Локально насыщенные -подалгебры, локально инъективные отображения и n-условие Лузина

Рассмотрим простейшее уравнение g Tf , где оператор T имеет вид

(Tf )( w ):= f (a ( w )) .           (1)

Оператор вида (1) в разных работах называют оператором подстановки, оператором сдвига, оператором замены переменной, оператором внутренней суперпозиции, композиционным оператором, оператором, сопряженным отображению a , причем каждое из названий отражает одну из характерных черт этого оператора.

Ниже дается одна теорема, дополняющая утверждения из обзора [1, с. 18, 19].

Пусть (В, J⁷, n ) и ( Q , Z , ^ ) - стандартные измеримые пространства (пространства Лебега) с неатомарными (диффузными) мерами [9] ν и µ .

Измеримое отображение a: Q ^ h , удовлетворяющее условию ("независания")

BE Л n ( B ) = 0^ m ( a- 1 ( B )) = 0,   ( N -¹)

порождает    по    формуле    (оператор подстановки [1, с. 18])

(Tf )( w ):= f ( a ( w ))

^∗ Работа выполнена при поддержке АО "ПРОГНОЗ".

(для каждого fEL (Q) при m — п.в. wE Q) порядково непрерывный [1, с. 13] гомоморфизм T банаховых алгебр L (E) := L (S, ^, n ) и L ° ( Q ) := L ° ( Q , Z , ^ ). Ввиду порядковой непрерывности оператора T : L ( H ) ^ L ( Q ), следующей из условия ( N ^-1), имеется оператор T^r : L ’(Q)^ L ¹(S) , дуальный к оператору T относительно естественной двойственности a(L. L ). При этом ясно, что T – банаховый предвойственный оператор к оператору T , т.е. T = t T .

Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:

• 1)    существует разбиение Q = Q¹LlQ⁰ такое, что m (Q⁰) = 0 и для v -п.в. каждой точки X gE множество a~ ^!( X ^Q¹ не более чем счетно ;

• 2)    оператор T^f : L (Q) ^ L (Е) является атомарным : существует атомарная случайная мера (^ ) ^ _еН такая, что

• (Tf)(w ) = £_1^ ff (w) ms (dw) (*)

для каждой f g L ( Q ) при v -п.в. £ g5 ;

• 3)    существует последовательность

Qk/^  (^k  ^,k = 1,2,...) такая, что при каждом k

сужение а^k : Qk ^5 обладает свойством (aN): для любой последовательности A е S A Qk, AS0 существует последовательность Bn FF ^ 0 такая, что a(An) С Bn при каждом n = 1,2,...;

• 4)    существует набор множеств Q k^ ( k = 0,1,..., N) ( N может быть и да ) такой,

что:

• a)    m (Q₀) = 0, m (OJ>0 при k >0 ;

• b)    Q _k n Q l = 0 при k ^ l ;

• c)    U k =0 Q k = Q ;

• d)    при k >0 отображение a_k := a _Q : Q _k о 5 инъективно и удовлетворяет N -условию Лузина [3, с. 58]:

A Е ЕПQ,, m ( A ) 0 ; n ( a ( A )) = 0 ; ( N )

• 5)    существует разбиение Q = Q¹ LI Q⁰ такое, что m (Q⁰) = 0 и сужение а 1 : Q ¹ ^5 удовлетворяет N -условию Лузина ;

• 6)    оператор T^f : L (Q) —> L (S) локально непрерывен по мере : существует последовательность Q ^k /' Q (Q^ E E, k = 1,...) такая, что при каждом k оператор T_k := T % обладает свойством непрерывности по мере : если g_m Е L (О) ( m = 1,2,...) и g m ^{О 0(} ^ ) , то T k g m ⁰⁽ n ) ;

• 7)    оператор условного математического ожидания (у.м.о.) [1, с. 21] р := E (• | SJ: L (Q) —> L ¹ (Q) локально непрерывен по мере;

• 8)    любой (локально) непрерывный по мере сюръективный линейный оператор S : L ( Х _а ) ^ L ( Е ) имеет локально непрерывное по мере линейное продолжение S: ^(Е ) ^ ^(Е );

• 9)    оператор T локально сюръективен [7, 8]: для любого A gE с m ( A )>0 найдется B gE n A с m ( B ) > 0 такое, что L ( B ) Cim T .

