Линейный непрерывный правый обратный к оператору представления в (LB)-пространствах

В работах А. Ф. Леонтьева, Ю. Ф. Коробейника и многих других математиков (см. [1–4] и библиографию в них) широко изучались задачи представления функций рядами экспонент и их обобщений. К настоящему времени с наибольшей полнотой исследован случай пространств Фреше. В статье С. Н. Мелихова [5] было показано, что при подходящей реализации сопряженного пространства к пространству Фреше с помощью преобразования Лапласа эти задачи можно рассматривать как задачи представления функционалов рядами по дельта-функциям. При этом оператор представления такими рядами является сопряженным к оператору сужения в соответствующей реализации сопряженного пространства как весового (LB )-пространства целых функций и, таким образом, существование линейного непрерывного правого обратного (ЛНПО) у оператора представления в пространствах Фреше (т. е. возможности линейно и непрерывно находить коэффициенты разложения в зависимости от разлагаемой функции) сводится к вопросу о существовании линейного непрерывного левого обратного (ЛНЛО) у оператора сужения в весовых (LB)-пространствах целых функций.

В настоящей работе исследуется двойственная задача, когда разложения берутся в (LB)-пространствах, а оператор сужения рассматривается в весовых пространствах Фреше целых функций. Отправляясь от методов упомянутой выше работы [5], мы существенно опираемся на статьи [6] и [7], в которых была развита техника исследования

• ¹    Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения № 14.А18.21.0356 и № 8210, а также гранта ЮФУ «Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций. Общая теория и приложения», проект № 213.01-24/2013-63.

• 2.    Ряды по дельта-функциям

минимальных достаточных множеств в весовых пространствах Фреше целых функций и задачи о существовании ЛНЛО у соответствующего оператора сужения. Эта техника, основанная на привлечении канонических весовых последовательностей (см. [8] и [9]), позволяет избавляться от ряда существенных ограничений, которые налагались в статье [5].

Структура работы такова. Во втором параграфе изучается вопрос о сходимости рядов по дельта-функциям и дается описание соответствующего коэффициентного пространства. В следующем, третьем, параграфе рассматривается задача о наличии ЛНПО у оператора представления, построенного по данной последовательности дельта-функций. В заключительном, четвертом, параграфе излагается общая схема применения полученных результатов к проблеме существования ЛНПО у оператора представления рядами по обобщенным системам экспонент в (LB)-пространствах и формулируется соответствующий результат, который является основным в работе и имеет широкие возможности применения.

Начнем с необходимых для дальнейшего изложения определений и обозначений. Рассмотрим последовательность Ф := (v n ) n e N непрерывных функций (весов) v n : C ^ R, n ∈ N, направленную влево по подчинению, т. е.

( V n G N)( 3 C n ) ^ n₊i (z) 6 ^ n (z)+ C n (z G C).

Образуем по ней весовое пространство Фреше Р (Ф) = Qn L E (v n ), где

E ⁽V n ) ^:= ^ff ^G H ^{(C) :} k f IU ^:=sup fz)- <  ro|

I                     z e e e^ z     J

— соответствующее ϕ _n банахово пространство.

Сопряженное с Р(Ф) пространство Р0(Ф), очевидно, имеет вид Р0(Ф) = Un=1 P'n(Ф), где РП(Ф) := {v : v — линейный функционал на Р(Ф) c ||v||^n < го} — банахово пространство с нормой kνk0ϕ

^suP ^|v(f ) | - f e P (Ф), k fIU 6 1

Всюду в дальнейшем предполагается, что последовательность Ф разделена логариф- мом, т. е.

( V n G N)( 3 m G N)( 3 C n ) V m (z)+log(1 + | z | ) 6 V n (z)+ C n (z G C).

Этому предположению удовлетворяют все пространства, встречающиеся в приложениях. Оно обеспечивает компактность вложения E(v n +₁ ) в E(v n ) (n G N), а следовательно, принадлежность пространства Р (Ф) классу пространств Фреше — Шварца (коротко, (FS)-пространств; по поводу общих сведений об (FS)- и (DFS)-пространствах см. обзор [10]). Поэтому сильное сопряженное пространство Р ^ 0 (Ф) является (DFS)-пространством, топология которого — это топология внутреннего индуктивного предела последовательности банаховых пространств (Р П (Ф)) П=₁ .

При каждом фиксированном A G C дельта-функция 5 \ (f ) = f (A) (f G Р (Ф)) является элементом сопряженного пространства Р 0 (Ф). В самом деле, линейность 5 \ очевидна, а непрерывность следует из оценки

|^ а (f) | = | f(A) | 6 k f | _{V 1} e ^ ^{1 (Л)} , f G Р (Ф).

Заметим, что эта оценка означает, что все дельта-функции δ λ содержатся в самом узком пространстве P { (Ф).

