Квазивырожденный четырехволновой преобразователь излучения на тепловой нелинейности в схеме с обратной связью

В среднем инфракрасном (ИК) диапазоне длин волн для реализации четырехволнового взаимодействия широко используются среды с тепловым механизмом нелинейности [1; 2]. Для вырожденного четырехволнового преобразователя на тепловой нелинейности показано, что наличие положительной обратной связи на сигнальную и объектную волны приводит к значительному увеличению амплитудного коэффициента отражения [3]. В работе [4] проведен анализ качества преобразования излучения при вырожденном четырехволновом взаимодействии на тепловой нелинейности с учетом обратной связи на сигнальную и объектную волны. Определен оптимальный режим работы такого преобразователя излучения, позволяющий наряду с высокой эффективностью реализовать и высокое качество преобразования излучения. Наряду с исследованиями характеристик вырожденных четырехволновых преобразователей излучения на тепловой нелинейности, существует целый ряд работ, в которых анализируются энергетические, пространственные и временные характеристики квазивырожденных четырехволновых преобразователей излучения на тепловой нелинейности [2; 6–9]. Квазивырожденный четы-

рехволновой преобразователь позволяет получить волну с обращенным волновым фронтом с одновременным переводом излучения с одной частоты на другую. Как и для вырожденных четырехволновых преобразователей излучения на различных типах нелинейности, одним из способов повышения эффективности квазивырожденных четырехволновых преобразователей излучения является наложение положительной обратной связи на взаимодействующие волны [3–5; 10–13]. Реализация с помощью интерферометра Фабри – Перо обратной связи на считывающую и дифрагированную волны при квазивырожденном четырехволновом взаимодействии в растворе полиметинового красителя 3274U позволило значительно увеличить дифракционную эффективность, угловую и спектральную селективность четырехволнового преобразователя излучения [13].

В настоящей работе исследуются эффективность и качество преобразования излучения при квази-вырожденном четырехволновом взаимодействии на тепловой нелинейности с учетом обратной связи, реализуемой с помощью кольцевого резонатора, на сигнальную или объектную волны.

^^ш © Акимов А.А., Гузаиров С.А., Ивахник В.В., 2026

1. Модель четырехволнового преобразователя

ных дифференциальных уравнений для простран-

ственных спектров объектной

Пусть в среде с тепловой нелинейностью толщиной l распространяются навстречу друг другу две волны накачки с комплексными амплитудами A i , A 2 и частотами ю^ © 2 и сигнальная волна с комплексной амплитудой A 3 и частотой ю_г В результате квазивырожденного четырехволнового взаимодействия © i + © 2 -© i = © 2 генерируется объектная волна с комплексной амплитудой A 4 и частотой © 2 .

Уравнения Гельмгольца, описывающие квази-вырожденное четырехволновое взаимодействие, имеют вид

нальной

( ~        .^

A 3 ( ^k ,^z )

d ³ A ‘   к ² d ² A ‘

- + i - dz ^{3 k} 1 dz ²

- iG i j\ 3 exp ( - 2 а z

A ₄ ( ^{k ,z} )

\ волн имеет вид [3; 4]:

к ² +

² к ²

2 k i

) = i f GA 4 ‘ x

• к2 / i    7 I х exp i—(---)z + 2а (z -l) ,

и сиг-

^dA 3 dz

V ² + к ² + 2 k ¹— 5 T - 2 ik а х

¹ n 0 dT        ¹

х ( A i + A 3 + A i + A 3 ) = 0,

d ³ A ‘ *    .к² d ² A ‘ *

—— + i --4

dz ^{3 k} 2 dz ²

-

к ² +

72-1 <² k 2 /

dA 4 * dz

-

iG ₂ A 4 * х

2k dn v2 + k2 + ——

\

^х ( A 2 ⁺ A 4

Здесь

n ₀ dT

5 T - 2 ik 2 а х

*      *

+ A 2 + A 4 I = 0.

