Квазидиагональные изоморфизмы степенных пространств Кёте второго рода

Пространством Кете, определяемым матрицей Кете A = (a i,p ) i,p e N , называют пространство Фреше

K (A) :=

I

∞

= ⁽ ^ i ) ^: | x | p ^: = ^ l € i | ^a i,p <  ^го , i=1

p ∈ N

с топологией, задаваемой системой преднорм {| x | _p : p Е N } (см., например, [1, 2]); символом e = (e i ) i e N обозначают канонический базис этого пространства.

Следуя 3, 4, степенным пространством К¨ете второго рода будем называть пространство К¨ете вида:

F (A,a):= K (exp(^ p (A i )a i )),                              (1)

где a = (a i ) i e N , a i > 1, и A = (A i ) i_GN , A i > 1, — числовые последовательности, а ^ _p : [1, го ) — » R + , p Е N — функция, заданная равенством

ViM) = ^min {p

-

¹ ,e - 4.

pp

Далее будем предполагать, что F (A, a) — монтелевское пространство, то есть a i ^ го . Оператор T : K (A) ^ K (A) называется квазидиагональным, если Te i = t i e _CT(i) , где (t i ) — числовая последовательность, a : N ^ N ; при этом, если T является изоморфизмом (изоморфным вложением), будем говорить, что K (A) квазидиагонально изоморфно (квазидиагонально вкладывается в ) K (ye) и писать K (A) ' K (ye) (K(A) =- Д K (ye) соответственно).

Введем характеристики приспособленные для исследования степенных пространств

F (A, a). Пусть a = (a i ) i_GN и b = (b i ) i e N , b i >  a i > 1, m € N. На множестве четверок m-мерных векторов

Т = (T k ), t = (t k ), a = (a k ), s = (s k ) € R m                          (2)

определим считающую функцию последовательностей a и b:

^ m^,b) (T, t; a, s) =

m

[J {i : T k < a i 6 t k , k=1

a k i 6 s k }

|i : (a i ,b i ) €

m

U Pk k=1

где P k := (T k , t k ] x (a k , s k ] , k = 1, 2,..., m.

Подобные характеристики были рассмотрены нами впервые для семейств гильбертовых пространств [5–7].

Функцию (3) называют m-прямоугольной характеристикой пары a, b. Будем также писать p m вместо p mb , если b = (b i ) = (A i a i ) и X = F (A, a).

Пусть a = (a i ), b = (b i ), b i >  a i > 1, a = (a i ) и b = (b i ), b i >  a i > 1. Назовем системы функций ymm’^j    и ^m^,b)J     эквивалентными (кратко будем писать (p m^bj ~

(Pm ^{,b )})), если существуют постоянная a >  0 и неубывающая функция Ф : R ₊ ^ R ₊ , обеспечивающие следующие оценки:

^m,b) (t, t; a, s) 6 ^m^ (—, at; a — at, s + at) ,(4)

^m,b) (t, t; a, s) 6 ^mm,b) (~, at; a — at, s + at)(5)

для каждого m € N и всех параметров (2) таких, что sk 6 Ф(тk), или ak 6 Ф(тk), sk = +го.(6)

Здесь дана характеризация квазидиагональных изоморфизмов пространств (1) в инвариантной форме, а именно, доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть X = F(A, a) и X = F(A,a) — монтелевские пространства. Тогда следующие утверждения равносильны:

• (a)    X кд X ; e

• ^(b)    (^ X ) ~ (^ m) ) .

Но прежде приведем несколько известных фактов, которые понадобятся при доказательстве этой теоремы.

Пространства

Ea(a) := K (exp(apai)), где a = (ai), ai > 1, ap f a(—гo < a 6 +го), введенные А. Гротендиком [8, II, с. 122], называют степенными пространствами Кете конечного типа, если a < го, или бесконечного типа, если a = го [4] (в другой терминологии, центрами шкал Рисса [9], либо пространствами степенных рядов [10]). Так как при a < го пространства Ea(a) изоморфны между собой, обычно рассматривают только Eq (a) и E^(a) .

Предложение 1 [9, предложение 18] . Пусть a = (a i ) , a i % го, a = (a i ) , a i % го и v = 0, го . Тогда E q (a) ' E _ro (a) и

E _v (a) ' E _v (a) ^^ a i x a i , т. е. 3 L > 1 : a i 6 a _p(i) 6 La i , i € N.

Для пространств (1) справедливо следующее утверждение.