Займемся вопросом об описании последовательностей коэффициентов рядов по дельта-функциям, сходящихся абсолютно в Р ь 0 (Ф). Для этого нам потребуется тот общий факт, что ряд сходится абсолютно в (DFS)-пространстве E = ind n E n тогда и только тогда, когда все его члены содержатся в некотором E _n и он сходится абсолютно в E _n .

Пусть Л = (Х к ) к=1 — последовательность попарно различных точек комплексной плоскости c | Х к | ^ го при к ^ го . Из сказанного выше следует, что ^2° = C j S \ j сходится абсолютно в Р Ь (Ф) тогда и только тогда, когда c = (c j ) j=i принадлежит пространству

∞

K (Ф, Л) := c = (Cj )^ : ( 3 n Е N) | c | n := £ | c , 1 h ^ A j k ^ n <  го .

• ¹                                      j=i                     ^J

Наша ближайшая цель — дать удобное для приложений описание коэффициентного пространства K (Ф,Л).

Заметив, что при любом n ∈ N

Ра 11^ = sup | f (Х) | 6 sup k f Pe » ^{n (A)} 6 e»^,                (1)

fEP (Ф),             fEP (Ф), kf U 61        kf U 61

образуем банаховы пространства

∞

K ¹ (^ n , Л) := jc = (C j ) j=i : РП := X | c j | e » ^{n (A j} ) <  го I (n Е N ) j =1

и (DFS)-пространство

∞

K ¹ (Ф, Л) := [ K ¹ (^ n , Л).

n =1

То, что K ¹ (Ф, Л) — (DFS)-пространство, вытекает из условия разделенности Ф логарифмом. Из оценки (1) следует, что

|c|n 6 К (Vc Е K 1(фп,Л)), и, следовательно,

K 1(^n, Л) ^ K(фп, Л) (n Е N), где ,→ — символ непрерывного вложения. Поэтому

K ¹ (Ф,Л) ^ K (Ф,Л).

Покажем, что если последовательность Ф является канонической в смысле [9], то имеет место обратное включение K (Ф, Л) С K ¹ (Ф, Л), и, следовательно, пространства K (Ф, Л) и K ¹ (Ф, Л) совпадают.

Напомним определение каноничности. Следуя [9], рассмотрим веса фn(z) := sup { log |f (z)| : f Е B(фп) П P(Ф)}, где В(фп) — единичный шар в пространстве Е(фп).

Последовательность Ф называется канонической, если она эквивалентна последовательности Ф := (фn)nEN. Заметим, что всегда имеет место подчинение Ф ^ Ф, т. е. для любого l G N существуют такие k G N и константа Ci, что ^(z) 6 ^i(z) + C, z G C. Тогда становится очевидным, что требование эквивалентности, равносильно выполнению следующей оценки

( V n)( 3 m)( 3 C n ) ^ m (z) 6 ^ n (z) + C n (z G C).

Имеем

^n (z) = SUP log |f (z)| = SUP log fz- =log к^ kk • feP (Ф),                 feP (Ф),      kf kn kf U 61           kfU 61

Применяя свойство каноничности Ф, получаем отсюда

I c | n = X kj | k » A j « ^ n >  e - C n X kj | e " m ^(A j ) = e - C n К . j =1                       j =1

Из этого соотношения, очевидно, следует требуемое вложение K (Ф, Л) С K ¹ (Ф,Л).

Итак нами доказано следующее утверждение.

Предложение 1. Допустим, что Ф — каноническая последовательность. Ряд 22 ^1 C j S _{A j} сходится в Р ^ (Ф) абсолютно тогда и только тогда, когда c = ( c , ) j_eN G K 1 (Ф, Л)/

• 3.    Оператор представления по дельта-функциям

Всюду ниже предполагается и не оговаривается дополнительно, что Ф — каноническая весовая последовательность. Тогда в силу предложения 1 оператор

∞

W : c =(Cj )“,-^ ^c, 6Aj j=1

действует из K ¹ (Ф,Л) в Р ^ (Ф). Ясно, что он линеен, а его непрерывность (из K 1 (Ф,Л) в Р Ь (Ф)) вытекает из оценки

∞     0∞            ∞ kW ck0ϕ

Е cjSAj    6 Е Icji k^Aj kkn 6 E Icj I e"n(Aj) = |c|n j = 1        Pn    j = 1                  j = 1

Как и выше, мы использовали здесь то, что при любых λ ∈ C и n ∈ N k»A«in 6 ePn(A).