n ₀

–

преломления;

c – скорость

начальное значение показателя

,    _ ©i , 2 n 0

^k 1 , 2 = , c

–

волновое число;

света; 5 T - изменение температу-

ры, обусловленное выделением тепла при поглощении излучения; а - коэффициент поглощения; dn

– термооптический коэффициент.

dT

В случае установившегося процесса простран ственное распределение изменения температу-

ры нелинейной среды Пуассона v25 T + 2^^- = 0,

Л cp v

описывается уравнением

х exp |f а ( z - l ) ] = i — G y A 3 х

_ • к2/1 i4

х exp - i —(- —) z - 2 а z .

Здесь A 4 ( к , z ) = A 4 ( к , z ) х х exp { -а ( z - l ) - iC 2 ( z ) + iC 2 ( l ) } , A 3 ( к , z ) = A 3 ( к , z )exp { а z + iC _i( z ) } ,

2 k

G2 = GG, G = —^--1 , i 2, i,2    n0 dT Лcpv i,20,

I ₁₀

= | ^A i0 ^{( z} = ^{0 )}| , I 20

= | ^A 20 ^{( z} = ^{l )}| ,

к - пространственная частота,

C i , 2 ^{( z} ) =

-

ki,2 dn     i n0 dT 2аЛCpv

-

-

где I = AA *, A = ^ A j , j = 1

ратуропроводности; c_p

Л - коэффициент темпе-

– удельная теплоемкость;

v - объемная плотность вещества.

При записи уравнений (1)–(3) не учитывалась зависимость коэффициента поглощения и показателя преломления от частоты волны.

В приближении заданного поля по волнам на-

(| A 1 , 2 >>  A 3 , 41)

качки

при условии, что волны на-

качки плоские и распространяются строго вдоль оси Z:

A 1 , 2 ( z ) = A 1,20 ( z )exp ( + ikz ) ,

в параксиальном приближении система связан-

' zI i0 + y⁰ exp( - 2 а l ) { exp(2 а z ) - i } -

z ²

-zI20 exP (-2а1) + 2J {i - exP (-2а1)}{I i0

-

1 20 И .

При расположении нелинейной среды внутри кольцевого резонатора граничные условия на пространственные спектры сигнальной и объектной волн есть [5]:

• при наличии обратной связи на сигнальную волну

^{- r} i ^A 30 ^{( к ) +}

. I 7                     f .к²_T

+ ^i Г 2 A 3 ( к , z = l )exp - i A i + i-^-L ,

A ₃ ( к , z =

^*

jA 4 ( к , z = l ) = 0;

• • при наличии обратной связи на объектную

волну

A 3 ( к , z = 0) = A 3 ₀ ( к ),

—w                         ^                     I

A 4 ( к , Z = / ) = A 4 ( к , Z = 0)J Г 1 Г 2 X

,1

x exp - i A ₂ + i^^L •

Здесь r1 – коэффициент отражения полупрозрачного зеркала связи; r2 – коэффициент отражения сферических зеркал резонатора, осуществля- ющих перенос пространственного распределения поля из плоскости z = 0 на плоскость, расположенную на расстоянии L от плоскости z = /; A12 = A0 + ^12 L — постоянный фазовый набег, наличие которого может быть реализовано либо путем введения в кольцевой резонатор фазового модулятора света (A0), либо с помощью управляемого изменения длины резонатора (k^ L )•

Граничные условия (6)–(7) записаны без учета астигматизма, то есть для волн, распространяющихся в плоскости, перпендикулярной плоскости контура резонатора [15].

Наряду с граничными условиями (6)–(7) система уравнений (5) должна быть дополнена граничны-

ми условиями dA 3 dz z=0 _ dA 3 dz z=t = 0, (8) ^* dA4_ dz z=0 ^* = dA 4 dz z=f. = 0, вытекающими из неизменности температуры на гранях нелинейного слоя.

