Логарифмические неравенства Соболева на графах положительной кривизны

DOI:

Проблема разрешимости различных краевых задач (в том числе задачи Дирихле) для эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях с предписанными граничными данными на «бесконечности» является достаточно интересной проблемой в анализе и геометрии. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории некомпактных римановых многообразий, основанной на изучении функциональных пространств (например, пространств гармонических функций) на римановых многообразиях. Многие проблемы, относящиеся к данному направлению, можно сформулировать в виде теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространств ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии (см.: [13; 14; 20]).

Проблема разрешимости задачи Дирихле о восстановлении решения эллиптического уравнения по граничным данным на «бесконечности» является в некотором смысле двойственной по отношению к справедливости теоремы Лиувилля на многообразии.

С этой точки зрения наибольший интерес представляют некомпактные и особенно полные римановы многообразия. В ряде случаев сама постановка задачи Дирихле на таких многообразиях является достаточно затруднительной, поскольку не ясно, как понимать граничные данные. В некоторых ситуациях, если многообразие допускает некоторую геометрическую компактификацию (например, многообразия отрицательной секционной кривизны, модельные или сферически-симметричные многообразия), то постановка краевых задач на нем, в том числе и задачи Дирихле, осуществляется также, как и для ограниченных областей в Rⁿ (см., например, [7; 12; 18; 21]).

В последние годы опубликовано большое количество работ, посвященных вопросам разрешимости различных краевых задач для гармонических функций, для решений стационарного уравнения Шредингера, для некоторых других однородных линейных и квазилинейных эллиптических уравнений. При этом исследования неоднородных эллиптических уравнений носят единичный характер и посвящены преимущественно изучению асимптотического поведения решений этих уравнений (см.: [6; 15; 17; 19]).

В настоящей работе предлагается на произвольном гладком связном некомпактном римановом многообразии М , используя достаточно новый подход к постановке краевых задач, основанный на введении классов эквивалентных на многообразии М непрерывных функций, исследовать вопросы разрешимости краевых и внешних краевых задач для уравнения Пуассона

Аи = д(ж), (1)

где функция д (х) Е С ^Y (fi) для любого подмножества Q СС М , 0 <  у < 1.

В частности, в работе устанавливается зависимость между разрешимостью краевых и внешних краевых задач для уравнения (1) на произвольном некомпактном римановом многообразии.

Под решением уравнения (1) на многообразии М будем понимать функцию и Е Е С ² (Q), удовлетворяющую этому уравнению на любом компактном подмножестве Q С С М .

Ранее описываемый ниже подход, основанный на введении классов эквивалентных функций, был использован для изучения вопросов разрешимости краевых задач для уравнений Лапласа — Бельтрами, уравнения Шредингера, ряда полулинейных и квазилинейных эллиптических уравнений на произвольных некомпактных римановых многообразиях (см., например, [5; 8–11; 16]).

Доказательство основных результатов работы опирается на классические утверждения теории уравнений в частных производных: принцип максимума, теоремы сравнения и единственности для решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений. Их справедливость на предкомпактных подмножествах многообразия М доказывается также как и для ограниченных областей в Rⁿ (см., например, [1, с. 39-40]).

1.    Основные понятия и вспомогательные утверждения

Пусть В С М — произвольное связное компактное подмножество с гладкой границей дВ и непустой внутренностью, { В _к } к =1 — исчерпание многообразия М , то есть последовательность предкомпактных открытых подмножеств риманова многообразия М таких, что В к С В _{к +} 1 , М = 0 ^=1 В к .

Пусть Л(я) и / ₂ (ж) — произвольные непрерывные ограниченные на М функции.

Будем говорить, что функции / 1 (ж) и / ₂ (ж) эквивалентны на М и обозначать / ₁ (ж) ~ / ₂ (ж), если для некоторого исчерпания { В ^}⁽j = ₁ многообразия М выполнено

Ит ||/1 (ж) - /2(ж)||с0(м\вк) = о, где НУMllc-o(G) = supG 1/(ж)|.

