Лексикографические структуры на векторных пространствах

Подмножество K векторного пространства над полем R вещественных чисел называется конусом, если K + K С K , aK С K для всех а Е R + , где R ⁺ := { а G R : а ^ 0 } ,

• ^# Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № I.1.2, проект № 0314-2019-0005.

и K П ( — K) = { 0 } . Иными словами, конус — это непустое множество, замкнутое относительно линейных комбинаций aiXi + • • • + a n x n с положительными коэффициентами a i и содержащее не более одного вектора из каждой пары x, - x.

Понятие конуса тесно взаимосвязано с понятием упорядоченного векторного пространства — вещественного векторного пространства X , снабженного таким отношением порядка С , что для любых x, y, z Е X и a Е R + из x С у следует x + z С y + z и ax С ay. А именно, если (X, С) — упорядоченное векторное пространство, то множество X + := { x Е X : x ^ 0 } является конусом; и наоборот: если K С X — конус и x С _к У ^ У - x Е K (x,y Е X), то (X, С _к) — упорядоченное векторное пространство и X ⁺ = K (см., например, [1, 3.2]).

Из классической теоремы Хана — Банаха непосредственно следует, что всякий конус, являющийся надграфиком сублинейного функционала, имеет опорную гиперплоскость. В этой связи было бы естественно ожидать, что любой конус в вещественном векторном пространстве X лежит в некотором полупространстве, т. е. во множестве вида { x Е X : f(x) >  0 } , где 0 = f Е X # . (Здесь и ниже X# — векторное пространство линейных функционалов на X с поточечными линейными операциями.) Тем не менее, это не так. Например, если K := { x Е L ⁰ (R) : x ^ 0 } — конус положительных элементов пространства X := L ⁰ (R) классов эквивалентности измеримых по Лебегу вещественных функций, то не существует ни одного положительного на K линейного функционала 0 = f Е X # (см. [2, § 5]). В частности, K не лежит ни в каком полупространстве и, более того, не отделяется ни от одной точки X , т. е. является всюду плотным в самом сильном смысле — относительно сильнейшей локально выпуклой топологии (в которой все линейные функционалы непрерывны). Описанный конус K С L ⁰ (R) — ««гигантский», но не максимальный, он может быть увеличен до еще большего конуса K С K С L ⁰ (R).

Конус K в векторном пространстве X называется максимальным, если в X не существует другого конуса, содержащего K , т. е. K является максимальным элементом упорядоченного по включению множества всех конусов в X .

Следующие свойства конуса K в векторном пространстве X равносильны:

• (a)    K — максимальный конус;

• (b)    (X, С _к ) — линейно упорядоченное векторное пространство, т. е. ( V x,y Е X)(x С к У или у С к x) ;

• (c)    ( V x Е X)(x Е K или — x Е K) .

С помощью леммы Цорна легко показать, что любой конус может быть увеличен до максимального. Более того, для любого конуса K ⊂ X и любого выпуклого множества C ⊂ X, не пересекающегося с K, существует максимальный конус K ⊂ X, который содержит K и не пересекается с C .

Примером максимального конуса служит следующее подмножество пространства R _fi ^N _n всех последовательностей x: N ^ R (здесь N = { 1, 2,... } — множество натуральных чисел) с конечными носителями [x] := { n Е N : x(n) = 0 } :

{x Е R N n \{ 0 } : x(max[x]) > 0} U { 0 } .

Этот максимальный конус, состоящий из тех последовательностей x ∈ R _fi ^N _n , чей последний ненулевой член x(max[x]) положителен, всюду плотен в R N n относительно сильнейшей локально выпуклой топологии (см. [3, гл. II, § 5]). Аналогичный конус

{x Е RNn\{0} : x(min[x]) > 0} U {0} тоже максимален, но не является всюду плотным, поскольку содержится в полупространстве {x Е RNn : x(1) > 0}.

Приведенные факты мотивируют постановку следующих задач.

• (1)    Выяснить, в каких случаях для максимального конуса K в векторном пространстве X существует линейно упорядоченный базис Гамеля (B, ^ B ), обеспечивающий представление

K = { x _е X \{ 0 } : х в (min[x B ]) > 0 } U { 0 } , где [х _в ] := { b Е B : х _в (b) = 0 } — носитель семейства х _в Е R B коэффициентов разложения ^2ь _Ев x B (b)b вектора х по базису B. (Такой конус K будем называть базисным.)

• (2)    Охарактеризовать векторные пространства, в которых все максимальные конусы являются базисными. (Очевидно, к ним относятся любые конечномерные пространства.)

• (3)    Привести общие примеры и описать структуру любых, в том числе небазисных, максимальных конусов.