Эффективность четырехволнового преобразования будем характеризовать амплитудным коэффициентом отражения [3]:

A 4 ( к^ 0, z = 0 )

R =

А *

A 30

Если рассматривать модуль пространственного спектра объектной волны вне резонатора, тогда амплитудный коэффициент отражения четырехволнового преобразователя излучения ( R i ) при наличии обратной связи на объектную волну запишется в виде R i = R ^ 1 — r 1 , при наличии обратной связи на сигнальную волну - R i = R ,

В качестве параметра, характеризующего целесообразность использования обратной связи для повышения эффективности четырехволнового преобразования, можно использовать отношение коэффициентов отражения при наличии и от- сутствии обратной связи на сигнальную и (или) на объектную волны [5]

R 1 ( r 1 * 0)

R 1 ( r 1 = 0).

• 2. Анализ результатов

Система уравнений (5) с учетом граничных условий (6)–(8) анализировалась численным методом на основе многократного прохождения сигнальной и объектной волн через нелинейный слой в кольцевом резонаторе [14]. Число проходов в зависимости от интенсивности волн накачки, пространственной частоты объектной волны менялось от 20 до 360. Максимальное число проходов определялось из условия, при котором различие в значении модуля амплитуды объектной волны в плоскости z = 0 на двух соседних итерациях не превышало относительную погрешность 1,6 %.

При изучении соответствия между комплексными амплитудами объектной и сигнальной волн в качестве сигнальной волны использова- лась волна от точечного источника, расположенного на передней грани нелинейного слоя (A30(к) = 1). Численный анализ системы связанных уравнений (5) с учетом граничных условий показывает, что с увеличением пространственной частоты наблюдается монотонное уменьшение модуля пространственного спектра объектной волны. Параметром, характеризующим качество преобразования излучения при четырехволновом взаимодействии, может выступать полуширина

(     Ак ¹

полосы углов I А0 =— I, в пределах которой со- средоточена основная доля энергии преобразованного точечного сигнала, определяемая из решения уравнения [12]:

A 4 ( к = Ак , z = 0 ) = -^ A 4 ( к = 0, z = 0 ) •

Как показано в работах [3–5], наибольшее значение амплитудного коэффициента отражения для вырожденного четырехволнового преобразователя наблюдается при компенсации фазового набега, возникающего из-за распространения волн накачки, поэтому анализ характеристик ква-зивырожденного четырехволнового преобразователя излучения проводился также при этом условии ( А 12 + С 12 ( I ) = 2 п m , m = 0, ± 1, ± 2, ••• ) •

При R 1 « 1, без учета самодифракции волн накачки из (5), выражения для амплитудного коэффициента отражения четырехволнового преобразователя излучения и параметра, описывающего

б

а

Рис. 1. Графики зависимостей коэффициента отражения ( а ), отличия в коэффициентах отражения ( б ) от интенсивности волн накачки при a t = 0 , 1 ,   k 1 t = 5000 , r 1 = 0 , 8 ,   r ₂ = 1 ,   k 2/ k 1 = 2 ( 1 , 1 ' ), 0 , 5 ( 2 , 2 ' ),   1 ( 3 )

Fig. 1. Graphs of the dependences of the reflection coefficient ( а ), difference in the reflection coefficients ( б ) on the pumping waves intensity at a t = 0 , 1 , k1t = 5000 , r 1 = 0 , 8 , r ₂ = 1 , k 2 /к 1 = 2 ( 1 , 1 ' ), 0 , 5 ( 2 , 2 ' ), 1 ( 3 )

отличие в коэффициентах отражения при наличии и отсутствии обратной связи, запишутся следующим образом:

R

, = k 2_ dn II 10 I 20 ¹ n 0 dT Л C p v

- r1

X

exp( -a t )

x—1----

4 a

1 - exp( - 2 a t ) a

,

^ =

- r1

.