Предложение 2 [3, 4] . Пусть I : = { i s } _sGN — возрастающая последовательность натуральных чисел и X i — базисное подпространство монтелевского пространства F (A, a) , натянутое на множество {e i : i E I } , т. е. X i := span {e i : i E I } . Для пространства X i имеется три возможности:

• (i)    X i ' E o (b) ( ^^ sup { A i s : s E N } <  ro );

• (ii)    X i ‘ E ^ (b) ( ^^ lim A i s = ro );

s →∞

• (iii)    X i ' E _a (b) ( ^^ lim A i s <  ro , sup { A _{i s} : s E N } = ro ) , где b = (b s ) _seN , b s = a i s , s E N .

Сформулируем для пространств К¨ете утверждение, которое в неявном виде было доказано в [11] для пространств Фреше.

Предложение 3 (см., например, [4, лемма 1.1]) . Если имеют место квазидиагональ-ные вложения K (A) 4 K (vl) и K (ye) ‘ 4 K (A) , то K (A) ' K (ye) .

В [4, лемма 2.3] В. П. Захарюта доказал критерий квазидиагонального изоморфизма степенных пространств К¨ете второго рода, который положен в основу доказательства теоремы 1. Сформулируем этот критерий в несколько модифицированном виде.

Лемма 1. Пусть a i 4 ro. Для того чтобы F (A, a) ' F (A, a), необходимо и достаточно, чтобы существовали биективное отображение р : N 4 N, положительная постоянная А <  ro и возрастающая функция 7 : R . 4 R ₊ , y ( £ ) 4 ro при £ 4 ro, такие, что

• (i)    последовательности (a i ) и (A p(i) ) слабо эквивалентны, т. е. a i 6 A p(i) 6 La i , i E N, с некоторой постоянной L >  1;

• (ii)    выполняется оценка g ^-1 (A i ) 6 A p(i) 6 g(A i ), i E N, с некоторой возрастающей функцией g : R . 4 R . такой, что g(£) 4 ro при £ 4 ro;

• (iii)    неравенство I A i — A _p(i) ap^ l 6 А выполняется для A i 6 Y(a i ), i E N.

C Пусть выполнены условия (i)–(iii). Непосредственная проверка показывает, что оператор T : F(A, a) 4 F(A, a), задаваемый формулой Tei = ti ep(i), i E N, с ti    { exp (Aiai

• 1,               если A i >  y (a i ),

— Ap(i)Qp(i)), если Ai 6 Y(ai), является искомым квазидиагональным изоморфизмом.

Пусть теперь существует квазидиагональный изоморфизм Te i = t i e p(i) , i E N, пространства F (A, a) на пространство F (A, a). Ввиду непрерывности операторов T и T ^-1 , по любому p E N найдутся q = q(p), r = r(p), p < q < r, и C = C (p), такие что справедлива оценка:

C exp (^ p (A i ) a i ) 6 | t i | exp (^ q (A p(i) ) a p(i) ) 6 C exp (^ r (A i ))a i , i E N.

оценок

Возьмем такую же оценку для другой тройки p ⁰ < q ⁰ < r ⁰ с p ⁰ > r. Из этих выводим:

• ^— MC p ^C _p< ) + ⁽^ _p 0 ^{( A} i ) ^— V r ^{( A} i ^{)) a} i ^{6 (} V _q 0 ^{( A} p(i) ) ^— V q ^{( A} p(i) ^{)) a} p(i)

• ^{6 (} V r 0 ^{( A} i ) ^— V p ^{( A} i ^{)) a} i ^{+ ln ( C} p C p ⁰ )•

Отсюда сразу следует утверждение (i) с некоторой константой L. Вместе с (7) это дает также оценку (которая понадобится ниже)

ln | t i | a i

6 M, i ∈ N,

с некоторой постоянной M.

Теперь докажем утверждение (ii). По предложению 1 для любого l <  ∞ как базисное подпространство X / , натянутое на множество {e i : A i 6 1}, так и его изоморфный образ, оба имеют конечный тип. Поэтому, в соответствии с предложением 2, имеем 1 := sup { A _p(i) : A i 6 1} <  го . Отсюда следует утверждение (ii).

Чтобы доказать (iii), возьмем любое l < ∞, l как выше и рассмотрим (7) с p > max{1,1}. Тогда, учитывая (i), получим оценку ln Itil    Л Т ®p(i)\ L ln C .

