Локальная краевая задача для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа
Бесплатный доступ
Последние годы все больше внимание специалистов привлекают неклассические уравнения математической физики, это связано как с теоретическим интересом, так и практическим. Уравнения третьего порядка встречаются в различных задачах физики, механики и биологии. Например, в теории трансзвуковых течений, распространении плоской волны в вязкоупругом твердом теле, прогнозирования и регулирования грунтовых вод. Исследуется краевая задача для уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором в главной части. Рассматриваемое уравнение составляется из произведения неперестановочных дифференциальных операторов, поэтому известные представления общего решения введенные А.В. Бицадзе и М.С. Салахитдиновым не применяются. Для изучения уравнения смешанного типа третьего порядка нами применен метод, не требующий специального представления общего решения рассматриваемого уравнения. Этот метод обусловливает изучение уравнения эллиптико-гиперболического типа второго порядка с неизвестными правыми частями, что представляет интерес для решения важных обратных задач механики и физики. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения поставленной задачи. Доказательство основано на принципе экстремума для уравнения третьего порядка и на теории сингулярных, фредгольмских интегральных уравнений.
Локальная задача, уравнения третьего порядка, обратнаязадача, уравнения с неизвестными правыми частями, принцип экстремума, метод регуляризации, уравнения фредгольма
Короткий адрес: https://sciup.org/147234113
IDR: 147234113 | УДК: 517.965.6 | DOI: 10.14529/mmph200303
Local boundary value problem for a class of third-order elliptic-hyperbolic type equation
In recent years, non-classical equations of mathematical physics have been attracting more and more attention of specialists; this is due to both theoretical and practical interest. Third-order equations are found in various problems of physics, mechanics, and biology. For example, in the theory of transonic flows, the propagation of plane waves in a viscoelastic solid, and the prediction and regulation of groundwater. One of the important classes of non-classical equations of mathematical physics is the equations of composite and mixed-composite type, which the main parts contain operators of elliptic, elliptic-hyperbolic and parabolic-hyperbolic types. Correct boundary value problems for equations of elliptic-hyperbolic and parabolic-hyperbolic types of the third order, in case that the main part of the operator contains the derivative with respect to x or y, is first studied by A.B. Bitsadze, M.S. Salakhitdinova and T.D. Djuraev, in addition to the fact that these equations are found in various problems of mechanics. For example, the propagation of a plane wave in a viscoelastic solid. In these works on the investigation of boundary value problems, a representation of general solution of a mixed-composite type equation in the form of a sum of functions was used. Such representation takes place only for equations, which are composed of the product of permutable differential operators. In this paper, we study boundary value problem for a third-order equation with an elliptic-hyperbolic operator in the main part. The equation under consideration is composed of the product of non-permutable differential operators, therefore the well-known representations of the general solution introduced by A.V. Bitsadze and M.S. Salakhitdinova are not applied. To study the considered third-order equation of the mixed type, we applied a method, which does not require a special representation of the general solution of the equation. This method determines the study of an equation of elliptic-hyperbolic type of the second order with unknown right-hand sides, which is of interest for solving important inverse problems of mechanics and physics. The existence and uniqueness theorems of the classical solution of the problem are proved. The proof is based on the extremum principle for a third-order equation and on the theory of singular and Fredholm integral equations.
Список литературы Локальная краевая задача для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа
- Бицадзе, А.В. К теории уравнений смешанно-составного типа / А.В. Бицадзе, М.С. Салахитдинов // Сибирский математический журнал. — 1961. — Т. 2, № 1. — С. 7—19.
- Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Салахитдинов. - Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.
- Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа / Т.Д. Джураев - Ташкент: Фан, 1979. - 238 с.
- Chen, S.X. Mixed type equations in gas dynamics / S.X. Chen // Quarterly of applied mathematics. - 2010. - Vol. LXVIII, no. 3. - P. 487-511.
- Кожанов, А.И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов // Матем. сборник. - 1982. - Т. 118(160), № 4(8). - C. 504-522.
- Джураев, Т.Д. О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа / Т.Д. Джураев, М. Мамажанов // Дифференциальные уравнения. - 1983. - Т. 19, № 1. - С. 37-50.
- Сабитов, К.Б. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности. / К.Б. Сабитов, Г.Ю. Удалова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2013. - Вып. 3(32). - С. 29-45.
- Джохадзе, О.М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка / О.М. Джохадзе // Матем. заметки. -2003. - Т. 4, Вып. 4. - C. 517-528.
- Зикиров, О С. О разрешимости нелокальной задачи для гиперболического уравнения третьего порядка / О.С. Зикиров // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. - 2016. -Т. 16, № 2. - С. 16-25.
- Islomov B.I. Nonlocal boundary value problem for a third-order equation of elliptic-hyperbolic type / B.I. Islomov, B.Z. Usmonov // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2020. - Vol. 41, no. 1. -P.32-38.
- Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.