Коэффициент отражения прямо пропорционален частоте второй волны накачки, не зависит от того, на какую из волн (сигнальную или объектную) накладывается обратная связь.

Отличие в коэффициентах отражения при наличии и отсутствии обратной связи не зависит от отношения между волновыми числами волн накачки. Выражение (13) полностью совпадает с аналогичным выражением, полученным при малом коэффициенте отражения в случае вырожденного четырехволнового взаимодействия на тепловой нелинейности [5].

На рис. 1, 2 при равных интенсивностях волн накачки ( I ю = 1 20 ) представлены зависимости амплитудного коэффициента отражения и отличия в коэффициентах отражения от нормирован-

ной интенсивности

G = W^ dn nnЛcv dT t 0 p t

волн накач-

ки (рис. 1), отношения между волновыми числами волн накачки (рис. 2) при наличии обратной связи

на объектную волну (кривые (1, 2, 3)) и на сигнальную волну (кривые (1`, 2`)). Как и в работах [3–5; 12], диапазон значений нормированной интенсивности волны накачки, в котором рассчитывались значения ^ и ^ , определялся из условия, что при уходе за этот диапазон не удается найти решение системы уравнений (5) вблизи нулевой пространственной частоты. Вне этого диапазона наблюдается ^осциллирующее увеличение модуля функции A 4 ( к ^ 0, z = 0 ) по мере увеличения числа проходов объектной (сигнальной) волны по кольцевому резонатору.

Амплитудный коэффициент отражения четырехволнового преобразователя излучения возрастает с увеличением нормированной интенсивности волн накачки как при наличии обратной связи на сигнальную волну, так и при наличии обратной связи на объектную волну (рис. 1, а ). Причем для вырожденного четырехволнового преобразователя значения коэффициентов отражения при наличии обратной связи как на объектную, так и на сигнальную волны совпадают [5]. Максимальная скорость изменения коэффициента отражения от интенсивности волн накачки ( d^R1 Idl 10 ) наблюдается при малом коэффициенте отражения ( R 1 <  0,1 ) .

Отличие в коэффициентах отражения четырехволнового преобразователя излучения при наличии обратной связи и при ее отсутствии с увеличением интенсивности волны накачки уменьшается (рис. 1, б ). Существует пороговое значение интен-

Рис. 2. Графики зависимостей коэффициента отражения ( а ), отличия в коэффициентах отражения ( б ) от отношения между волновыми числами волн накачки при а / = 0 , 1 , к 1 / = 5000 , Г1 = 0 , 8 , Г 2 = 1 , (G = 0 , 012

Fig. 2. Graphs of the dependences of the reflection coefficient ( а ), difference in the reflection coefficients ( б ) on the ratio between the wave numbers of the pump waves at a / = 0 , 1 , k 1 / = 5000 , r 1 = 0 , 8 , Г 2 = 1 , G = 0 , 012

б

сивности волны

накачки ( I c 0 ) , определяемое

из условия

£ ( I c cr И-1

Я 1 10 1 = 1

при превышении

для увеличения

(cr)

которого 110 > I 1o наложение эффективности четырехволно-

вого преобразователя излучения обратной связи не является целесообразным. Пороговое значение

интенсивности зависит как от соотношения меж-

ду волновыми числами волн накачки, так и того, на какую из волн (сигнальную или объектную) накладывается обратная связь.

