Локально-одномерная схема для третьей начально-краевой задачи для многомерного уравнения соболевского типа с эффектом памяти

При математическом моделировании многих процессов в механике, физике, биологии, экономике встречаются такие системы с памятью, поведение которых зависит от всей «истории» системы [1] и не определяется целиком состоянием в настоящий момент, поэтому приходится описывать интегро-дифференциальным уравнением, содержащим соответствующий интеграл по временной переменной, т. е. когда неизвестная функция входит в дифференциальное выражение и, вместе с тем, фигурирует под знаком интеграла. Уравнения в частных производных с памятью исследованы в работах [2–5] при описании термомеханического поведения полимеров [2, 3], вязкоупругих жидкостей при

(О 2024 Бештоков М. Х.

низких температурах [4, 5]. Уравнения Соболевского типа с памятью возникают в математической теории термовязкоупругости [6–9], гидродинамике [10, 11], физике плазмы [12] и многих других областях. Таким образом, помимо теоретического интереса, рассматриваемая задача актуальна с точки зрения приложений.

Данная работа посвящена построению локально-одномерной разностной схемы для численного решения третьей начально-краевой задачи для уравнения Соболевского типа с эффектом памяти в многомерном случае, основная идея которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. Отличительной особенностью изучаемого в данной работе многомерного уравнения Соболевского типа с эффектом памяти состоит в том, что невозможно расщепить по направлениям оператор при старшей производной, в связи с чем прямое использование локально-одномерного метода невозможно, поэтому построение схем расщепления достигается за счет перехода к третьей начально-краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю решение полученной модифицированной задачи сходится к решению исходной задачи. Для полученной задачи строится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского. Исследование единственности и устойчивости проводится с помощью метода энергетических неравенств, доказана сходимость схемы.

Настоящая работа является продолжением серии работ автора [13–17], посвященных исследованию локальных и нелокальных краевых задач для обобщенных уравнений Соболевского типа.

2.    Постановка начально-краевой задачи

В замкнутой области Q t = G x [0 C t C 1], основанием которой является p -мерный куб G = { x = (x 1 ,x ₂ , ..., x p ) : 0 C x _a C 1, a = 1, 2,... ,p } с границей Г , G = G U Г, рассмотрим начально-краевую задачу для многомерного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа

t uU + U ddr = Lu + Lu Lu — u + f (x,t), (x,t) € Qt , ∂t                  ∂t

na(x, t) = e-a(x, t)u — ^-a(x, t), xa = 0, 0 C t C T, xa = 1, 0 C t C T,

€ G,

-na(x, t) = e+a(x, t)u — V+a(x, t), u(x, 0) = Uo(x), X где p ∂∂

Lu       Lau, Lau q   I ka(x, t) gI

=1                 αα

, 0 < c ₀ <  k _a (x, t) C c 1 ,

| e ± a (x,t) | C C 2 ,

u(x,t) € C ^4,2 (Q T ) , I Q t = G x (0 < T],

k _a (x,t) €

C ^3,1 (Qt) , f (x,t) € C ^2,1 (Qt) ,

c o ,c 1 ,c 2 = const > 0,

e ± _a (x,t), ^ ± _a (x,t) —непрерывные

Ц +a = ^⁽l,x',^t),

^ - a = ^(0,x',t),

X = (X 1 ,X 2 , . . . ,X a - 1 ,X a +1 , • • • ,X p ),

функции , в +a = e(1,x',t), в - a = e(0,x',t), x = (x 1 , x ₂ ,..., x p ) = (x _a , x ‘ ), a = 1, 2,... ,p, n a (x,t) = k a (x,t)du. ₊ dL(k a (x,t)^ .

Учитывая, что u(x,t) = dt ft u(x,T)dr, преобразуем уравнение (1) и краевые условия (2), (3). Тогда, умножив обе части (1) и (2), (3) на et, заменив t на τ и проинтегрировав полученное выражение по τ от 0 до t, получим задачу где

t                                     t

Lu + ^ e t - ^T) u(x,t) dT — У u(x, t ) dT

I

k a (x,t) dX a = B - a U — ^ - a (x,t), — k a (x,t) du = B ₊a U — ^ ₊a (x,t),

u(x, 0) = U o (x),

x

-

x α

x α

∈ G,

u + f (x,t) = 0,

= 0, 0 ^ t <  T,

= 1, 0 <  t <  T,

t

f(x,t) = У e ^{- (t - T}) f (x,T ) dT

-

e ¹ (Lu o (x) — u o (x)) ,

o

B _{- a} u(0, x', t)

t

= У e ^{-l т})e~_a (0,x',T)u(0,x',T ) dT, 0

B _+a u(1, x', t)

t

= J e -^{l T} )e +-_a (1,x',T)u(1,x',T ) dT, 0

t p. — a (0,x',t) = I e 0

^{(t T}) ц(0, x', т ) dT + e

t k _a (x, 0)u 0 (0, x ' ).

Jl _+a (1, x',t) = J e ^--) ^(1,x',T ) dT — e - k _a (x, 0)u 0 (1,x ' ). 0

В той же области вместо уравнения (6) рассмотрим следующее уравнение с малым параметром ε :

t                             t eU = :   + / е-«-)и^т — / etx,т )dT — u + fix, t), (x,t) e QT,

где e = const >  0.

Так как при t = 0 начальные условия для уравнения (6) и (9) совпадают, то в окрестности t = 0 у производной и не возникает особенности типа пограничного слоя [18, 19].