• (4)    Выяснить, при каких условиях максимальный конус не лежит ни в одном полупространстве, т. е. всюду плотен относительно сильнейшей локально выпуклой топологии.

• 2.    Архимедова эквивалентность

• 2.1.    Введем на множестве X ++ := X + \{ 0 } отношение линейного предпорядка

Данная статья посвящена решению перечисленных задач.

В качестве решения задачи (1) предложен критерий базисности конуса в терминах дискретных множеств — совокупностей векторов, среди которых нет архимедово эквивалентных (см. 4.2–4.4).

Исчерпывающий ответ на вопрос (2) дает теорема 4.7, согласно которой небазисные максимальные конусы существуют в векторных пространствах несчетной размерности, и только в них.

Задача (3) тесно связана с теоремой Хана о вложении — одним из наиболее глубоких результатов теории упорядоченных групп, утверждающим, что всякая линейно упорядоченная группа изоморфно вкладывается в лексикографическое произведение действительных групп [4, гл. IV, теорема 16]. Известен и менее громоздкий аналог этой теоремы для случая линейно упорядоченных векторных пространств [5, теорема 3.1], который фактически дает ответ на вопрос (3). В данной статье мы, в частности, попытались переосмыслить и существенно упростить имеющиеся подходы, переведя их на язык лексикографических и предлексикографических структур (см. § 3). Доказательство основной леммы 3.9, идейно и технически близкое содержанию статьи [5], на наш взгляд, стало если не элементарным, то по меньшей мере значительно более доступным и коротким.

Описание порядка посредством лексикографической структуры позволяет получить очень простой ответ на вопрос (4): максимальный конус всюду плотен тогда и только тогда, когда среди соответствующих архимедовых классов нет наименьшего (см. 3.12).

Всюду в этом параграфе X — линейно упорядоченное векторное пространство над R. Отношение порядка по умолчанию обозначается символом ^ . Модуль | х | вектора х Е X, как обычно, полагается равным х при х ^ 0 и — х при х < 0. Символ lin Y обозначает линейную оболочку подмножества Y С X. Мы также будем использовать упрощенную запись lin(x, Y ) := lin( { x } U Y ).

х ^ у О ( 3 а > 0)(х <  ay)

Отношения ^ и ~ называют архимедовым мажорированием и архимедовой эквивалентностью .

Подмножество D С X назовем дискретным, если D С X ++ и элементы D попарно не эквивалентны: ( V d,e Е D)(d = e ^ d ^ e). В любом линейно упорядоченном векторном пространстве X существует максимальное дискретное множество. Всякое такое множество является результатом выбора представителей в классах архимедовой эквива-летности, т. е. имеет вид { d c : с Е X ++ / ~} , где dc Е с для каждого класса с.

• 2.2.    Как легко видеть, для любых x,y Е X ++

x -< у О ( V а >  0)(x < ау) О ( V а Е R)( V в > 0)(ax < ву).            (1)

Распространим отношение -< с X ++ х X ++ на X х X ++ , принимая (1) в качестве определения выражения x ^ у для произвольных x Е X и у Е X ++ .

Для любого вектора у Е X ++ множество { x Е X : x -< у } является векторным подпространством X .

• <1 Если x i , x 2 ^ у и a i , а 2 Е R, то для всех а > 0 мы имеем a i x i , a 2 X 2 <  а у и, следовательно, a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ < ау. >

• 2.3.    Всякое дискретное множество линейно независимо.

• < Индукцией по n Е N покажем, что любое подмножество E С D мощности | E | = n линейно независимо. Случай n = 1 тривиален. Пусть все подмножества D мощности n линейно независимы и пусть ^ПЛ a i e i = 0, где e i Е D попарно различны, a i Е R. Не нарушая общности, можно считать, что e i ,..., e n ^ e n+i . Тогда с учетом 2.2

  n

  ^a n+1 ^e n+1 —    ' ^{( a} i ^)e i ^ ^e n+i ,

  i=i

  
  

  n

  - а п+i e n+i = У^ a i e i ^ e n+i i=i

  
  

• 2.4.    Если x, у Е X ++ и x ~ у, то A : = { а > 0 : ау } и B : = {в > 0 : x < ву} — непустые ограниченные множества, причем точные границы sup A и inf B совпадают. Обозначим их общее значение символом ^x. Таким образом, если x ~ у, то ^x — единственное число, удовлетворяющее условию

и поэтому a _n +1 = 0. Следовательно, 52n=i a i e i = 0, а значит, a 1 = • • • = а _п = 0 по предположению индукции. >

(x — а)у < x < (у + а)у для всех а >  0.

Лемма. Пусть x, у Е X ⁺⁺ , x ~ у , x g := |x — ^x у \ . Тогда x g ^ у и lin { x g , у } = lin { x, у } .

