Лемма Фаркаша для полилинейных операторов

• 1.    Введение

  Лемма Фаркаша ¹ — фундаментальный результат линейного программирования и выпуклого анализа — впервые опубликованный в 1898 г. на венгерском языке [1] и в 1902 г. на немецком языке [2], формулируется следующим образом.

Лемма Фаркаша. Пусть m,n G N и {a, х) обозначает ска.лярное произведение векторов a и х. Для любых m + 1 вектора a i ,..., a _m , c G R ⁿ , равносильны утверждения:

• ^# Работа выполнена в Северо-Кавказском центре математических исследований ВНЦ РАН при поддержке Минобрнауки России, соглашение № 075-02-2026-738.

CC 2026 Кусраев А. Г.

• (1)    неравенство (c,x) С 0 является следствием системы линейных однородных неравенств (a i ,x) (i = 1,... , m), т. е.

(Vx G R n ) (a _i ,x) С 0 Л ... Л (a m ,x) С 0 =^ (c, x) С 0.

• (2)    существуют A i ,..., A m G R+ такие, что c = ^2m=i A ^ a ^ .

Здесь R — поле вещественных чисел и N := {1, 2,... } — множество натуральных чисел. Лемма Фаркаша остается в силе, если функции (c, •), (a i , •) заменить любыми линейными функционалами g, f i : X ^ R на произвольном векторном пространстве.

Теорема 1.1. Для произвольных линейных функционалов g, f i ,..., f _m G X * неравенство g(x) С 0 является следствием системы неравенств f i (x) С 0 (i = 1,..., m) в том и только в том случае, когда g = ^m ti A i f i для некоторых 0 С Л 1 ,..., A m G R .

Хорошо известно, какую важную роль сыграл этот классический результат в развитии теории нелинейной оптимизации. В конце 1930-х гг. Л. В. Канторович открыл новую область применения линейных неравенств — экономическое планирование. Исторический комментарий о развитии теории линейных неравенств имеется в [3, 4]. Множество различных доказательств, обобщений и приложений этой леммы можно найти в литературе (см. [5–10], а также ссылки в них).

Если в теореме 1.1 функции f 1 , . . . , f _m , g не линейны, но выпуклы и выполняется какое-нибудь условие регулярности (например, условие Слейтера), то соответствующая лемма Фаркаша с точностью до элементарных оговорок есть не что иное, как теорема Каруша — Куна — Таккера , см. [5]. Бесконечномерной геометрической формой леммы Фаркаша можно считать известную теорему Дубовицкого — Милютина , см. [11].

Вопрос о справедливости невыпуклых вариантов леммы Фаркаша восходит к монографии М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [12], в которой введена S- процедура ² — аналог леммы Фаркаша для квадратичных функций. Исторические корни, обзор приложений и взаимосвязей этого направления с разными разделами математики см. в B. Полик и Т. Терлаки [14]. В последнее время группа китайских математиков развивает подход, который объединяет и обобщает классическую лемму Фаркаша для линейных систем и S -лемму для квадратичных систем, см. [15]. Отметим также свежую работу [16], в которой S -лемма обобщается на минимаксные квадратичные функции.

Лемма Фаркаша в том виде, каком она представлена в теореме 1.1, неверна для полилинейных форм и однородных полиномов. Следующий пример, найденный Дауни в [17], показывает, что эта лемма не выполняется даже для билинейных форм, определенных на R ² x R ² .

Пример 1.1. Рассмотрим три билинейные формы A,B,C : R ² x R ² ^ R:

A(x, y) = (2x i + 3x 2 )y i + (x i + 2x 2 )y 2 ,

B(x, y) = (3x i + X 2 )y i + (2x i + X 2 )y 2 ,

C(x, y) = (2xi + x2)yi + (xi + x2)y2, где x := (xi,x2) и y = (yi,y2). Как показано в [17, пример 1], неравенство C(x,y) С 0 является следствием системы двух неравенств A(x,y) С 0 и B(x,y) С 0, однако C линейно независима от A и B, т. е. C = AA + цВ.

Пример 1.2. Лемма Фаркаша также не выполняется для однородных многочленов. Рассмотрим P : R ² ^ R и Q : R ² ^ R, заданные формулами P (x i ,x 2 ) = x i и

Q(x i ,x 2 ) = x 2 . Тогда P (x i ,X 2 ) ^ 0 влечет Q(x i , 2 ) ^ 0, поскольку оба многочлена всегда неотрицательны, но P и Q линейно независимы, см. [18].

Следующий результат, утверждающий, что лемма Фаркаша имеет место для двух полилинейных форм, определенных на декартовом произведении любых (не обязательно конечномерных) векторных пространств, приводится в упомянутой выше работе Дауни [17, теорема 2] как простое следствие основного результата из [19].

