Линейная задача интегральной геометрии с гладкими весовыми функциями и возмущением

В работе рассматриваются вопросы существования и единственности, получения оценок устойчивости и аналитических формул обращения для новых классов задач интегральной геометрии в полосе. Доказаны теоремы единственности и существования решения задач интегральной геометрии на. семействе отрезков прямых в классе гладких финитных функций с носителем в полосе. Получены явные формулы обращения, из которых вытекают утверждения о слабой некорректности решения задачи. Далее рассматривается задача, интегральной геометрии с возмущением. Доказаны теорема, единственности и получены оценки устойчивости ее решения в классе гладких финитных функций с носителем в полосе.

Вопросы единственности решения плоской задачи интегральной геометрии на. семействе парабол с возмущением рассматривались в статье [1]. В [2, 3] изучены задачи интегральной геометрии в трехмерном слое на. семействе параболоидов с возмущением. В [4] рассмотрены задачи интегральной геометрии на. плоскости, которые тесно связаны с задачей Радона, с возмущением.

• © 2015 Бегматов А. X., Джайков Г. М.

• 2.    Задача интегральной геометрии

В [5] приводится теорема единственности решения задачи интегральной геометрии на кривых эллиптического типа в классе гладких финитных функций с носителем в полосе. В работе [5, 6] получено аналитическое представление для образа Фурье по первой переменной от искомой функции, из которого вытекает утверждение о сильной некорректности решения задачи. Важные результаты по обращению преобразования Радона и приложениям в сейсмической и компьютерной томографии представлены в [7-9]. Задача восстановления функции по известным интегралам от нее на семействе конусов в случае пространства четной размерности изучалась в статье [10]. В работах [11, 12] рассматривались новые постановки слабо некорректных задач интегральной геометрии на параболических кривых со специальными весовыми функциями.

Обозначим О = {(x, y) : x G R¹,0 С У С H }• Для всех (x,y). лежащих в полосе О. рассмотрим систему отрезков {Y (x,y)}:

Y (x, У) = {(€, П): x - € = У — П, 0 С п С У С H } •

Обозначим через C2 (О) класс функций u (x, y), которые имеют все непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно и финитны с носителем в полосе О.

ЗАДАЧА 1. Восстановить функцию двух переменных u(x,y) в полосе О, если известны интегралы от нее по отрезкам прямых из семейства {Y (x, y)} с весовой функцией g (x^^nY j g (x.y^n) u (Дп) d€ = f (x,yY

Υ(x,y)

Задача решения этого уравнения есть задача интегральной геометрии вольтерров-ского типа (см. [13-15]).

Теорема 1. Пусть функция f (x,y) известна всюду в полосе О, весовая функция g (x,y,€,n) имеет вид g1 (x, €) = x — €• Тогда решеппе задачи 1 в кдассе C0 (О) единственно, имеет место представление u (x,y) = ("YY + 2тлт + ^2) f (x, У)

∂x2    ∂x∂y ∂y2

и выполняется неравенство hu (x,y)hL2 С Cihf (x,y)hw2 2,(2)

где Ci — некоторая константа.

• <1 Запишем задачу 1 для весовой функции gi (x, €) в следующем виде:

y j u (x - h,n)(y - n) dn = f (x, У), где h = у — п-

Применим к обеим частям уравнения (3) преобразование Фурье по переменной х:

f ^(А, у ) =

+го     у

Д2? / e" / u(

— го 0

^^^^^^^^г

h, п) (у - n) dn dx

y

У ⁽у - n) 0

_e iλh

+го

/ e ‘ ^{Au(х - м)} dx*'-

-∞

J u ( A,n )( y - n) e⁴«^—A dn = f ( А, y ) . 0

Пороз u (А, у). f (А, у) обозначены прообразова:шя Фурье по переменной х от функций. u (х, у) и f (х, у) соответственно. Применим к последнему уравнению преобразование Лапласа по переменной у:

+го у f (А, p) = j e-p У u (А, n) (у - n) e^^ dn dy

=

т • e

^{(р гХТт}dT • У u ( А, n ) e p ⁿ dn = I ( А, p ) • u ( А,p ) , 0

+го

I ( А, p ) = j т • e 0

_:-( p - iA ) r dT =

--------7, Re p >  0 .

(p - iА )^{2       1}

Отсюда следует выражение u (А, p) = (p2 - 2piА - А2) f (А, p),

где u (А,p) 11 f (А,p) — преобразование Лгшласа по переменной у от (рункннй u (А, у) н f(А,у) соответственно.