• < Для любого числа а > 0 из x < (x + а)у следует x — у у < ау, а из (у — а)у < x следует x у — x < ау. Таким образом, |x — у у| < ау для всех а > 0, т. е. x g ^ у. Равенство lin { x g ,x } = lin { x, у } очевидно. >

• 2.5.    Лемма. Пусть Y — конечное подмножество X ++ . Если x Е X ++ и x Е lin Y , то существует такой вектор x Е X ++ , что lin(x, Y) = lin(x, Y) и ( V у Е Y)(x ^ у) .

• < Для каждого вектора z Е Z := { z Е X ⁺⁺ : lin(z, Y) = lin(x, Y) } положим

  У^{(z) :}= |

  
  

• 3.    Лексикографические структуры

  • 3.1.    Пусть S — произвольное множество. Для обозначения характеристической функции подмножества T С S будем использовать символ 1 T . Символом R S обозначается векторное пространство всех функций x : S ^ R с поточечными линейными операциями. Если X1,... ,x n G R S и ^(ai ,..., a n) — формальная запись какого-либо утверждения о числах, то

min { y Е Y : z ~ у } , если ( 3 у Е Y)(z ~ у);

0,                     если ( V у Е Y)(z ^ у).

Поскольку множество {y(z) : z G Z} конечно, существует такой вектор X G Z, что y(X) = min{y(z) : z G Z}.

Допустим, y(X) = 0. Тогда y(X) G Y и x ~ y(X). Согласно лемме 2.4 имеется такой вектор Хо G X+, что Xo -< y(X) и lin{Xo,y(X)} = lin{X,y(X)}. Из соотношений х G lin Y и lin(X, Y) = lin(x, Y) следует, что X и y(X) линейно независимы, и поэтому Xo = 0. С другой стороны, lin(Xo, Y) = lin(lin{Xo, y(X)} U Y) = lin(lin{X, y(X)} U Y) = lin(X, Y) = lin(x, Y), а значит, Xo G Z и, следовательно, y(X) C y(Xo). Таким образом, Xo ^ y(X) C y(Xo) ~ Xo. Полученное противоречие показывает, что y(X) = 0, т. е. X — искомый вектор. >

Hx i ,..., X n )] := {s G S : у(x i (s),..., X n (s))}.

В частности, если x,y G R S , то [x = y] = { s G S : x(s) = y(s) } . Носитель [x = 0] функции x условимся обозначать символом [X].

Векторное подпространство R ^S , состоящие из функций с конечными носителями, обозначим через R S n . Если (S, C ) — линейно упорядоченное множество, то R ^S _wo — векторное подпространство R ^S , состоящее из функций с вполне упорядоченными носителями, а R min — подмножество R S , состоящее из нулевой функции и всех функций х G R S , носитель [х] которых имеет наименьший элемент min[x]. Очевидно,

R ^S С R ^S fin       wo

С R ^S _min С R ^S .

Отметим, что подмножество R ^S _min С R ^S не всегда является векторным подпространством. Для х g R min определим число x(min) G R, полагая

x(min) := ^

x(min[x]), если х = 0;

0,           если X = 0.

• 3.2.    Пусть X — векторное пространство над R, S — произвольное множество. Функцию ( • | • ) : X х S ^ R назовем двойственностью, если для любых X,y G X, s G S, a G R

^{( x} + y ^{1 s)} = ^{( x 1 s)} + ⁽У ¹ s ) ,

(ax | s) = a(x | s), x = 0 ^ (3 s G S) (x | s) = 0.

Для ( • | • ) : X х S ^ R рассмотрим функции

( х]: S ^ R, [s ) : X ^ R, ( x](s) := [s ) (x) := (x | s ) (x G X, s G S)

и положим

• ( X] := {( x] : x G X } , [S ) := { [s ) : s G S } .

Как легко видеть, следующие свойства функции ( • | • ) : X х S ^ R равносильны:

• (a)    ( • | • ) является двойственностью;

• (b)    x ^ ( x ] — изоморфизм X на векторное подпространство ( X] С R S ;

• (c)    [S ) С X # — множество функционалов, разделяющее точки X .

• 3.3.    Пусть (S, ^ ) — линейно упорядоченное множество. Векторное подпространство X С R S будем называть (пред) лексикографическим, если

Носитель [( x]] функции ( x]: S ^ R условимся записывать в виде [x].

• (a)    X С " (соответственно, X С R min );

• (b)    ( V s G S)( 3 x G X \{ 0 } )(s = min[x]).

• 3.4.    Если (S, ^ _S , ( • | • )) — предлексикографическая структура на векторном пространстве X , то [s ) = [t ) при s = t и [S ) — линейно независимое подмножество X # .