Теорема 1.2. Пусть A и B — n -линейные формы, определенные на декартовом про изведении X i х • • • х X n векторных пространств X 1 ,..., X n . Тогда {A С 0} С {B С 0} в том и только в том случае, когда B = aA для некоторого 0 С a G R .

Здесь возникает естественный вопрос: существует ли нетривиальный класс n-линейных форм такой, что для любого конечного набора форм из этого класса имеет место лемма Фаркаша? Такой класс указан в работе Арона, Гарсиа, Пинаско и Зальдуэндо [18, теорема 1], в которой показано, что лемма Фаркаша справедлива для одновременно диагонализируемых билинейных форм на R n х R n . Приведем точную формулировку.

Определение 1.1. Говорят, что n х n матрицы A i ,..., A m одновременно диагонализируемы, если существует обратимая nxn матрица C такая, что C ^{- 1} A i C, ..., C ^{- 1} A m C — диагональные матрицы. Билинейные формы B i ,..., B m , определенные на R n х R n , одновременно диагонализируемы , если таковы представляющие их матрицы B 1 , . . . , B _m в стандартном базисе e i ,..., e n в R n , т. е. B k = BB((e i , e j )) ^=1 .

Теорема 1.3. Для любого конечного набора одновременно диагонализируемых билинейных форм A j ,B : R n х R n ^ R (j = 1,..., m) следующие утверждения равносильны:

• (1)    A i (x,y) С 0,.. .,A m (x,y) С 0 =^ B(x,y) С 0 ;

• (2)    B = A i A i + • • • + A _m A _m для некоторых 0 С A i ,..., X _m G R .

• 2.    Вклад С. С. Кутателадзе

В [18, замечание 1] отмечено также, что теорема 1.3 остается в силе, если (H, (•, •)) — гильбертово пространство и A i ,..., A m — симметричные билинейные формы на H х H , определяемые формулой A i (x,y) = (y,T i x) (i = 1,...,m), где T i ,... ,T _m — некоторые компактные самосопряженные коммутирующие операторы в H . Близкие вопросы ставятся и в задачах абсолютной устойчивости систем регулирования с аналогичными ответами, см. [20, теоремы 8 и 9].

Цель настоящей заметки — показать, что лемму Фаркаша типа 1.6 можно распространить на обширный класс полилинейных операторов, действующих в пространство Канторовича. В § 2 кратко изложен принцип стратификации , предложенный С. С. Кута-теладе для исследования операторов со значениями в пространстве Канторовича, а также некоторые приложения к операторным формам леммы Фаркаша. В § 3 рассмотрен класс орторегулярных полилинейных операторов между векторными решетками и для этого класса установлена лемма Фаркаша. Для определения орторегулярных полилинейных операторов в области определения нужно лишь отношение дизъюнктности, а не структура векторной решетки целиком. В § 4 устанавливается вариант леммы Фаркаша для орторегулярных полилинейных операторов, определенных на векторном пространстве, с аксиоматически заданным отношением дизъюнктности.

Линейный функционал определяется с точностою до скалярного множителя по своей нулевой гиперплоскости, т. е. по своему ядру. В то же время, линейный оператор лишь в редких случаях восстанавливается по своему ядру с точностью до простого множителя. В работе [21] C. C. Кутателадзе предложил новый метод исследования операторов со значениями в пространстве Канторовича, основанный на следующем эвристическом положении (см. также [22, теорема 4.3 и замечание 4.6]).

Принцип стратификации Кутателадзе. Линейный оператор T со значениями в пространстве Канторовича Y определяется с точностью до ортоморфизма (оператора, сохраняющего полосы) по семейству нулевых подпространств ядер его слоев, т. е. по семейству ядер ker(n о T), где п пробегает множество P(Y) порядковых проекторов в Y.

Этот принцип эффективен в различных задачах теории операторов. В частности, работы С. С. Кутателадзе [23, 24, 25, 26] демонстрируют как принцип стратификации в сочетании с булевозначным анализом применяется к изучению систем линейных неравенств с операторами. В настоящем параграфе рассмотрим коротко операторные варианты леммы Фаркаша.

Используются стандартные обозначения и термины из книги Алипрантиса и Бёркин-шо [27]. Все рассматриваемые векторные пространства предполагаются вещественными. Для векторной решетки G символами B(G) и P(G) обозначаем полные булевы алгебры соответственно полос и порядковых проекторов в G. Разбиением элемента b G B называют семейство (конечное или бесконечное) (b ^ ) в B такое, что b ^ Л b n =0 для всех £ = п и b = sup ^ b ^ ; если b — единица булевой алгебры B, то (b ^ ) именуют разбиением единицы. Напомним также, что x,y G G дизъюнктны (символически, x ± у), если |x| Л |у| = 0; дизъюнктное дополнение множества M С B определяется формулой M ^ := {x g F : (V у G M ) x ± у}.

