Локальная управляемость, траектория геометрического локального инфимума и условия второго порядка в оптимальном управлении

• 1.    Основные определения и утверждения

Пусть U — непустое подмножество R r , заданы отображение ^: R х R n х R r ^ R n переменных t, x и и и отображения f: R n х R n ^ R m ¹ и g : R n х R n ^ R m ² переменных Z i G R n , i = 0,1.

Рассмотрим управляемую систему x = ^(t,x,u), u(t) G U для п. в. t G [to,t1],                      (1)

f (x(t o ) ,x(t i )) С 0, g(x(t o ),x(t i )) = 0,                             (2)

где неравенство понимается покоординатно.

Всюду далее мы предполагаем, что отображение ϕ непрерывно вместе со своей вто рой частной производной по (x, и) на R x R n x R r , а отображения f и g дважды непрерывно дифференцируемы на R n x R n .

Пространства непрерывных вектор-функций на [t o , t i ] со значениями в R n , абсолютно непрерывных вектор-функций со значениями в R ⁿ и существенно ограниченных вектор-функций со значениями в R r обозначаются соответственно C ([t o , t i ], R n ), AC ([t o ,t i ], R n ) и L ^ ([t o , t _i ], R r ) (если r = 1, то пишем L ^ ([t o ,t 1 ])).

Пара (x( - ),u( - )) G C ([t o ,t i ], R n ) x L _M ([t o ,t i ], R r ) допустима для управляемой системы (слово «управляемая» далее опускаем) (1), (2), если выполняются условия (1) и (2). Функцию x0 в этом случае называем допустимой траекторией для системы (1), (2).

Обозначим Z = C ([t o ,t i ], R n ) x L _M ([t o ,t i ], R r ) и определим следующее множество достижимости для системы (1), (2) относительно открытого множества V С C ([t o ,t i ], R n ):

R(V ) = { У = (У 1 ,У 2 ) G R m ¹ x R m ² : 3 (x( - ),u( - )) G Z, удовлетворяющая :

f (x(t o ),x(t i )) С y i , g(x(t o ),x(t i )) = y 2 , x( - ) G V } .

Определение 1. Скажем, что система (1), (2) локально управляема относительно функции ж0 G C ([t o , t i ], R n ), если для любой окрестности V этой функции выполняется включение

• 0 G int R(V ).

Обозначим через D множество всех допустимых траекторий для системы (1), (2), рассматриваемое как подмножество C ([t o ,t i ], R n ), а через cl D — его замыкание.

Важно отметить, что в определении 1 функция х( - ) не обязана принадлежать D, но из этого определения следует, что х( - ) G cl D и удовлетворяет условию (2). Действительно, любая окрестность ж0 содержит функции x0 такие, что пара (x( - ),u( - )) G Z удовлетворяет условию (1), f (x(t o ),x(t i )) С y i и g(x(t o ),x(t i )) = У 2 для всех достаточно малых по норме y i и y 2 . В частности, при y i = 0, y 2 = 0, получаем, что в любой окрестности J( - ) есть допустимая траектория для системы (1), (2), т. е. х( - ) G cl D и, очевидно, х0 удовлетворяет условию (2).

При стандартном определении локальной управляемости предполагается, что х(-) — допустимая траектория (см., например, [1, 2]).

Через ∂A будем обозначать границу множества A .

Определение 2. Функция х( - ) G clD называется траекторией геометрического локального инфимума для системы (1), (2), если существует окрестность V С C ([t o ,t i ], R n ) этой функции такая, что

0 G dR(V ).

Так как функция х( - ) может не принадлежать D, то легко заметить, что данное определение обобщает определение геометрически оптимальной траектории (см. [3]), которое дословно совпадает с определением 2, если заменить cl D на D .

Под двойственностью понятий, введенных в определениях 1 и 2, понимается (отмеченный ранее в [4]) следующий факт: если J( - ) g cl D, то либо система (1) , (2) локально управляема относительно функции x() , либо x() — траектория геометрического локального инфимума для этой системы . Это непосредственно следует из приведенных определений.

Отсюда, в частности, следует, что отрицание любых достаточных условий локальной управляемости системы (1), (2) относительно функции x() является необходимыми условиями того, что х( ^) — траектория геометрического локального инфимума для этой системы.