С увеличением частоты второй волны накачки

пороговое значение интенсивности уменьшается. Причем изменение порогового значения интен-

сивности волны накачки с изменением частоты

второй волны накачки при наличии обратной

связи на объектную волну значительно превосхо- т ( cr )

дит изменение I10 с изменением частоты вто рой волны накачки при наличии обратной связи

на сигнальную волну (рис. 1, б) . Так, при а / = 0,1,

к^С. = 5000, Г 1 = 0,8, 1 2 = 1 пороговое значение нор-

мированной интенсивности

G cr

\

2 I: dn' n _nЛ c V dT

0 p у

при изменении волнового числа второй волны на-

качки от k 2 = 0,5 k^ до k 2 = 2 k ^ при наличии обратной связи на объектную волну меняется в пределах от 31 - 10 ^{- 3} до 7 ■ 10 ^{- 3} , при наличии обратной свя- - 3            - 3

зи на сигнальную волну - от 15 ■ 10 до 13 ■ 10 .

При фиксированной интенсивности волн накачки, когда значение амплитудного коэффициента отражения приближается или превосходит единицу, так же как при малой интенсивности (в этом случае R 1 <  0,1), наблюдается увеличение амплитудного коэффициента отражения четырехволнового преобразователя с ростом частоты второй волны накачки (рис. 2, а ). При значении нормированной интенсивности волн накачки G = 0,012 в диапазоне изменения волновых чисел 0,5 k 1 <  k 2 <  2Я амплитудный коэффициент отражения при наличии обратной связи на сигнальную волну увеличивается с ростом частоты второй волны накачки по закону, близкому к линейному. В диапазоне изменения волнового числа второй волны накачки 0,5 k^ <  k 2 <  k^ амплитудный коэффициент отражения при наличии обратной связи на объектную волну превосходит амплитудный коэффициент отражения при наличии обратной связи на сигнальную волну. При k 2 >  k^ амплитудный коэффициент отражения при наличии обратной связи на объектную волну меньше амплитудного коэффициента отражения при наличии обратной связи на сигнальную волну, слабо меняется с увеличением k ₂ . Так, изменение волнового числа второй волны накачки от k 2 = k^ до k 2 = 2 k^ при наличии обратной связи на объектную волну изменяет коэффициент отражения всего на 3,2 %.

В диапазоне волновых чисел второй волны накачки 0,5 k 1 <  k 2 <  2 k^ с ростом k 2 при наличии обратной связи на объектную волну отличие в коэффициентах отражения уменьшается от 1,79 до 0,55,

Рис. 3. Графики зависимостей полуширины полосы углов объектной волны при к^. = 5000, ^ = 0 , 8 , Г 2 = 1 от интенсивности волн накачки ( а ) при к2/к 1 = 2 ( 1 , 1 ' ), 0 , 5 ( 2 , 2 ' ), 1 ( 3 ), от отношения между волновыми числами волн накачки ( б при ё = 0 , 012 ( 1 ' , 2 , 3 ' ) Fig. 3. Graphs of the dependences the half-width of the band of angles of the object wave at k ₁ . = 5000, ^ = 0 , 8 , r 2 = 1 ( а ) on the pumping waves intensity at к 2 /к , = 2 ( 1 , 1 ' ), 0 , 5 ( 2 , 2 ' ), 1 ( 3 ), on the ratio between the wave numbers of the pump waves ( б) at G = 0 , 012 ( 1 ' , 2 , 3 ' )

а при наличии обратной связи на сигнальную волну увеличивается от 1,03 до 1,17 (рис. 2, б ).

Таким образом, для повышения амплитудного коэффициента отражения при квазивы-рожденном четырехволновом взаимодействии в схеме с обратной связью более выгодным является режим, при котором в случае к 2 <  к 1 обратная связь - на объектную волну, а в случае к 2 >  к^ обратная связь накладывается на сигнальную волну. При этом выигрыш в коэффициенте отражения по сравнению со случаем отсутствия обратной связи наблюдается лишь при к 2 <  к 1 и наличии обратной связи на объектную волну.

На рис. 3 представлены зависимости полуширины полосы углов объектной волны от нормированной интенсивности волн накачки (рис. 3, а ), отношения между волновыми числами волн накачки (рис. 3, б ) при наличии обратной связи на объектную волну (кривые (1, 2, 3)), на сигнальную волну (кривые (1`, 2`))

При малом коэффициенте отражения, как и для вырожденного четырехволнового преобразователя излучения, наличие обратной связи не влияет на угловую селективность квазивы-рожденного четырехволнового преобразователя излучения.

