Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью
Автор: Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович, Лафишева Мадина Мухамедовна, Нахушева Фатима Мухамедовна, Мамбетова Альбина Борисовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.15, 2013 года.
Бесплатный доступ
Работа посвящена исследованию локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с~нестационарным краевым условием, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. В работе получена априорная оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость построенной схемы на кубической сетке.
Краевая задача, сосредоточенная теплоемкость, локально-одномерная схема, сходимость, априорная оценка
Короткий адрес: https://sciup.org/14318444
IDR: 14318444
Текст научной статьи Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью
Локально-одномерные схемы (ЛОС) для решения многомерных задач математической физики впервые введены в рассмотрение А. А. Самарским [2]. Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной аппроксимации существенно расширяет класс решаемых задач.
В работе рассмотрены ЛОС для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Тогда для уравнения теплопроводности в одномерном случае, например, при x = 0 ставится краевое условие вида
∂u ∂u
c 0 = k , c 0 = const > 0.
∂t ∂x
Подобные условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью [1, c. 186], при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоемкость [2].
Аналогичные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда расслоение верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка [3, с. 233]. Если на поверхности поля имеется слой воды постоянной толщины h, то на верхней границе следует задать условие где c — концентрация соли в почвенном растворе, D — коэффициент диффузивности [3].
В одномерном случае подобные задачи рассмотрены в [4, с. 426]. Здесь рассматривается случай многомерной задачи, когда на границах области по каждому направлению x α , α = 1, 2, . . . , p, помещена сосредоточенная теплоемкость величины χ ±α , α = 1, 2, . . . , p. Для рассматриваемой задачи построена схема повышенного порядка
аппроксимации. С помощью принципа максимума для ЛОС получены априорные оценки в равномерной метрике, выражающие устойчивость ЛОС по начальным данным, по правой части и граничным данным.
-
1. Локально-одномерная схема. В цилиндре Q t = G х [0,T], где G = { x = (x i , x 2 ,..., x p ) : 0 6 х а 6 1 а , а = 1,... ,p } — p-мерный прямоугольный параллелепипед, рассматривается задача
∂u
д^- = Lu + f (x,t), (x, t) G Q t = G х (0,T],
p
L = ^L a a=i
∂u
Lau — 77
∂x α
( ka(x,t) dXa = X-a(x,t) du + e-a(x,t)u - L-a(x,t), xa = 0, xa = la
(-k a (x, t) dX a = x +a (x,t) du + в +a (x, t)u - L +a (x,t),
u(x, 0) = Uo(x), где 0 < co 6 ka(x,t) 6 ci, e±a > в* > 0, x±a > 0, a = 1,... ,p.
Следуя [4, с. 520], заменим многомерное уравнение цепочкой одномерных уравнений теплопроводности
1 dv(a) T e xe g^ Lav(a) + fa, t G ^a — ^tj + 2—1, tj+a j , a 1, • • • , p, / v fa f, p yt pa с условиями ka(x,t)'d— = X-a(x,t). + в—a(x,t)v(a) - p-a(x,t), ^-ka^t) —v— = X+a(x,t) ^ + e+a (x,t)v(a) - p+a(x,t), xa = 0, xa = la
v(a)(x, 0) = u o (x),
V (a) (x,t j+ a-1) = V (a-i) (x,t j+ a-1) , a = 2, 3,...,p, (6)
v (i) (x,t j ) = v (p) (x,t j ), j = 1, 2,..., j o - 1.