Первый результат, который мы хотим здесь сформулировать — это достаточные условия локальной управляемости системы (1), (2) относительно функции ж0. Для этого понадобятся некоторые дополнительные обозначения и определения.

Для каждого k g N положим

Ak = { а(9 = (а1(),.. .,ak(•)) g (L^([to,ti]))k : a(t) g Sk для п. в. t g [to,ti]}, где

S k = |a = (a i ,..., a k ) g R + :

E a i = 4 , i =i         )

и определим множество

U = { u() g L _M ([t ₀ ,t ₁ ], R r ) : u(t) g U для п. в. t g [t _o ,t _i ] } .

Сопоставим системе (1), (2) следующую управляемую систему:

k x = E ai(t)

i=i f (x(to),x(ti)) < 0, g(x(to),x(ti)) = 0,                             (4)

где a() = (a i ( • ),... ,a k ( • )) и u() = (u i ( • ),... ,U k ( • )), которую будем называть овыпукле-нием системы (1), (2) или просто выпуклой системой. Ясно, что при k = 1 эта система совпадает с исходной системой (1), (2).

Как и выше, тройку (x( • ),a( • ), и( • )) g C ([t o ,t i ], R n ) х A k х U ^k называем допустимой для выпуклой системы (3), (4), если выполняются условия (3), (4), и функцию xQ в этом случае называем допустимой траекторией для выпуклой системы (3), (4).

Нам понадобятся некоторые обозначения. Евклидову норму в R n обозначаем | () | . Значение линейного функционала А = (A i ,..., A n ) g ( R n ) * (векторы из R n мы рассматриваем как вектор-столбцы, тогда, как известно, сопряженное к R ⁿ отождествляется с R n , где векторы суть вектор-строки) на элементе x = (x i ,...,x n ) T g R n (T — символ транспонирования) обозначаем ( A, x ) = n =H=i A i x i - Через ( R n ) * обозначим множество функционалов на R ⁿ , принимающих неотрицательные значения на неотрицательных векторах.

Если фиксирована функция х(), то для сокращения записи, частные производные отображений f, g по Z o и Z i , их первые производные и вторые производные в точке (i(t o ),J(t i )) записываем соответственно как f z i , д& , i = 0,1, f ‘ , д ’ и f ‘‘ , д ’’ (причем вторые производные стандартным образом отождествляются с соответствующими симметричными билинейными формами).

Если B : X х X ^ Y — билинейное отображение, то действие B на элементе (x i , Х 2 ) записываем так: B [x i , Х 2 ].

Если A : X ^ Y — линейный оператор, то его действие на элементе x иногда будет удобно записывать как A[x], что не приведет к путанице.

Далее, для сокращения записи, вместо ж( - ), «( • ), u( - ), h(), v( ' ) и т. д. часто будем писать просто ж, а, и, h, v и т. д.

----------                                                                                                                                                                     .--ч .---- .----

Пусть k G N и тройка (ж, а, и) , где а = (а,.

.., ak) и и = («1,..., Uk), допустима для выпуклой системы (3), (4). Введем следующее множество критических вариаций для -ч -ч этой системы в точке (ж, а, и):

K(х,а,и) = | q = (h,e,v) G AC ([t o ,t i ], R ) х (A k - а) х (L ^ ([W i ], R )) k :

kk

h(t) = ^ & i (t)^ x (t,x(t),U i (t))h(t) + ^ e i (t)^(t,x(t),U i (t)) i =1                                 i =1

k

+ £ a i (t> u (t,x(t),^:U i (t))v i (t),f a [h(t o ),h(t i )] <  0, o),h(ti)] =0 }, i=1

где в = (e i ,---,e k ), v = (v i ,---,v k ), а f a — вектор, который получается из f = (f i ,...,f m1 ) удалением тех функций f i , для которых f i (x(t o ),x(t i )) < 0. Если f(X(t ₀ ),x(t _i )') <  0, то неравенство f a [h(t ₀ ),h(t _i )] <  0 в определении K(х,а,и) отсутствует.

