Локальная конечность некоторых групп с заданными порядками элементов

Спектром периодической группы G называется множество ω(G) порядков ее элементов. В работе дается обзор результатов, связанных с доказательством локальной конечности периодических групп, имеющих определенный спектр, устанавливается, что любая группа G, для которой 2 G ш(G) С { 1, 2, 3, 5, 9,15 } , локально конечна и описывается ее строение.

Теорема 1. Пусть G — группа, для которой

2 G ш(G) С { 1, 2, 3, 5, 9,15 } .

Тогда верно одно из следующих утверждений.

• 1 .    Группа G — расширение абелевой группы периода 3, 5, 9 или 15 посредством группы ( t ) порядка 2, и a t = a ^{- 1} для любого элемента a G A.

• 2 .    Группа G — расширение элементарной абелевой 2 -группы A посредством циклической группы B порядка 1, 3, 5, 9 или 15 , действующей свободно на A .

• 3 .    ш(G) = { 1,2,3,5 } и G ‘ A 5 .

В частности, G локально конечна.

Здесь действие группы B на группе A называется свободным действием , если A нетривиальна и a b = а для неединичных a G A и b G B .

Доказательство теоремы 1 основано на результатах работ [1–3]. Аналогично доказываются и следующие факты.

Теорема 2. Пусть G — группа, для которой ш(G) = { 2, 3 } U ш, где каждый элемент из ω либо взаимно прост с числом 6 , либо равен 9 . Тогда верно одно из следующих утверждений.

• 1 .    Группа G — расширение абелевой группы периода 3 или 9 посредством группы ( t i порядка 2, и a t = a ^{- 1} для любого элемента a G A.

• 2 .    Группа G — расширение элементарной абелевой 2-группы A посредством циклической группы B порядка 1, 3 или 9 , действующей свободно на A.

• 3 .    ш(G) = { 1,2,3,5 } и G ' A 5 .

• 4 .    ^(G) = { 2, 7,9 } и G ' L 2 (8) .

В частности, G локально конечна.

Теорема 3. Пусть G — группа, для которой ш(G) = { 2, 3 } U ш, где каждое число из ш нечетно. Если ш(G) содержит такое простое число p >  5 , что 3р Е ш(G), то G локально конечна и изоморфна простой группе L 2 (Q) для некоторого локально конечного поля Q характеристики 2 .

Отметим, что группа L 2 (Q) удовлетворяет условию теоремы 3 для любого локально конечного поля Q характеристики 2.

Основные определения и обозначения

Спектр периодической группы G — это множество ш(G) порядков элементов группы G: натуральное число n содержится в ш(G) тогда и только тогда, когда в G есть элемент порядка n. Если множество ш(G) конечно, то оно однозначно определяется множеством ^(G) своих максимальных по делимости элементов.

Пусть группа B действует на группе A. Будем говорить, что B действует свободно , а само действие называть свободным действием , если A = 1 и равенство a b = a для a Е A, b Е B выполняется только при a = 1 или b = 1.

Известные результаты

На перечисленные ниже известные факты будем в дальнейшем ссылаться, как на предложения с соответствующими номерами.

• 1.    Вопрос о локальной конечности групп периода n решен положительно только для небольших n.

• 2.    Пусть G — группа, для которой ^(G) = { 2, 3 } . Тогда G — расширение элементарной абелевой p-группы A посредством циклической q-группы, действующей свободно на A. Здесь {p, q} = { 2, 3 } [13].

• 3.    Если ^(G) = { 3,4 } , то G локально конечна [6] и выполнено одно из следующих утверждений:

Группы периода 2 абелевы: из равенств x ² = y ² = (xy) ² = 1 с очевидностью вытекает, что xy = yx.

Локальная конечность групп периода 2 и 3 была известна еще Бернсайду. Позднее Леви и Ван-дер-Варден [4, 5] показали, что любая группа периода 3 трехступенно ниль-потентна.

