Линейные обратные задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа

Уравнения соболевского типа, иначе называемые уравнениями, неразрешенными относительно производной, после известной работы С. Л. Соболева [1] являются объектом исследования для многих авторов — см., например, монографии [2 – 9] и имеющуюся в них библиографию. В основном для различных классов уравнений соболевского типа изучались вопросы существования и несуществования решений, единственности решений, вопросы, связанные с изучением свойств решений (прежде всего свойств гладкости и асимптотики), обратные же задачи, линейные или нелинейные, изучены относительно слабо. В направлении, связанном с направлением настоящей работы, можно отметить лишь статьи [10 – 16], но при этом для вырождающихся уравнений того класса, который будет указан ниже, обратные задачи ранее не изучались.

Перейдем к содержательной части работы. Пусть x есть точка ограниченной области fi пространства R n с гладкой (для простоты — бесконечно-дифференцируемой) границей Г, t есть число из интервала (0 , T ), 0 <Т <  + го , Q есть цилиндр fi х (0 ,Т ), S = Г х (0 , T ) — боковая граница Q . Далее, пусть a i ³ ( x ), b i ³ ( x ), i,j = 1 ,... ,n , a o ( x ), b o ( x ), K ( t ), h ( t ) и f ( x,t ) — заданные при x E fi, t E [0 , T ] функции, A и B — эллиптико-параболический и соответственно эллиптический дифференциальные операторы, действие которых определяется равенствами

∂

Au = dx i ³ ( x ) U x j^ + a o ( x ) u,

∂

Bu = тг— ( b ³ ( x ) u . ) + b o ( x ) U

∂x i           ^j

(здесь и далее считается, что по повторяющимся индексам ведется суммирование в пределах от 1 до n ; точные условия на операторы A и B будут указаны ниже).

Обратная задача I: найти функции u ( x,t ) и q ( x ) , связанные в цилиндре Q уравнением

Au t + Bu = f ( x,t ) + q ( x ) h ( x,t ) ,                              (1)

при выполнении для функции u ( x, t ) условий

u ( x,t ) I s = 0; u ( x, 0) = 0 ,     x E fi; u ( x, T ) = 0 ,     x E fi .

(2) (3) (4)

Обратная задача II: найти функции u(x,t) и q(x), связанные в цилиндре Q уравнением (1), при выполнении для функции u(x,t) условий (2) и (3), а также условия

T j K(t)u(x,t)dt = 0, x G П.

Уточним, что в рассматриваемых обратных задачах условия (2) и (3) есть условия «обычной», или прямой, задачи для уравнения

Aut + Bu = f (x, t), условия же (4) или (5) есть условия переопределения финального или соответственно интегрального типа, наличие которых обусловливается наличием дополнительной неизвестной функции q(x).

Исследованию разрешимости обратной задачи I предпошлем исследование разрешимости краевой задачи для специального класса «нагруженных» [17 – 19] уравнений.

Пусть выполняется условие

h(x, T ) = 0 при x G П.

Положим hi(x, t) = hCxT)’     fi(x, t) = f (x, t) - f (x, T)hi(x, t)

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Au t + Bu = f 1 (x, t) + h 1 (x, t)Au t (x, T )                          (6)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Именно с помощью решения данной краевой задачи будет построено решение исходной обратной задачи I.

Уравнение (6) является так называемым «нагруженным» дифференциальным уравнением [17 – 19]. Ранее разрешимость тех или иных краевых задач для «нагруженных» вырождающихся уравнений соболевского типа вида (6) не изучалась.

Ниже через v = (v i ,..., v n ) будем обозначать вектор внутренней нормали к границе Г в текущей точке x.