Примером (пред)лексикографического пространства служит любое подпространство X С R S , удовлетворяющее включениямR S n С X С R S (соответственно, R fin С X с R min ).

Пусть X — произвольное векторное пространство над R. Тройку (S, ^ _S , ( • | • ) ) назовем (пред) лексикографической структурой на X, если ^ _S — линейный порядок на S, ( • | • ) : X х S ^ R — двойственность и ( X] — (пред)лексикографическое подпространство R S . Вместо (S, ^ _S , ( • | • ) ) условимся писать (S, ^ _S ), если из контекста ясно, о какой двойственности ( • | • ) идет речь.

• <1 Благодаря 3.3 (b) имеется такое семейство элементов x _s G X \{ 0 } , что s = min[x _s ] для всех s G S.

• 3.5.    Если ^ _S — линейный порядок на S и X — (пред)лексикографическое подпространство R S , то (пред)лексикографическая структура (S, C S ) на X с естественной двойственностью ( x | s ) = x(s) называется функциональной. Как легко видеть, с точностью до изоморфизма всякая (пред)лексикографическая структура является функциональной.

• 3.6.    Пусть (S, C S , ( • | • )) — (пред)лексикографическая структура на векторном пространстве X. Для всякого элемента x G X положим ( x | min ) := ( x](min), т. е.

  / । _х     \^(x | ^min[x]),

Пусть s, t G S, s < _S t. Положим x := x _t . Из s < _S t = min[x] следует [s ) (x) = ( x | s ) = 0 и [t ) (x) = ( x 1 1 ) = 0, а значит, [s ) = [t ) .

Рассмотрим попарно различные точки s i ,..., s _n G S, ненулевые числа a i ,..., a n G R и покажем, что f := ^2П ₌1 a i [s i ) = 0. Пусть для определенности s i < _S • • • < _S s n . Положим x := x s n . Поскольку s ₁ ,..., s _n-1 < _S s n = min[x], мы имеем ( x | s ₁ ) = • • • = ( x | s _n-1 ) = 0, ( x | s n ) = 0. Следовательно, f (x) = ^2П =₁ a i ( x | s i ) = a _n ( x | s n ) = 0, а значит, f = 0. >

Примерами функциональных лексикографических структур служат

(S,

если x = 0;

если x = 0.

^(x| miⁿ⁾ = < 0

Как легко видеть, множество

X(S,  0} представляет собой максимальный конус в X . Соответствующее линейно упорядоченное векторное пространство (X, CX) с положительным конусом (X, CX)+ = X(S, Cs, (• | •))+ обозначим символом X(S, Cs, (• | •)), а порядок CX назовем (пред)лексикографическим порядком, наведенным структурой (S, Cs, (• | •)).

• 3.7.    Пусть (S, Cs, (• | •)) — предлексикографическая структура на векторном пространстве X. Снабдим пространство X порядком, наведенным структурой (S, Cs, (• | •)).

• (a)    Для любых x, у Е X

x < у О (x 1t) < (у 1t), где t = min [(x] = (у]] = min{s E S : (x | s) = (у | s)}.

• (b)    Для любых x, у E X++

x < у О min[x] > _S min[y], x ^ у О min[x] >_S min[y], x ~ у О min[x] = min[y].

• (c)    Для любого максимального дискретного множества D С X, снабженного порядком d CD e О e C d, отображение d н- min[d] является порядковым изоморфизмом между (D, CD) и (S, Cs).

• 3.8.    Лемма. Если X = (X, С) — линейно упорядоченное векторное пространство и D — произвольное максимальное дискретное подмножество X, снабженное порядком d CD e О e С d, то (X, С) = X(D, CD, (• | •)) для некоторой предлексикографической структуры (D, CD, (• | •)) на X, причем такой, что (d] = 1{d} для всех d Е D.

• <1 Рассмотрим произвольный элемент d Е D и заметим, что d / lin(Xd U Dd), где Xd : = {x Е X : x ^ d}, Dd : = {e Е D : d ^ e}. Действительно, из 2.2 следует, что Xd — векторное подпространство X, а значит, в случае d Е lin(Xd U Dd) нашелся бы элемент x Е X++, удовлетворяющий соотношению d Е lin(x, Dd), которое невозможно, так как множество {d,x} U Dd дискретно и поэтому линейно независимо (см. 2.3).

• 3.9.    Пусть (S, C) — линейно упорядоченное множество. Для x Е RS и t Е S определим функцию x^t Е RS, полагая x^_t(s) := x(s) при s < t и x^_t(s) := 0 при s > t. Для x, у Е RS будем говорить, что x и у совпадают до t, и писать x =_tу, если (V s < t) x(s) = y(s), т. е. x^t = у^.

