Логнормальное распределение как математический инструмент количественной оценки инвестиционного риска

В настоящей работе дается числовая оценка риска инвестиционного проекта «Изготовление и сбыт пиломатериалов», осуществляемого ОАО «Мамадышский домостроительный комбинат» в 2013-2017 гг. Генерирование 30000 значений основных параметров проекта (цены P за единицу продукции (тыс. руб.), условно-переменных затрат V (тыс. руб.) и количества Q (м3) проводилось на ПК методом Монте-Карло и привело к 30000 значениям чистого дисконтированного дохода NPV. Исследование параметров асимметрии s и эксцесса е результирующего показателя проекта NPV привело нас к выводу о том, что распределение NPV не является распределением Гаусса или, другими словами нормальным распределением, у которого подобные коэффициенты s и е должны равняться нулю. В нашем случае эмпирические коэффициенты асимметрии sэмпир и эксцесса еэмпир равны, соответственно, sэмпир = 0,8278727 и еэмпир =1,24292, что существенно отличается от нуля и свидетельствует о правой скошенности и островершинности эмпирической кривой распределения NPV по сравнению с нормальной кривой распределения. Тот факт, что NPV не имеет нормального распределения был проверен также с помощью критерия χ2 (хи-квадрат). Перед авторами встал естественный вопрос о том какому же из вероятностных распределений подчинено распределение NPV? Среди множества известных вероятностных распределений авторы выбрали логарифмически нормальное (логнормальное) распределение, поскольку его коэффициенты асимметрии и эксцесса, задаваемые формулой [1]:

s =

, a ²                   4 a ²           3 a ²           2 a ²

’  —1, e = e + 2 e + 3e

—

а , равном а =0,264729, оказались практически коэффициентам асимметрии и эксцесса. Итак, в теоретического распределения для NPV было распределение с функцией распределения вида

6 при значении параметра равными эмпирическим качестве сглаживающего выбрано логнормальное

F ( x ) = P { NPV <  x } = 1 + Ф_о

f 4 -И к m 7

a

(1),

к7

где x > 0, m - параметр масштаба (медиана), a - параметр формы, ф o( Z ) =

2П

Z t ²

j e ² * dt - функция Лапласа, таблица значений которой имеется, o

например, в [2]. В формуле (1) предполагается, что все значения случайной величины NPV должны располагаться только на положительной полуоси, т.е.. при NPV ≥0 . Однако в нашем случае имеются 4 значения NPV из полученных на ПК 30000, которые оказались меньше нуля. Это означает, что риск инвестиционного проекта, рассчитанный по методу Монте-Карло, 4

составляет ^^-100% = 0,01333%. Этими четырьмя отрицательными значениями можно пренебречь и отнести их вычислениях.

на счет погрешности в

Статистические (выборочные)

логнормального распределения выборке из 30000 значений NPV:

были

оценки найдены

параметров m и a методом моментов по

m

*

_ *

x

1 +

Sx

_ *

к x 7

,

* a

In

1 +

( S x

A 2

- *

к x 7

(2),

n

E xi

— *

_ i = 1 где x = ---- n

,

S

n — 1

1 (x

i =1

i

—

x)

- несмещенные выборочные оценки

для среднег о значения изучаемой случайной величины Х=NPV и для ее дисперсии ( x * и S 2 соответственно) [1].

Расчет m^* и a^* по формулам (2) привел к их следующим значениям:

m *  =  14507,486;

распределения        (1)

ln

*

a

Г x

0,2647314 примет

и следовательно, следующий

функция вид:

F ( x ) = P { NPV <  x } = 1 + Ф_о

к 14507,486 J 0,2647314

к

Знание функции распределения позволяет вычислить любую

вероятность, связанную с изучаемой случайной величиной NPV . Рассчитаем вероятность того, что чистый дисконтированный доход превзойдет 10 млн. руб. (т.е. 10000 тыс. руб., т.к. все расчеты проводились в тыс. руб.):

С (  10000

lnlI

114507,486 J —-

0,2647314

P { NPV >  10 млн.руб . } = P { NPV >  10000 тыс.руб . } = 1 - F(10000) = 1-1 - Ф_о

к

= 0,5 -Фо(-1,4005) = 0,5 + Ф0 (1,4055) = 0,5 + 0,4207 = 0,9207   или 92,07%, где использовано свойство нечетности функции Лапласа  Ф(^)= -Ф(^),  а значения Ф(х) взяты из таблицы учебника [2].

Аналогично вычисляются вероятности P{NPV > 12000 тыс. руб.} = 0,5 - Ф₀(-0,7168) = 0,5 + 0,263 = 0,763 или 76,3% и P{NPV > 20000 тыс. руб.} = =P{NPV> 20 млн. руб.} = 0,5 - Ф 0 (1,2128) = 0,5 - 0,3869 = 0,1131 или 11,31%.

Инвестиционный риск проекта, т.е. вероятность того, что чистый дисконтированный доход будет меньше нуля (и тогда, как известно из инвестиционного менеджмента, проект нельзя принимать к реализации) согласно формуле (3) равен:

P { NPV <  0 } = F(0) = 1 + Ф_о |---—---| = 1 + Ф_о ( - да ) = 1 - Ф_о ( да ) = 0,5 - 0,499999 = 0,000001

2    ⁰ к 0,2647314 J 2    ^{0V 7}  2    ^{0V 7}

или 0,0001%, т.е. практически риск проекта равен нулю. Эта вероятность, как видим, почти не отличается от вероятности P{NPV< 0}, найденно методом Монте-Карло (0,01333%).