Приведем вспомогательное утверждение о свойстве коэрцитивности пары операторов A и B.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Предложение 1. Пусть выполнены условия aij(x) G C2(Q), bij(x) 6 C2(Q), aij(x) = aji(x), bij(x) = bji(x), x G Q, i,j = 1,...,n;   (7)

a ₀ (x) G C 1 (Q),   b ₀ (x) G C 1 (Q),   a ₀ (x) < — a ₀ < 0,   b ₀ (x) < — b ₀ < 0,   x G Q;

3 a i (x) : a i (x) G C (Q), a i (x) >  0, x G Q, i = 1,..., n, a i (x)^ ² <  a ^ij (x)^- <  M o a i (x)e ² , x G Q,     £ G R n ;

| a xj k (x) | <  M 1 a i (x),      x G Q, i,j, k = 1,...,n;

a ^ij (x)v i v j = 0 при x G Г;

b ^ij (x)C i C j >  m 0 1 € | 2 ,      m 0 > 0,      x G Q,      £ G R n ;

[a o (x)b ^ij (x) + b o (x)a ^ij (x) + 2 a(x)b ^kl (x) ) x + 2 ( < (x)a ^kl (x) ) x l —

— (a x k (x)b x- (x)) ^ <  0, x G Q,     e G R n ;

a o (x)b o (x) + 2 ^ a o x i (x)b ^ij (x) } . + j (j^ (x)a ^ij (x) } . >  0,      x G Q.

Тогда для любой функции v(x) из пространства W2(Q) QW2(Q) справедливо неравенство j Av • Bvdx > 0.

Ω

Доказательство. Интегрируя по частям и используя обращение функции v(x) в нуль на Г, получим

Av • Bv dx =

Ω

a ^ij b ^kl v x j x k v x i x l dx -      a 0 b ^kl v x k v x l

ΩΩ

⁺ b o a ^ij v x i v x j + ¹ ( a ^ij b X^l )  v x k v x i ⁺

x

⁺ 2 ( a xj k ^b k^l ) _x l v X i v X j - a xj k ^b k^l i v x i v X j ] ^{dx +} I [ ^a 0 b 0 ⁺ 2 ( a 0 x i b ^ij ) _{x j} ⁺ 2 ( b 0 x i a ij ) x j ] v ^{2 dx —}

Ω

-   a ^ij v

Γ

' X j V i dx - ( b ^kl V x l ) ds+ya ^ij V x . dL ( b ^klv₃ ,_i ) v_k ds — 2 j a ^ij b k^l i V x l V x k V j ds — 2 ^a Xj k b ^kl V x i V x j v i ds.

Γ

Γ

Γ

В правой части этого равенства все интегралы по области Q неотрицательны — вследствие условий (9), (12)–(14). Далее, все интегралы по границе в правой части равны нулю. Действительно, первый и третий граничные интегралы равны нулю, поскольку вследствие (9) и (10) выполняется aij(x)vj = 0 при x G Г, i = 1,...,n. (16)

Четвертый граничный интеграл обращается в нуль вследствие равенства v x i vi = v x l V i , условия (10), а также вследствие того, что произведение a i (x)v i обращается в нуль на Г. Наконец, второй граничный интеграл равен нулю вследствие равенства v xj. v - = v x k V j и равенства (16).

Из приведенного анализа и следует требуемое.

□

Вернемся к обратной задаче I. Обозначим h1 = vraimax|h1t(x, t)|.

Q

Теорема 1. Пусть выполняются условия (7)-(14), а также условия

| h(x,T ) | >  h o > 0 при x Е Q;                            (17)

h _i (x,t) Е W ^ (Q), h(x,t) Е L ^ (Q), h(x, 0) = h _t (x, 0) = 0 при x Е Q; (18) f (x, t) Е L 2 (Q), f t (x, t) Е L 2 (Q), f tt (x, t) Е L 2 (Q), f (x, 0) = f t (x, 0) = 0 при x Е Q; (19)

3 N o : N o >T,    h i 2 T '                      (20)

Тогда обратная задача I имеет решение {u(x, t), q(x)} такое, что u(x,t) Е L2^0,T; W22(Q) QW1 (Q)), ut(x,t) Е L2^0,T; W^Q) Q W1 (Q)), Aut(x,T) Е L2(Q), q(x) Е L2(Q).

Доказательство. Пусть ε есть положительное число, A _ε есть оператор, действие которого определяется равенством

A _e u = Au + eBu.

