 4853-80.
- Захарюта В. П., Чалов П. А. Конечные семейства \ell_p-пространств и многопрямоугольные характеристики//Сиб. мат. журн.-2001.-Т. 42, № 3.-C. 538-549.
- Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires//Mem. Amer. Math. Soc.-1955.-V. 16.-P. 1-174.
- Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах//Успехи мат. наук.-1961.-Т. 16, вып. 4(100).-С. 63-132.
- Pietsch A. Nukleare Lokalkonvexe R\"{a ume.-Berlin: Akademie-Verlag, 1965.-217 p.
- Митягин Б. С. Эквивалентность базисов в гильбертовых шкалах//Studia Math.-1971.-T. 37, № 2.-P. 111-137.
- Холл М. Комбинаторика.-М.: Мир, 1970.-258 p.