Покажем, что и ^£ ^ и в некоторой норме при e ^ 0 . Обозначим через z = u ^£ — и и подставим и ^£ = z + и в уравнение (9). Тогда получим задачу

= L      e - »^- > ы — z - —    + f (x, t),  (x, t) e Q T ,

0                    0

Г ka(x,t) дХа = B-az,     xa = 0, 0 < t < T, [-ka(x,t) dXa = B+az,   xa = 1, 0 < t < T, z(x, 0)=0, x G G, G = G + Г, (11) (12) где f (x,t) = -г du.

Получим априорную оценку методом энергетических неравенств, тогда умножим уравнение (10) скалярно на z :

'■': = (f dx a (^k “ ^(x’^t) d|£

t

+ I

t где (u, v) = G uvdx, |HI2 = G. u2dx, ||u|lL2(01) = 0 u2(x,t) dxa.

Далее через M i , i = 1, 2,..., будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от входных данных исходной задачи.

С помощью ε -неравенства Коши и неравенства Коши — Буняковского после несложных преобразований из (13) получаем неравенство

t dx‘ + M2 I |z|2 dT + — ||f||2.   (14)

J             co

2^^ + cO  Ho + 2 |z|2 ^ £ / ka(x,t)Zd^- a=1G‘             a

Оценим первое слагаемое в правой части (14):

-

p              _∂z

Е/ k a (x,t^)zdx a ^a-1G ‘

z(0,x',t) B _{- a} z(0,x,t) \ dx' =

dx ^′

p

= £ / fz(1, x\ t) B _{- a} z(1, x\ t)

-

¹G ‘

t

z(1,x ' ,t) У e ^—t— ) U +a (1, x ,t )z(1,x ' ,t )dT

^{a -}G ‘ ^x             0

— z(0,x ' ,t) У e ^{-l т}) в- _а (0,х ‘ ,t )z(0,x ' ,T)dr^ dx'

p

+£ \\ / e-t—T)e-a(0,x',T)z(0,x',T) dT j ei a-1G‘ \0/ pt2

• + У £ У ( У e^—t-T ) U +a (1,x,T)z(1,x',T ) dT ^j

• 1    a-1G‘ \o/

t

< ^e 1 M 3 (llzll ² + Pxll ² ) + ^М4^(е1) У (llzll ² + Pxll ² )

dx ^′

dx ^′

dτ.

Выбирая в (15) E i = min

c 0       1

4 M 3 ^, 4 M 3

, из неравенства (14) находим

t

Edt|£|" + COU'“0 + M5“Z“o * M / (“5“O + ^"O’ dT + co117“0.

Проинтегрировав (16) по τ от 0 до t, получим t              tτt

^E “ ^Z “ O + J ( “ z x “ 0 + “ ^Z “ O ) ^dT * M 7 J

dT У (“zx llo + llzll2) dT + M8 У |f “O dT(17)

0             000

Оценим первое слагаемое в правой части (17), для этого перепишем (17) в виде

t

Y * M 7

У YdT + M 8 F, 0

где Y = 0 (px|| ° + “ z “ 0 ) ^dT , F = J o t “ / “ 0 ^dT .

Применяя лемму Гронуолла (см. [20, с. 152, лемма 1.1]) к неравенству (18), получим неравенство

t

У (Pxll o + llzll²) ^dT * M 9 О

t

F dT = M 9

tτ

₀ dτ ₀

t

“ f “ 2 dT * TM 9 I “ f “ 2 dT.

Таким образом, из (17) с учетом (19) получаем оценку

E “ Z “ 2 + / ( “ Z x “ 2

О

+ “ Z “ ² ) dT * M io

j “ 7 “ 2 dT = _E ’ M 1O j “ u t “ 2 dT = о

О                         о

Из априорной оценки (20) следует сходимость и ^£ к и при E ^ 0 в норме “ z “ i = ^E “ ^Z “ 0 + “ ^Z “ 2 ,Q t + “ ^Z x “ 2 ,Q t , где “ z x “ 2 ,Q t = J o t INI^{2 dT ,} если u t — ограниченная, д^остаточно гладкая функция. Поэтому при малом ε решение задачи (7)–(9) будем принимать за приближенное решение третьей начально-краевой задачи для многомерного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа (1)–(4).

3.    Построение локально-одномерной схемы

На отрезке [0, T] введем равномерную сетку ш _т = { t j = jT, j = 0,1,... , j o } с шагом t = T/jo . Каждый интервал (t j ,t j +i ) разобьем на p частей точками t j + p = t j + ^T F , a = 1, 2,... , и обозначим через A _a = (t j ₊ ^a -i ’ t j+ -] •

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Ox _α с шагом h _a = N 1 a , a = 1, 2,... ,p :

p

^ h = Ц -,

α =1

ω h _α

| x a       i a ^ a , i a    ⁰, ¹, ^{. . .} , N a , ^a    1, ²,...,^pjN

h α , ^{h a} = Iha ,

i _a = 0, N _a , i _a = 0, N _a .

Уравнение (9) перепишем в виде

t

t

]>2 LaU£ = 0, LU = p ∂t

-

L _a u^e-- ^ e ^{(t T}) u ^£ dT +— У u ^£ dT +

о

- U

p

-

f α ,

где f _a (x,t) , а = 1, 2,... ,p, — произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и f (x,t) , и удовлетворяющие условию £a =i f _a = f.