Обозначим для краткости через V m , m Е N , пространство

V m = |v(x,t) : ^d k ^t) Е L 2 ^ 0,T ; W ² Q Q W 2 (Q) )

k = 0,1,..., m} ;

норму в этом пространстве определим естественным образом

m

_∂ k _v ∂t ^k

О L 2 (0 ,T ; W 2² (Q) AW 2 (Q))

H v b V m = ^

k =0

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

A _e u ttt + Bu tt = f itt (x, t) + h itt (x, t) Au t (x, T )                       (21)

и такую, что для нее выполняются условия

u(x, 0) = u _t (x, 0) = u _tt (x, 0), x Е Q,                            (22)

а также условие (2). Покажем, что при фиксированном ε данная задача разрешима в пространстве V 3 .

Уравнение (21) рассматриваемой задачи вновь является «нагруженным», и потому для доказательства разрешимости задачи (21), (22), (2) воспользуемся методом продолжения по параметру.

Пусть А есть число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

A _e u ttt + Bu tt = f itt (x, t) + Ah i tt (x, t) Au t (x, T )                     (21 д )

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (22). Как известно, для разрешимости краевой задачи (21 д ), (2), (22) в пространстве V 3 при всех А из отрезка [0,1] достаточно

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ показать, что краевая задача (21o), (2), (22) разрешима в пространстве V3, и что для всевозможных решений задачи (21 д), (2) имеет место равномерная по А априорная оценка

H u ll V 3 <  R 0

— см. [20].

Разрешимость краевой задачи (21 о ), (2), (22) в пространстве V 3 при выполнении условий теоремы известна — см. [21]. Покажем, что для решений краевой задачи (21 д ), (2), (22) имеет место оценка (23).

Пусть u(x, t) есть решение краевой задачи (21 д ), (2), (22) из пространства V 3 . Вследствие условий (18), (19) для функции u(x,t) выполняется равенство

A _e u tt + Bu t = f i t (x, t) + h i t (x, t)Au t (x, T ).

Умножим это равенство на (N o — t)Au t (x,t) и проинтегрируем по цилиндру Q. Интегрируя по частям, используя доказанное выше утверждение, неравенство Юнга и условие (20), получим, что выполняется оценка

У (A _£ u t ) 2 dxdt +

Q

У [ Au_t(x,T) ] 2 dx <  C 1

Ω

с постоянной C i , определяющейся лишь функциями f (x,t) и h(x,t), а также числом T .

Умножим теперь уравнение (21 д ) на функцию A _e u _tt (x,t) и проинтегрируем по цилиндру Q. Используя доказанное утверждение, условия (18) и (19), оценку (24), применяя неравенство Юнга, получим вторую оценку

У (A _e u _tt )² dx dt <  C 2                                 (26)

Q с постоянной C2, определяющейся лишь функциями f (x,t) и h(x,t), а также числом T.

Третья оценка

/(A^dxd <  C                    ⁽²⁷⁾

Q очевидна.

Поскольку оператор A ε эллиптичен, то из оценок (25)–(27) и из второго основного неравенства для эллиптических операторов [22] следует требуемая оценка (23).

Как уже говорилось выше, из разрешимости в V 3 краевой задачи (21 o ), (2), (22) и из оценки (23) следует, что краевая задача (21 д ), (2), (22) разрешима в пространстве V 3 . Но тогда и задача (21), (2), (22) будет разрешима в пространстве V 3 .

Итак, краевая задача (21), (2), (22) имеет решение u ^e (x, t), принадлежащее пространству V 3 . Для функций u ^e (x, t) выполняются уравнение (24) и равномерные по е оценки (25) и (26). Следовательно, будет выполняться равномерная по ε оценка

У (Bu^dxdt <  C 4 .                            (28)

Q

Эта оценка, условия (7) и (12), а также второе основное неравенство для эллиптических операторов означают, что выполняется неравенство

К Ik < Co с постоянной Co, определяющейся лишь функциями f(x,t), h(x,t), bij(x), i,j — 1,...,n, bo(x), областью Q и числом T. Из оценок (25), (26) и (29), теоремы о возможности выбора слабо сходящейся последовательности из ограниченного в гильбертовом пространстве множества [20] и теорем вложения [22] из семейства {u£(x,t)} можно выделить последовательность {um(x,t)} такую, что для некоторой функции u(x,t) при m ^ го имеют место сходимости

Em ^ 0, um(x,t) ^ u(x,t) слабое V1, Aumt(x,T) ^ Aut(x,T) слабое L2(Q), EmBumt(x,t) ^ 0 слабо в L2(Q).