Доказательство проводится по схеме: 1)^2), 4)^2), 2)^4), 4)о3), 4)^1),

4)о5), 3)о6), 5)о2), 2)об), 2)07), 7)08), 8)02), 4)09), 9)о2).

• 1)    О 2) . Согласно предложению 5.1 [13] существует случайная мера (^ ) ^ _g5 такая, что оператор T^f : L (Q) —> L (Е), действует по правилу

( Tf )( w ) = £_1_(€ f ( w ) m x ( dw )      (*)

для каждой f g L ( Q ) при v -п.в. £ g5 .

Разложение Лебега случайной меры (^ £ ) £ _g5 на две компоненты - атомарную

(дискретную) ^ £ и диффузную (неатомарную) и £ - дает представление оператора T в виде T' = T + T_d' . Поскольку множество при v -п.в. £ g5 (всех ^ gQ ¹ ) не более чем счетно, то из (*) следует:

(T d f )( w )= Г     f ( w ) m x ( dw ) = 0

a ⁽ x )

для каждой f g L ( Q )  при v -п.в.   £ g5 .

Значит, T_d =0 и, следовательно, T¹ = T_a¹ .

• 4)    о 2). Так как отображения a_k , ( k = 1,2,...) удовлетворяют N -условию, то по теореме Лузина [2, с. 69], [3, с. 114], [7, с. 305] a_k переводит Е -измеримые множества в F -измеримые. Поэтому, в частности, множество 2р= a_k (QJ измеримо. Ясно, что отображение a_k : Q _k о 5 _k обратимо. Для обратного    отображения     e_k : 5 _k о Q _k

согласно N -условию имеем:

AeE nQk, m (A) = 0o n (b£( A)) = n (ak (A)) = 0, k = 1,2,....  (N ’)

Свойство (N*) означает, что отобра жение  ek : 5k о Qk обладает свойством

( N ^-1).

Обозначим:     T_k = c_Q T ,      k = 0,1,....

Поскольку набор  { Q _k } N = ₀  - измеримое

∑ N

Tk . Вытекающую из стандартной двойственности цепочку равенств

< Tk'g , ^f >=< g , ^Tk^f >= / g ⁽ w ) ^{f (} a ⁽ w )) ^dw ,

k справедливую при всех g g L (Q) и при всех f g L (2), применив при k >1 замену переменной ы = вк (О) можно продолжить:

• < T k g , ^f >= fg ⁽ w ) ^{f (} a ⁽ w)) m ⁽ dw ) = k

= /g (bk (x)) f (x) Гк (x) n (dx), k dn ( b где Гк(x) := —~,----(x) (x € ^k ) - производная dm

Радона–Никодима [2, с. 60, 61], [3, с. 577–586].

Определим весовой коэффициент bk :H^Q формулой bk (°) = pk (О при О ghk и bk(О) = 0 при OGhk, а обратимое отображение ek : Нk ^ ^k продолжим до отображения    ek : Н ^ Q    совершенно произвольно. Из предыдущих рассуждений ясно, что оператор   Tk : L (Q) —> L (S)

действует по правилу

(T k g )( x ):= b k ( x ) g ( b ( x ))

(для каждого gEL(n) при n — п.в. xe S), т.е. является гомоморфизмом Рисса [12, 13] – простейшим атомарным оператором.

Таким образом, T      при каждом k = 1,...,N, и потому оператор T = ^NT/, представляющий собой порядковую сумму атомарных операторов, является атомарным.

– это множество атомарных операторов из L (Q) в L (5) .

Ядро ker T гомоморфизма Рисса T : L '(2)^ L (Q), является полосой решетки L (S) вида L ( B ), где B = suppker T . Отсюда имеем x _B ( а ( ы )) = 0 при всех Ы GQ и    поэтому     а { ы : а ( ы ) g B } = 0,    т.е.

mt(a~ ¹ ( B )) = 0 , и ясно, что Q_o = a "' ( B ) .