Аппроксимируя каждое уравнение теплопроводности номера α на полуинтервале t ■ ,a-1 < t 6 tj+ a двухслойной схемой, получим цепочку p одномерных схем, которую и j+ p J[i назовем, следуя [4], локально-одномерной схемой (ЛОС):
j+ a p
y t α
= A a y j + p + y i + p , a = 1,...,p, x G W h a ,
j+ a
p yta,0p j+a ytα,Nα
(1a) j+a „ j+a aa yxa,0 в-аУ0 । -
0.5h a +pX — a + M - a ,
n« j + а j + a
_ a« y x a ,N„ +e + a y N a , ~
0.bh a +pX + a + ^ + a ,
Ll-o = ^ -“
P a 0.5ha+pX-a ,
7, , . — Л+2----
L + a o.5h a +px +a ,
y(x, 0) = u o (x), (9)
где A a y = (a a y x a ) x a a = 1,... ,p.
j+ p
,y p t α
y j+p
4 I a — 1 - y J + p — τ y , µ - α
— L —a + 0 . 5 h a f a,o , L +a — L+a + 0.5h a f a,N a ,
2. Погрешность аппроксимации. Полагая z j + p = y j+ p y j+ p = z j + p + u j + p в уравнение (7), получим
-
u j+ p и подставляя
j+ а л j+ a ,j+ a
7 P = Л а ф p + ф а p , t α
, j+ a x j+ a j+a фа p = Ла U p + ^а p
-
j+a p tα
° / 1 A \j+1
Обозначим через фа = LLa u + fa — pddt 1 j+a° представим фа p = фа + фа, где
p ° и, замечая, что 'фф фа = 0, если Е fа = f, а=1
ф а
Л j+ a т j+1 \ , / j + a j+ 1
Л а u p - L а U 2 ) + ( ^ а - f а
-
j+a up tα
1 / du V+ 2 p ∂t
° фа = O(hа+т), фа = Ow, ф = 52 фа = 52 фа = O(|h|2+т), а=1
-
т. е. ЛОС обладает суммарной аппроксимацией O( | h | 2 + т ), | h | 2 = h l + h 2 + ... + h p . Граничное условие при х а = 0 запишем в следующем виде:
, . j+a \ j+a j+a, .
(РХ-а + 0.5 hа) yta p = a^™^,0 - в-аУ0 p + Ц-а + 0.5 hа fа,0.(10)
Пусть z j + p = y j+ p — u j+ p . Подставим y j+ p = z j + p + u j+ p в (10)
, n r \ j+ a ) j+ a О j+ a ) j+ a
( РХ -а + 0-5 h а ) z tp P = а а p ) z x p , p - в -а К 0 p + а ф p ’ u x pp)
-
j+ a в -а ^ о p
j+ a
+ ^ -а +0.5 h а f а,0 - (РХ -а + 0.5h а ) U p t α
.
Тогда
A j+a j+a , x j+ ф-а = aа1p)u„ 0 - в-аи0 P + ^-а + 0.5hаfа,0 - (РХ-а + 0.5hа)u α , tα
+ 0.5h а
— 0.5h а
∂ ∂x α
∂ ∂x α
k а (x,t) я--
∂x α
∂u
I к а (x, t) I
∂x α
+ f а -
+ f а -
1 du l j + 1
Р dt\ X p =0
1 du j+2 du du p dt 0 а дха Х а dt
X p
°°
— в-аu + Ц-а + 0.5hаф-а + O(hа + Т) = 0.5hаф-а + ф-а, где
°
ф -а
∂ ∂x α
к а (х,Ф)"^--
∂x α
+ f а —
1 du l j + 1
Р ^\ Xp =0
Аналогично запишется граничное условие при ха = 1а. Итак, j+a j +a j+a °
( РХ -а + 0.5h a ) z t p p = a^ z X^Q — в -а Z 0 p + 0.5h а ф -а + ф -а , Х а = 0,
, . j+ a
(РХ +а + 0.5h а ) X- P t α ,N α
-
j+a j+a\ ° аа p)zxp,Np + в+аXNpP ) + 0.5hаф+а + ф+а, ха = 1а, p°
°
где ф ± а = O(h а + Т ), Ё ф ±а = 0, ф ±а = O(1).