Следовательно, для каждого d Е D можно выбрать такой функционал fd Е X#, что fd(d) = 1, fd(x) = 0 при x Е X, x -< d и fd(e) = 0 при e Е D, d Д e. Определим функцию (• | •): X х D ^ R, полагая (x | d) := fd(x). Очевидно, (d] = 1{d} для всех d Е D.

Пусть x Е X++. Поскольку дискретное множество D максимально, x ~ d для некоторого элемента d Е D. По лемме 2.4 мы имеем x — Xd C |x — Xd| ^ d, откуда fd(x-dd) = 0 и поэтому (x | d) = d > 0. Кроме того, если e <D d, то x ~ d -< e, а значит, (x | e) = f_e(x) = 0. Таким образом, d = min[x] и (x | min[x]) > 0.

Из сказанного выше следует, что функция (• | •) является двойственностью, а (X] — предлексикографическим пространством, так как RSn С (X] С Rmin. Кроме того, установленное включение X+ С X(D, CD, (• | •))+ влечет равенство X+ = X(D, CD, (• | •))+ ввиду максимальности конуса X+. >

Лемма. Если (S, C) — линейно упорядоченное множество, X — векторное подпространство R^Sи R_fi^S_nС X С R^S_{min v}, то существует линейный оператор (x ^ x*): X ^ RS, обладающий следующими свойствами:

• (a)    RSn С X* С RSo, где X* := {x* : x Е X};

• (b)    x ^ x* — линейный и порядковый изоморфизм X(S, C) на X*(S, C);

• (c)    x* = x для всех x Е RSn;

• (d)    x*^_tЕ X* для всех x Е X и t Е S.

• <1 Пусть (S, C) — линейно упорядоченное множество и Y — векторное подпространство R^S, удовлетворяющее включениям RSn С Y С Rmin.

Как легко видеть, лемма Цорна применима к множеству пар (X, F), составленных из пространств Rfin С X С Y и операторов F: x G X Н- x* G RS, удовлетворяющих условиям (a)-(d), относительно порядка (Xi,Fi) C (X2,F2) О (Xi С X2, Fi = F2X )• Следовательно, задача будет решена, если мы рассмотрим векторное подпространство X С Y, содержащее RSn, оператор F: x G X Н- x* G RS, удовлетворяющий (a)-(d), фиксируем вектор y G Y\X и продолжим F на подпространство X + Ry С Y с сохранением условий (a)–(d).

Снабдим Y, X и X* порядками, наведенными функциональной структурой (S, C).

Предварительно покажем, что для любых xi,x2 G X и s G S xi = s x2 О x* =s x2.                                 (2)

Поскольку при xi = x2 соотношение xi =_s x2 равносильно s C min[xi = x2], причем [xi = x2] = [ |xi — x2| ], для обоснования (2) достаточно показать, что min[x] = min[x*] для всех x G X⁺⁺. Действительно, благодаря 3.7 (b) для x G X⁺⁺и s G S мы имеем min[x] = s О x ~ 1{_s} О x* ~ 1*s} = 1{_s} О min[x*] = s.

Рассмотрим следующее подмножество S :

T := {min[x = y] : x G X}.

Заметим, что T — начальный фрагмент S, т. е. (Vs G S)(Vt G T)(s C t ^ s G T)• Действительно, если x G X и s < t = min[x = y], то x‘ := x+1{_s} G X и s = min[x‘ = y] G T.

Для каждой точки t G T рассмотрим какой-либо элемент x G X, удовлетворяющий равенству t = min[x = y], и положим xt := x — x(t)1{t} + y(t)1{t}, t‘ := min[x_t= y]. Тогда для всех t G T имеют место следующие соотношения:

xt G X, t‘ G T, t < t‘, xt =t‘ y.

Определим функцию y* G RS, полагая y*(t) := x*(t) для t G T и y*(s) := 0 для s G S\T. Покажем, что для всех t G T xt =t‘ y .

Действительно, пусть s < t‘. Из xs =_s‘ y и xt =_t‘ y следует xs =r xt, где r := min{s^/,t^/}, откуда согласно (2) вытекает совпадение x_s^*=_rx_t^*. Следовательно, y^*(s) = x_s^*(s) = x_t^*(s), так как s < r .

Продолжим изоморфизм F: X ^ X* до линейного оператора F: X + Ry ^ RS, полагая F(x + ay) := x* + ay*, и покажем, что оператор F и его образ X* + Ry* удовлетворяют условиям (a)–(d).