Если ker T = 0, то   n (B) = 0 и, поскольку, a(Qo) = B, то m(a(Qo)) = 0. Значит, N-условие выполнено для а0 = а^ только в случае ker T = 0 .

Вывод. Свойство 4) вместе с условием m(a(Qo)) = 0 влечет за собой тот факт, что для п.в. О gh (всех О gh \ B) прообраз а \О) = {Ьк(О):k = 1,...,N}  не более чем счетен.

N

Положим н := ^ н _k и S := а '( F пН ) . k =1

Из утверждения 4) следует, что ~ удовлетворяет Ω -условию. Действительно, N

Q = J Q_k - не более счетное измеримое k =1

разбиение (mod m) пространства Q, и, поскольку взаимно обратные отображения ak : Q k ^Н k     и     Л, = аЕ: Н k >Q k удовлетворяют       N-1 -условию,      то

~ nQ k = ak1( F пн k ) = ZnQ k   при всех k = 1,2,..

Легко понять, что верно и обратное утверждение (в усиленном варианте).

Пусть а -подалгебра ~ а -алгебры S удовлетворяет Ω -условию. Тогда для любого стандартного пространства   (S,7, n)   с неатомарной мерой существует (и таких необозримое    множество)    измеримое отображение а: Qk ^ н , удовлетворяющее

( N ¹) - условию и утверждению 4).

N

Пусть Q = J Q _k k =1

измеримые множества меры такие, что ~ nQ k

~

– разбиение Ω на

Qk  положительной

= S n Q _k при каждом

а ( ы ) ~ = а_k ( ы ): Q _k ^2 следует, что при

|Q k каждом k отображение α инъективно на некотором подмножестве Qk = Qk \ Qk, где исключаемое множество Qk имеет меру N нуль. Полагая теперь Q0 = ^Qk , получаем k=1

N разбиение Q = | | Qk, удовлетворяющее k=0

утверждению 4).

Отметим, что основанная на теореме о метрическом изоморфизме конструкция а -подалгебр, удовлетворяющих Q -условию, является не только стандартной, но и по существу единственно возможной.

• 2)    => 4). Для краткости записи характеристическую функцию множества A будем обозначать через   1 A := x A   и

• отождествлять ее с оператором умножения f н XAf . Рассмотрим сначала простейший случай.

• A) T : L (Q) —> L (Е) - гомоморфизм Рисса. Согласно теореме о представлении оператор T действует по правилу

(Tg )( X ):= b ( X ) g ( h ( X )) (') (для каждого g E L ¹(E) при n — п.в. ^E E), где вес b : E Q - неотрицательная измеримая функция, строго положительная на множестве Sj := supp b ; отображение П : H^Q удовлетворяет ( N ^{- 1})-условию на множестве Q:= h ”¹(5₁):

AE^ nQ, m ( A ) 0 : n ( h\A)) = 0, . ( N -¹')

Сопряженный (даже порядково сопряженный [2, с. 392, 393]) к решеточному гомоморфизму T оператор T = T^f является, как известно, оператором Магарам [1, с. 22]: образ любого порядкового интервала есть полный порядковый интервал (без дырок), т.е.

T [ - 1 q ,1 q ] = [ - T 1 q , T 1 q ] = [ - 1 q ,1 q ].

Порядковый интервал [— 1Q ,1Q ] := :={ /EL (Q):| f (w )|<1 n — п.в. wE Q} - это единичный шар пространства L (Q). Следовательно, оператор T сюръективен.

Ядро гомоморфизма T , как уже отмечалось, есть полоса [3, с. 385, 386] L ( B ), носитель B = suppker T определен с точностью до v -меры нуль. Из соотношений ортогональности ker T = im T^r следует, что B = H \ S 1 =: H C .