Предположим, что оператор W : K ¹ (Ф, Л) ^ Р _ь 0 (Ф) сюръективен. Другими словами, в соответствии с определением Ю. Ф. Коробейника (см. [1]) система А д := (^ A j ) j e N является абсолютно представляющей в Р _ь 0 (Ф). В этом случае представляет интерес задача о существовании ЛНПО к W . Как и в двойственном случае из [5] она сводится к задаче о существовании ЛНЛО у соответствующего оператора сужения. Остановимся на этом подробнее.

Образуем по нашим весам ^ _n G Ф банаховы пространства

E(^ n , Л) := {

| d k |

d =(d k Г_{= х}: « d « n :=sup— k > 1 e ^{P n( A} k )

<

∞

а по ним пространство Фреше последовательностей комплексных чисел P (Ф, Л) : = П П=1 E(^ n , Л) с топологией, заданной набором норм ( || • k n ) n e N .

Как известно, сильное сопряженное с P (Ф, Л) пространство отождествляется с K ¹ (Ф, Л) посредством билинейной формы h c, d := P j =1 c j d j , c E K ¹ (Ф, Л), d E P (Ф, Л).

Рассмотрим оператор сужения R : f ^ (f(A j )) j=₁ , который, очевидно, действует непрерывно из P (Ф) в P (Ф, Л). Тогда сопряженный с ним оператор R 0 действует (при указанном выше отождествлении Р ^ (Ф, Л) с K 1 (Ф, Л)) из K 1 (Ф, Л) в Р ^ (Ф). При этом для любых c = (C j ) j_GN E K ¹ (Ф, Л) и f E P (Ф) имеем

(X j ^(f )• j ∈ N

R 0 (c)(f) = (R(f),c> = ((f (A j )) j_GN ,c> = £f (A j )c j = j ∈ N

Поэтому R 0 (c) = 52j_GN § X j C j для всех c = (c j ) j ^ N E K 1 (Ф, Л). Заключаем, что оператор R ⁰ совпадает с W .

В силу рефлексивности пространств P (Ф) и K 1 (Ф, Л) из вышеизложенного следует, что оператор W имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда R имеет ЛНЛО. Это заключение позволяет нам применить результаты работы [6] о существовании ЛНЛО у оператора R к вопросу о существовании ЛНПО у оператора представления W . Чтобы сформулировать соответствующий результат, нам придется напомнить некоторые обозначения и определения из [6] и [7].

Как и выше, предполагаем, что Ф — весовая последовательность проективного типа, удовлетворяющая условию разделенности логарифмом. Далее, предположим, что

( V n)( 3 m)( 3 C> 0)   sup ^ m (z + Z ) 6 inf ^ n (z + Z )+ C (z E C)        (2)

I Z 16 1                            I Z 16 1

и

( V n)( 3 m)( 3 C> 0) max ^(z + Z ) 6 min ^(z + Z ) + ^ n (z) - V m (z) + C (z E C), I Z I6 1                         I Z I6 1

где ψ — некоторая локально ограниченная в C функция.

Допустим, что имеется такая целая функция L, для которой точки λ _k являются простыми нулями и других нулей у нее нет, удовлетворяющая следующим условиям:

(L1)

( V n)( 3 m)( 3 C> 0) log | L(z) | 6 2^ _n (z) + ^(z) - ^ m (z) + C (z E C);

(L2) существует последовательность окружностей {z : |z| = rm}, rm t ^, на которых выполняется оценка log |L(z)| > ^no(z) + ^(z),    |z| = rm, m = 1, 2,...;

(L3)

∞

X ¹     ^n o ( ^ k )+^(A k ) /

∞ ,

k=1 |L0(Ak )|                  < где ng — некоторый фиксированный номер.

Нам еще потребуются понятия согласованности и правильности последовательностей Ф и Л из [7]. Для этого введем следующее множество последовательностей положительных чисел:

Г(Л, Ф):=((Y k ) Г= i: ( V n)( 3 m)( 3 C> 0) In - 6 ^ n (A k ) - ^ m (A k )+ C ( V k E N)

I                                      Y k

Для y € Г(А, Ф) положим

∞

UY : = [ {А € C • |А - Ak| < Yk}• k=1

Говорят, что Л и Ф согласованы, если имеется хотя бы одна последовательность 7 € Г(Л, Ф), для которой множество C \ U ^ достаточно для P (Ф).

Далее, назовем Ф правильной, если

( V n)( 3 s)( V k)( 3 m)( 3 c > 0)

sup { | ^(A) | : д € B (^ n - . . ) П M (Ф)} >  ce ^ s ■^(A) (A € C).

Здесь B (y _n — ^ _m ) — единичный шар пространства E(^ n — ^ _m ).

Отметим, что в работе [7] указаны удобные условия проверки согласованности и правильности Ф и Л.

