Линеаризованная двумерная обратная задача определения ядра уравнения вязкоупругости
Автор: Тотиева Жанна Дмитриевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.23, 2021 года.
Бесплатный доступ
Представлена линеаризованная обратная задача определения двумерного ядра для системы уравнений линейной динамической вязкоупругости с сосредоточенным источником возмущений на свободной поверхности. Искомой величиной в поставленной задаче является ядро интегрального оператора, моделирующего явление памяти, которое имеет место при распространении волновых процессов в вязкоупругих средах. Прямая начально-краевая задача для вектор-функции смещения содержит нулевые начальные данные и граничное условие Неймана на дневной поверхности специального вида. Для линеаризации искомое ядро разлагается на две составляющие, одна из которых малая по абсолютной величине неизвестная добавка. В качестве дополнительной информации задается отклик линеаризованного поля смещений точек среды на свободной поверхности. В предположении, что коэффициенты системы зависят от одной пространственной переменной, прямая задача сводится к начально-краевой задаче для одного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа второго порядка. Доказывается, что поставленная линеаризованная задача определения сверточного ядра эквивалента некоторой системе линейных интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода. К последней применяется обобщенный принцип сжатых отображений. Доказаны теоремы глобальной однозначной разрешимости в пространстве непрерывных функций и устойчивости решения обратной задачи. Приводится теорема о сходимости регуляризованного семейства задач к решению исходной (некорректной) задачи.
Линейная вязкоупругость, обратная задача, дельта-функция, преобразование фурье, ядро, устойчивость
Короткий адрес: https://sciup.org/143175706
IDR: 143175706 | УДК: 517.958 | DOI: 10.46698/u2193-3754-6534-u
Linearized two-dimensional inverse problem of determining the kernel of the viscoelasticity equation
A linearized inverse problem of determining the 2D convolutional kernel of the integral term in an integro-differential viscoelasticity equation is considered. The direct problem is represented by a generalized initial-boundary value problem for this equation with zero initial data and the Neumann boundary condition in the form of the Dirac delta-function. The unknown kernel is decomposed into two components, one of which is a small in absolute value unknown additive. For solving the inverse problem, the traces of the solution to the direct problem on the domain boundary are given as an additional condition. It is proved that the linearized problem of determining the convolutional kernel is equivalent to a system of linear Volterra type integral equations. The generalized contraction mapping principle is applied. The main result of the article is the theorem of global unique solvability of the inverse problem in the class of continuous functions. A theorem on the convergence of a regularized family of problems to the~solution of~the~original (ill-posed) problem is presented.
Список литературы Линеаризованная двумерная обратная задача определения ядра уравнения вязкоупругости
- Туаева Ж. Д. Многомерная математическая модель сейсмики с памятью // Исслед. по диф. ур-ям и мат. моделированию._Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008._C. 294–303.
- Романов В. Г. Обратные задачи математической физики._М.: Наука, 1984.
- Lorenzi A., Sinestrari E. An inverse problem in the theory of materials with memory // Nonlinear Anal. TMA._1988._Vol. 12, № 12._P. 1317–1335. DOI: 10.1016/0362-546X(88)90080-6.
- Lorenzi А. An inverse problem in the theory of materials with memory II // J. Semigroup Theory and Applications. Ser. Pure and Appl. Math._1989._Vol. 116._P. 261–290.
- Дурдиев Д. K. Обратная задача для трехмерного волнового уравнения в среде с памятью // Мат. анализ и дискретная математика._Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1989._C. 19–27.
- Lorenzi A., Paparoni E. Direct and inverse problems in the theory of materials with memory // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova._1992._Vol. 87._P. 105–138.
- Bukhgeym A. L. Inverse problems of memory reconstruction // J. of Inverse and Ill-posed Problems._1993._Vol. 1, № 3._P. 193–205. DOI: 10.1515/jiip.1993.1.3.193.
- Дурдиев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн._1994._Т. 35, № 3._С. 574–582.
- Bukhgeim A. L., Dyatlov G. V. Inverse problems for equations with memory // SIAM J. Math. Fool._1998._Vol. 1, № 2._P. 1–17.