Таким образом гомоморфизм Рисса (даже банаховых алгебр) T := Thi : L (Ej) —> L (Q) обратим. Отсюда заключаем, что сужение а := а~ : Q ^ H обратимо в классе измеримых отображений: существует измеримое отображение в : H ^ Q с Q, удовлетворяющее условию (N-1) на £ и такое, что:

• 1)    a ( b 1 (X )) = X для v -п.в. ^g^ ;

• 2)    b 1 ( a ( w )) = w для ^ -п.в. ^ g Q .

Из 2), в частности, следует существование подмножества Qo с Q меры нуль, для которого сужение отображения а на множество   Qj := Q \ Qo инъективно и удовлетворяет (N-1) -условию. Положим Qo = Q \ Qi.

Сопоставляя (‘) и (N-1), заключаем: Пн№ = в1№ для v -п.в. ^g^; сужение а^ инъективно и, ввиду равенств а(A) = в- (A) , справедливых для всех A g S n Qj, удовлетворяет N-условию Лузина.

Таким образом, в случае A) из 2) следует 4), причем разбиение Q состоит всего лишь из двух множеств Qo и Q1. В этом случае при v -п.в.  ^ g S множество а-1(^) nQ1 состоит не более чем из одной точки. Множество же Q 0, имеющее нулевую меру, может "раздуваться": m(Qo) = 0 , но если v(H \ H1)>0, то n(a(Qo))>0 .

Условие   v( H \ H1) = 0 эквивалентно условию n(S\ a(Qo)) = 0 и эквивалентно в предположении    T Е £а    обратимости отображения а:Q^S в классе измеримых отображений, удовлетворяющих условию (N-1).

Рассмотрим теперь общий случай.

• B)    T^r : L (Q) —> L (Е) - атомарный оператор (порядковая сумма гомоморфизмов Рисса). Согласно теореме Л. Вейса [13, теорема 6.2] существует последовательность T T   ( n = 1,...) локальных гомомор

физмов Рисса. Так как 0< T_nr *= T по двойственности    а ( L ¹, L )   и оператор

T : L ( H ) ^ L ( Q ) - порядково непрерывный гомоморфизм банаховых алгебр, то

T n =( T n C) T .              (**)

При     п.в.      ^ gQ     имеем:

( T n 1 _S )( ^ ) / ( Т 1 _S )H=1 _Q .

По теореме Егорова [2, с. 65], [3, с. 110] существует последовательность      ^l

(Q l Е Е,     m (Q ¹ ) > 0,     l = 1,...)   такая, что

( T ^:)( ^ ) ^ 1 равномерно на Q ¹ при всех l .

Выберем n = n ( l ) так, чтобы (T_n 1_н )(а>) > ^

для всех ^ gQ ¹ . Из равенства (**) следует 1 _z Т < 2 • 1 _z Т_{п( Z)}. Отсюда ввиду монотонности канонической двойственности    а ( L , L )

получаем:    0 <  T '1^ < 2 • Т_п' 1^ . Оператор

2Т_п1 _z, поскольку он мажорируется локальным гомоморфизмом Рисса 2Т_п' , сам является локальным гомоморфизмом Рисса. Согласно определению локального гомоморфизма Рисса существует Z -измеримое разбиение N ( l )

Ql = | | Qlk такое, что оператор T” := Т'1 z k=0                                                  k есть гомоморфизм Рисса.

Из рассмотрения простейшего случая A) мы заключаем: для каждого l = 1,...

N ( l )

существует измеримое разбиение Q ^l = | Q ^l _k , k =0

удовлетворяющее условиям утверждения 3):

• a)    m (Q ^l ₀) = 0, m (Q ^l _k ) > 0 при k >0;

• b)    Q ^l n Q ^l = 0 при i ^ j ;

• c)    при     k >0    отображение

ak := al : Qk ^^ инъективно и удовлетво ряет N-условию Лузина на Z nQlk.