Теорема 2. Пусть Л и Ф согласованы, Ф — каноническая последовательность, удовлетворяющая условиям (2) и (3) . Предположим еще, что функция L имеет в точках из Л простые нули, других нулей у нее нет и она удовлетворяет условиям (L1) - (L3) . Тогда следующие условия равносильны:

• (i)    Оператор представления W : K 1 (Ф, Л) ^ Р Ь (Ф) имеет ЛНПО.

• (ii)    Имеется такая целая в C z х С \ функция G(z, A) , которая удовлетворяет условиям

• 4.    Приложения к абсолютно представляющим системам

G(z,z) = L(z) (z € C),                                  (4)

( V l)( 3 m)( 3 C> 0) | G(z,A) | 6 Ce ^ l (z)+^(^)+^ l W- ^ m ^(д) (z,A € C ).         (5)

В данном разделе рассматривается применение предыдущих результатов к абсолютно представляющим системам элементов. Сначала приведем общую схему, которая позволяет это делать.

Пусть H = ind n g N H n — ( LB)-пространство, т. е. H n — банаховы пространства (с нормами | • | _n ), H 1 ^ H 2 ^ ... и H = UneN H n наделяется топологией внутреннего индуктивного предела. Предполагаем, что это пространство рефлексивно. Для наших целей достаточно ограничиться еще более узким классом (DFS )-пространств, когда вложения H n в H n +1 компактны. По определению рефлексивность H означает, что оператор естественного вложения H в H⁰⁰

I : x € H ।—> hx, •i € H00

является изоморфизмом между H и H := (H) b . Здесь и далее под словом изоморфизм мы всюду подразумеваем топологический изоморфизм.

Допустим, что в пространстве H имеется семейство элементов (е д ) д_ес , для которого оператор обобщенного преобразования Фурье — Лапласа функционалов

F : x ⁰ € H⁰ ।—> x ⁰ (A) := x ⁰ (e _A ) (A € C)

является топологическим изоморфизмом между H ^ и P (Ф).

Покажем, что при этих условиях между H и Р Ь (Ф) также имеется изоморфизм, который переводит элементы e _λ в соответствующие дельта-функции δ _λ . В самом деле, поскольку F является изоморфизмом между H '_b и P (Ф), то сопряженный с ним оператор F⁰ будет изоморфизмом между Р Ь (Ф) и H b . Поэтому оператор J := I ^-1 о F ⁰ устанавливает изоморфизм между P _b ⁰ (Ф) и H. При этом по правилам действия операторов (I и сопряженного) имеем

JJ(v),x⁰) = ⁽ (I ^-1 о F⁰ )(v),x ⁰ ) = ⁽ F ⁰ (v),x ⁰ } = ⁽ v, F (x ⁰ )>, v G P ⁰ (Ф), x ⁰ G H.

Подставив сюда v = 5 a , получим

(J (5 a ),x ⁰ ) = ( 5 a , F (x ⁰ )) = ( 5 a , x ⁰ (Z)) = x ⁰ (A) ( V x ⁰ G H b ).

С другой стороны, и h e A ,x ) = x ⁰ (A) для всех x ⁰ G H b . Значит, J (5 a ) = e A для любого A G C.

Из изложенного выше непосредственно следуют такие заключения:

• •    Ряды 52j=i C j § A j и 52j=i C j e A j сходятся или расходятся в Р ^ (Ф) и H, соответственно, одновременно.

• •    Cистемы (^ A j ) j=i и (e A j- ) j=i одновременно являются или не являются АПС в Р Ь (Ф) и H, соответственно.

• •    Оператор представления

T : c = (cj^ G K1 (Ф, Л) -^ x = XX CjeAj G H j=i имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда оператор сужения R : P(Ф) ^ P(Ф, Л) имеет ЛНЛО.

Отсюда и из теоремы 2 следует такой результат для АПС вида Е д := (e A j ) j=i .

Теорема 3. Пусть Л, Ф , ^ и L удовлетворяют всем условиям теоремы 2 . Предположим, что H = ind n g N H _n — (DFS) -пространство, в котором имеется такое семейство элементов (e Aj. ) j e c , для которого оператор обобщенного преобразования Фурье — Лапласа функционалов является топологическим изоморфизмом между H b и P(Ф) . Тогда равносильны следующие два условия:

• (i)    Оператор представления T : K ¹ (Ф, Л) ^ H имеет ЛНПО.

• (ii)    Имеется целая в C z х Ca функция G(z, A) , удовлетворяющая условиям (4) и (5) .

Напомним, что смысл того, что оператор представления имеет ЛНПО, заключается в том, что в случае его существования имеется принципиальная возможность линейно и непрерывно в зависимости от разлагаемого элемента найти коэффициенты разложения.

Ясно, что теорема 3 может применяться к широкому спектру (DFS)-пространств H, лишь бы имелось подходящее описание сопряженного с помощью преобразования Фурье — Лапласа функционалов. Этому предполагается посвятить отдельную работу.