Обозначим класс эквивалентных / функций через [/]. Введенное отношение действительно является отношением эквивалентности (то есть оно рефлексивно, симметрично и транзитивно), не зависит от выбора исчерпания многообразия М и характеризует поведение функций вне произвольного компактного подмножества В С М (см., например, [5; 8–11; 16]).

Будем называть функцию / асимптотически неотрицательной на М (и обозначать / &  0), если на М существует непрерывная ограниченная функция w >  0 такая, что w ~ /.

Будем говорить, что функция д асимптотически не превосходит функцию / на М (и обозначать д . /), если разность / — д на М является асимптотически неотрицательной функцией.

Имеют место следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Если д <  / и / <  д на М , то д ~ / на М . Обратное утверждение также верно.

Доказательство. Из данных выше определений следует, что на М существуют функции w >  0 и у >  0 такие, что д — / ~ w, / — д ~ у. Тогда w ~ — у, причем — у <  0, w >  0. Это возможно только, если w ~ 0 и у ~ 0 и, соответственно, д ~ / на М .

Обратно, если д ~ / на М , то д — / ~ 0 и / — д ~ 0. Функция w = 0 является асимптотически неотрицательной, следовательно, д <  / и / <  д на М .

Лемма 2. (Принцип сравнения 1). Пусть Ау <  Ап на М \ В , у | _дв >  и | _дв , у ~ и . Тогда у >  и на М \ В .

Пусть Ау <  Ап на М и у ~ и . Тогда у >  и на М .

Доказательство. Подробное доказательство данного утверждения приведено в [9].

Лемма 3. (Принцип сравнения 2). Пусть Ау <  Ап на М \ В , у | _дв >  п | _дв , у &  и . Тогда у >  и на М \ В .

Пусть Ау <  Аи на М и у &  и . Тогда у >  и на М .

Доказательство. Допустим, что первое утверждение не верно. Обозначим

D = {ж Е М \В : и(ж) > у(ж)} = 0 — открытое подмножество в М\В. Пусть D0 — одна из ограниченных компонент связности подмножества D такая, что и > у внутри D0 и и|дВо = у|др0 (если таковая существует). Рассмотрим в D0 функцию w = у — и< 0. При этом выполнено w|dBo = 0 и Аw = Ау — — А и < 0 в D0. Применяя к функции w в D0 принцип сравнения для решений линейных эллиптических уравнений, имеем w > 0, что противоречит выбору области D0.

Доказательство второго утверждения леммы проводится аналогично.

Сформулируем теорему единственности решения краевых и внешних краевых задач для уравнения (1), соответственно на М и на М \ В.

Теорема 1. (Теорема единственности). Пусть Av = д(х) и Au = д(х) на М \ В и v l dB = u l _9B , v ~ и . Тогда w = и на М \ В .

Пусть Av = д(х) , Au = д(х) на М и v ~ и . Тогда v = и на М .

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из принципов сравнения 1 и 2.

Замечание. Заметим, что уравнение (1) является частным случаем более общего линейного уравнения Lu = д(х). Здесь L — линейный эллиптический оператор вида

Lu = Au + (Ь(ж), Vu) — с(х)и, где Ь(х) = (Ь1 (х"),..., Ьп(х')") — векторное поле такое, что Ьг(х) Е С^ос(М) для всех г (0 < у < 1), с(х) > 0 и с(х) Е С^ос(М). Все сформулированные выше вспомагательные утверждения, теорема единственности справедливы также и для уравнения Lu = д(х). Доказательство проводится аналогично, как и для уравнения (1) (см., например, [9; 16]).

Далее пусть {Вк}k=1 — исчерпание многообразия М c гладкими границами дВк. Обозначим через vk гармоническую в Вк \ В функцию, удовлетворяющую условиям vk |dB = 1,      vk l8Bk = 0.

Как и в [9] легко показать, что при к ^ то она монотонно возрастает и сходится к гармонической на М \ В функции такой, что v = lim vk,     0 < v < 1, v|dB = 1.

k >ro

Заметим также, что функция v не зависит от выбора исчерпания { В _к } k =1 , и для уравнения Лапласа — Бельтрами функция v есть не что иное, как емкостный потенциал компакта В относительно многообразия М (см. [14]).