Положим Ц := Q1, Qz+1 := Ql+1 \ Ql при l > 1. При каждом l = 1,. рассмотрим решеточный гомоморфизм Т :=^ Т: L (S)^ L (Qz). Так как Т := Тг1^ - атомар- ный оператор, то из предыдущего рассуждения следует, что найдется разбиение

N ( l ) ~

~Л     ~Л

Ql = | Qlk, удовлетворяющее условиям k=0

a),

b), c). Согласно построению

ЭС _       ЭС          ~      sup l N ^{( l} )        ~

=II ^=11II ^k = U II ^k, l=1         l=1 kk и потому измеримое разбиение Ω , состоящее из множеств Q^ = | Qlk, удовлетворяет

N (l )> k всем условиям утверждения 4).

• 4)    => 3). Напомним, что запись

Qk/О  означает  Qk с Qk+1  при всех k = 1,2,. и ^(Q\Qk) ^ 0 при k ^ад .

Выберем последовательность множеств Q_zgS ( l = 0,1,...) , удовлетворяющую условиям утверждения 4). Покажем, что последовательность Q ^k := u k = ₀ Q _l  ( k = 1, . )

удовлетворяет условиям утверждения 2). Так как m(Q\ QN) = m(Qo) = 0, то Qk/Q. При всех          l = 1,.          отображение al: Qz   Sz := a(Qz) удовлетворяет N -усло вию Лузина. Поэтому из равенств

B := a ( A ) = u k.! a ( A П Ц ) = u k = j a , ( A n Q,) следует, что образ B := a ( A) T -измерим для любого   A g Z n Q ^k . Если   A_n g Z n Q ^k и

AnS 0, то Bn := a (A ^T7 и Bn S 0. При этом n (B„ ) = n (U k=1 al (AnnQl ))< k

<£n ( a l ( A n nQ l ))0, l =1

так как n ( a _z( A HQ_z))——>0 ввиду обратимости a : Q; ^S/ в классе измеримых отображений.

• 4)    => 1) . Действительно, положим Q ⁰ := Q ₀ и Q ¹ := U N =1 Q _k . Из доказательства утверждения 4) извлекаем: a~ ’( X ^Q¹ = {Я( X ): kEl x }, где I ; :={ k ^ gS k }.

• 4)    => 5) . Аналогично доказательству импликации 4)^>1) полагаем Q ⁰ := Q ₀ и Q ¹ := U N =1 Q k .

• 3)    => 6) . Зафиксируем некоторую последовательность    Q k e X     ( k = 1,...),

удовлетворяющую утверждению 2). Так как Qk/Q, то Тк := Т1 k XT' в банаховой решетке В(/1(0), L1^)) . Проверим, что при каждом k = 1,. оператор Тк и -непрерывен. Согласно теоремам [12, теорема 5],  [13, теорема 6.5], из этого факта следует, что ТеСа.

Пусть f m^ L^,  || fm ||<1 ( m = 1,2,...)

и ^f m    m ^oo ^{? 0(} m ) .

Тогда Amn :={®e°k :| fm |>1}/0 при n m ^ а для каждого целого  n = 1,2,....

Согласно утверждению 3)   найдется последовательность Bmn eF   (m = 1,2,...)

такая, что  Bmn ^0  при m ^а и a(Amn) С Bmn. Представим функцию fm в виде fm = f1 n + fmn,    где    f1 n :=1 A  fmи mn jf :=1n\A  fm  Поскольку  1=\B  («(») = ° mnmn при всех ω ∈ Amn , то

W^ B^f n^== mn                 mnmn

=< T1^B  ,1A l fm l>= mn   mn

= f  L\ b ( a ( w ))| fm, ( w )| dm = 0.

A      mn mn

СледОвательнО,   SUpp Tf n^ B m,,

и

потому   Tk fmn n = 1,2,.. По теореме о последовательности найдется при любом диагональной подпоследова-

тельность индексов nm (m = 1,2,...) такая, что mnm    m.

Очевидно, || Tf ||<— m (Q). n_m

Поэтому    W T^f^ \\ m    '0 , и, следовательно, Tf        > 0(n).

m ^m

Таким образом,

Tf = Tf nm+ T k/mnm-m^ «n )^.