Векторную решетку называют пространством Канторовича ³ , если она порядково полна , т. е. в ней каждое порядково ограниченное множество имеет точную верхнюю границу. Универсально полной принято называть векторную решетку, которая одновременно порядково полна и латерально полна (т. е. каждое множество положительных попарно дизъюнктных элементов имеет точную верхнюю границу).

Для архимедовой векторной решетки Y существует единственная (с точностью до решеточного гомоморфизма) универсально полная векторная решетка Y ^u (называемая порядковым пополнением Y ) такая, что Y решеточно изоморфна порядково плотной векторной подрешетке Y ^u , см. [27, с. 126]. Универсальное пополнение Y ^u является f -алгеброй с единицей умножения 1, см. [27, гл. 2, упр. 13]. Ортоморфизмом в Y называют оператор п G L(Y ), служащий ограничением на Y оператора умножения в f-алгебре Y ^u , т. е. п(х) = ay (у G Y ) для некоторого a G Y ^u , см. [27, определение 2.41 и замечания на с. 127].

Пусть X — вещественное векторное пространство, Y — некоторое пространство Канторовича, Y ₊ := {у G Y : у ^ 0} — конус положительных элементов Y . Символом L(X, Y ) обозначим пространство линейных операторов из X в Y . Обозначим ker(T) := {T = 0} := T ^-1 (0) и {T С 0} := {x G X : Tx С 0} := T ^-1 (-Y ₊ ).

Определение 2.1. Предположим, что на X задана Y -значная полунорма p : X ^ Y ₊ , т. е. p обладает свойствами нормы: p(x) = 0 ^^ x = 0, p(Ax) = |A|p(x), p(x + у) <  p(x) + р(у) для всех x,y G X и A G R. В этом случае выделяют класс мажорируемых операторов, т. е. таких операторов T G L(X, Y), что существует положительный ортоморфизм a G Orth(Y), обеспечивающий оценку |Tx| С ap(x) для всех x G X. Множество мажорируемых линейных операторов из X в Y обозначим символом L^ m (X, Y).

Теперь можем уточнить формулировку принципа стратификации Кутателадзе.

Теорема 2.1. Линейный оператор T из векторного пространства X в пространство Канторовича Y восстанавливается в классе мажорируемых операторов L m) (X, Y ) с точностью до ортоморфизма по семейству ядер кег(п о T ) слоев п о T оператора T:

(V S,T G L ^{( m}\ X,Y )) (Vп G P(Y))

кег(п о S ) с кег(п о T ) ^^ (3 A G Orth(Y)) T = AS.

• <1 О доказательстве см. в [21, теорема 1] и [22, замечание 4.6]. >

Операторная версия леммы Фаркаша формулируется следующим образом.

Теорема 2.2. Пусть T, S i , ..., S n G L^ ^m m (X, Y ) — линейные мажорированные операторы из векторного пространства X в пространство в Канторовича Y . Тогда следующие утверждения равносильны:

• (1)    для любого п G P(Y) операторное неравенство пТ С 0 является следствием системы операторных неравенств пS 1 X С 0,..., пS N x С 0 , т. е.

{пТ С 0} D {пS ₁ С 0} П ••• П {пS N С 0} (п G P(Y));

• (2)    существуют положительные ортоморфизмы a i ,... ,a N G Orth(Y u ) такие, что

• T = aiSi + • • • + aN Sn ,

• т. е. T содержится в операторно выпуклой оболочке операторов S i ,..., S n .

• <    Этот факт установил С. С. Кутателадзе в [24, теорема 1.1], используя булевозначный анализ [29] и субдифференциальное исчисление [30]. Доказательство, использующее лишь стандартные средства, содержится [22, теорема 5.5.] >

Как уже отмечалось выше, лемма Фаркаша не имеет места для полилинейных операторов. Однако, справедлив следующий операторный вариант теоремы 1.2.

Теорема 2.3. Для любой пары мажорируемых n -линейных операторов S и T из декартова произведения векторных пространств X i х • • • х X n в пространство Канторовича Y существует положительный ортоморфизм a G Orth(G) , для которого S = aT, в том и только в том случае, когда {пS С 0} С {пT С 0} для всех п G P(Y) .