Многообразие М будем называть A- строгим многообразием, если для некоторого компакта G С М существует емкостный потенциал v такой, что v Е [0].

Будем говорить, что на М разрешима краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями из класса [/], если на М существует решение и(х) уравнения (1) такое, что и Е [/].

Пусть Ф(х) Е С(дВ} — произвольная функция. Будем говорить, что на М \ В разрешима внешняя краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями (Ф, [/]), если на М \ В существует решение и(х) уравнения (1) такое, что и Е [/] и u | _sb = Ф | _дв .

Замечание. Вопросы существования целых решений для однородных линейных и квазилинейных уравнений на некомпактных римановых многообразиях, а также взаимосвязь разрешимости различных краевых и внешних краевых задач на них подробно изучены в работах [2–5; 8–11; 16].

Cледующие утверждения в некоторой степени обобщают для уравнения Пуассона результаты, полученные ранее для однородных линейных уравнений на произвольном некомпактном римановом многообразии М .

Всюду далее / — произвольная непрерывная ограниченная на М функция. Сформулируем основные результаты.

Теорема 2. Пусть на М \ В для любой константы Л разрешима внешняя краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями (Л, [/] ). Тогда на М для уравнения (1) разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/] .

Следствие 1. Пусть на М \ В для произвольной непрерывной на дВ функции Ф(ж) разрешима внешняя краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями (Ф, [/] ). Тогда на М для уравнения (1) разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/] .

Теорема 3. Пусть на А -строгом многообразии М разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/] . Тогда на М \ В для произвольной непрерывной на дВ функции Ф(ж) разрешима внешняя краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями (Ф, [/] ).

2.    Доказательство основных результатов

Доказательство теоремы 2. Для начала заметим, что из разрешимости на М \ В внешней краевой задачи для уравнения (1) с граничными условиями (Л, [/]) для любой константы следует существование на М \ В нетривиального емкостного потенциала v Е [0].

Пусть u ₀ Е [/] — решение внешней краевой задачи для уравнения (1) на М \ В , удовлетворяющее u ₀ | _SB = 0. Продолжим функцию и ₀ непрерывным образом на все М и обозначим продолжение через U 0 . Далее рассмотрим последовательность функций ф /г, являющихся решением задач Дирихле

Г А ф / = д(х)    в В / ,

I ^ф / ^l 8B _k = ^M 0 | dB _fe .

Обозначим ф _/ = ф _/ — U ₀ . Тогда А ф _/ = А ф / — AU 0 = д(х) — h(x) и ф / l _9Bk = 0. Ясно, что supp { g(x) — ^(х) } лежит в некоторой окрестности компакта В .

Далее пусть G _/ — функция Грина оператора Лапласа в В _/ , то есть функция, которая для каждого у Е В _/ удовлетворяет условию

A$G/(х,у) = 5у(х),     G/ |жедвй = 0, где 5у(х) — 5-функция Дирака. Тогда ф/

^(х) =^—/ в _к

G / (х,у)(д(у) — h(x))dy.

Заметим, что существование нетривиального емкостного потенциала v Е [0] эквивалентно непараболичности типа многообразия М и, следовательно, существованию функции Грина G(x, у) = lim G _/ (х, у) на всем многообразии М при х = у (см., на- / ^^

пример, [14]). Существование функции Грина G(x,y) включает в себя существование предела последовательности {фк}. Пусть lim фк = ф. Тогда Аф = д(х) — h(x) on М. к^^

Последнее влечет за собой существование предела последовательности {ф _к } . Причем ф = lim ф _к = lim ф _к + U 0 = ф + U 0 . Следовательно, А ф = А( ф + U 0 ) = д(х) — Цх) + к ^^     к ^^

+ К(х) = д(х) on М . Покажем, что ф Е [/].

Действительно, в силу непрерывности функции ф (х) cуществуют

А = max |ф (х) | .