• 5)    => 2) . Пусть справедливо условие

• 5) . Предположим, что условие 2) не

выполнено:  Tf: L(Q) —> L1 (5)  не является атомарным оператором. По теореме о разложении [10], [11], [12, следствие 1], [13, предложение 2.6] оператор T представим в виде дизъюнктной суммы  Tf = T + T атомарной T и диффузной T компонент.

По предположению T ^0. Для сопряженных      операторов      имеем

T = T* = T* _|_ T*, причем дизъюнктность слагаемых сохраняется. Положительные операторы T := T* и T := T^ мажорируются [1, с. 12] решеточным гомоморфизмом T (являются его осколками [1, с. 12]). Отсюда следует что T1 и T2 - порядково непрерывные решеточные гомоморфизмы, действующие по формулам: (Tf )(w ) = a ( w ) f (a ( w )) и (Tf )( w ) = a 2( w) f (a ( w )) (для каждой f gL1(S) при п.в. ^eQ).

Дизъюнктность T a T ₂ =0 эквивалентна дизъюнктности носителей весов Qj := supp a_x и Q₂ := supp a ₂, т.е. Qj П Q₂ = 0 (mod m ) и Qj U Q₂ = Q (mod m ) . Значит, T 1=^ T и T 2 =1q₂ T .

По теореме Лузина [2, с. 69], [3, с. 114], [9, с. 305] множество E₂ := a (Q₂) измеримо.

Так как T2 ^ 0, то m(Q2)>0 и n(S2)>0. Оператор T := T2|i^g): L(S )^ L°° (Q) (5 :=S2, ^ :=^2) является решеточным и алгебраическим гоморфизмом решеточных банаховых алгебр L (5) и L (0). Опять- таки ввиду условия Лузина поэтому Tˆ есть изометрия подрешетку L (Sa ПП) С L1 (S).

ker T = {0}, L ” ( 5 ) на

Таким образом, убирая хэт-штриховку и не потеряв общности, можно заранее считать сопряженный с оператором

T : L ( 5 ) ^ L^ ( Q ) оператор T : L (Q) —> L (Е) , который является диффузным оператором (или интегралом по диффузной случайной мере). Ссылась на теорему [4, глава 3, § 2, примечание к главе 3] об изоморфизме сепарабельных пространств с безатомными мерами, можно далее предполагать что Ω и Ξ – польские пространства с диффузными мерами µ и ν .

Согласно основной теореме из [5], диффузность оператора T , эквивалентная антиинъективности [9, 7, 8] порождающего отображения a: 5^0, эквивалентна существованию диффузной подалгебры Στ , независимой от Σα . Следовательно, можно отождествить а -подалгебру a(Ia, IT) с проективным тензорным произведением ^ := Sa ®ЕТ, тем самым вложив Ia ®ЕТ в I. Так как a~1 (Т7) = Sa xQ при таком вложении i: Sa ®ST = a(Sa, ST) ^S то а -гомоморфизм a~1 : Т7 — М "пропускается" через оператор тождественного вложения ia :Sa xQ^S, т.е. iaa-1 = a-1. Отсюда заключаем, что a^ = apa, где Pa :S1 := Sa ®St ^Sa =Sa xQ - есть проекция на первый множитель тензорного произведения E. На базовых AxB (Ae Sa, BE St ) элементах этого произведения проекция pa действует по правилу AxB н AxQ. Теперь, учитывая, что сужение рт := pQxS является диффузной мерой (а потому непустых множеств нулевой меры там больше чем континуум), мы можем сказать, что для всех базовых множеств C:= AxB eS1, для которых ma(A)>0, а mT (B) = 0, образ a(C) имеет ненулевую меру: n(a(C)) = m(A), - но m(C) = 0. Получено противоречие с N-условием.

(N)-условие Лузина не эквивалентно (oN )-условию. Имеется только импликация (an) ^ (N) . Приведем простой пример как демонстрацию невозможности полного обращения. Пусть Q = Е = [0,1],  р = v - обычная мера Лебега на [0,1]. Кусочно вательности 4/0 (An Е Т7) существует последовательность Q„ / Q, Qw е S, такая, что a-1(Q n ) n An = 0 для всех n = 1,2,..;

• 3)    оператор T : L ^!(Q)^ L(^) непре

рывен по мере на  L1 -ограниченных множествах;

• 4)    оператор    T* = T^г** :    сохраняет

разложение Иосиды - Хьюитта [1, с. 36-39]:

T *( L~(Qt ) С L~ «, T *( L ~(Q) S ) G L ~(Е) * .