Как показал Санов [6], группы периода 4 локально конечны. С ростом числа образующих ступень разрешимости конечных групп периода 4 неограниченно растет [7].

Локально конечны и группы периода 6 [8]. Их 2-длина и 3-длина не превосходит единицы. В частности, все они разрешимы ступени разрешимости, не большей четырех.

До сих пор ничего не известно о локальной конечности групп периода 5.

Группа, период которой достаточно большое натуральное число, может не быть локально конечной [9–12]. В частности, в [9] доказывается существование группы периода n, не являющейся локально конечной, для любого нечетного n >  665, а в [12] — для любого n >  8000.

• (3 .1) G = VQ, где V — нетривиальная нормальная элементарная абелева 3-подгруппа, Q является 2-группой, которая действует свободно на V и изоморфна либо циклической группе порядка 4, либо группе кватернионов порядка 8;

• (3 .2) G = T ( а ) , где T — нормальная нильпотентная 2-подгруппа ступени нильпотентности 2, а порядок a равен 3;

• (3 .3) G = TS , где T — элементарная нормальная 2-подгруппа, а S изоморфна симметрической группе степени 3.

• 4.    Если группа P периода 5 действует свободно на абелевой { 2,3 } -группе, то | P I =5 [15].

• 5.    Пусть ^(G) = { 2, 5 } . Тогда G — либо расширение элементарной абелевой 2-группы A посредством группы P периода 5, действующей свободно на A, либо расширение элементарной абелевой 5-группы посредством группы порядка 2 [16]. В первом случае по предложению 4 | Р | =5, поэтому G во всех случаях локально конечна.

• 6.    Пусть ^(G) = { 2, 2 m + 1, 2 m - 1 } , где m >  2. Тогда G ' L 2 (2 m ) [17].

• 7.    Пусть ш(G) = { 2 } U ш¹, где ш ' состоит из нечетных чисел. Тогда верно одно из утверждений:

В частности, G разрешима и ее ступень разрешимости не больше, чем 3 [14].

• (7.1)    G — расширение абелевой группы А посредством группы ( t ) порядка 2 и a t = а ^{- 1} для любого а G A.

• (7.2)    G — расширение элементарной абелевой 2-группы A посредством группы без инволюций, действующей свободно на A при сопряжении в G.

• (7.3)    G ' L 2 (Q) для подходящего локально конечного поля Q характеристики 2 [1].

• 8.    Если ^(G) = { 3, 5 } , то либо G = FT , где F — двуступенно нильпотентная нормальная 5-подгруппа, а I T I = 3, либо G — расширение трехступенно нильпотентной 3-группы посредством группы порядка 5 ([19] с учетом предложения 4). В частности, G локально конечна.

• 9.    Если ^(G) = { 4, 5 } , то выполняется одно из следующих утверждений:

Группы из пунктов (7.1) и (7.3) локально конечны. Существуют группы из пункта (7.2), не являющиеся локально конечными [18].

• (9.1)    G = TD, где T — нормальная элементарная абелева 2-группа, а D — неабелева группа порядка 10.

• (9.2)    G = FT , где F — элементарная абелева нормальная 5-подгруппа, а T изоморфна подгруппе группы кватернионов порядка 8.

• (9.3)    G = TF , где T — нильпотентная ступени 6 нормальная 2-подгруппа, а F — группа порядка 5 ([19] с учетом предложения 4). В частности, G локально конечна.

• 10.    Если ^(G) = { 3,4, 5 } , то G локально конечна и либо изоморфна А б , либо G = VC , где V — нетривиальная элементарная абелева нормальная 2-подгруппа, а C ' А 5 [20].

• 11.    Если { 1, 5 } = ш(G) С { 1, 2, 3,4, 5 } , то G локально конечна. Это вытекает из предложений 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 и 10 [20].