• <    Доказательство, приведенное в [24, теорема 1.3] представляет собой интерпретацию теоремы 1.2 в подходящей булевозначной модели. >

Лемма Фаркаша не выполняется также в классе сублинейных функций и операторов (т. е. положительно однородных и субаддитивных операторов, см. [6, определение 1.3.4(2)]); соответствующий пример приводится в работе [31], где лемма Фаркаша доказана для сублинейных функций с разделяющимися переменными, определенных на конечномерном пространстве. Как показал С. С. Кутателадзе [24, 26], операторный вариант леммы Фаркаша имеет место для полиэдральных сублинейных операторов. Обозначим символом Sub(X, Y) множество всех сублинейных операторов из X в Y .

Определение 2.2. Оператор P G Sub(X, Y) называют полиэдральным и пишут P G PSub(X, Y), если P представляет собою верхнюю огибающую конечного набора линейных операторов, т. е. если найдутся Ai,..., Ak G L(X, Y), k G N, такие, что k

P (x) = V A i (x) ^:= A _i x V • • • V A k x (x G X).

i=i

Если X снабжено какой-нибудь Y -полунормой, то считаем сублинейный оператор P ма жорированным, т. е. что A 1 , ..., A k Е L^ m (X, Y ).

Теорема 2.4. Пусть X — вещественное Y -полунормированное пространство, где Y — некоторое пространство Канторовича. Допустим также, что заданы мажорированные полиэдральные сублинейные операторы P i ,..., P n Е PSub ^(m) (X, Y ) и мажорированный сублинейный оператор P Е Sub ^(m) (X, Y). Следующие утверждения эквивалентны:

• (1)    для всех п Е P(Y) сублинейное операторное неравенство nP(x) ^ 0 является следствием системы полиэдральных сублинейных операторных неравенств nP i (x) С 0,..., nP N x С 0 , т. е. {пР ^ 0} D {nP _i <  0} П • • •П {nP N С 0};

• (2)    найдутся положительные ортоморфизмы a i ,..., a N Е Orth(Y u ) такие, что

• N

Р(x) + 52 a k P k (x) ^ 0 для всех x Е X. k=1

• <    Доказательство см. в [24, теорема 2.2]. >

• 3.    Орторегулярные полилинейные операторы

Замечание 2.1. Случай неоднородных полиэдральных сублинейных неравенств рассмотрен в другой работе С. С. Кутателадзе [26], в которой приводится также вариант принципа Лагранжа для полиэдральных мажорированных сублинейных операторов.

Замечание 2.2. Некоторые иные возможности, открывающиеся в рамках представленного выше подхода, представлены в обзорной статье [22] и в монографии [29].

В этом параграфе рассмотрим класс регулярных ортосимметричных полилинейных операторов между векторными решетками, для которого линеаризация посредством степени векторной решетки позволяет получить полноценную лемму Фаркаша. Начнем с необходимых определений. Всюду в этом параграфе E и F — архимедовы векторные решетки.

Определение 3.1. n-Линейный оператор S : Eⁿ ^ F называют положительным (и пишут S ^ 0), если S(x i ,...,x _n ) ^ 0 для всех 0 С x i ,...,x _n Е E; регулярным, если он представим в виде разности двух положительных n -линейных операторов; решеточным мультиморфизмом или решеточным n-морфизмом, если |T(x i ,...,x _n )| = T (|x _i |,..., |x _n |) для всех x _i Е E i ,... ,x _n Е E _n .

Определение 3.2. n-Линейный оператор S : E ⁿ ^ F называют симметричным, если S (x i ,... ,x _n ) = S (x _a (i) ,... ,x _a ( _n ) ) для любой перестановки a множества {1,... ,n}. Скажем, что S ортосимметричен, если S(x i ,... ,x n ) =0 для всех x i ,... ,x _n Е E таких, что |x k | Л |x i | =0 для некоторой пары 1 С k,l С n; S называют орторегулярным, если S можно представить в виде разности двух положительных ортосимметричных n -линейных операторов.

Отметим следующие важные свойства ортосимметричных операторов между векторными решетками: 1) положительный ортосимметричный оператор является симметричным, однако обратное не всегда верно [32, теорема 2]; 2) мультиморфизм ортосимметри-чен в том и только в том случае, когда он симметричен [33, лемма 2.1].

Определение 3.3. Пусть 2 С n Е N. Пару (E ⁿ ® , Q _n ) называют n-й степенью векторной решетки E , если выполнены следующие условия:

• (1)    E ^{n ⊙} — векторная решетка;

• (2)    Q n : E n ^ Eⁿ ® — симметричный решеточный n-морфизм (называемый каноническим );

• (3)    для любой векторной решетки F и любого симметричного решеточного n-морфизма S : Eⁿ ^ F существует единственный решеточный гомоморфизм S ® : Eⁿ ® ^ F такой, что S = S ® о Q _n .