1)=>2). По условию (oN ) для A n ^ 0 существует B_n ^ 0 : a ( A n )с B_n . Отсюда A_n C a"/B_n ) при всех n = 1,2, . , причем a * ( B n )/ a 1 ( B ), где B , := n n B_lt . Так как n ( B_n ) = 0, то, ввиду условия N ^-1, m ( a 1 ( B^ )) = 0. Поэтому Q_w := Q\ a ~ 1 ( B_n ) X Q . Ясно, что a ^-1 (Q„) П A = 0.

Легко заметить, что проведенное рассуждение обратимо. Таким образом, справедлива эквивалентность 1) о 2) .

Импликация    1)^3)    фактически имеется в доказательстве 4)=>2) основной теоремы.

• 3)    => 4). Включение T * ( L (Q)*_c) с L (Е)^;_с  справедливо для всех порядково

  линейное отображение a : Q^S определим

  
  

  так:

  
  

  a ( w ):= n ( n + 1) w —

  
  

  n + 1

  
  

  если

  
  

  w

  
  

  1  £

  n + 1 n

  
  

  и a (0) = 0.

  
  

  Выполнение условия Лузина очевидно (во всяком случае - совсем легкое упражнение по теме "Теория меры"). Однако, (oN ) -условие здесь выполняется на любом

  
  

  непрерывных операторов T : L ( Е ) ^ L ( Q ) .

  Проверим включение T *( L (Q)^;) С L (Е)^;.  Пусть сингулярный функционал

  Ле L™ ( Q ) *    сосредоточен на элементах

  последовательности     B_n У 0     ( B_n Е S,

  n = 1,2,...). Из равенств

  < C A , Tl >=< c A , T * C b l >= n

  
  

  подотрезке

  
  

  всем отрезке

  
  

  для A n :=

  
  
  
  

  := — ,1 , но не выполняется на n

  О . Действительно, a ( A_n ) = Q

  1     ,

  
  

  , n + 1 n

  
  

  < c^B_nTcA , l > <  cB_na_a- 1 ( A ), l > следует,      что       T * x_Q Л = 0      при

  n

  Q_n := Q \ a~ ¹ ( A_n )   Q. Значит, функционал

  T * Л     сосредоточен    на    элементах

  последовательности    B_n := a ¹⁽ A n )Z0   и

  
  

  Следующие утверждения эквивалентны:

  • 1)    существует разбиение Q = Q1UQ⁰ с Q ⁰ = 0 такое, что сужение a^ 1 : Q ¹ ^ Е удовлетворяет oN -условию ;

  • 2)    отображение a : Q^E обладает свойством    ( S ):  для любой последо

  
  

  потому сингулярен.

  • 4)    >1). Пусть положительный оператор T* = T ^*: L (Q)* —> L (S) * сохраняет разложение Иосиды–Хьюитта. Тогда, как отмечено в статье [6], оператор T : L ¹ (О) —> L ¹ (Е) непрерывен по мере на L ¹ -

  
  

ограниченных множествах. Из эквивалентностей основной теоремы заключаем, что T - атомарный оператор, а отображение a: Q^H после удаления из Q подмножества меры нуль удовлетворяет N -условию Лузина. Из условия N следует, что множество Sj := a (Q) измеримо, а оператор T ^:= T\l°°( ): L (^)^ L (^) есть изометрия.