• (а)    Если t G [y*], то t G T, t < t‘, y* =_t‘ x* и поэтому {s G [y*] : s C t} С [x*] — вполне упорядоченное множество, так как x* G X* С RSo. Ввиду произвольности t G [y*] отсюда вытекает вполне упорядоченность [y^*]. Из включений y^*G R^S_woи R_fi^S_nС X^*С R^S_wo следует, что RSn С X* + Ry* С RSo.

• (b)    Для обоснования инъективности оператора F: X + Ry ^ X* + Ry* достаточно показать, что y* / X*. Допустим, x* = y* для некоторого вектора x G X. Поскольку x = y, мы можем рассмотреть точку t := min[x = y] G T. Тогда t < t‘ и x* = y* =_t‘ x*, откуда в силу (2) следует, что x =_t‘ xt. С другой стороны, xt =_t‘ y, а значит, x =_t‘ y и поэтому t‘ C min[x = y] = t вопреки неравенству t < t‘.

Докажем, что F сохраняет порядок. Элементарные выкладки показывают, что для этого достаточно обосновать импликации x < y ^ x* < y* и x > y ^ x* > y* для любых x E X. Ограничимся доказательством первой импликации, поскольку вторая устанавливается совершенно аналогично.

Итак, допустим, что x E X, x < у, но x* > у* (равенство x* = у* уже исключено). Тогда x*(t) > y*(t), где t := min[x* = у*]. Если бы t > [у*], то с учетом (d) мы бы имели У* = У*^_t= x*"\t E X*, что невозможно. Следовательно, (3 s Е S) t С s Е [у*] С T, а значит, t E T и мы располагаем вектором xt Е X и точкой t‘ Е T, для которых t< t‘, xt =_t‘ у, x* =_t‘ у*. Далее, x*(t) = У*(t)< x*(t), причем x* =_tу* =_t x*, откуда следует, что x_t^∗< x^∗. Тогда x_t< x, поскольку F является порядковым изоморфизмом. Из неравенств xt < x < у последовательно выводим 0 < x — xt < у — xt, x — xt С у — xt, min[x_t= x] > min[x_t= у] = t‘, xt =_t‘ x, x* =_t‘ x*, x*(t) = x*(t) и получаем противоречие с неравенством x_t^*(t) < x^*(t).

Условие (c) сохраняется ввиду включения RSn С X.

• (d) Если t Е T, то у*^ = x*^_tE X*, а если t / T, то y*^_t= у*. Следовательно, (x* + аy*)^_t= x*!t + ay*^_tE X* + Ry* для любых x E X, а Е R, t Е S. >

• 3.10.    Замечание. Предложенное нами доказательство леммы 3.9 не является оригинальным и фактически воспроизводит схему доказательства теоремы [5, 3.2]. Значительного упрощения по сравнению с выкладками, приведенными в [5], удается достичь за счет леммы 3.8, благодаря которой абстрактное упорядоченное векторное пространство заменяется его функциональной предлексикографической копией.

• 3.11.    Следующее утверждение, вытекающее из 3.8 и 3.9, представляет собой переформулировку теоремы [5, 3.1], согласно которой во всяком линейно упорядоченном векторном пространстве порядок является лексикографическим.

• 3.12.    Пусть X — векторное пространство. Напомним, что сильнейшей локально выпуклой топологией на X является топология Макки τX , согласованная с двойственностью (X, X#) (см., например, [6, 8-2-14; 1, 10.4.4]). Относительно этой топологии непрерывны все линейные функционалы. Выпуклое множество C С X плотно в X относительно топологии τX тогда и только тогда, когда C не лежит ни в каком полупространстве {x E X : f (x) > а}, где f Е X#\{0}, а E R. Конус K С X плотен в X относительно тх тогда и только тогда, когда нулевой функционал является единственным линейным функционалом, положительным на K: если f E X# и f (x) ^ 0 для всех x E K, то f = 0.

Теорема. Пусть X = (X, С) — линейно упорядоченное векторное пространство. Рассмотрим произвольное максимальное дискретное множество D С X и снабдим его порядком CD, полагая d CD e О e С d. Тогда (X, С) = X(D, CD, (• | •)) для некоторой лексикографической структуры (D, CD, (• | •)) на X, удовлетворяющей следующим дополнительным условиям: (d] = 1{d} и (x]]d E (X] для всех x Е X и d Е D.

Теорема. Пусть X = X(S, CS, (• | •)), где (S, CS, (• | •)) — предлексикографическая структура на X . Конус X⁺плотен в X относительно сильнейшей локально выпуклой топологии тогда и только тогда, когда в (S, CS) отсутствует наименьший элемент.