На каждом полуинтервале А _а , а = 1, 2,... ,p , будем последовательно решать задачи

д

^{L a & (a)} = p dt

-

L a ^ (a)

t

t

^- p-p- 4) ^dTPi

^ (a) dT + |^ ( a ) - f a = 0,    (21)

I

k a (x,t) iK = B - a ^ (a) - ^ - a (x,t),

- k a (x,t) IX p) = B +a ^ (a) - ^ + a (x,t),

x α

x α

= 0, 0 <  t <  T,

= 1, 0 <  t <  T,

полагая при этом [21, с. 522]

j = 1,2,...,

^ (1) ^(x, ⁰⁾ = u 0 ^(x),    ^ (i) ^(x,t j ) = $ (p) ^(x,t j )>

^ (а) xx jj a apl) = ^ ( a - 1) x^xt jj+ a-1) , ^а = ², ^3,...,p.

Аппроксимируем каждое уравнение (21) номера α неявной схемой на полуинтервале

A _a = t tj p ^a - ¹ ,t j+ ^£j, тогда получим цепочку p одномерных разностных уравнений

-y j P

-

τ

j+ ^{2 - 1}

y      = A a y j ⁺ a +

j

- 2 e (j -tj’)y ^x,tj + p^ t p j ‘=0

j

^- - 2 y ^j ^{4 p} )^{T - p} j ‘ =0

py ^ x,t ^{j+ p} ) + ^{j p} ,

j +a          j + P\ где AayJ p = laayxp ) , aa xα

= k a (x ^{( - 0} ' ^5a) ,t , X ^{( - 0} ' ^5a)

= (x 1 , . . . , x _{a -} 1 , x _a -

0.5h a ,

x _a+i , ... ,X p ) , t = t ^{j +1/2} , Y h,_a — множество граничных по направлению x _a узлов.

Запишем разностный аналог для граничных условий (22):

-

µ - α ^,

x _a = 0,

-

-

^ +a ,

X a — 1.

Условия (24) имеют порядок аппроксимации O(h _a ). Повысим порядок аппроксимации до O(h a ) на решениях уравнения (21) при каком-либо а :

α aaip KJ = B-aj p + Д

-

а + ^O(h a ).

C помощью разложения Тейлора находим

‘      n(laj^ p kaU (a)   aa  Uxa,0

-

0.5h a (k a ^ ( a )) ' + O^)

= a^j ^{p a} x a , o

-

(U j⁺ a

0.5h _a e------

-

U j ^{+ a -} 1

-

τ

j

- ^ e-^{t j -t j} ‘ ) U (x,tj ^{+ p} ^ t p j ‘ =o

+ - ^ U ^x, t j ^{+ p} ) t + -U ^x, t ^{j+ p} ^ — f ^{j+ p} j + O(h a ).

^pj =0 ^{У p p}                 J

Итак,

O^j p a     xa ,0

-

/U j ⁺ a

0.5h _a e------

-

j ₊ ° ^{- 1} ϑ ^p

-

τ

j

+— ^ U ^x, tj ^{+ p} ) t +— U ^ p j=0  ^{4              p}

j

- ^ e-^{t j -t j} ‘ ) U (x,t j ^{+ p} ) t p j ‘ =0

x,t j ⁺ a ) — f j ⁺ a j

= B - a ^ xXt t^{+ + p}j + p - a + O(h a ) + O(h a T ).

В (25) отбросим величины порядка малости O(h a ) и O(h _a T ) , заменим U (_a) на y ^{j+ p} , тогда (25) при x _a = 0 перепишется так:

α j

п(1рР,j + p   05ha £ р aa yxa,0 ' p e^

j ‘ =0

⁽ t j t ^j p T

-

E j + p

Pyt,0 p j   j +a           j +a

⁰f a £ y 0 ^p T — B — a V 0 p j ‘ =0

-

0.5h _a j ⁺ p p   ^y 0

0.5h a

+

^µ - α

0 . 5 h a

Аналогично при x _a = 1

a (N a ) v^{j + a} a ^a    y x _a ,N _a

-

-

j

0.5h a ^£

p j‘=0

E j + p _p ^y t,N α

α            jα               α             α e '-tj')yN.'t + ^ £ yN,pT ■    ..  - + ^yN

_______________________ j ‘ =0 ___________________________

0 . 5 h a

₊ V +a 0.5h a ’

j +a                        j        j+a                        j где B-ay0 p~ = £Pj=0a e-t-tj’)в-«У0Р T, B+aVNap = £Pj=0a e-(tj  j)e+aypaT,  ^-a =

^0.5 h a ^f a,0 + p - a , P +_a — ^05h a ^f a,0 + p +a -

Итак, разностный аналог задачи (7)–(9) имеет вид

^E _y^(a) _ Д _y^(a) i $^j+ P

Ут  — ^ay + ^a , pt

a = 1, 2,... ,p, x G x h ,

y(x, 0) = U0(x), где

Л_аy = [а_ау + p j   + ¹ Е e ^{(t j} t j‘ ) y j⁺ p т — ¹ £ y ( x,t ^{j +} p j r — ¹ y ^{j +} p ,

α         α x α           p                              p            ^,               p ^,