С ростом интенсивности волн накачки полуширина полосы углов объектной волны увеличивается при наличии обратной связи как на сигнальную, так и объектную волны (рис. 3, а). Качество обращения волнового фронта (ОВФ) улучшается. Причем при к2 > к^ относительное изменение полуширины полосы углов с увеличением интенсивности волн накачки [Д0(G, к2 /к1)- Д0(G ^ 0, к2 /к1 )]/Д0(ё ^ 0, к2 /к1) оказывается больше при наличии обратной связи на объектную волну, а при к2 < к^ - при наличии обратной связи на сигнальную волну. Раз- ность между изменением полуширины полосы углов при наличии обратной связи на объектную и сигнальную волны с увеличением интенсивности волн накачки возрастает.

При а . = 0,1,     к ₁ . = 5000, r ₁ = 0,8,     r ₂ = 1,

G = 0,012 с увеличением волнового числа второй волны накачки наблюдается монотонное уменьшение полуширины полосы углов (рис. 3, б ). Причем скорость уменьшения Д0 при наличии обратной связи на сигнальную волну больше скорости изменения полуширины полосы углов при наличии обратной связи на объектную волну. Относительное изменение полуширины полосы углов | Д0 ( G = 0,012, к 2 / к ₁ = 2 ) -Д0 ( G = 0,012, к 2 /к ₁ = 1)|/ I Д0 ( G = 0,012, к 2/ к 1 = 1 ) в диапазоне от к 2 = к1 до к 2 = 2 к 1 равно при наличии обратной связи на объектную волну 25 %, а при наличии обратной связи на сигнальную волну – 53 %.

Заметим, что характер зависимостей амплитудного коэффициента отражения и полуширины полосы углов объектной волны квазивырожден-ного четырехволнового преобразователя излучения от интенсивности волн накачки качественно совпадает с характером зависимостей R1 и Д0 вырожденного четырехволнового преобразователя излучения от интенсивности первой волны накачки при различных фиксированных значе- ниях отношения интенсивностей волн накачки ( 1101120 ) [4].

Заключение

Установлено, что с увеличением интенсивности волн накачки наблюдается рост амплитудного коэффициента отражения и полуширины полосы углов объектной волны как при наличии обратной связи на объектную, так и на сигнальную волну. Существует пороговое значение интенсивности волны накачки, при превышении которого использование для увеличения эффективности четырехволнового преобразователя излучения обратной связи не является целесообразным. С увеличением частоты второй волны накачки пороговое значение интенсивности уменьшается. При фиксированном диапазоне частот второй волны накачки ширина диапазона пороговых интенсивностей волн накачки меньше при наличии обратной связи на сигнальную волну, чем при наличии обратной связи на объектную волну.

Выигрыш в коэффициенте отражения по сравнению со случаем отсутствия обратной связи наблюдается лишь при k 2 <  k i и наличии обратной связи на объектную волну.

Показано, что при малом коэффициенте отражения наличие обратной связи не влияет на угловую селективность квазивырожденного четырехволнового преобразователя излучения. С увеличением коэффициента отражения пространственная селективность квазивырожденно-го четырехволнового преобразователя излучения ухудшается. При фиксированной интенсивности волн накачки с ростом частоты второй волны накачки наблюдается монотонное уменьшение полуширины полосы углов объектной волны, угловая селективность четырехволнового преобразователя возрастает. C увеличением интенсивности волн накачки при k 2 >  k 1 относительное изменение полуширины полосы углов объектной волны оказывается больше при наличии обратной связи на объектную волну, а при k 2 <  k i - при наличии обратной связи на сигнальную волну.