Применив к обеим частям (6) обратное преобразование Лапласа по переменной p, получим

/ д2, д u (А,у) = ( Д~2 - 2iАЛ А ) f (А, у) • ду2

Применим к (7) обратное преобразование Фурье по А. Исходя из известных свойств преобразований Фурье, получим u (х, у) = ду2f (х, у) + 2дyдxf (x, у) + дХ2f (х, у) •

Для доказательства неравенств (2) перепишем уравнение (8) в виде (9):

ll^{u (x,}У⁾h L ₂ =

д2             д2

ау? ^{f (х},^{у) +} ^ ^(х,^{у) +} aS^{f (х у)}

Используя свойства дифференцирования преобразований Фурье и Лапласа, неравенство треугольника для норм, а также учитывая (9) и условия, наложенные на функцию u(x,y) получим опенку llu (x,y)^L2 < C1|f (x,y)Hw2. 2 • ▻

Теорема 2. Пусть функция f (x,y) известна всюду в полосе И, весовая функция g (x,y,Y,n) имеет вид g₂ (x,^) = e - ^(x—^. Тогда ренте пне задачи 1 в кдассе C0 (И) единственно, имеет место представление

∂∂

u(x, y) = dyf(x, У) + dxf(x, у) + f (x, У), и выполняется неравенство llu (x,y)|L2 < C2|f (x,y)|w2i. 1,                                   (11)

гДе C2 — некоторая константа.

<1 Запишем задачу 1 для весовой функции g2 (x, £) в виде

y

У u (x — h, n) e^-(y-n) dn = f (x, y) .                           (12)

Применив к (12) преобразование Фурье по x, получим f (A, y) =

1 72Л

■ го у

/ ^ei^Ax 1

— го 0

u (x — h, n) e (y n)

dη dx,

y

У u(A,n) г^-^-Ч = f (A, y).

Применим теперь к уравнению (13) преобразование Лапласа по y

+го

y

где

f (A, p) =

e - py

u (A,n) e^{iA(y—n)—(y—n)}

dη dy

+го

j e- ^{(p+1— iX)T} dT 0

+го

j u (A,n) e-^pn dn = I (A, p) • u(A,p), 0

+го

I (A,p)= [ e-(p+1—iA)TdT p + 1 — iA

Re[p + 1] > 0.

Таким образом, u (A,p) = (p + 1 — iA) f (A,p).

Применим к (15) обратное преобразование Лапласа по р. Тогда уравнение (15) примет вид u (A,y) = ("I" + 1 - ix \ f (A, у).

∂y

Применим к этому уравнению преобразование Фурье по переменной A:

∂∂ u (x, У) = дxf (x, У)+ dyf (x, у)+ f(x, У) ‘

Неравенство (11) вытекает из уравнений (15). >

Теорема 3. Пусть весовая функция дДхД) = х — Ф правая часть задачи 1 известна всюду в полосе П и удовлетворяет следующим условиям:

• 1)    f (х, y) фшштиа по х:

• 2)    f (х, у) имеет все непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно;

• 3)    f (х, у) обращается в пуль вместе со своими частными производными до 2-го порядка включительно на границах полосы, т. е. при у = 0 и у = H.

Тогда существует решение задачи 1 в классе непрерывных функций, финитных по х, определенное формулой (1).

• <1    Доопределим функцию f (х, у) щэн у ^ H. положив f (х, у) = 0 д.тя у ^ H. При этом функция и(х,у) доопределяется при у >  H по формуле (1). Из условий, наложенных на функции f (х,у) ясно, что к обеим частям (1) можно применить преобразование Фурье по переменной х и преобразование Лапласа по переменной у. Используя свойства преобразований Фурье и Лапласа, получим

f ^(A, Р) = 7---"Л72 u^(A, Р) •

(p — iA)

Используя формулу (5), можно получить

^f(A, р) = I ^(A,p) u^p),                              ⁽¹⁶⁾

+^

I (ХрЖ /^т^ d^T.

Применяя к (16) обратное преобразование Лапласа по переменной р, придем к следующему выражению:

y f (A, у) = I 0

(у — n) e^iA(y-n)

u (A, n) dn-

Отсюда вытекает справедливость утверждения теоремы 3. >

Теорема 4. Пусть весовая функция g^ (х, ф) = e^-(x-^), правая часть задачи 1 известна всюду в полосе П и удовлетворяет следующим условиям:

• 1)    f (х, у) фшштиа по х:

• 2)    f (х, у) непрерывна вместе со своими частными производными;

• 3)    f (х, у) обращается в пуль вместе' со свое тми частными производными при у = 0 н у = H-

• Тогда существует решение уравнения (12) в классе непрерывных функций, финитных по х. определение.>е формулой (10).

• <1 Аналогично доказательству теоремы 3 применим к (10) преобразование Фурье по переменной х н преобразование Лапласа по переменной у;

  z^z

  f (A,p) =

  
  

  (p + 1 - iA) u ^(Xp)

  
  

С помощью формулы (14), получим f (A p) = I(A p) u (A,p),

где

+^

I ^(A,^p)= -p-^ dr.

Применяя к (17) обратное преобразование Лапласа и Фурье по переменной p и A, приходим к следующему выражению:

y f (х’у)=/"(х - h'n) е-(у-п) dn.

Отсюда вытекает справедливость утверждения теоремы 4. >

• 3. Задача интегральной геометрии с возмущением

Пусть Г ( х,у ) = { ( Ф, й ) : |х — Ф1 = У — П, 0 <  п ^ у ^ H }. обознаяим через G ( х,у ) область, ограниченную линией Г (х,у) и осью Ox.

