Лемма Фаркаша для полилинейных операторов
Автор: Кусраев А.Г.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.28, 2026 года.
Бесплатный доступ
Лемма Фаркаша является классическим результатом, лежащим в основе двойственности линейного программирования и теории оптимизации. Известны многочисленные ее обобщения, в том числе и различные линейные и нелинейные операторные версии. Однако, лемма Фаркаша неверна для полилинейных операторов и даже для билинейных функционалов на конечномерном пространстве, если число фигурирующих в ее формулировке операторов больше двух. В настоящей заметке выделен класс орторегулярных полилинейных операторов из декартовой степени равномерно полной векторной решетки в пространство Канторовича, для которых лемма Фаркаша имеет место в полном объеме. Для этой цели используется линеаризация с помощью степени векторной решетки, которая позволяет заменить орторегулярный полилинейный оператор регулярным линейным оператором. Показано также, что аналогичная конструкция работает и в том случае, когда область определения операторов - векторное пространство с отношением дизъюнктности, согласованным с линейной структурой.
Системы линейных неравенств, лемма Фаркаша, векторная решетка, принцип стратификации Кутателадзе, орторегулярный полилинейный оператор, отношение дизъюнктности
Короткий адрес: https://sciup.org/143185547
IDR: 143185547 | УДК: 517.98 | DOI: 10.46698/o9578-0948-6676-e
Farkas Lemma for Multilinear Operators
Farkas's lemma is a classic result underlying the duality of linear programming, and it played a central role in the development of mathematical optimization. Numerous generalizations of this lemma are known, including various linear and nonlinear operator versions. However, Farkas's lemma is generally false for multilinear operators and even for bilinear forms in a finite-dimensional space. In this paper, we identify a class of orthoregular multilinear operators for which Farkas's lemma holds true. Consider vector lattices E and G with E uniformly complete and G universally complete. The main result is worded as follows. Theorem 3.2. For n-linear orthoregular operators S1,…,SN,S:En→G the following are equivalent: (1) The inequalities πS1(x1,…,xn)≤0,…,πSN(x1,…,xn)≤0 imply πS(x1,…,xn)≤0 for all members x1,…,xn∈E and for every band projection π in G. (2) There exists positive orthomorphisms α1,…,αN∈Orth(Gu) such that S=α1S1+⋯+αNSN. The proof relies on Kutateladze's stratification principle. A similar result is established when the domain of the operators under considerations is a vector space equipped with a disjointness relation satisfying certain additional conditions. Some open questions are also formulated.