\          / x_a      j, ₌₀                          ^p j ‘ ₌₀ \

Л а У ^{+ p} = <

0 . 5 h p ^Л а y =

a (1“)fj ' p I 0'5ha  Ej p (tj tj‘ )ij+ pT  0-5ha  vP  j+ !'     y j + p   0.5hg  j+ p ap yxa,0 + p   e^         y Vo   T p   yo y0 T B-Py0        p  y0

j‘ =0                               j'=0

0.5h _a

. 0.5h _a ^Л + y =

α     j        α     jα      αα

„ (Np)J +p    0-5ha  v --j-tj‘ )  +pTI 0-5ha  v , J p   y; p,   .  0-5hgp ap  Vxa,Na   p   e^ e       yNp T+ p      VNa T+B+PyNa + p j'=0j'

'                                                   0 .5h _a

Ф

P a ,         X a € U h _a ,

05h P V - a, x ^a = °, к 05h p V +a , x ^a = 1,

y

( a )     y j ^{+ p}

-  — ---- t

j+ ^{2 - 1}

- y ^p

τ

p

• 4.    Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

Х _α аракте _α ристико _α й точности _α решения локально-одномерной схемы является разно _α сть z ^{j+ p} = y ^{j+ p} — u ^{j + p} , где u ^{j+ p} — решение исходной задачи (7)-(9). Подставляя y ^{j+ p} = z ^{j+ p} + u ^{j + p} в разностную задачу (26) , получим задачу для погрешности z ^{j + p} :

j+p    j+г-1                   j z p ~z p = ЛaZ+p + 1 £ e-P -j )z(x,tj'+ p )t

^T                       p j' =0

— p ^£ z ( x,t^j+ p ^j r — pz^t j ⁺ p ^j + j p ,    (27)

где j p =   ЛaUJ+p + p Ej'=0 e (tj tj')u (x,tj + p j т — p £j‘=0 u (x,tj + p j т — pu (x,tj+ p j + Xj ' p — E uj+ p T' p .

Обозначив через /a = (LaU + p 0 e (t T)u dT — p 0 udT — pu + fa — p^ j     и за мечая, что E2a=x /a = °, если 0=afi fa = f, представим погрешность в виде суммы j+p

/ a p = / a + <  :

ψ

j+p p α

j

= Л _a U ^{+ p} +— £ e ^{( j} j'⁾ u (x,t^{j + p} jr ^p j =0

j p £ u(x,tJ'+pjr j =0

-

u p

(x,t ⁺ P)

+ ^j p

j + ^p     j+ ^{p - 1}

u ^p - u ^p

- ε

-

j+ ^p

/ a + / a = ^a u^{J p}

— L _a u ^{j + 2} j — ^ -u ( x,t ^{j + p} j — -u ^{j + 2} ^

j                                             t                                  jt

- £ e. -‘'-t'')u(x,tj + p jr — - Уe~(t-T)uj+ 2 dr I — I “£ u(x,tj + p jr —- Juj+ 2 dr pj =0                        p 0                    pj =0               p 0

( j + p    j +1\    ( u ^{j+ p} — u ^{j + p} e duu\ ^{j+1/ 2}\    ? _ ?      ,*

⁺ ^a  ^{— f}a —- (^E T        p\dt)    )⁺ ^ = ^{/ a +} ^a-

Очевидно, что ^ _a = O(h a + т ) , ^ a = O(1),

P    j ₊ a P ° P

E ^ a p = E ^ a + E ^ = O( | h | ² + т), | h | ² = h l + h 2 + ••• + h p . a =1         a =1 a =1

Запишем граничное условие при x _a = 0 так:

^0.5h a ^£ (a) I

------yi' = a

p

'а

a j ^p y x a , 0

+

0.5h a

p

j

α

^E ■    '  ') y 0 p

τ

-

0.5h a

j ‘ =0

p

j e j+a y0 0т

j ‘ =0

-

B - a^{j 0}

-

0.5h a

j + ^a p

p

У о

+ ⁰.⁵h a ^f a,0 + Ц

-

α ^.

Пусть z ^{j+ p}

y a

-

u ^{j+ p} , где u — решение исходной дифференциальной зада-

чи (7)-(9). Подставим y ^{j + p} = z ^{j+ p} + u ^{j + p} в (28). Тогда получим

^0.5h a ^£ (a)      I

-----zi  = a

p

.  ■. zj + a a zxa,0

' Xa , 0

+

0.5h a

p

j

α

E e ^-( j - t j‘ j p

τ

-

-

B

-

a z 0

j + ^a p

0.5h a

-

j+ ^a p

-

j ‘ =о

0.5h a

j

0.5h a

j

p

E z0^{+ p}

j ‘ =0

τ

p

z 0

(i 1 ^{j +a}

+ a^u x aP +

0.5h

'a

p

j

E e ^-t j - t j‘ j

α

τ

j ‘ =0

p

u

j+ ^a p

τ

-

j+ ^a

B - a u p

0.5h a

-

j+ ^a p

j ‘ =0

p

^u 0

-

0.5h _a £ (_a)

---------ui,0

p

+ ⁰.⁵h a ^f _a,0 + Ц

α ^.

К правой части полученного выражения добавим

и вычтем

о

0.5ha^.