ЗАДАЧА 2. Восстановить функцию двух переменных и (х,у) в полосе П, если известны суммы интегралов от нее по линиям семейства {Y (х, у)} и областям G(x,y) с весовыми функциями g (х, у, ф, д) и K (х, у, ф д) соответственно:

У g ^(х,у^,^^,п⁾ u С^ й ) d^ +

Y( x,y )

j K ^(х,у^,ф,й⁾ u (^П) ^dC = F ^(х,у ) •

G ( x,y )

Теорема 5. Пусть весовая функция g ( х,ф ) имеет вид gi ( х,ф ) = х — ф функция F ( х, у ) известна в полосе П, весовая функция K ( х, у, ф, д ) имеет все непрерывные производные до 2-го порядка включительно и обращается в нуль вместе со своими производными на границе области G ( х, у).

Тогда решение задачи 2 в классе C0 (П) единственно и имеет место оценка llu (x,У)hL2(Q) < C3^F (x,V)^w2, 2(Q), где C3 — некоторая константа. < Рассмотрим функцию fi (х,у) = F (х,у) — f (х,у),

• т. е. второе слагаемое из левой задачи 2

j K (x,y,C,n) u (^ П ) d€ = fo ( x,y ) .                       (18)

G(x,y)

Учитывая ограничения, наложенные на весовую функцию K (x,y,£,n) ^и используя выражения соответствующих производных функции fo (x,y) для y <  yo, г де yo достаточно мало, получим следующую оценку:

llfo (x,y)hw;2.2(Q) < e|u (x,У)HL2(Q),   0 <е< 1,

Au = f,

Au + A1u = F.(21)

Из функционального анализа [16] известно, что для оператора A из (20) существует левый обратный оператор A-1. Подействовав с лева оператором A-1 на обе части уравнения (21), приходим к равенству u + A-1A1u = A-1F.(22)

Из оценок, полученных в теореме 1, и вышесказанного следует, что оператор Ai непрерывен как оператор, действующий из пространства L2 (П) в пространство W2’² (П) на функциях u (x, y): onej.>атор A^-1 как оператор, действутощий из пространства W2’² (П) в пространство L2 (П). ограничен iга. функциях Au (следовательно, и на. функциях Aiu. так как оператор Ai имеет гладкость более высокого порядка, чем оператор A). Отсюда следует, что оператор A-1A1 из уравнения (22) нейрерывен на функциях u (x,y) как оператор, действующий из L2 (П) в L2 (П).

Таким образом, при достаточно малых y < yo для onератора A-1A1 выполняется неравенство

||A^-1Ai| < e< 1 .                                   (23)

Из принципа, сжатых отображений для оператора, в правой части задачи 2 следует единственность решения задачи 2 для достаточно малых y. А так как уравнение (22) есть уравнение типа. Вольтерра. в смысле определения, данного в [14], то единственность будет иметь место не только для малых y, но и во в сем полосе П. Таким образом, из неравенств (19), (23) и теоремы 1 вытекает оценка.

Wu (x^llra^Q) < C3|F (x^llw22(Q), где C3 — некоторая постоянная. >

Теорема 6. Пусть F ( x, y ) известна в полосе П и весовая функция 92 ( x, £ ) = e^-(x-^). Весовая функция K ( x, y, ф п ) имеет все непрерывные производные до первого порядка включительно и обращается в нуль вместе со своими производными на. границе области G ( x, y).

Тогда решение задачи 2 в классе C q (П) единственно и имеет место оценка

|u (x,y)|L2(Q) < C4|F (x>y)|W1.1(Q), где C4 — некоторая константа.

<1 Рассмотрим функцию fl (х,у) = F (x,y) - f (x,y), j K (х,у,^,П) u (^П) d^ = fl (х,у) •

G(x,y)

Аналогично доказательству теоремы 5 для у < уо, г де уо достаточно мало, получим оценку llfi (x,y)hw21.1(Q) < e|u (x^IlL^Q), 0

Интегральные операторы, стоящие в левых частях задачи 1 и уравнения (24), обозначим соответственно через B и By С помощью эти обозначения задача 1 и задача 2 соответственно перепишутся следующим образом:

Bu = f,

Bu + Biu = F.(27)

Известно, что для оператора B из (26) существует левый обратный оператор B-1 [16]. Подействовав слева оператором B-1 на обе части уравнения (27), приходим к равенству u + B-1B1u = B-1F.(28)

Аналогично доказательству теоремы 5 покажем, что оператор B-^Bi из уравнения (28) непрерывен на функциях u (x, у) как оператор, действующий из L2 (И) в L2 (И).

Таким образом, при достаточно малых у < уо для оператора B-1Bi выполняется неравенство

^B^-1Bi^ ^ e< 1.                                (29)

Из принципа сжатых отображений для оператора в правой части задачи 2 следует единственность решения задачи 2 для достаточно малых у. А так как уравнение (28) есть уравнение типа Вольтерра в смысле определения, данного в [14], то единственность будет иметь место не только для малых у, но и во в сей полосе И. Таким образом, из неравенств (25), (29) и теоремы 1 вытекает оценка lu (x^^^Q) < ClHF (x^llw1-1(Q), где C4 — некоторая постоянная. >