Локально-одномерная схема для многомерного уравнения теплопроводности дробного порядка с условиями третьего рода в произвольной области
Автор: Бештокова З.В., Бештоков М.Х., Шхануков-Лафишев М.Х.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.28, 2026 года.
Бесплатный доступ
Исследуется многомерное уравнение теплопроводности дробного порядка с граничными условиями третьего рода в области сложной формы. Вместо исходного дифференциального уравнения рассматривается модифицированное уравнение теплопроводности дробного порядка с параметром регуляризации ε>0. Для приближенного решения модифицированной задачи используется метод конечных разностей. Построена локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского с порядком аппроксимации O(|h|2+τ), суть которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике в норме C. Доказаны устойчивость локально-одномерной разностной схемы и равномерная сходимость решения предложенной разностной схемы к решению исходной задачи при любых значениях 0<α<1. Выбор параметра регуляризации ε может существенно повлиять на скорость сходимости локально-равномерной разностной схемы и качество ее решения. В данной работе представлен подробный анализ выбора оптимальных значений ε, позволяющих наилучшим образом определить скорость равномерной сходимости решения предлагаемой разностной схемы к решению исходной задачи.
Уравнение теплопроводности, уравнение дробного порядка, дробная производная Герасимова - Капуто, краевые задачи, локально-одномерная схема, принцип максимума, априорная оценка, устойчивость и сходимость
Короткий адрес: https://sciup.org/143185543
IDR: 143185543 | УДК: 519.63 | DOI: 10.46698/f6557-1323-1446-g
Locally One-Dimensional Scheme for a Multidimensional Fractional-Order Heat Equation with Conditions of the Third Kind in an Arbitrary Domain
The multidimensional fractional-order heat equation with boundary conditions of the third kind in a domain with a complex shape is studied. Instead of the original differential equation we consider a modified fractional order heat equation with regularization parameter ε>0. The finite difference method is used for approximate solution of the modified problem. A local one-dimensional difference scheme of A. A. Samarsky with approximation order O(|h|2+τ) is constructed. The essence of this scheme is as follows. We reduce the transition from layer to layer to the sequential solution of one-dimensional problems in each of the coordinate directions. Using the maximum principle, we obtain an a priori estimate in the uniform metric in the norm C. Moreover, we prove the stability of the locally uniform difference scheme and the uniform convergence of the solution of the proposed difference scheme to the solution of the original problem for any values 0<α<1. A particular choice of the regularization parameter ε can significantly affect the convergence rate of the local-uniform difference scheme and the quality of its solution. In this manuscript we give detailed analysis of the choice of optimal values of ε such that the rate of uniform convergence of the solution of the proposed difference scheme to the solution of the original problem will be determined in the best possible way.