= 0.5h a

t atka -p/

e

t

^(t-T ) udT - ^- / ^p

Тогда

ψ -

a

— 0.5ha ffa,0

-

£ j + a

p

u

i i

' t,0

)

-

+

0.5h a

p

j

E ^-t - t j‘ j ^P

j ‘ =0

т +

0.5h a

j

p

u

j + ^a p

τ

j ‘ =0

u dτ

-

^- u + f a

-

p

£ du 1 p ∂t

^{j +} 1

.

x a =0

0.5h a

t

\ Л^ ^u + 1 /

∂x α ∂x α p

e

t

^(t-T ) udT - ^- / ^p

= a,

(1 “ ) u^{j +} P u x a , 0

'a

-

j+ ^a

B - a u 0 p

,^,

+ ^ - a

-

0.5h a

— ka

du ^{j +} p

∂x α

■ + 0.5h a

-

+ a^ux 0

a    x _a , 0

-

B

-

a ^u 0

j + ^a p

0.5h a

-

p

j + ^a p

u ₀

+ ^ - a

udτ

-

- u + f a

-

p

£ du 1 p ∂t

^{j + 1}

о

+ 0.5h_a^

x a =0

-

Ct

∂^∂x α ^k α ∂^∂x^u α

∂^∂x α ^{k α} ∂^∂x^u α

j+ ^a

B - a u p

+ ^ - a

1 j + ^a p

-

1 ^{j +} 1

+ 0.5h _a ^ - _a + O(h _a ) + O(h a т)

0.5h a

∂^∂x α ^{k α} ∂^∂x^u α

1 j+ 2

+ 0.5h a ^ - a + O(h a ) + O(h a T)

— k^a

du^j+ p

∂x α

-

B

-

a ^u 0

j + ^a p

+ ^ - a

)

x a =0

+ 0.5h _a ^ - _a + O(h a ) + O(h a T).

В силу граничных условий (7) выражение, стоящее в скобках, есть ноль. Поэтому ^ - a = 0.5h a ^ - a + ^ - a , ^ - a = O(h a + T ) + O(h a T ),

ε z

p

j + ^a p

_ t,0

_n (1 a ) j ' P a ^a z X a ,0

j                    α               j α                 α

+      £ e-(j-tj‘ )z0 p T -      £ z0 p T - B-aZo p j ‘=0                             j‘=0

0.5k g 3 ⁺ p p ^Z 0

0 . 5 h a

о

+ ^ - a +

e*.

0.5h a ^,

ε z

p

j + ^a p

_ _ _ t,Na

a

( N a)

α

_Z ^j+ p x a ^,N a

j                    α               j α                 α

- ojj h . £ e t - tj T + ^ E ■ T + B + a Z jN .' j ‘ =0                             j ‘ =0

0.5k a 3 ⁺ p _p z _{N α}

0 . 5 h a

+ 'Ф + a +

^ + a 0 . 5 h a

Итак, задача для погрешности z ^{j+ p} принимает вид

-zf ) = K a Z^ + ^a p , z(x, 0) = 0,                      (29)

pt где

A a

K a ,

1 Д - 0.5kB '-a , —¹—Л+ 0.5kB '-a ,

x α ∈ ω h _α ,

Xa = 0, xa — 1,

	ψ,	x α	∈ ω h α
^a = <	0.5k a ^ -a ,	x α	= 0,
	( 0.5k a ^ +a ,	x α	= 1,

O(h 2 + T ),   ^ - a = 0.5h_a1° - a + ^ - a ,

^ a = ^ a + C,   ^ a = O(1), C

p

^ ₊a = 0.5h_a° ₊a + ^ + a ,  ^ ± a = °(^h a + T ),   ° ± a = O(1),  ^ ^ ± a = 0.

a =1

5.    Устойчивость локально-одномерной схемы

Для доказательства устойчивости схемы (26) воспользуемся методом энергетических неравенств. Для этого умножим уравнение (26) скалярно на y ^(a = y ^{j+ p} :

[ py a ,y^(a^ - [ A a y ^(a) ,y ^(a ] = [ф ^(a) ,y ^(a) ],                      (30)

где

N α                          N α

U M a = E'^ V i a » a , II y^t (a) = E -^

• i a =0                             i a =0

p

[.,„] = £ _UvH, H = _{П h} a , II^II^ , = £ _)jW| L _iW и/ъ.

x Q- ^ h                 ^a —¹                           i e = i a

Преобразуем каждое слагаемое тождества (30):

У? N^a' = ^ (|»^W Ij) _f+ IT «Лм-          (31)

p            a 2^{p 4}             t t 2p

[Лау^^ ,y ^{( a}] _a = (Л аУ ^{( а}\у^Н) _a + Л - у ^{( а}у ^{( а} ^у^у^

= —( a«y l_a ] +¹ [y ^(a) , £ e jj y j' p t! - ¹ [y ^(a) ,y ^(a) ] ^a pL                           Ja p^L

-

j

- £ y ( x,t j ⁺ p ) ^T,y ^j+ p p j' =0

^- y^ B -a y^ ^- y N B ₊a y N\

Гф^(a) 7/^(a)l — -^,a_w^(a)] -77 (S^         7/^(a)

^ф ’^y J = |^ ’^y J     ^/ - a ^y 0      p +a ^y N _a •

Оценим слагаемые, стоящие в правой части (33):

^ - а У^ + / +a^yN <  4^ 1 (/ 2 a + Л^ + a) + ^E 1 ^ У . ]| L ₂ ( a ) + ^£ 1 (^{1 +} Ю) l|y ^(a) ll L ₂ ( a ) '

Выбирая E i = _{8 p} ( _c ^c ₀0 ₊₈) , получаем

^{/ -ay}V + ^{/ +a y} N ^ P^ ^   ^^ ^{+ / +a} ) ⁺ 64p(c o° +8) ^{| y} x “ £( a ) ⁺ _8p ^{l| y (a) ||} L 2 ( a ) ’ ⁽³⁴⁾