• <1    Необходимость. Если в S существует наименьший элемент s, то для всех x E X\{0} из неравенства s CS min[x] следует, что (x | s) = (x | min[x]) при s = min[x] и (x | s) = 0 в остальных случаях, а значит, (x | s) ^ 0 при x > 0, т. е. [s) — положительный на X+ ненулевой линейный функционал (см. 3.4).

Достаточность. Пусть имеется ненулевой функционал f E X# такой, что f (x) ^ 0 для всех x E X+. Поскольку f = 0, существует вектор x E X⁺⁺, для которого f (x) > 0. Покажем, что min[x] = min S .

Допустим вопреки доказываемому, что s

f(x)^x.

гласно 3.3 (b) имеется вектор у E X++, для которого min[y] = s. Положим z := у

—

Поскольку min[y] = s <_S min[x], имеют место равенства min[z] = s и (x | s) = 0. Следовательно, (z | min) = (z | s) = (y | s) ^ 0, т. е. z E X+ и поэтому f (z) ^ 0. С другой стороны, f (z) = f (y) - fT f (x) = -1. ▻

• 4.    Базисные максимальные конусы

  • 4.1.    Если X — произвольное векторное пространство над R и B — базис Гамеля в X, то значение двойственности (x | b) по умолчанию определяется как коэффициент при b E B в разложении bXB_bEx (x | b)b вектора x E X по базису B. В этом случае (B, ^_в) — лексикографическая структура на X для любого линейного порядка ^_вна B. Структуры такого вида будем называть базисными.

• 4.2.    Лемма. Пусть B — базис Гамеля в линейно упорядоченном векторном пространстве X и пусть ^_в— линейный порядок на B. Следующие утверждения равносильны:

Максимальный конус в векторном пространстве X назовем базисным, если он соответствует базисной лексикографической структуре, т. е. имеет вид X(B, ^_в)+ для некоторого линейно упорядоченного базиса Гамеля (B, CB) пространства X.

• (a)    X = X(B, .);

• (b)    множество B дискретно и b ^_Bc О b ^ c для всех b,c E B.

• <1 (a)^(b). Пусть X = X(B, ^_B). Тогда для любых b,c E B

b ^_Bc О min{b, c} = b О (b — c | min) > 0

О b — c E X(B, ^B)+ = X+ О b > c.

Если b E B, то (b | min) = (b | b) = 1 ^ 0 и, следовательно, b E X(B, ^_B)+ = X+. Рассмотрим произвольные b,c E B, b = c. Предположим для определенности, что b ^_Bc. Если b ~ c вопреки доказываемому, то имеется число a > 0, для которого b < ac. Тогда ac — b E X+ = X(B, ^_B)+ и поэтому (ac — b | min) ^ 0. С другой стороны,

(ac — b | min) = (ac — b | min{b, c}) = (ac — b | b) = —1.

B

(b)^(a). Чтобы установить включение X+ С X(B, ^B)+, рассмотрим произвольный элемент x E X++, положим b := min[x], a := (x | b) и покажем, что a ^ 0. Если множество C := [x]\{b} пусто, то x = ab и тогда a ^ 0. Пусть теперь C = 0. Предположим вопреки доказываемому, что a < 0. Для каждого элемента c E C мы имеем b  0. Тогда x — ab = 52(x |c)c ^ 52l(x | c)lc < 52l(x | c)l c∈C         c∈C           c∈C

-----i----b = —ab.

^(x |^{c)| |C}|

где |C | — число элементов множества C. Следовательно, x < 0, что противоречит условию x E X+. Таким образом, X+ С X(B, ^_B)+, а значит, X+ = X(B, ^_в)+ в силу максимальности конуса X+. >

• 4.3.    Следствие. Максимальный конус K в векторном пространстве X является базисным тогда и только тогда, когда в (X, ^K) существует дискретный базис Гамеля.

• 4.4.    Замечание. Максимальное дискретное (и поэтому линейно независимое) подмножество линейно упорядоченного векторного пространства X не обязано быть базисом Гамеля, даже если в X существует дискретный базис Гамеля. Примером служит

• 4.5.    Если (S, CS) — предлексикографическая структура мощности |S| на векторном пространстве X и |S| < dim X, то в X(S, CS) не существует дискретного базиса Гамеля.

максимальное дискретное множество {1{n} : n G N} в пространстве RNn + R1n C RN с порядком, наведенным функциональной лексикографической структурой (N, CN), где CN — стандартный порядок на N. Дискретным базисом Гамеля в данном случае является, например, множество {1[n,^) : n G N}.