Пусть тройка (ж, а, и) допустима для выпуклой системы (3), (4), и G int U ^k и q = (h,e,v) G K (х,а,и). Обозначим через Л(ж,а, и, q) множество наборов (X f ,X g ,p) G ( R m ¹ ) + х ( R m ² ) * х AC ([t o ,t _i ], ( R ⁿ ) * ), удовлетворяющих соотношениям:

k

p(t) = -P(t) £ ai(t)Vx (t,x(t),Ui(t)), i=1

pfo) = Xf fZo + XggZo, p(ti) = -Xf fZi - XggZi, {xf, f (x(to),x(ti))) = 0, max(p(t), v(t, X~(t), и)) = (p(t), xTt)) для п. в. t G [to,ti], u∈U k t1

-

£ / a i (t)^p(t),^ xx (t,x(f),H i (t))[h, h](t) +2^ xu (t,x(f),H i (t))[h,V i ](t) i =1 t ₀

+^ uu (t,x(t),H i (t))[v i , v i ](t)^ dt

• k ^{t 1}

• - 2 £ / e i (t) ^p (t),^ x (t,X(t),U i (t))h(t) + V u (t,x(t),H i (t))v i (t)^ dt i =1 _{t 0}

+ (Xf,f'[n,n]) + (Xg,g"[П,П]) > 0, где n = (h(to), h(ti)).

Ясно, что нулевой набор этим соотношениям удовлетворяет.

Заметим, что если k = 1, a 1 = 1, U i = и и e i = 0, то данные соотношения представляют собой условия оптимальности второго порядка с функцией Понтрягина H^{( t )} = (p^{(t),p(t,x(t),u(t))})■

Теорема 1. Пусть k Е N , тройка (x,a,u), где u Е int U ^k , допустима для выпуклой

.—— .——

-—' ■—',

системы (3) , (4) и q Е K(x,a,u) такие, что Л(X,a,u,q) = { 0 } . Тогда система (1) , (2) локально управляема относительно функции х.

Эта теорема доказана в работе авторов [5].

Из отмеченной выше двойственности и теоремы 1 непосредственно следует

Теорема 2. Если функция X является траекторией геометрического локального ин-

.—— .——

■—4 ■——.

фимума для системы (1) , (2) , то Л(—, a, U, q) = { 0 } для любой допустимой тройки (X, a, u) и любого q Е K(X, a, u).

Понятие траектории геометрического локального инфимума обобщает понятие траектории локального инфимума, введенное в работе авторов [6]. Действительно, рассмотрим следующую задачу оптимального управления:

f o (x(t o ),x(t 1 )) ^ min, при ограничениях (1), (2),

где функция f o : R ⁿ х R ⁿ ^ R переменных Z i Е R ⁿ , i = 0,1, обладает теми же свойствами, что и отображения f и g . Об этой задаче будем говорить как о задаче (1), (2), (6).

Задача (1), (2), (6) — стандартная задача оптимального управления, записанная, как иногда говорят, в канонической форме, или как задача в форме Майера. Если в исходной задаче минимизируемый функционал и/или граничные условия содержат интегральные функционалы, то введением дополнительных переменных такая задача легко сводится к задаче вида (1), (2), (6).

Напомним стандартное определение сильного минимума для этой задачи.

Определение 3. Допустимая пара (X( • ),X( • )) доставляет сильный минимум (или является оптимальным процессом) в задаче (1), (2), (6), если существует окрестность V С C ([t o ,t i ], R n ) функции —( • ) такая, что для любой допустимой пары (x( - ),u( - )), для которой x0 Е V, справедливо неравенство f o (x(t o ), x(t 1 )) ^ f o (—(t o ),—(t 1 )).

В этом случае мы говорим, что —( • ) — оптимальная траектория в задаче (1), (2), (6).

Ясно, что, если —( • ) — oптимальная траектория в задаче (1), (2), (6), то это равносильно тому, что —( • ) доставляет локальный минимум функционалу f o на множестве D допустимых траекторий для системы (1), (2).

Следующее определение, введенное в работе [6], обобщает понятие оптимальной траектории.

Определение 4. Функция —( • ) Е C ([t o ,t i ], R n ) называется траекторией локального инфимума в задаче (1), (2), (6), если она доставляет локальный минимум функционалу f 0 на замыкании множества допустимых траекторий для системы (1), (2).