1 y ^(a) .y ^{(a )}l = [; • (y ^(a) )²l =1 jlj p        _α p        _α p

j

^{1 £}

. jo

e ^{( j} j ) y ( x’t ^{j + p} j

t, y ^{j + p}

a

j

- £ e-^{t j t j )} y ^ x,t ^{j +} p jr p j ‘=°

L 2 ^(a)

¹ y ^j+ p

p

L 2 ^(a)

j ²

< p £ e-(j-j jj *)    +4P |yj+ ? Ij j ‘=0

Na-1 j

= p £  £   ' — j ’ y(x.j ' r h a + 4Pj pIU

P ia = 1 \ j‘=0                           J

Na-1    jj

< P £  £ e —^ — ' ^{) t} £ y ² { x i a У ⁺ p )^r)h a ⁺ ₄Р ¹ У ^ pb( a )

P ia = 1 \j‘=0             j‘=0                  J

jX

^ P £ ^{e -2(t} — ^{j ) t} £ h a £ У ² (x i a ,t j' ⁺ p )^{T +} 4p || y j ⁺ p t(a )

P j‘=0               ia = 1    j‘=0

j                        j

= P £ e^{- 2( j} - j ^{) t} £ ^T £ y ² ( x i a ,t' ⁺ p jh a ⁺ 4P     p t( a )

P j‘=0             j‘=0 ia=1

jj

= ^{1 £} e - ^2(t .-М т ^£ Ilyjt’⁴ H I² T + 1|^ ⁺ p |² , .. p^            ^^|M к ’     Лкз (a)     4р"^{У    llL}2^(a)

1 j‘=0               j‘=0                       2 11

Так как j                               j                     etti                  e-tti у ,-tj,)T = e-2j у ej т =  2 e—-lт = 1 - e j e2T - 12

j ‘ =o                        j ‘ =0

то из (36) получаем

j

- У e ^{- 2(t j -t j} ‘ ) y ^ x,t ^{j +} p )т, y ^j+ p   <

- p j ‘ =0                                      a

1 - e ^{- 2 t j}

2 p

j

У ||y(xia ,tj 4 p )l j‘ = 0

τ

L 2 ^(a)

j

-bj ⁴ p ¹¹       <  T У ^l\y ( xi_a,tj ⁺ p У¹     т -y ’ ' p ¹¹

4 p Г    У(а )     yr r^a,     ЛУа )    4 p Г    H l ₂ ( a )

/=0

[pEy^-t ’^4a )^T,y ’ ^{+ a} ] = [(рУ y ( x,t^{r+ a} )^тj ,41 1 j +

< 8P  lU+ M l E i ’ ^a Ur.

j ‘ =0

?^+

α

Pj+a               j

^- y^B - a V^ ^- У ^ B +a y N l = у'⁽ ' У e ^-(t j - t j’ ' Р - а У о ^т j'=0

Pj+a               j

- V n У e ^{- (t} j - t j’ УоУ^ т <  £ 2 j ‘ =0

Pj + a у

e

^{(t j} ' 'УоУР т

²      Pj + a

- (у

e

^(t j ^-t j‘ )

^в +а У^^т j j

’ + al |2            ’ + an ,2                      Pj+a/ ц/l |2|2

< £2M3 У p|I     + Uap L , . + M4(£2) У |yp 1

τ,

L2^(a)    II       JIL2^(a)/                j=₀ yll     HL2^(a)    II     JIL2^(a)

[^a,y(a) ]a < M^l^a) + 8plly(allL2 (a) •

После суммирования по i e = i _a , в = 1, 2,... ,p, подставим (31)-(40) в тождество (30).

Тогда, выбирая £ 2 = min {

c o 1

4 M 3 ^- 4 рМ з

,

получим

_2p (l ^{l y (a)} У(^)Х ⁺ _2p 1^{| у?}^ 2 ( O h ) ⁺ ₄ Ыо ) L₂ (iD _h ) ⁺ _4p 1^{| у} ’ + p l ^l L 2 (ij _h ) ’                                     P ^j+a         -‘ 1₂                     i₂

< M5 У ||y ^j'^{+ p} 1^ ,- .т + Мб у 1 1^l y p !       + L p II т

⁵          IIL2 . h ⁶           y^h)    H ^x4 y^h)/

’ ‘ =0                             ’ ‘ =0 \                                  /

+ M 7 Ill’’ U> + Е

\                        ie = i'

Суммируем (41) сначала по а от 1 до p :

+ tip^a I _{B h ,) a =1

£(V +¹ |P     ) ₊ m₈ (y | y j ^{+ p} ] | ²

2 pV      L - '-)/f        \O =1 ¹ x    ^((“h )

pj

< M5 EElj ’ Il+ h a=1 j ‘=0

myy (|yj tы+|41L,(J’ hh a=1 j'=0 \/

L 2^h)

+ £ ^а + /ГЦ НМ , ie =ia а затем, суммируя по j‘ от 0 до j:

jpjp

E т Ш+   + Е т E|Pp Il J hh j ‘=0 a=1                    j'=0 a=1/ j P j        э           j P Pj'+a‘ /9о \

M E т EE|Pp Il iBJ + M E т E E |yp Il b)+ IPLJ т (42) j‘=0  a=1 s=0            2( h)         j‘=0  a=1 s=0 v        2( h)             2( jp

+M7EтEI |jpIL) + E P«+Й-РН/Ч + 2ny’Cw j‘=0 a=1 У             h    ie=ia

Оценим второе слагаемое в правой части (42), тогда имеем j p pj‘+a‘ / E т E E (|yp | j‘=0 a=1 s=0