Приведем разностное уравнение (7) и граничные условия (8) к каноническому виду (см. [5, с. 339]):
A(P)у(Р ) = X B (P, Q)y(Q) + F (P),
QeШ 0 (P)
где
A(P ) > 0, B (P,Q) > 0, D(P ) = A(P ) - V B(P,Q) > 0,
QeШ 0 (P)
P , Q — узлы сетки, Ш 0 (Р) — окрестность узла P , не содержащая самого узла P . Имеем
- + τ
a i a +1 + a i a h 2 h α
j + а p
y i α
i j+a , i j+a , i j +^
a a a i a + i y i a +1 + h a a i a У i a - P 1 + ^i a "
j+ a + ^ a
1 + a^ + в -а A j+ a
T (0.5h a + PX -a>a 0.5h a + PX - a ) y °
a^ j+a , 1 j+V , .
— TnT7—;-----й~У1 p + _Уо p + Ц-а
(0.5h a + PX -a )h a T o
' 1 + ) + в +a A j a
4T (0.5h a + PX +a )h a 0.5h a + PX + a) y N a
_ a ) j+a 1 j+V
= /n CL ; yNa -1 + yNa + Ц + а,
(0.5h a + PX +a )h a N a 1 T N a
где /^ - a — 0.5h a +Px - a , A^ + a = 0.5h a +px +a , ^ -a = ^ - a + 0‘5 haf a,O , ^ +a = Ц +а + 0.5 haf a,N a .
Из (11)–(13) находим, что
D(P (X i a ,t j+1 ))= 0,
D(P (0,t j+i )) —
в -а
0.5h a + px -a ’
D(P (la,t j+i )) —
в +а
0.5h a + PX +a ’
в ±а > в * > 0.
Представим решение задачи (7)-(9) в виде суммы у — У + у * , где У — решение задачи с Ц 1 — Ц 2 — 0, а у * — решение задачи с u o (x) — 0, ^(x,t) — 0. Оценим сначала у * . Для оценки у * воспользуемся теоремой 3 (см. [4, с. 344]):
k y * ( x ’t j+1 ) k C h 6 n .max . :1( | ^ -a ( t k ) l + | ^ +a (t k М- (14)
0 6 k 6 j+1 в *
Для оценки y нам понадобится теорема 4 (см. [3, с. 347]). Перепишем (11) в виде
( 1 , a i a +1 + a i a A j+p _ 1 . j+ p 1 . j+ p . ж/р A
( т+ Л2 )У i a Л2 a i a +1 У i a + 1 + Л 2 a i a У i a -1 + Ф (P(j + 1)) ’
τh h hα где Ф(Р(,+1)) — Tу;’а+ p + ^j+ p . Тогда
D (P(j+1)) — “’ TvTp у X B(P,Q) — 1-
T D lP ( j +1)k Q G Ш 0 n
Все условия теоремы 4 из [5] выполнены, поэтому имеем оценку j+1 j p у kCh 6 kuO(x)kCh + X T X ll^j + p llch.
j 0 =o a=1
Из оценок (14), (15) следует окончательная оценка для решения задачи (7)–(9):
jp
k y j + 1 k C h 6 k u o (x) k C h +
max 0 6 k 6 j+1
(\^- a (t k ) \ + \ ^ +a ( t k M + 52 T 52 H^ j + p j 0 =0 a=1
C h .
3. Равномерная сходимость ЛОС. Перепишем задачу для погрешности z j+ p = y j+ p — u j+ p в виде
I a j+a j +aО zta = Ла Z3 p + ^a p , ^a p = 2a + ^a’
(1 ) j+a j+a
Z t a ,0
t α ,N α
a““ Z X a ,0 - e -a z o p + 2 -a + 0.5ha2 -a
PX -a +0.5ha X -a + 0.5ha PX -a +0.5h a ’
(Na) j+a n j+a a“ zx^Na + e+azNa ^2+a^ 0-5ha2+a PX+a + 0.5ha px+a + 0.5ha px+a + 0.5ha ’
z(x’ 0) = 0.