Понятно, что значение f 0 на траектории локального инфимума совпадает с точной нижней гранью f 0 по всем допустимым траекториям из данной окрестности (отсюда и название: траектория локального инфимума).

Легко видеть, что если —( • ) — оптимальная траектория в задаче (1), (2), (6), то —( • ) — траектория локального инфимума в этой задаче. С другой стороны, если функция —( • ) — траектория локального инфимум в задаче (1), (2), (6) и допустима, то —( • ) — оптимальная траектория в данной задаче.

Пусть —( • ) Е C ([t o ,t 1 ], R n ) и отображение f: R n х R n ^ R ^{1+ m} 1 имеет вид f = (f o — f o (—(t o ), —(t 1 )), f). Справедливо следующее

Предложение 1. Если функция —( • ) — траектория локального инфимума в задаче (1) , (2) , (6) , то она является траекторией геометрического локального инфимума для системы (1) , (2) , где отображение f заменено на отображение f.

<1 Если U0 — траектория локального инфимума в задаче (1), (2), (6), то существует окрестность V функции i( - ) такая, что f o (x(t o ), x(t 1 )) ^ f o (x(t o ),U(t 1 )) для всех допустимых для системы (1), (2) функций х0 G V.

Обозначим через R(V) множество достижимости для системы (1), (2) относительно V, где f заменено на f. Тогда, в силу определения 4, для любого е >  0 точка У = (У 1 ,У 2 ) = ( - е, 0) G R х R m ^{1 + m} 2 не принадлежит R(V ). Отсюда, так как (0, 0) G R(V ), следует, что (0, 0) G dR(V), и значит, Х( • ) является траекторией геометрического локального инфимума для системы (1), (2), где f заменено на f. >

Из теоремы 2 и предложения 1 вытекает следующая теорема о необходимых условиях для траектории локального инфимума, доказанная в работе [7], где в силу того, что f заменяется на f, в соотношениях (5) вектор X f заменяется на вектор (X o ,X f ), при этом в (5) изменяются только второе, третье и шестое условия.

Теорема 3. Если функция U G C ([t o ,t i ], R n ) является траекторией локального инфимума в задаче (1) , (2) , (6) , то для любых k G N , а = (a i ,..., U k ) и u = (U i ,..., U k ), где u G int U k , для которых тройка (U, a, u) допустима для выпуклой системы (3) , (4) , и любого q o = (h,e,v) G K o (x,a,u) найдутся ненулевой набор (X o ,X f ,X g ) G R + х ( R m ¹ ) + х ( R m ² ) * и вектор-функция p G AC ([t o , t i ], ( R n ) * ) такие, что выполнены

• 1)    условие стационарности по х:

k p = —P E a(t)^x(t,x,Ui(t));

i =1

• 2)    условия трансверсальности:

^p(t o ) = ^X o ^f oZi + ^X f ^f Zi + ^X g ^g Zi , ^p(t i ⁾ = ^-X o ^f oZ2 ^{— X} f ^f Z2 ^{— X} g ^g Z2 ^;

• 3)    условие дополняющей нежесткости:

(X f ,f (x(t o ),x(t i )) ) = 0;

• 4)    условие максимума:

max(p(t),^(t,U(t),u)) = ( p(t),U(t) ) для п. в. t G [t o ,t 1 ]; u ∈ U

• 5)    условие неотрицательности квадратичной формы:

k ^{t 1}

^X o f o ^[n,n] ^- E / ^U i ^{( t )}(p(t⁾,^ xx ⁽t^,X(t^),u i ^{( t ))[ h,h ]( t )} i =1 t ₀

+ 2^xu(t,U(t),ui(t))[h,Vi](t) + ^uu(t,x(t),U(t))[vi,Vi](t)^ dt k t1

• - 2 E / e i (t)(p(t),^p x (t,x(t),u i (t))h(t) + ^ u (t,x(t),u i (t))v i (t)^ dt i =1 t ₀

• 2.    Примеры

+ (Xf, /‘‘[П,П]) + (Xg,U'[n>n]) > 0, где n = (h(to), h(ti)).