L ( (f h )

+HL Jт

j    pj ^′ p        _′                ′

< M 9 1 « ’ l W_{3fe )} + E т EEE IP ’ Il _m + IP Pl J т j ‘ =0 a =1 s =0 a ' =1 ^{V            2 ( h )                2 (} h )

j p j ^′

*        + p e т E^E( IP ⁺ p u+Kpu .) т.

j ‘ =0 a =1 s =0

С учетом последнего перепишем (42) в виде

E т E (IP+p Lh)+llj ■ j'=0 a=1 4                                           7                                  4

j P j' /i IS          i _t.„.                                 ⁽⁴³⁾

« M 10 E т E E 2 | y ^,+p IP-, + ||P^pLP + M 11 F j L 2 ( h )                L 2 ( h )

j ' =0 a =1 s =0

где F 1^j = E ^j ' =0 ^т E a =1 (^ ^{j +} p lEf h ) + E i e =i a ( ^Г 2 а ^{+ /} + « )^H/^ a ) + lly ⁰ H W 2l (f h ) .

Применяя разностный аналог леммы Гронуолла [22, лемма 4, с. 171] к неравен- ству (43), получим

^£ т £ (| | ^{j a} ]L+ j ■ |L ,)

,     1 V        L2(^h)   11

j'=0 a=1 47

/ j p /                                          \               \

< M 12 I £ ^т £ I ^{| | j p | |} L + £ (^² a + Д +a) H/ h a ] + Ш^ ¹^) I •

\j'=0 a=1 \          2( h)   ie =ia                       )J

Учитывая (43), (44), из (42) получаем априорную оценку

^^)+£ т £(w ^{j+ a} ]^+ | j ^a ILL j—0 a =1

jp

ETE(|L’!L_ + E L+LH/d + wyи^> j'=0 a=1 \           2( h) ie=ia                        / где M = const > 0 и не зависит от ha и т, X = (x1, x2,..., xa-1, xa+1,..., xp).

Итак, справедлива следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия (5), тогда локально-одномерная схема (26) устойчива по правой части и начальным данным, так что для решения схемы (26) справедлива оценка (45).

• 6.    Сходимость локально-одномерной схемы

По аналогии с [21] решение z (_a) = z ^{j+ p} задачи для погрешности (29) представим в виде суммы z (_a) = U (_a) + П (_а) , где П (_а) определяется условиями

_ ^п(а) - ^п (а - 1)     ?                                                                 , ,

£-------------= L a ,  x G W h + Y a , а = 1, 2,...,p,                  (46)

о

n(x, 0) = 0,   L a

L a ,     x a G W h a ,

о

< L - a ,   x a = 0,

о

.^L+ a ;    ^x a — la -

Из (46) следует £n ^{j +1} = £П (_Р) = ^£n ^j + т (L 1 + L ₂ + • • • + L p ) = £n ^j = • • • = ^£П° = 0. Для L = ^T (° 1 + ° 2 + • • • + L a ) = - ^T (° a +1 + • • • + L p ) = O ( ^T ) ■

Функция U (_a) определяется условиями

^u ( a )    ^u ( a — 1)     X         ~     ~

£ ------------ = Л a U (a) + L a , L a = Л a n (a) + La ,  x a G W h a ,           (47)

0.5h a £ ( a )	- u(a- τ	:!>	= Л — u ( a ) + —-a,	L-a =	= Л a n (a)	+ L — a ,	x a = 0,	(48)
0.5h a £ ( a )	- u(a- τ	:1b	= ^(a) + Lxa,	L + a =	= Л + n ( a )	+ L + a ,	x a = 1,	(49)
			u(x, 0)	= 0.				(50)

Если существуют непрерывные в замкнутой области Q _T производные ^∂ _{∂t 2} ^u ,

∂ ⁴ u ∂x ² _α ∂x ² _β ^,

∂3u ∂x2α∂t, df, а = 1, 2, • • • ,p, а = Д то Л an(a) = - TЛ a (La+1 + • • • + Lp) = O (f), Л±n(a) = O (f )■

Решение задачи (47)–(50) оценим с помощью теоремы 1.

‘ I ^{u +1} IU > + E T E(K ⁺ * ]|^ + ■ ⁺ p l it J j ‘ =0 a =1

j p I                                             \(51)

« M E T E I j * if    + E (Йa+Йa) H/d.

L 2 ⁽ ^ h )

j‘=0 a=1 у                   ie=ia

Так как nj+1 = о, n(a), nX+p = O (T) и jp

И1!? = ‘iiz+«2M +e T EI4+* L + Ija LJ j‘=0 a=1 47

= ' K + n +t  + E T E ( Ij ^a + ^a L.,+ j p + j p r ,)

• ^{11                  11}L2 ( ^ h )      T^-! V^{1                      J}lL2( ^ h )     II                      LL₂(h)h )/

j ‘ =0 a =1

jp

«*j<_зд+2 e t Ed -e^aL. ,+i’j ' ⁺p ] ₍.,+ ik + pг., ^h                      'И        JIL2(wh)     II        JIL2(wh)     II        -HL2(^h)

j ‘ =0 a =1

+ ih⁺ * U) <      + e t e (j * u+ ih⁺ * ]cj )

• ⁴              j‘ =0 a =1

тогда из оценки (51) следует теорема.

