Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью

Локально-одномерные схемы (ЛОС) для решения многомерных задач математической физики впервые введены в рассмотрение А. А. Самарским [2]. Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной аппроксимации существенно расширяет класс решаемых задач.

В работе рассмотрены ЛОС для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Тогда для уравнения теплопроводности в одномерном случае, например, при x = 0 ставится краевое условие вида

∂u ∂u

c 0     = k , c 0 = const > 0.

∂t ∂x

Подобные условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью [1, c. 186], при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоемкость [2].

Аналогичные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда расслоение верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка [3, с. 233]. Если на поверхности поля имеется слой воды постоянной толщины h, то на верхней границе следует задать условие где c — концентрация соли в почвенном растворе, D — коэффициент диффузивности [3].

В одномерном случае подобные задачи рассмотрены в [4, с. 426]. Здесь рассматривается случай многомерной задачи, когда на границах области по каждому направлению x _α , α = 1, 2, . . . , p, помещена сосредоточенная теплоемкость величины χ ±_α , α = 1, 2, . . . , p. Для рассматриваемой задачи построена схема повышенного порядка

аппроксимации. С помощью принципа максимума для ЛОС получены априорные оценки в равномерной метрике, выражающие устойчивость ЛОС по начальным данным, по правой части и граничным данным.

• 1.    Локально-одномерная схема. В цилиндре Q t = G х [0,T], где G = { x = (x _i , x ₂ ,..., x p ) : 0 6 х _а 6 1 _а , а = 1,... ,p } — p-мерный прямоугольный параллелепипед, рассматривается задача

∂u

д^- = Lu + f (x,t), (x, t) G Q t = G х (0,T],

p

L = ^L a a=i

∂u

Lau — 77

∂x _α

( ka(x,t) dXa = X-a(x,t) du + e-a(x,t)u - L-a(x,t), xa = 0, xa = la

(-k _a (x, t) dX a = x +a (x,t) du + в +a (x, t)u - L +a (x,t),

u(x, 0) = Uo(x), где 0 < co 6 ka(x,t) 6 ci, e±a > в* > 0, x±a > 0, a = 1,... ,p.

Следуя [4, с. 520], заменим многомерное уравнение цепочкой одномерных уравнений теплопроводности

1 dv(a)    T          e     xe g^     Lav(a) + fa,   t G ^a — ^tj + 2—1, tj+a j , a 1, • • • , p,   / v fa   f, p yt                                   pa с условиями ka(x,t)'d— = X-a(x,t). + в—a(x,t)v(a) - p-a(x,t), ^-ka^t) —v— = X+a(x,t) ^ + e+a (x,t)v(a) - p+a(x,t), xa = 0, xa = la

v(a)(x, 0) = u o (x),

V (a) (x,t _j+ a-1) = V (a-i) (x,t _j+ a-1) , a = 2, 3,...,p,                  (6)

v (i) (x,t j ) = v (p) (x,t j ), j = 1, 2,..., j o - 1.

Аппроксимируя каждое уравнение теплопроводности номера α на полуинтервале t ■ ,a-1 < t 6 tj+ a двухслойной схемой, получим цепочку p одномерных схем, которую и j+ p              J[i назовем, следуя [4], локально-одномерной схемой (ЛОС):

j+ ^a p

^y t _α

= A a y ^{j + p} + y i ⁺ p , a = 1,...,p, x G W h a ,

j+ ^a

p yta,0p j+a ytα,Nα

(1a) j+a „    j+a aa yxa,0 в-аУ0      । -

0.5h a +pX — a     ^{+ M - a} ,

n« j + а       j + a

_ ^a« y x _a ,N„ ^+e + a y N _a   , ~

0.bh a +pX + a     ⁺ ^ ^{+ a} ,

Ll-o =     ^ ^-“

^{P a}    0.5ha+pX-a ,

7, , . —  Л+2----

^{L + a}    o.5h a +px +a ,

y(x, 0) = u o (x),                                         (9)

где A a y = (a a y x _a ) x _a a = 1,... ,p.

j+ p

,y ^p t _α

y j+p

4 I ^{a — 1} - y ^{J +} p — _τ ^y      , µ _{- α}

— ^L —a ^{+ 0 . 5 h} a ^f a,o , ^L +a — ^L+a ^{+ 0.5h} a ^f a,N _a ,

2. Погрешность аппроксимации. Полагая z ^{j + p} = y ^{j+ p} y ^{j+ p} = z ^{j + p} + u ^{j + p} в уравнение (7), получим

-

u ^{j+ p} и подставляя

j+ а л j+ a ,j+ a

7 ^P = Л а ^{ф p} + ф а p , t _α

, j+ a x j+ a     j+a фа p = Ла U p + ^а p

-

j+a p tα

°      /                1 A \^j+1

Обозначим через фа = LLa u + fa — pddt 1 j+a° представим фа p = фа + фа, где

p ° и, замечая, что 'фф фа = 0, если Е fа = f, а=1

ф а

Л    j+ a   _{т j+}1 \ , / ^{j +} a    j+ 1

^Л а ^{u   p} - ^L а ^{U 2} ) ⁺ ( ^ а   - ^f а

-

j+a up tα

1 / du V⁺ 2 p ∂t

° фа = O(hа+т), фа = Ow, ф = 52 фа = 52 фа = O(|h|2+т), а=1

• т.    е. ЛОС обладает суммарной аппроксимацией O( | h | ² + т ), | h | ² = h l + h 2 + ... + h p . Граничное условие при х _а = 0 запишем в следующем виде:

,                   . j+a          \ j+a           j+a, .