В следующем результате собраны основные свойства степени векторной решетки: существование, универсальность по отношению к классу орторегулярных операторов, сюръективность канонического n-морфизма.

Теорема 3.1. Для произвольных n G N и (архимедовой) векторной решетки E справедливы следующие утверждения:

• (1)    существует единственный ( с точностью до решеточного изоморфизма ) n-я степень (E ⁿ ® , Q n ) векторной решетки E;

• (2)    для любой равномерно полной векторной решетки F и любого орторегулярного n-линейного оператора S : Eⁿ ^ F существует единственный линейный регулярный оператор S ® : E ^{n &} ^ F такой, что S = S ® о Q _n ;

• (3)    если E равномерно полна, то ортосимметричный n-линейный оператор Q _n сюръективен, т. е. любой элемент x G E ® допускает представление x = x i Q _n • • • Q _n x _n для некоторых x i ,... ,x _n G E.

• <1 См. Булабиар и Бускес [33, теоремы 3.2, 3.3(2) и 5.1(1)]. >

Теперь все готово, чтобы представить основной результат данного параграфа.

Теорема 3.2. Предположим, что E — равномерно полная векторная решетка, G — пространство Канторовича и 1 C n,N G N . Для любого конечного набора орторегуляр-ных n-линейных операторов S 1 , . . . , S N , S из E ⁿ в G равносильны утверждения:

• (1)    для любых п G P(G) и x i ,... ,x _n G E верна импликация ⁴

nS _i (x _i ,... ,x _n ) C 0 Л ... Л nS N (x 1 ,...,x _n ) <  0 =^ nS (x 1 ,...,x _n ) <  0.

• (2)    существуют положительные ортоморфизмы a i ,..., a N G Orth(G u ) такие, что

• S = aiSi + ••• + aNSn .

< Нужно лишь убедиться, что из (1) следует (2), так как обратное утверждение очевидно. По теореме 3.1(2) существуют регулярные линейные операторы S ^⊙ , S ₁ ^⊙ , . . . , S _N ^⊙ из Eⁿ ® в F такие, что S = S ® о Q _n , S _i = S ® о Q _n ,...,S N = S N о Q _n . Ввиду 3.1(3) для произвольного u G Eⁿ ® можно подобрать такие x^,...,x _n G E, что u = x _i Q • • • Q x _n := Q _n (xi,..., x _n ). Предположим, что S ® (u) C 0 для всех k = 1,..., N. Тогда S k (xi, ..., x _n ) = S k (u) C 0 для всех k = 1,... , N и по условию S(xi,..., x _n ) <  0. Отсюда следует, что S ® (u) = S(xi,... ,x _n ) C 0. Применив теорему 2.2 к линейным операторам S ® , S ® , ..., S N , найдем положительные ортоморфизмы a±,... ,a N G Orth(G) такие, что

S = S ® о Q n = a^S ® оQ n +-----+ a N S N о Q n = a^S i + ... a N S n .

Оcтается заметить, что операторы S ^⊙ , S ₁ ^⊙ , . . . , S _N ^⊙ мажорируются G -значной полунормой p : E ⁿ ® ^ G, определяемой формулой p(u) = |S ® |(|u|) + |S ® |(|u|) + • • • + |S N |(|u|). >

Напомним, что n-однородный полином — отображение P : E ^ F , определяемое формулой P (x) = P (x,... ,x), где P — единственным образом определенный симметрический полилинейный оператор из E ⁿ в F . Положительность и регулярность P означают, что таковым является полилинейный оператор P [34].

Определение 3.4. Однородный полином P из E в F называют ортогонально адди тивным, если |x| Л |y| =0 влечет P(x + y) = P(x) + P(y) для всех x,y G E и орторе-гулярным , если P можно представить как разность двух положительных ортогонально аддитивных однородных полиномов.

Следствие 3.1. Пусть E, G, n и N — такие же, как и в теореме 3.2 . Для орторегу-лярных n-однородных полиномов P i ,..., P n ,P : E ^ G равносильны утверждения:

• (1)    для любых п G P(G) и x i ,..., x n G E имеет место импликация

nP 1 (x 1 ,... ,x n ) <  0 Л ... Л nP N (x 1 ,...,x n ) <  0 =^ nP (x 1 ,...,x n ) <  0;

• (2)    существуют положительные ортоморфизмы a i ,..., a N G Orth(G u ) такие, что

• P = aiPi + ••• + aN Pn .