Теорема 2. Пусть задача (7)—(9) имеет единственное непрерывное в Qt решение u(x, t) при всех значениях ‘ и существуют непрерывные в Qt производные d2u d^u     d 3u d2f a = 1, 2,... ’P, a = в,

dt2 , dxadx2 ’ dxadt dxa ’ а также выполнены условия (5), тогда локально-одномерная схема (26) сходится к решению дифференциальной задачи (7)—(9) со скоростью O (|h|2 + T), т = о ('), так, что

|yj+1 - uj+1|1 С M (|h|2 + 0, где ‘ — малый параметр, h2 = h2 + h2 + ... + hp,

/                                                                               \ 1 / 2

Il ^j1 ll 1 = (‘ Il zj ⁺¹IU) + E T E(K ⁺ IL) + I K * It J) j ‘ =0 a =1

Замечание 1. Если ‘ = т ^p , где 0 < p <  1 , тогда решение схемы (26) с учетом оценки (20) сходится к решению дифференциальной задачи (1)–(4) со скоростью O ( | h | ² + т ^1-р + т ^р ) .

Очевидно, что скорость сходимости будет определяться наилучшим образом, если взять ‘ = т 2 , тогда решение схемы (26) сходится к решению дифференциальной задачи (1)—(4) со скоростью O (jh| ² + т 2^.

Замечание 2. Полученные априорные оценки справедливы и в случае, когда

• 1)    Область G представляет собой p -мерный прямоугольный параллелепипед

G = { x = (x 1 ,x ₂ ,... ,x _p ) : 0 < x _{a a} , a = 1,2, ...,p } .

• 2)    Оператор Lu имеет вид

∂         ∂u

Lu = У L_au, L - u = -— k a (x,t)-— — q a (x,t)u(x,t), ∂x _α         ∂x _α

= где |qa(x,t)| ^ C2, qa(x,t) € C2,1 (Qt) .

Замечание 3. Полученные в данной работе результаты справедливы и для уравнения влагопереноса дробного порядка следующего вида:

d 0_t u = Lu + d 0_t Lu — u + f (x, t), (x, t) € Q _T ,

с краевыми

∂u         ∂u ka (x,th:--+ d0t \ k,,-  = в-а (x,t)u + ^-a(x,tf x- = 0, 0 < t < T,

∂x _α          ∂x _α

- ^k a (x,t) дХ - + d 0t ^ к а dXU-^ )= e +a (x,t)u + p +a (x,tf X a = 1, 0 <  t <  T, и начальными условиями

где Lu = Ea ₌₁ L a u , L a U

u(x, 0) = u 0 (x), x € G,                                   I

^: 9X 7 (ЫхТ) дХ а ) ^— q a ^{(x,t)u(x,t) —} p ft ^ud^T , ^d 0t

r(1 — ^ ) ft -u - T p — дробная производная в смысле Капуто порядка 5 , 0 < 5 <  1 .

Тогда, умножая обе части (52), (53), (54) на E k =0 r(1+ 5k ) и действуя оператором дробного интегрирования D - = р^ ft ( _t — ff _— , после несложных преобразований получаем

LU - U = - f ( x, t ) ,

I

k - (x,t) dX a = B — a U + H - a (x,t), — k a (x,t) dX a = B +a U + fi ₊a (x,t),

xa = 0, xa = 1,

0 <  t <  T,

0 ^ t <  T,

u(x, 0) = u o (x), x € G,

где

D - (f (x,t) ^E \ k=0 ^{f (x,t)} =

t ^kδ

F(1+ ik )

^ + Lu o (x) - u o (x)

D

B - a U(O,X ‘ ,t) = —

∞

^    t k ⁵

r(1+ 5k ) k=0

’-tt fa- cJfxx',t)^u(0,^x',t) E

\                     k=0

t ^kδ

Г(1+ 5к )

,

∞

^    t k ⁵

r(1+ 5k )

k=0

)

,

- δ

D ot

- δ

^D 0 t

B+au(1,X,t) =----

+-a(0,X ,t)

++a(1,X ,t)

- _ Г t____ = Г( 5 ) 0о (t - т) ^1—

udτ

∞

в+а(1,Х ,tM1,X,t) £ k=0

∞

^    t k ⁵

Г(1+6к) k =0

t k⁵   \

r(ia ^k ) I

,

^∞ kδ

DO t ^M - a (⁰; ^x , t) £ r(1+ ik ) J ⁺ k a ⁽⁰, ^x , ^0)u O ⁽⁰, ^x )

∞

^£    t k ⁵

r(1+ 5k )

k =0

^∞ kδ

D ot y + aXX ^x , t) £ r(1+ 5k ) J ^— kaX, ^x , ^0)u o ⁽¹, ^x )

∞

^    t k ⁵

Г(1+6к) k =0

,

,

дробный интеграл Римана — Лиувилля порядка 6 , 0 < 5 < 1 .

Далее вместо уравнения (56) рассматривается уравнение с малым параметром

£Ut = Lu — u + f (x,t).

Повторяя рассуждения настоящей статьи, нетрудно убедиться в справедливости теорем 1 и 2 для задачи (57)–(59).

Заключение. Настоящая работа посвящена изучению многомерного уравнения Соболевского типа с эффектом памяти и граничными условиями третьего рода. Для приближенного решения поставленной задачи исходное уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю решение полученной модифицированной задачи сходится к решению исходной задачи. Для модифицированной задачи построена локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка, откуда следуют единственность и устойчивость решения схемы, доказана сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению модифицированной дифференциальной задачи.