Предположим, что условие (oN) не выполнено.       Тогда       существует последовательность    Ап Р 0     (Ап£ ^

n = 1,2,...) такая, что n(Пп a(An)) > 0. Каждый из операторов T := T _        является n       I L° (a (An))

изометрией L°° (a(A )) на L (Q, Sn), где Sn :=   {a“ x( B )П An: Be T 0 a (An)}. Поэтому оператор T : L (9, SJ  L (a(An)) обратим, причем обратный оператор (Tn/)"1 - также изометрия, поэтому ||(T/)1||=1. Обозначив A = ^n (a(An )) , заметим: fn := (T/ Г1 Ca

0(m),  но Tf = Ca E0(m) • Возникает противоречие с ранее отмеченным свойством непрерывности по мере, которым обладает оператор T.

2)ф>6) - это одно из утверждений теоремы 6.5 из статьи [13] (теорема 5 из статьи [12]).

• 2) >- 7). Предположим, что оператор

P 1 не является атомарным оператором. Тогда диффузная компонента P^d в разложении Лебега P = P a + P 1 ^d не равна нулю: P^d >0 . Так как оператор T : L (Q) —> L (S) есть изометрия L (Х_а) на L (Е), то из равенств T^f = Tp = Tp ^a + Tp^d     следует,     что

Tpd = T Tp^ . Множество диффузных операторов левый операторный идеал [12, следствия 2], поэтому TP^d - диффузный оператор. С другой стороны, атомарные операторы образуют операторную алгебру, поэтому T — TP“ - это атомарный оператор. Атомарная и диффузная компоненты любого оператора дизъюнктны. Значит, S : TP d = 0. Из равенств S* = P^dT имеем:

P d T 1 q = P t 1 q =0.

Поскольку элемент 1    является единицей решеточной алгебры L (Q), то Pfd = 0. Возникает противоречие.

• 7)    => 8). Локально непрерывное по мере    продолжение    оператора     S :

L (S_a ) —> L (S) очевидно: S = SP 1 ;

• 8)    => 2) . Предположим, что условие 2) не выполнено: оператор T не является атомарным, т.е. T^rd > 0. Как сказано в доказательстве импликации 5) => 2) , не теряя общности, мы можем считать, что оператор T - диффузный. Согласно основной теореме из статьи [5] в этом случае для подалгебры S _a существует независимая диффузная о -подалгебра S _T . Поэтому о -подалгебру Sj := o ( S _a , S _T ) можно каноническим образом отождествить с проективным тензорным произведением S _a ®S _T . Так как о -подалгебры S _a = S _T xQ и S _T сепарабельны и безатомны, то по теореме об изоморфизме [4, глава 3, § 2, примечание к главе 3] найдется сохраняющий     меру      о -изоморфизм

• a : Е^ 7, порождающий обратимую изометрию S : L( S _a ) ^ L ¹( E ). Оператор S , естественно, непрерывен по мере и сюръективен.

Пусть S~ - любое непрерывное линейное продолжение оператора S на L(Q). Покажем, что сужение S = S~  не является локально непрерывным по мере. Но это почти очевидно: S "пропускается" через оператор естественного                    вложения ia := Sa =Sa X Q ^ ^ - ^ ® ^ , т.е. S = S1 ia . Отсюда S1 = Spa, где pa := i~x: Иа0^ SaxQ - оператор проектирования на Sa является диффузным и потому не являетcя локально непрерывным по мере.

• 4)    >9). Так как U^ Q. = Q (mod m ), то для множестве A с m ( А ) > 0 при некотором множестве i    множество

В := A n Qi имеет ненулевую меру. Оператор T : L (Е;.)^ L (О) - решеточный изоморфизм,      поэтому      L (В) С L (Q.) С im T С im T.

• 9)    => 2) . Предположим что оператор T не является атомарным. Как уже выше не раз отмечалось, в этом случае без потери общности можно предполагать, что T является диффузным. Согласно основной теореме из статьи [5], это эквивалентно ненасыщенности [4, глава 2, § 7, с. 89, 90, примечание к главе 2, с. 131] σ -подалгебры Е_а в любой компоненте Ео A с m ( A)>0 . С другой стороны, согласно предположению 9) для A = Q найдется множество B еЕо A с m ( B )>0  такое, что   L ( B )cim T . Но

последнее равенство – это простая переформулировка    насыщенности    σ - подалгебры Σα в компоненте Σ .