• <1 Нужно применить теорему 3.2 к полилинейным операторам P i ,..., P n ,P , принимая во внимание тот хорошо известный факт, что порядковов ограниченный n -однородный полином P ортогонально аддитивен в том и только в том случае, когда ассоциированный n-линейный оператор P ортосимметричен, см., например, [34]. >

• 4. Векторные пространства с дизъюнктностью

Замечание 3.1. Определение 3.3 предложено в работе Булабиар и Бускеса [33, определение 3.1]. Обычно для удобства полагают E ^{1 0} = E и © i = I e . Полином j n : E ^ E^{n 0} , порожденный n-линейным оператором © n , положителен и ортогонально аддитивен. Более того, всякий регулярный ортогонально аддитивный n -однородный полином P : E ^ F допускает представление вида P = T о j n , где T — линейный регулярный оператор из E ^{n ⊙} в F , см. [34].

В этом параграфе покажем, что результаты об орторегулярных полилинейных операторах можно распространить на тот случай, когда область определения представляет собой декартову степень векторного пространства с аксиоматически заданной дизъюнкт-ностью. Начнем с необходимых сведений об отношении дизъюнктности.

На непустом множестве X рассмотрим двухместное отношение 1С X х X, а также тождественное отношение А(Х ² ) := {(x, x) G X х X : x G X} — диагональ X х X . Будем писать x 1 у вместо (x, y) G 1. Для x G X и A С X обозначим {x} ¹ := {y G X : x А у}, A ^ := Q {{x} ^ : x G A}, [A] := A ¹¹ := (A ¹ ) ¹ и [x] := [{x}]. Следующее определение см. в [28, 0.1.9]. Пусть 0 обозначает выделенный элемент множества X.

Определение 4.1. Отношение 1 называют отношением дизъюнктности или дизъ-юнктностью (в множестве X), если выполнены условия:

• (i)    i=i ^-i ;

• (ii)    1nA(X 2 ) = {0, 0};

• (iii)    X ¹ := П хех {x} ¹ = {0};

• (iv)    [x] П [y] = {0} =^ x 1 y.

Если x 1 у, то говорят, что элементы x,y G X дизъюнктны. Подмножество вида А ¹ , где А С X, называют полосой относительно 1 или 1-полосой ; наряду с полосой используется также термин компонента. Символом B ^ (X) (или B(X), если 1 подразумевается) будем обозначать множество всех 1-полос, упорядоченное по включению.

Очевидно, что А С [А] и из А С B следует B ^ С А ¹ , поэтому [X ] — наименьшая (по включению) полоса, содержащая множество А, а {0} ¹ и [X] ¹ — наибольшая и наименьшая полосы соответственно. Таким образом, дизъюнктность в X можно определить свойствами (ср. [35–37]):

• (1)    x 1 у ^^ у 1 x для всех x,y G X (симметричность);

• (2)    x 1 x ^^ x = 0 для всех x G X (невырожденность);

• (3)    X ¹ = {0} (наименьшая 1-полоса совпадает с одноточечным множеством {0});

• (4)    если x,y G X не дизъюнктны, то существует z G X такой, что [z] С [x] и [z] С [у].

Лемма 4.1. Упорядоченное по включению множество B i (X) является полной булевой алгеброй. Булевы операции Л, V, (•) * в B i (X) имеют вид:

K Л L = K П L; K V L = [K U L]; K * = K ¹ .

• <1 Доказательство получено в статье А. И. Векслера [37, теорема 2]; см. также А. С. Бондарев [35, теоремы 3.2 и 3.3] и Г. П. Акилова и С. С. Кутателадзе [28, определение 0.1.9 и предложение 1 в п. 0.2.8]. >

  Как легко видеть, дизъюнктность в векторной решетке (x 1 у ^^ |x| Л |у| = 0) является дизъюнктностью в смысле определения 4.1. В 1950–60-х годах в рамках ленинградской школы Л. В. Канторовича обсуждалась задача, восходящая к одной проблеме Биркгофа [38, проблема 81]: можно ли восстановить векторную решетку, если стерта часть информации (например, отношение порядка или алгебраические операции), см. [35–40]. Абстрактное отношение дизъюнктности в векторные пространства начала изучать В. И. Сорокина [39]. Нас интересует следующая задача: при каких условиях в векторном пространстве можно восстановить структуру векторной решетки по заданному отношению дизъюнктности? Она была решена А. И. Векслером в [36, 37]. Рассмотрим соответствующие свойства отношения дизъюнктности.

Определение 4.2. Пусть теперь X — вещественное векторное пространство и 1 — дизъюнктность в множестве X (в смысле определения 4.1). Пару (X, 1) назовем векторным пространством с дизъюнктностью, если для любых x,y,z G X и а,в G R дополнительно выполняются следующие условия согласования :

• (5)    x 1 z Л у 1 z =^ (ax + ву) 1 z (линейность );

• (6)    x 1 у Л (x + у) 1 z =^ x 1 z.