Если множество U компактно, то траектория локального инфимума в задаче (1) , (2) , (6) является допустимой для выпуклой системы (3) , (4) при k = n + 1 .

Как можно видеть, необходимые условия представляют собой семейство соотношений, параметризованное тройками (x,a,u). При этом, если, в частности, U — оптимальная траектория в задаче (1), (2), (6), то эти соотношения при k = 1, U i =1, U i = U и в 1 = 0 содержат известные условия оптимальности второго порядка (см., например, [8, 9]), а также и другие соотношения, которые, вообще говоря, дают дополнительную информацию об оптимальной траектории (см. пример 2 ниже). Таким образом, сформулированная теорема усиливает и обобщает принцип максимума Понтрягина и известные условия оптимальности второго порядка.

Из последнего утверждения теоремы следует, что если множество U компактно, то для траектории локального инфимума в задаче (1), (2), (6) всегда можно выписать семейство необходимых условий оптимальности второго порядка вида 1)-5).

Пример 1. Это пример управляемой системы, для которой можно дать критерий ее локальной управляемости относительно функции, вообще говоря, не являющейся допустимой для этой системы.

Отметим, что если в определенном выше множестве U множество U открыто, то несложно проверить, что в этом случае само множество U также открыто.

Пусть U 0 — открытое подмножество R , содержащее элементы разных знаков, и U таково, что U o С U С clU o .

Рассмотрим следующую управляемую систему:

х 1 = и, х 2 = x ₁ f ₁ (u) + x 2 f ₂ (u), u(t) Е U для п. в. t 6 [0,1], Х 2 (1) - Х 2 (0) <  0, Х 1 (0) = 0,  Х 1 (1)=0,

где функции f i и f 2 дважды непрерывно дифференцируемы на R , f i (0) =0 и f 2 (0) ^ 0.

Заметим, что функция U = (U i ,U 2 ) = (0,0) может быть недопустима для данной системы.

Предложение 2. Система (7) локально управляема относительно функции U = (0, 0) тогда и только тогда, когда соотношения f i (u) = Y i u и f 2 (u) ^ Y 2 u, u Е U, не выполняются одновременно ни для каких Y i Е R , i = 1, 2 .

• <1 Необходимость. Пусть система (7) локально управляема относительно функции U = (0, 0). Покажем, что указанные соотношения не выполняются. Допустим, что они выполняются для некоторых Y i Е R , i = 1, 2. Тогда для любой допустимой для системы (7) траектории х0 = (x i ( - ),Х 2 ( - )), интегрируя по частям, будем иметь

Х 2 (1)

^{— х} 2 ⁽⁰⁾ =

У (x 1 (t)f 1 (u(t)) + x ² (t)f 2 (u(t))) dt

>

У (Y 1 Х 1 (t):Х i (t) + Y 2 x 1 (t)Х i (t)) dt = 0, 0

т. е. функция х0 Н х 2 (1) — х 2 (0) не может принимать никаких отрицательных значений и значит, система (7) не является локально управляемой относительно U.

Достаточность. Пусть соотношения, указанные в предложении, не выполняются одновременно. Покажем, что в этом случае система (7) локально управляема относительно функции х = (0, 0). Снова доказываем от противного. Предположим, что система (7) не локально управляема относительно х. Тогда не выполнены достаточные условия управляемости и тем самым, согласно теореме 1, для любых Ui G Uo и ai G [0,1], i = 1, 2, ai + a2 = 1, для которых справедливы равенства

0 = a i u i + a 2 U 2 , 0 = a i (0f i (u i ) + 0f 2 (u i )) + a 2 (0f i (u 2 ) + 0f 2 (u 2 )),          (9)

i i (0) = 0, i i (1) = 0 и любого набора (h,e,v) G AC ([0,1], R ² ) x (A 2 — a ) x (L ^ ([0,1])) ² (в = (в 1 ,в 2 ), v = (v i ,V 2 ), a = (a i ,a 2 )) из множества критических вариаций K(x,a,u) найдутся набор множителей Лагранжа (A o ,A i ,A 2 ), A o ^ 0, и вектор-функция р0 = (Р 1 ( ' )>Р 2 ( • )), не равные одновременно нулю, такие, что выполнены соотношения:

p1(t) = —P2(t)(ai (f1(ui) +0f2(ui)) + a2(fi(u2) + 0f2 (U2))), p2(t)=0, pi(0) = Ai, pi(1) = —A2, P2(0) = P2(1) = —Ao, выполнено условие максимума для п. в. t G [0, 1]:

max p _i (t)u = 0                                  (11)

u∈R и справедливо условие неотрицательности квадратичной формы:

—

Е/ i =1 ₀

a i (p(t),^ xx (0, U i )[h, h](t) + 2^ xu (0,U i )[h, V i ](t) + ^ uu (0, U i )[v i ,v i ](t) ) dt

— 2

2¹ z i =1 ₀

e i (t)(p(t),^ x (0, U i )h(t) + ^ u (0, U i )v i (t)) dt >  0.

Из (10) и (11) следует, что p0 = (0,p ₂ ) и p ₂ <  0.

Ясно, что любые U i < 0 и U 2 >  0, принадлежащие U o , a i = — ui — u2 и a 2 = u 1 - _{u 2} удовлетворяют первому уравнению в (9). Второе выполняется всегда. Подставляя эти α 1 и α 2 в первое уравнение в (10), получаем, что справедливо соотношение

U 2 f i (U i ) = U i f i (U 2 )

для всех указанных U i и U 2 . Отсюда следует, что частное ^{f 1} Uu ) есть константа на U o \{ 0 } , т. е.

fi(U) = YiU для всех u G Uo, отличных от нуля и некоторого Yi• Если 0 G Uo, то равенство сохраняется, так как fi(0) = 0, а тогда, по непрерывности, оно верно и для всех U G U.

Докажем теперь, что существует такая константа Y2, что f2(u) ^ Y2 и для всех и G U. В рассматриваемом случае K(a, a, и) — это совокупность таких наборов (h, e,v), что h = (ai^x (0, Ui) + a2^x (0, U2 ))h + ei (tM0, Ui) + в2^Ы0, U2)

+ ai^u(0,Ui)vi(t) + a2^u(0,U2)v2(t),   h2(1) — h2(0) < 0,   hi(0) = hi(1) = 0}, где h = (hi, h2)T и напомним, ^(х,и) = (и, xifi(u) + x‘If2(u)')T.

Так как ^x (0,Ui) = (0, fi(Ui))T, i = 1, 2, то в силу доказанной линейности fi и того, что aiUi + a2U2 = 0, имеем ai^x(0, Ui) + a2^x(0, U2) = (0, Yi(aiUi + a2U2))T = (0, 0)T.

Далее, ^u(0,Ui) = (1, 0)T, i = 1, 2, и поэтому включение (h,e,v) € K(x,a, и) означает, что hi = ei(t)ui + e2(t)u2 + aivi(t) + a2V2(t), h2 = 0, Ы1) - Ы0) < 0, hi(0)= hi(1)=0.

Несложные вычисления показывают, что ^ xx (0,u i )[h,h] = (0, 2f 2 (u i )h ² ) ^T , ¥ xu (0,U i )[h,v i ] = (0, f i (u i )h i V i )^T и ^ uu (0,u i )[v i ,V i ] = (0, 0) ^T , i = 1, 2. Подставляя это в квадратичную форму (12), будем иметь

• - 2p 2 J ^(a i f 2 (u i ) + a 2 f 2 (u 2 ))h 1 (t) + (aifi (u i )v i (t) + a 2 f i (u 2 )v 2 (t)^ h i (t) 0

+ (e i (t)f i (u i ) + e 2 (t)f i (u 2 ))h i (t)) dt >  0.

Учитывая то, что f i (u) = Y i u и выражение для h i , получим

(a i f i (u i )v i (t) + a 2 f i (u2)v 2 (t))h i (t) + (e i (t)f i (u i ) + e 2 (t')f i (u2')')h i (t)

= Y i (a i v i (t) + a 2 V 2 (t) + e i (t)u i + e 2 (t)u 2 )h i (t) = Y i h i (t)h i (t).