Представим по аналогии [4, с. 528] решение задачи для погрешности z j+ p = Z (a) в виде суммы Z (a) = v (a) + n (a) , где n (a) определяется условием
^ -n(a-1) = 2 a ,
x α ∈ ω h α ,
n (a) — n (a-1) τ
0.5h a 0
PX -a + 0.5h a - a
x a = 0,
n(a) — n(a-1) = 0-5ha 0h= l
T PX +a + 0.5h a +a ’
n(x, 0) = 0.
О ОО
Отсюда находим n j+1 = П (Р) = П + т (2 1 + 2 2 + • • • + 2 p ) = n j = 0.
На кубической сетке h 1 = h 2 = ... = h p = h при условии
X -1 = X -2 = ... = X -p = X 1 ’ X +1 = X +2 = ... = X +p = X 2
имеем
0.5hT О ОО nj+ = nj + — (2-1 + 2-2 +... + 2-p) = nj = 0, pX1 + 0.5h
0.5hT О ОО nj+ = nj + —, n ,, (2+1+ 2+2 +...+ 2+p) = nj =0, pX2 + 0.5h + ++
ОО О О ОО
n (a) = T(2 1 + 2 2 + ... + 2 a) = — T\2 a+1 + 2 a+2 + ... + pp \ = O ( t ).
Функция v (a) определяется условиями
v (a)
-
v (a-1)
τ
Л a v (a) + O^a.
2 a = Л a n (a) + 2 a ’ v (a) ( x , 0) = 0’
ООО _ где Лапа = —тЛа (^а+1 + Фа+2 + • • • + Фр) = О(т), если в замкнутой области Qt суще-
∂ 4 u ∂x 2 α ∂x 2 β
ствуют непрерывные производные а = в.
(1 ) j +а j+а
v(a) —v(a-1) + П(а) — П(а-1) = аа “ vxjo — P-gvo p + ф1 а + 0.5h^—а т т px1 + 0.5h px1 + 0.5h px1 +0.5h’
(1 ) j+ a
v(а) — v(а-1) = “a “ vx„,0 — l-gvo p + т PX1 + 0.5h px1 + 0.5h’
(Na) j+a , „ j+a vM — v(а-1) аа vxa,Na + в+а v0 Ф+а
Х а — 1а •
=1
т PX 2 + 0.5h PX 2 + 0.5h
Для оценки V (а) воспользуемся оценкой (16):
j p 0 α
^ v j +1 ^ C h 6 0 ™< , х +1 ( | ф 1 а | + | Ф +а | ) + ТлТ, ^j' + p j 0 =0 а=1
C h .
Так как n j = 0 для всех j = 0,1,..., j o , то для погрешности имеем оценку
^ z j +1 ^ C h 6 h v j +1 h c . 6 M(h 2 + т)•
Таким образом, справедлива следующая
Теорема. Пусть задача (1)-(3) имеет единственное непрерывное в Q T вместе с производными ^du , ^x решение u(x,t) и существуют непрерывные в Q t производные
d 2 u d№ ’ |
d 4 u d 3 u d^f I в дх а дх в ’ дtдx а ’ дх а ’ а ’ Р ’ |
Х -а = Х 1 = const, х +а = Х 2 = const, а = 1,2,...,p. Тогда схема (7)-(9) равномерно сходится на кубической сетке h 1 = h 2 = • • • = h p = h со скоростью O(h 2 + т ).
Список литературы Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1996.-724 c.
- Самарский А. А. Об одной задаче распространения тепла//Избр. тр. А.~А.~Самарского.-М.: МАКС Пресс, 2003.-С. 1-22.
- Нерпин С. В., Чудновский А. Ф. Энерго- и массообмен в системе растение-воздух-почва.-Л.: Гидрометеоиздат, 1975.-358 c.
- Самарский А. А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1973.
- Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.-М.: Наука, 1973.-415 c.