Из условия (5) вытекает, что в векторном пространстве с дизъюнктностью любая полоса является подпространством. Напомним, что проектор в X — это линейный идемпотентный оператор, т. е. п G L(X ) и п о п = п. Будем использовать общепринятые обозначения для ядра кег(п) := {x G X : пx = 0} и образа 1ш(п) := п(X).

Определение 4.3. Говорят что 1-полоса K G B(X) является (или выделяется) прямым слагаемым, если X = K ф K ¹ , т. е. X служит прямой суммой полос K и K ¹ . В этом случае существует единственный проектор π K в X — проектор на полосу K — такой, что 1ш(п к ) = K и кег(п к ) = K ¹ . Векторное пространство с дизъюнктностью (X, 1), в котором каждая 1-полоса выделяется прямым слагаемым, называют векторным пространством с проекциями, а 1 — проекционной дизъюнктностью. Множество всех проекторов на всевозможные полосы в X обозначим через P i (X). Отношение порядка в P i (X) вводится так: п к С П L в том и только в том случае, когда K С L.

Лемма 4.2. Если А — проекционная дизъюнктность в векторном пространстве X, то упорядоченное множество P i (X) является полной булевой алгеброй, с нулевым оператором в качестве нуля, тождественным оператором I X в качестве единицы и следующими булевыми операциями:

П 1 л П 2 = П 1 о П 2 , П 1 V П 2 = П 1 + П 2 — П 1 о П 2 ,

П * = I x - П (П 1 ,П 2 ,П G P i (X)).

Отображения п н п(Х) и K н п к взаимно обратны и осуществляют булев изоморфизм между P i (X) и B i (X) .

• <1 По лемме 4.1 B i (X) — полная булева алгебра. Отображение h : K н п к действует из B i (X) на P i (X) ввиду определения 4.3 и нашего предположения о дизъюнктности. Как видно, п н п(Х) — обратное отображению h ^-1 , следовательно, h осуществляет биекцию между булевыми алгебрами B i (X) и P i (X). Тот факт, что h сохраняет булевы операции из лемм 4.1 и 4.2, без труда выводится непосредственно из определений. >

Теорема 4.1. Векторное пространством X с проекционным отношением дизъюнкт-ности А можно снабдить отношением порядка С так, что (X, С) — векторная решетка и дизъюнктность А в ней (определяемая порядком) совпадает с первоначально заданной дизъюнктностью А, т. е. для любых x,y G X равносильны соотношения x А у и x А у.

• < См. Векслер А. И. [36, теорема 5] и [37, теорема 4 и 5]. >

Определение 4.4. Скажем, что векторное пространство с дизъюнктностью (X, А) равномерно полно , если равномерно полной является соответствующая векторная решетка (X, С ). Подмножество пространства (X, А) назовем ограниченным, если оно поряд-ково ограниченно в векторной решетке (X, С ). Полилинейный оператор T : X n н Y называют ограниченным, если множество T (A n ) порядково ограничено в Y для любого ограниченного множества A С X и ортосимметричным, если T(x 1 , ..., x n ) = 0 при условии, что X j А X k для некоторых 1 С j,k С n.

Соединив теорему 4.1 с материалом параграфа 3, можно переносить на пространство с дизъюнктностью различные результаты о строении векторных решеток и операторов в них. Не углубляясь в детали, ограничимся тем утверждением, что перенос теоремы 3.2 приводит к следующему результату.

Теорема 4.2. Предположим, что X — равномерно полное векторное пространство с проекционной дизъюнктностью, Y — пространство Канторовича и 1 С n, N G N . Для любого конечного набора ограниченных ортосимметричных n -линейных операторов S 1 , . . . , S N , S из X ⁿ в Y равносильны утверждения:

• (1)    для любых п G P(Y) и X 1 ,..., x n G X , верна импликация

nS 1 (x 1 ,..., x n ) С 0 Л ... Л nS N (x 1 ,...,x n ) С 0 =А nS (x 1 ,...,x n ) С 0;

• (2)    существуют положительные ортоморфизмы а 1 ,..., a N G Orth(Y u ) такие, что

• S = a1S1 + ••• + aNSn .

