Линейный анализ динамики малых возмущений в модели Грина-Нагди

Введение. Линейный анализ уравнений в частных производных, в частности уравнений Сен–Венана и Грина–Нагди, позволяет получить дисперсионное уравнение [6]. Актуальность данной работы заключается в возможности верификации сложных моделей на основе сравнения динамики малых возмущений в различных моделях мелкой воды, применяемых для решения широкого круга задач динамики поверхностных вод [2].

Целью работы является проведение линейного анализа, вывод дисперсионных уравнений для стандартной системы уравнений Сен–Венана [6] и уравнений Грина–Нагди [1] и получение предельных решений.

Новизна данной работы заключается в обобщении стандартных уравнений мелкой воды с учетом вертикальных движений. Достоверность результатов основана на совпадении дисперсионных свойств линейных волн в длинноволновом приближении.

Полученные дисперсионные уравнения имеют практическую и научную значимость. Анализ дисперсионных соотношений для моделей Сен–Венана в первом приближении и Грина–Нагди позволяет утверждать, что обе модели удовлетворительно описывают длинноволновые движения тонкого слоя жидкости для различных приложений.

Модели и их анализ. Уравнения «мелкой воды» являются уравнениями гиперболического типа и описывают течения на твердой поверхности. Данная модель получается из полной системы уравнений Навье–Стокса [5]. Без учета сил Кориолиса и придонного трения для компонент скоростей u , v и толщины слоя жидкости h имеем:

8h 8 z, х d z, х „

— + —( hu ) +—( hv ) = 0, 8 t 8x' ’ 8/ ’

• - — (hu) + — fhu2 + — gh2) +—(huv) + gh = 0, 81( ) 8x I 2    ) 8y'     )

• 8 /, x    8 ,     x    8 (   2   1    2),

—(hv)+ (huv)+ hv + — gh + gh = 0. [8tx '8xx    '8yV 2

После линеаризации системы (1) ищем в однородном приближении решения в виде плоских волн. В результате получаем дисперсионное уравнение, описывающее зависимость частоты ω от волнового числа k , корни которого равны (g – ускорение свободного падения):

® 1 = V ghk² = Щй,

< to 2 = - 7 ghk ² = - Щи , to 3 = 0.

Рассмотрим обобщенные уравнения

«мелкой воды» в первом приближении. В ос- нове вывода уравнений в первом приближении лежит разложение гидродинамических величин в ряд Тейлора [6]. Воспользуемся вертикальным профилем скорости потока с учетом его взаимодействия с дном

V « lg(z / z0), где z – вертикальная координата, z0 – характеризует гладкость дна. Последняя величина существенно влияет на динамику потока [6].

В основе модели сплошной среды лежат законы сохранения массы вещества, импульса и энергии. Эти уравнения необходимо дополнить уравнением состояния. Для воды хорошим приближением является закон Коула:

p+B(pA i+в "Ip;J, где p – давление, ρ0 – плотность при атмосферном давлении, n = 7, B = 3000 атмосфер.

Перепишем уравнения Сен–Венана в первом приближении по вертикальному импульсу с учетом гидравлического трения и формулы Коула:

В приближении плоских волн получим следующие корни дисперсионного уравнения:

k

^ =

1 H

(

2ln10 • gz 21 z 0 + He ^{H / z 0} + z 0 e ^{H / z 0} + —

I                         ^{2 z} 0

H² ) z ₀ • ln10 ^J

к              .

- - 2ln10 • gz 02

H

⁽            H / z         H / z_n

| z 0 + He ⁰ + z 0 e ⁰

H 2 - h 2 ^

^{2 z} 0 ^z 0 • lnl0 ^J (4)

, to 3 = 0.

a h + 1 Г_а/ h ² A+y( h ² Al 0

В t ln10 В x ( z ₀ ^J В y ( z ₀ ^J '

_8 ( H2 uA d t (ln10 • z0 J

+ ^ d x

gH ² ( l H H A ln10 (^lg z ₀ 2ln10 • z ₀ ^J

^H              gH ²

⁺ g^z 0 • e ° ( ^H - ^z 0 ) ⁺ g^z 0 ⁺ ~y~

Для описания тонкого слоя в основном используются классические уравнения мелкой воды [2; 6]. Однако для детального анализа требуются модели, корректно учитывающие дисперсию [3]. Одним из подходов является переход от модели мелкой воды к системе уравнений Грина–Нагди [1], в которой рассматривается слой жидкости, ограниченный свободной поверхностью и непроницаемым дном, жидкость считается несжимаемой и невязкой (рис. 1).

Система уравнений Грина–Нагди для одномерного течения имеет вид [1]:

H_t + H x u + Hu x = 0,

3 Hx      3 Л , 2 , „ h . A utxx + ~BTutx -7721 1 + hx - hxHx -"Th” J ut = H H \           2  /

,(     3H A 3            , z 2\, uu„y+ uy---u uyy--3Kuu^ + hyyyu + xxx ^ x         j xx 2H xx x xxx (5)

+ Д uu + Д ( h - H ) Циик, + hu ² - Hu ,² - g ).

^y 2 x ^H 2 X x      x / \ x x xx          x ⁰ /

+f ay

gH ² ( l H H A ln10 (^lg z 0   2ln10 • z 0 ^J

_a ( h ² v A a t ( in10 • z ₀ ^J

.

a y

gH ² ( l H H A ln10 (^lg z ₀ 2ln10 • z ₀ ^J

В x

H ln10 • z 0

• gH = 0,

^H               gH ²

⁺ g^z 0 • e ⁰ ( ^H - ^z 0 ) ⁺ g^z 0 ⁺ —

gH ² ( l H - h ^ ln10 ( g z ₀ 2ln10 • z ₀ ^J

-2L_HS=_ = 0.

In 10 • z 0    2

Здесь h – функция непроницаемости дна [1], H – толщина слоя жидкости. Ограничимся случаем h(x)=0 . Записав дисперсионное уравнение, получим следующие его корни:

"      ,    8 u3 -3 H to = -u +-------,

1               3 g ’ to 2 = 0,

Рис. 1. Слой жидкости

где u = ghh - фазовая скорость для плоских волн. Таким образом, окончательное решение дисперсионного уравнения для модели Грина– Нагди с плоским дном имеет вид:

„ 1 = к_№ + hkH

3 g

. to ₂ = 0.

Если пренебречь вторым слагаемым в (6), то получим переход от модели Грина– Нагди к классической модели Сен–Венана (2), что соответствует пренебрежению вертикальными движениями [2, 6]. В этом случае имеем линейную зависимость частоты от волнового числа k , что полностью согласуется с выводами линейного анализа для классической системы уравнений Сен–Венана (рис. 2). В общем случае имеем кубическую зависимость от волнового числа в (6), что обусловлено влиянием слагаемого с третьей производной по x в (5), приводящего к дисперсии.

ПРИМЕЧАНИЕ