Так как h i (0) = h i (1) = 0, то интеграл от этого выражения равен нулю. Следовательно, неотрицательность квадратичной формы означает, что

(a i f 2 (u i ) + 0 2 / 2^2 ))

J h²(t) dt >  0

и поэтому aif2(ui)+ 02/2(0,2) > 0. Подставляя сюда ai = -ц^ и a2 = u-u-u-, приходим к неравенству u2f2(ui) > uif2(u2), справедливому для любых ui < 0 и u2 > 0, принадлежащих U. Далее, рассуждая аналогично предыдущему (см. равенство (13)), получим, что f2(u) ^ Y2 u для всех u € U и некоторого γ2 .

Таким образом, доказано, что если система (7) не локально управляема относительно х = (0, 0), то выполняются одновременно соотношения f i (u) = Y i u и f 2 (u) ^ Y 2 u для всех u € U и некоторых Y i и Y 2 . Этим доказана достаточность. >

Теперь приведем пример, когда теорема 3 дает больше информации по сравнению с принципом максимума Понтрягина и известными необходимыми условиями второго порядка.

Пример 2. Рассмотрим следующую задачу вариационного исчисления:

J(х()) = ((x)f)/\(x(t)) + х ² (t)f ₂ (:b(t))) dt ^ min, 0

х(0) = 0, х(1) = 0, (15)

где функции f i и f 2 дважды непрерывно дифференцируемы на R , f i (0) =0 и 7 2 (0) ^ 0.

Задачу будем рассматривать на пространстве функций х( - ) € AC([0, 1]), для которых Х0 € L ^ ([0, 1]). Напомним, что функция х(^) доставляет сильный минимум в задаче (15), если существует такая ее окрестность O в C([0, 1]), что J(х(^)) ^ J(Х(У) для всех допустимых функций х( - ) € O .

Нулевая функция, очевидно, допустима в задаче (15). Нетрудно показать, что для этой функции выполняется принцип максимума Понтрягина и известные необходимые условия минимума второго порядка и тем самым она подозрительна на сильный минимум (независимо от того какой вид имеют функции f 1 и f 2 ). Но рассматривая эту задачу как задачу оптимального управления и применяя теорему 3, можно получить дополнительные содержательные условия.

Действительно, запишем задачу (15) как задачу оптимального управления в форме Майера:

X 2 (1) - X 2 (0) ^ min, x i = u, x 2 = x i f i (u) + x i f 2 (u), u(t) G R для п. в. t G [0,1], x 1 (0) = 0, x 1 (1) = 0.

Очевидно, что X i — сильный минимум в задаче (15) тогда и только тогда, когда пара (x,u), где x = (x i ,x 2~ ) и и = X i , доставляет сильный минимум в задаче (16).

Справедливо следующее

Предложение 3. Для того чтобы нулевая функция доставляла сильный минимум в задаче (15) необходимо и достаточно, чтобы существовали такие константы γ 1 и γ 2 , что f 1 (u) = Y 1 u, а f ₂ (u) >  Y 2 u для всех и G R .

• <1 Из предложения 1 следует, что если нулевая функция доставляет сильный минимум в задаче (16), т. е. является оптимальной траекторией для этой задачи, то она есть геометрически оптимальная траектория для управляемой системы

X 1 = u,   X ₂ = x i f i (u) + x i f ₂ (u),    u(t) G R для п. в. t G [0,1],

x ₂ (1) — x ₂ (0) C 0, x 1 (0) = 0,   x 1 (1) = 0.

Необходимыми условиями для нее являются, как было отмечено ранее, отрицание любых достаточных условий локальной управляемости системы (17) относительно нулевой функции. В предложении 2 (где надо взять U o = U = R ) сформулированы достаточные условия, заключающиеся в том, что соотношения f i (u) = Y i u и f 2 (u) ^ Y 2 u, u G R , не выполняются одновременно ни для каких Y i G R , i = 1, 2. Следовательно, если нулевая функция доставляет сильный минимум в задаче (15), то существуют такие константы Y i и Y 2 , что f i (u) = Y i u, а f 2 (u) ^ Y 2 u для всех u G R . Необходимость доказана.

Достаточность следует из того, что если выполняются указанные соотношения, то, согласно (8), нулевая функция доставляет глобальный (и тем самым сильный) минимум интегралу в (15). >