• 12.    Если периодическая группа G, действующая свободно на абелевой группе, содержит неинвариантную подгруппу X порядка 3, то ( X G ) изоморфна SL 2 (3) или SL 2 (5) [2, 3].

• 13.    Пусть ^(G) = { 5, 6 } . Тогда G — разрешимая локально конечная группа и справедливо одно из следующих утверждений:

• (13.1)    G — расширение элементарной абелевой 5-группы посредством циклической группы порядка 6;

• (13.2)    G — расширение трехступенно нильпотентной 3-группы посредством группы диэдра порядка 10;

• (13.3)    G — расширение прямого произведения трехступенно нильпотентной 3-группы и элементарной абелевой 2-группы посредством группы порядка 5 [21].

• 14.    Если ^(G) = { 3,4, 7 } , то G ' L 2 (7) [22].

Доказательство теорем

Пусть G — группа, удовлетворяющая условиям одной из теорем 1–3. Тогда для нее выполнены условия предложения 7. Если G изоморфна L 2 (Q) для локально конечного поля Q характеристики 2, то при условиях теоремы 1 или 2 Q конечно порядка 2 m для некоторого m и ^(G) = { 2, 2 m — 1, 2 m +1 } , откуда либо m = 2 и G ' A 5 , либо выполнены условия теоремы 2, m = 3 и G ' L 2 (8). Так как пункт (7.1) предложения 7 в условиях теорем 1 и 2 совпадает с пунктом 1 этих теорем и несовместим с условием теоремы 3, то можно считать, что G — расширение элементарной абелевой 2-группы V посредством группы H = G/V нечетного периода, действующей свободно на V при сопряжении в G.

Если выполнены условия теоремы 1 и H не содержит элементов порядка 3, то ^(G) = { 2, 5 } и пункт 2 теоремы 1 выполнен по предложению 4. Поэтому можно считать, что H содержит элемент r порядка 3. Так как H не содержит инволюций, то по предложению 12 r принадлежит центру H . В условиях теоремы 3 это невозможно и, таким образом, теорема 3 доказана. Если же выполнены условия теоремы 2, то H является 3-группой.

Если R — конечная 3-подгруппа из H , порожденная элементами r i V,..., r _m V , то F = ( r i ,..., r m ) — конечная группа, силовская 3-подгруппа R которой изоморфна R. Если v — нетривиальный элемент из V, то (R, v) — конечная группа Фробениуса с дополнением R, поэтому R — циклическая группа. Отсюда следует, что (r) содержит все элементы порядка 3 из H , поэтому в H/ (r) нет элементов порядка 9.

По предложению 1 силовская 3-подгруппа из H локально конечна и, поскольку любая ее конечная подгруппа является циклической, она сама обязана быть циклической. Это, в частности, заканчивает доказательство теоремы 2, поэтому в дальнейшем считаем, что выполнены условия теоремы 1.

По предложению 4 любая силовская 5-подгруппа из H также является циклической. Поэтому, если ^(H/ ( r ) = { 3, 5 } , то выполнено заключение теоремы 1.

Предположим, что ^(H/ ( r ) = { 3, 5 } . По предложению 8 H локально конечна. Поскольку H является { 3, 5 } -группой и ее силовские подгруппы циклические, она сама — циклическая группа. Так как минимальный период H равен 45, она содержит элемент порядка 45, что по предположению не верно. Это противоречие заканчивает доказательство теоремы 1.

Открытые вопросы

• 1.    Пусть ^(G) = { 5, 6,11 } . Верно ли, что G ' L 2 (11)?

• 2.    Пусть ^(G) = { 6, 7,13 } . Верно ли, что G ' L 2 (13)?

• 3.    Пусть ^(G) = { 8, 9,17 } . Верно ли, что G ' L ₂ (17)?

• 4.    Пусть ^(G) = { 6,p } , где p — простое число. Верно ли, что G локально конечна?