Для функций u _m (x,t) выполняется равенство

^A e _m ^u mt + Bu m — f l ^(x, t) + h l ^(x, t) ^Au mt ^(x, ^T)•                      ⁽³⁰⁾

Используя указанные выше сходимости, нетрудно показать, что в уравнении (30) можно перейти к пределу при m ^ го . Очевидно, что для предельной функции u(x,t) будет выполняться уравнение (6) и условия (2) и (3).

Определим функцию q(x):

q^{(x) —     1}    [ A^u t ^(x, T) ^- f⁽x, T) ] .

h(x, T)

Очевидно, что функции u(x,t) и q(x) связаны в цилиндре Q уравнением (1). Далее, имеет место равенство

Bu(x, T) = 0.

Поскольку функция u(x, T ) обращается в нуль при x £ Г, то из этого равенства следует выполнение для функции u(x,t) условия (4).

Сказанное выше означает, что функции u(x, t) и q(x) представляют собой решение обратной задачи I из требуемого класса.

Обратимся теперь к исследованию разрешимости обратной задачи II. Пусть выполняется условие

T h0(x) — j K(t)h(x,t) dt = 0

при x G Q.

Положим

T fo(x) — [ K(t)f (x,t) dt,     h2(x,t) — hTT1-), h0(x)

f 2 (x,t) — f (x,t) - f o (x)h(x,t).

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

T

Au t + Bu — f 2 (x, t) +

h ₂ (x,t) K(T)Au(x,T ) — У K ‘ (t)Au(x,t) dt

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и такую, что для нее выполняется условия (2) и (3). Решение обратной задачи II будет определяться решением данной прямой задачи.

Уравнение (31) вновь является «нагруженным», и вновь разрешимость тех или иных краевых задач для «нагруженных» вырождающихся уравнений соболевского типа вида (31) ранее не изучалась.

Обозначим h2 = vraimax|h2(x, t) |,     k2 = Th2.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (7)-(14), а также условия

| h o (x) | >  h o > 0 при x G Q;                               (32)

h 2 (x,t) G W 2 (Q), h(x,t) G L ^ (Q), h(x, 0) = h t (x, 0) = 0 при x G Q; (33) f (x, t) G L 2 (Q), f t (x,t) G L 2 (Q), f tt (x,t) G L 2 (Q), f (x, 0) = f t (x, 0) = 0 при x G Q; (34)

3 5 1 G (0,1), 3 N o : N o > T,    N o - T - N^K ⁽ T ) > 1^ — 5 2 .         (35)

Тогда обратная задача II имеет решение {u(x, t), q(x)} такое, что u(x, t) G L2 (0, T; W22(Q) QW2(Q)), ut(x, t) G L2 (0, T; W22(Q)) ,

Au(x,T) G L ₂ (Q), q(x) G L ₂ (Q).

Доказательство данной теоремы проводится в целом вполне аналогично доказательству теоремы 1, только вместо вспомогательного уравнения (21) нужно использовать уравнение

T

A _e u ttt + Bu tt = f 2 tt (x, t) + h 2 tt (x, t) [k (T)Au(x, T) - У K ' (т)Au(x, т)d^ .

Обозначим

h ₂ = vraimax ¹ h _2t (x, t) ¹ .

Q

Теорема 3. Пусть выполняются условия (7)-(14), (32)-(35), а также условие

T

4T ³ h 2

j K ² (t)dt

< 1.

Тогда обратная задача II имеет решение u(x, t), q(x) такое, что u(x,t) G L2 (0,T; W22(Q) Q W 2(Q)), ut(x,t) G L2(0,T; W22(Q) Q IW 2(Q)) , q(x) G L2 (Q).

Вспомогательным уравнением в этом случае является уравнение

T

A _e u ttt + Bu tt

= f 2 tt (x, t) + h 2 tt (x, t)

Au _t (x, t)dt,

в качестве же числа N 0 возьмем число T . В остальном доказательство теоремы 3 повторяет доказательство теоремы 1.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 09–01–00422а, и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2003 – 2013 гг., государственный контракт № 16.740.11.0127.