• <    В силу теоремы 4.1 можем считать, что X является векторной решеткой с проекциями. Пусть I — наименьший равномерно замкнутый идеал в X , а φ — канонический фактор-гомоморфизм из X на фактор-решетку X =: X/I. Тогда X — равномерно полная архимедова векторная решетка (см. [41, следствие 59.4 и упражнение 59.5], а φ — решеточный гомоморфизм. Легко видеть, что любой линейный порядково ограниченный

• 5.    Заключительные замечания

  • 5.1.    Векторным пространством с булевой алгеброй проекций называют пару (X,B), где X — векторное пространство, а B — коммутирующее множество линейных проекторов в X, образующее полную булеву алгебру в смысле леммы 4.2 (см. [42, определение 2.1.3]). Как видно, это понятие равносильно понятию векторного пространства с проекционной дизъюнктностью (определение 4.3): с учетом леммы 4.2 нужно лишь заметить, что в векторном пространстве с булевой алгеброй проекций (X, B) дизъюнкт-ность 1 вводится правилом: x 1 у в том и только в том случае, когда П [ _х ] Л П [у] = 0. Если при этом X — векторная решетка, то B — полная булева алгебра порядковых проекторов и мы приходим к понятию векторной решетки с проекциями . Таким образом, теорема 4.2 не покрывает теорему 3.2 ввиду предположения о том, что дизъюнктность X является проекционной; в связи с этим возникает

• 5.2.    Для векторного пространства с дизъюнктностью (X, 1) существует (единственное с точностью до изоморфизма) проекционное пополнение , т. е. векторное пространство с проекционной дизъюнктностью (X, 1 ) такое, что выполнены условия: (а) X — подпространство X и 1= 1 И (X х X); (б) X псевдоплотно в X, т. е. для любого 0 = x G X существует 0 = x G X такой, что x G {x} ¹¹ ; (в) если подпространство Y С X удовлетворяет условиям (а) и (б), то Y = X, см. [37, теорема 4]. По теореме 4.1 X можно превратить в векторную решетку с проекциями, в которой отношение дизъюнктности совпадает с 1 . Однако может случиться так, что X нельзя превратить в векторную решетку так, чтобы дизъюнктность в ней совпадала с 1 и, следовательно, не является подрешеткой X, см. [37, пример 2].

• 5.3.    В основе § 4 лежит следующая идея переноса . Если векторное пространство X линейно изоморфно равномерно полной архимедовой векторной решетке E , то в X возникает порядок, перенесенный из E a, следовательно, и индуцированная из E структура равномерно полной векторной решетки. Тем самым, в X возможны построения, характерные для равномерно полных векторных решеток, как, например, конструкция степени архимедовой векторной решетки (см. определение 3.3 и теорему 3.4), а также классы операторов, выделяемые какими-нибудь порядковыми свойствами (см. определение 3.2). При этом новый результат желательно формулировать в исходных терминах, т. е. на языке пространства с дизъюнктностью, а не соответствующей векторной решетки.

• 5.4.    Указанная выше идея была высказана Г. Я. Лозановским в 1972 г. (см. [43, с. 8]) и реализована А. И. Векслером в [44] как принцип переноса из банаховых решеток с порядково непрерывной нормой на банаховы циклические пространства . Та же идея воплощена в работе [45] как принцип переноса из банаховых решеток на банаховы пространства , который позволил авторам получить некоторые новые результаты о факторизации операторов, действующих между банаховыми пространствами. Однако в [45] не затрагивается вопрос описания класса банаховых пространств, изоморфных (изомет-ричных) банаховым решеткам.

оператор T : X ^ Y обращается в ноль на идеале I. Отсюда следует, что для каждого из операторов Sq := S и S i , i = 1,...,N, существует n-линейный порядково ограниченный оператор S i : X n ^ Y такой, что S i (ф(x 1 ),..., ф(x _n )) = S i (x i ,..., x n ) для всех i = 0,1,..., N и x i ,..., x n G X. Заметим также, что операторы S q , S i ,..., S n орторегу-лярны, так как φ — решеточный гомоморфизм. Остается применить теорему 3.2 к операторам S q , ..., S n и использовать равносильность соотношений пS i (ф(x 1 ),..., ф(х _п )) С 0 и nS _i (x ₁ , ..., x n ) С 0. >

Открытый вопрос 1. Можно ли в теореме 4.2 ослабить условие проекционности так, чтобы ее частным случаем стала теорема 3.2?

Открытый вопрос 2. Каковы необходимые и достаточные условия, при которых векторное пространство с дизъюнктностью можно превратить в (равномерно полную) векторную решетку с сохранением дизъюнктности?

Открытый вопрос 3. Как определить равномерную полноту X , ограниченность множества в X , ограниченность оператора из X в Y ( см. определение 4.4) , не прибегая к структуре векторной решетки в X ?

Открытый вопрос 4. Какова внутренняя характеризация банаховых пространств, изоморфных (функциональным) банаховым решеткам? Какие классы операторов между банаховыми пространствами соответствуют классам операторов, описываемым в порядково-метрических терминах?

В общей постановке такая задача представляется трудно обозримой. Возможно, интересное описание можно получить в классе банаховых пространств, оснащенных отношением дизъюнктности или булевой алгеброй проекторов, ср. [42, § 7.3] и [44].