I ^A i ^{— A} p(i)----- ) 61 ^пР^{и A} i 6 l-                    (10)

a i      V             ai ) q     a i

Правая часть этого неравенства не превосходит L + 1, если a i >  ф(1). При этом можно считать, что функция ф возрастает и ф(€) ^ го когда € ^ го . Комбинируя оценки (9), (10), заключаем, что (iii) выполняется с A = M + L + 1 и y ( x ) : = Ф - ¹ (x). B

C Доказательство теоремы 1. Пусть выполняется утверждение (a). Докажем, что тогда справедливо и утверждение (b), т. е. выполняются оценки (4) и (5) при каждом m Е N с (не зависящими от m) постоянной а = А и функцией ф«):= Lg-1(Y(О), € > 0,                           (11)

где L и g определяются условиями (i) и (ii) леммы 1.

Возьмем произвольный набор параметров (2), удовлетворяющий условию (6), любой номер к = 1, 2,..., m и номер i Е N такой, что

τ k < a i 6 t k ,   σ k < b i 6 s k .

Тогда, согласно утверждению (i) леммы 1, получаем оценку

τ k

L

< a- p(i) 6 Lt к -

Пусть S k 6 Ф(т к ). Тогда из (12) выводим оценку b i 6 S k 6 Ф(т k ) < Ф(a i ) 6 a i Y ( a i ). Поэтому A i 6 Y(a i ). Отсюда и утверждения (iii) леммы 1 получаем | b i — b p(i) | 6 Aa i 6 At k . Благодаря этому имеем:

O k ^{— A}t k < b p(i) ⁶ s k + ^At k - ⁽¹⁴⁾

Пусть теперь Sk = +го, но Ok 6 Ф(тk). Если Ai 6 Y(ai), из утверждения (iii) леммы 1 следует, что Ok — Atk < bp(i)- Если же Ai > y(ai), из утверждения (ii) леммы 1 выводим оценку Ap(i) > g-1 (Ai) > g-1 (Y(ai)). Поэтому, учитывая (i) леммы 1, получаем bp(i) = ^p(i)ap(i) > Lg 1(Y(ai)) = ф(ai) > Ф(тk) > Ok > Ok — Atk-

Таким образом, снова приходим к (14) (естественно полагая, что го + const = го ). Итак, для всякого i Е N, удовлетворяющего условию (12) при некотором к = 1,... ,m, число p(i) удовлетворяет условию (14). Поскольку отображение биективно, выводим отсюда неравенство (4) с Ф и а = A не зависящими от m. Ввиду симметрии справедливо и неравенство (5). Тем самым, условие (b) доказано.

Пусть теперь справедливо утверждение (b). Для каждого к Е N определим число nk := sup

| n : na ^k

6 Ф (a ^{k- 1}) },

где a, Ф — постоянная и функция из определения эквивалентности систем ^х^ и ( x mm Для n = 1,... ,n k + 1 введем в рассмотрение множества N k,n , M k,n , полагая

N k,n := |i : a k ¹ < a i 6 a k , (n — 1)a ^k < b i 6 nak} ,

Mk,n := {i : ak 2 < ai 6 ak+1, (n — 1)ak — ak+1 < bi 6 nak + ak+1j, если n 6 nk, и

N k,n k +1 := |i : a k ¹ < a i 6 a k , n k a k < bq , M k,n k +1 := {i : a k^-2 < a i 6 a ^k+1 , n k a k — a ^k+1 < b i j .

По предположению, для каждого конечного множества L пар (k, n), справедлива оценка

N k,n 6

(k,n) e L

M k,n .

(k,n) e L

Следовательно, по теореме Холла–Кенига о различных представителях [12] найдется инъективное отображение р : N ^ N такое, что p(Nk,n) С Mk,n, n = 1, 2,...,nk + 1, k G N.

Определим последовательность (ri), полагая ri =

exp(b i — b p(i) ), 1

nk если i ∈        Nk,n, keN n=1

для остальных i.

Непосредственно проверяется, что оператор T : X ^ X, заданный равенством Tei = riep(i), i G N, осуществляет квазидиагональное вложение X в X. В силу симметрии кд                                       кд условий имеем также X ,→ X. По предложению 3 получаем X ' X . B

Таким образом доказано, что система характеристик (x m ) m_eN является полным ква-зидиагональным инвариантом на классе степенных пространств К¨ете второго рода.

Автор искренне благодарен В. П. Захарюте за постановку задачи и ряд полезных советов при подготовке статьи.