- Дурдиев Д. К. Обратные задачи для сред с последействием._Ташкент: Турон-Икбол, 2014.
- Lorenzi A., Ulekova J. Sh., Yakhno V. G. An inverse problem in viscoelasticity // J. of Inverse and Ill-posed Problems._1994._Vol. 2, № 2._P. 131–164. DOI: doi.org/10.1515/jiip.1994.2.2.131.
- Janno J., Von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity // Math. Methods in Appl. Sciences._1997._Vol. 20, № 4._P. 291–314. DOI: 10.1002/(SICI)1099-1476(19970310)20:4-291::AID-MMA860-3.0.CO;2-W.
- Janno J., Von Wolfersdorf L. An inverse problem for identification of a time- and space-dependent memory kernel in viscoelasticity // Inverse Problems._2001._Vol. 17, № 1._P. 13–24. DOI: 10.1088/0266-5611/17/1/302.
- Lorenzi A., Messina F., Romanov V. G. Recovering a Lam´e kernel in a viscoelastic system // Applicable Analysis._2007._Vol. 86, № 11._P. 1375–1395. DOI: 10.1080/00036810701675183.
- Romanov V. G., Yamamoto M. Recovering a Lam´e kernel in a viscoelastic equation by a single boundary measurement // Applicable Analysis._2010._Vol. 89, № 3._P. 377–390. DOI: 10.1080/00036810903518975.
- Lorenzi A., Romanov V. G. Recovering two Lam´e kernels in a viscoelastic system // Inverse Probl. Imaging._2011._Vol. 5, № 2._P. 431–464. DOI: 10.3934/ipi.2011.5.431.
- Романов В. Г. Двумерная обратная задача для уравнения вязкоупругости // Сиб. мат. журн._2012._T. 53, № 6._C. 1401–1412.
- Romanov V. G. Inverse problems for differential equations with memory // Eurasian J. of Mathematical and Computer Applications._2014._Vol. 2, № 4._P. 51–80.
- Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязкоупругости // Сиб. мат. журн._2017._Т. 58, № 3._С. 553–572. DOI: 10.17377/smzh.2017.58.307.
- Дурдиев Д. К., Рахмонов А. А. Обратная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений SH-волн в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость // Теор. и мат. физика._2018._T. 195, № 3._C. 491–506. DOI: 10.4213/tmf9480.
- Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении многомерного ядра уравнения вязкоупругости // Владикавк. мат. журн._2015._T. 17, № 4._С. 18–43. DOI: 10.23671/VNC.2015.4.5969.
- Карчевский А. Л., Фатьянов А. Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычисл. матем._2001._Т. 4, № 3._С. 259–268.
- Дурдиев У. Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды от временной частоты // Сиб. электрон. мат. изв._2020._Т. 17._С. 179–189. DOI: 10.33048/semi.2020.17.013.
- Bozorov Z. R. Numerical determining a memory function of a horizontally-stratified elastic medium with aftereffect // Eurasian J. of Mathematical and Computer Applications._2020._Vol. 8, № 2._P. 4–16.
- Kabanikhin S. I., Karchevsky A. L., Lorenzi A. Lavrent’ev regularization of solutions to linear integrodifferential inverse problems // J. of Inverse and Ill-posed Problems._1993._Vol. 1, № 2._P. 115–140. DOI: 10.1515/jiip.1993.1.3.193.__
- Дурдиев Д. К., Бозоров З. Р. Задача определения ядра интегро-дифференциального волнового уравнения со слабо горизонтальной однородностью // Дальневост. мат. журн._2013._Т. 13, № 2._C. 209–221.
- ТотиеваЖ. Д. Определение ядра уравнения вязкоупругости в слабо горизонтально-неоднородной среде // Сиб. мат. журн._2020._Т. 61, № 2._С. 453–475. DOI: 10.33048/smzh.2020.61.217.
- Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости // Сиб. журн. индустр. матем._2013._Т. 16, № 2._С. 72–82.