• <1 Никакое дискретное множество D C X(S, CS) не может быть базисом Гамеля в X, так как согласно 3.7 (b) отображение d G D Н- min[d] G S инъективно и, следовательно, |D| С |S| < dimX. ▻

• 4.6.    Замечание. Поскольку для всякой предлексикографической структуры (S, CS) на X имеет место неравенство dim X С dim RS (см. 3.2 (b)), из 4.5 следует, что небазисный максимальный конус существует в любом пространстве, размерность λ которого удовлетворяет условию к < А С 2^Кдля какого-либо кардинала к. Этим свойством обладают кардиналы λ, не являющиеся строго предельными. Напомним, что кардинал λ называется строго предельным, если для любого кардинала к из к < А следует 2^К< А (см. [7, §5]). Наименьшим строго предельным кардиналом является Ng = |N|. Если к — произвольный кардинал и к_п+1 =2^Kn(n G N), то 8ир{к_п: n G N} — строго предельный кардинал, откуда следует, что строго предельные кардиналы образуют собственный класс.

• 4.7.    Теорема. В векторном пространстве X все максимальные конусы являются базисными тогда и только тогда, когда X имеет конечную или счетную размерность.

В частности, для любого бесконечного вполне упорядоченного множества (S, CS) пространство RS(S, CS) не имеет дискретного базиса Гамеля и поэтому RS(S, CS)+ служит примером максимального конуса в R^S, не являющегося базисным (см. 4.3).

Таким образом, согласно 4.5 небазисный максимальный конус существует в любом пространстве, размерность которого бесконечна и не является строго предельным кардиналом. Тем не менее это наблюдение не имеет особой ценности, поскольку, как показывает приведенная ниже теорема, небазисный максимальный конус существует в любом пространстве несчетной размерности.

• < Необходимость. Пусть размерность dim X векторного пространства X бесконечна и не счетна. Покажем, что в X имеется максимальный конус, не являющийся базисным.

Если |N| < dim X С |R|, то нужный нам факт содержится в 4.6. Пусть dim X > |R|. Рассмотрим вполне упорядоченное множество (S, CS) и два его подмножества M, N C S такие, что

S = M U N,

M <_SN (т. е. m <_Sn для всех m ∈ M и n ∈ N),

|M | = dim X ,

N порядково изоморфно N.

(В качестве S можно взять ординал dimX + ш и положить M := dimX, N : = S\M.) Определим векторные подпространства Y, Z ⊂ R^S, полагая

Y : = {y G RS : [y] C N}, Z := {z G fi : [z] C M}.

Поскольку dim Y = dim RN = dim RN = |R|, dim Z = dim RM = |M | = dim X > |R|, размерность суммы Y + Z С RS совпадает с размерностью X, а значит, можно считать, что X = Y + Z. Снабдим X порядком, наведенным функциональной лексикографической структурой (S, ^S), и покажем, что максимальный конус X+ не является базисным.

Пусть вопреки доказываемому в X существует дискретный базис гамеля B (см. 4.3). Покажем, что lin(B П Y) = Y, для чего возьмем произвольный элемент y Е Y\{0} и установим включение у Е lin(B П Y). Рассмотрим разложение у = ^2П₌₁a^bj, где bi,..., bn Е B и ai,...,an Е R\{0}. Учитывая дискретность множества B, можно считать, что bi -< • • • ^ bn, т. е. min[bi] >_S • • • >_S min[bn] (см. 3.7 (b)). Тогда min[y] = min[bn] и поэтому min[bn] Е N, так как [у] С N в силу включения у Е Y. Поскольку N — финальный фрагмент S, мы имеем min[bi],..., min[bn] Е N и [bi],..., [bn] С N, т. е. bi,..., bn Е Y. Следовательно, у = ^2П=1 ajb Е lin(B П Y). Таким образом, lin(B П Y) = Y, а значит, B ∩ Y — дискретный базис Гамеля в Y , что противоречит 4.5, так как пространство Y изоморфно RN(N, <_N).

Достаточность установлена, например, в [4, гл. IV, теорема 19]. Мы приведем здесь элементарное доказательство, не задействующее специфические конструкции и факты из теории групп.

Пусть X — векторное пространство размерности |N|, где N = {1,..., m} или N = N, и пусть K — максимальный конус в X. Снабдим X линейным векторным порядком XK и рассмотрим произвольный базис Гамеля (xn)neN С X+. Построим последовательность (y_n)_nGN С X++, удовлетворяющую условию

(Vi,j Е {1,... ,n})(i = j ^ уг ^ Уj), lin{y1,...,yn} = lin{xi,...,xn} для всех n Е N, с помощью следующей рекурсивной процедуры: положим у1 := xi и выберем в качестве уп+1 произвольный вектор х, существование которого утверждается в лемме 2.5 для Y := {у1 ,..., уп} и x := xn+i. Как легко видеть, {уп : n Е N} — дискретный базис Гамеля в пространстве (X, ^к), а значит, K — базисный конус согласно 4.3. >