дВ

Тогда — (А + 1) < ф| _дв <  А + 1 и, следовательно, при достаточно больших к выполнено

• ^{—    (А} + 1) < ^ф к | дВ <  ^А + ¹

Учитывая, что u ₀ | _SB = 0, имеем

• ^{—    (А} + 1) <  ^м 0 | д _В <  ^(А + ^1ф

Cогласно условию теоремы, на М \ В cуществуют решения м 1 Е [/] и м 2 Е [/] уравнения Пуассона (1), удовлетворяющие условиям

• ^м 1 ^| дВ = ^{— (А} + ¹⁾, ^M 2 ^| дВ = ^А + ¹

Так как м1 ~ м2 ~ м0, u1ldB < m0|sb < м2|дВ, а разности м2 — м0 и м0 — м1 являются решениями уравнения Лапласа — Бельтрами на М \ В, то по принципу сравнения на М \ В получаем м1 < м0 < м2. Тогда для достаточно больших к выполненo м1|дВк < фк|дВк = м0|дВк < м2|дВк , м1|дВ < фк^В < м2|дВ .

Далее, применяя принцип сравнения к функциям ф _к — м 1 и м 2 — ф _к , которые также являются решениями уравнения Лапласа — Бельтрами на множестве В _к \ В, для достаточно больших к имеем м 1 < ф _к <  м 2 . Переходя к пределу при к ^ то , на М \ В получим м 1 < ф <  м 2 . Учитывая, что м 1 ~ м 2 ~ /, получаем ф ~ /.

Теорема доказана.

Перейдем к доказательству следующей теоремы.

Доказательство теоремы 3. Пусть теперь м ₀ Е [/] — решение уравнения Пуассона (1) и Ф Е С (дВ) — произвольная функция.

Рассмотрим последовательность функций м _к , являющихся решением следующих краевых задач

^Ам к =^{0 в В} к \ ^В, ^м к ^В = ^Ф,   ^м к ¹ эв _к = ^м 0 | ав _к .

Тогда разности мк = мк—м0 будут являться Вк\В решениями уравнения Лапласа — Бельтрами. При этом ук ^в = Ф — м0, ^к 18вк =0.

Учитывая принцип максимума для гармонических функций, для любого к имеем

|Мк |< sup |Мк | = sup |Ф — мо |< sup |Ф| +sup |мо|, 8(Вк\В)        дВ              дВ        дВ то есть последовательность {vk}^1 равномерно ограничена на М и, следовательно, компактна в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций на любом компактном подмножестве в М. Пусть у(ж) — предельная функция. Ясно, что Av = 0, v|dB = Ф—п0. Покажем, что v Е [0].

Обозначим А = max g _B | Ф — п ₀ | . Очевидно выполнено

• - (Л + 1) <  Ф — п о <  (А +1),

• ^{—    (А +} 1) <  Цдв <  ^{А + 1}

и для любого к

• ^{—    (А +} 1) <  ^v k ¹ д_В < ^{А + 1}

Рассмотрим на М \ В функции v = —(А + 1) • v0 и v = (А + 1) • v0, где v0 — емкостный потенциал компакта В на М, v0 Е [0] (он существует в силу A-строгости многообразия). Функции v и v являются гармоническими и удовлетворяют условиям v|dB = —(А + 1),  —(А + 1) < v < 0, v Е [0], vl9B = (А +1),  0 < v < (А + 1), v Е [0].

Тогда на М \ В выполнено v < v и с учетом принципа сравнения для всех к на множестве Вк \ В v < vk < v.

Переходя к пределу при к ^ то , получаем v <  v <  v. Учитывая, что v ~ v ~ 0, получаем v Е [0].

Из существования предельной функции v следует существование предельной функции п = lim п _к = lim v _k + п ₀ = v + п ₀ . Так как v l _8B = Ф — п ₀ и v Е [0], имеем u l _8B = Ф, k ^^     к ^^

п Е [/]. Таким образом, п — искомое решение краевой задачи на М .

Теорема 3 доказана.