(РХ-а + 0.5 hа) yta p = a^™^,0 - в-аУ0 p + Ц-а + 0.5 hа fа,0.(10)

Пусть z ^{j +} p = y ^j+ p — u ^j+ p . Подставим y ^j+ p = z ^{j +} p + u ^j+ p в (10)

,         n r \ ^{j+ a}        ) ^{j+ a} О ^{j+ a}        ) ^{j+ a}

⁽ РХ -а ^{+ 0}-^{5 h} а ) z _tp ^P = ^а а ^p ) z x p , p - ^в -а ^К 0 p ^{+ а} ф ^p ’ u x pp)

-

j+ ^a в -а ^ о p

j+ ^a

+ ^ -а +0.5 h а f а,0 - (РХ -а + 0.5h а ) U p t _α

.

Тогда

A j+a          j+a                           ,                x j+ ф-а = aа1p)u„ 0 - в-аи0 P + ^-а + 0.5hаfа,0 - (РХ-а + 0.5hа)u α ,                                                                                    tα

+ 0.5h _а

— 0.5h _а

∂ ∂x α

∂ ∂x α

k а (x,t) я--

∂x α

∂u

I ^к а ^(x, t)        I

∂x _α

^{+ f} а -

^{+ f} а -

1 du l ^{j + 1}

Р ^dt\ X p =0

1 du j+2       du du p dt 0    а дха Х а dt

X p

°°

— в-аu + Ц-а + 0.5hаф-а + O(hа + Т) = 0.5hаф-а + ф-а, где

°

ф -а

∂ ∂x α

к а (х,Ф)"^--

∂x α

^{+ f} а ^—

1 du l ^{j + 1}

Р ^\ Xp =0

Аналогично запишется граничное условие при ха = 1а. Итак, j+a          j +a         j+a          °

( РХ -а + 0.5h a ) z _{t p} ^p = a^ z X^Q — в -а Z ₀ p + 0.5h а ф -а + ф -а , Х а = 0,

,                    . j+ ^a

(РХ +а + 0.5h а ) X- P t _α ,N _α

-

j+a           j+a\        ° аа p)zxp,Np + в+аXNpP ) + 0.5hаф+а + ф+а,  ха = 1а, p°

°

где ф ± а = O(h а + Т ), Ё ф ±а = 0, ф ±а = O(1).

Приведем разностное уравнение (7) и граничные условия (8) к каноническому виду (см. [5, с. 339]):

A(P)у(Р ) = X B (P, Q)y(Q) + F (P),

QeШ ⁰ (P)

где

A(P ) > 0, B (P,Q) > 0, D(P ) = A(P ) - V B(P,Q) >  0,

QeШ ⁰ (P)

P , Q — узлы сетки, Ш ⁰ (Р) — окрестность узла P , не содержащая самого узла P . Имеем

- + τ

a i a +1 ⁺ a i a h ² h _α

j + ^а p

^y i α

i        j+a , i j+a , i j +^

a a a i a + i y i a +1 ⁺ h a a i a У i a - ^P 1 ⁺ ^i a "

j+ a + ^ a

1 +      a^     +     в -а    A j+ ^a

T (0.5h a + PX -a>a    0.5h _a + PX - a ) y °

a^       j+a , 1 j+V , .

^— TnT7—;-----й~У1 ^{p + _}Уо ^{p +} Ц-а

(0.5h a + PX -a )h a         T ^o

' 1 ₊          )      ₊     в +a     A j a

₄T   (0.5h a + PX +a )h a    0.5h _a + PX + a) y N ^a

_ a )      j+a    1 j+V

= /_n CL ;           ^yN_a -1 ^{+ y}N_a    ^{+ Ц} + а,

(0.5h a + PX +a )h a N ^{a 1} T N ^a

^где /^ ^{- a} — 0.5h _a +Px _{- a} , A^ ^{+ a} = 0.5h _a +px +_a , ^ -a = ^ ^{- a + 0}‘^{5 h}a^{f a},O , ^ +a = Ц +а ^{+ 0}.^{5 h}a^f a,N a ^.

Из (11)–(13) находим, что

D(P (X i a ,t j+1 ))= 0,

D(P (0,t j+i )) —

в -а

0.5h a + px -a ’

D(P (l_a,t j+i )) —

в +а

0.5h a + PX +a ’

в ±а > в * > 0.

Представим решение задачи (7)-(9) в виде суммы у — У + у * , где У — решение задачи с Ц 1 — Ц 2 — 0, а у * — решение задачи с u o (x) — 0, ^(x,t) — 0. Оценим сначала у * . Для оценки у * воспользуемся теоремой 3 (см. [4, с. 344]):

k y * ^{( x} ’t j+1 ^{) k} C h 6 _n .max . :1^{( |} ^ -a ^{( t} k ) l ⁺ | ^ +a ⁽t k М-                   ⁽¹⁴⁾

0 6 k 6 j+1 в *

Для оценки y нам понадобится теорема 4 (см. [3, с. 347]). Перепишем (11) в виде

( 1 , a i a +1 + a i a A j+p _ 1 .      j+ p     1 . j+ p . ж/р A

( _т⁺      Л2        )^У i a        Л2 a i a ^{+1 У} i a + 1 ⁺ Л 2 a i a ^У i a -1 ^{+ Ф} (^P(^{j + 1)}) ’

τh     h     hα где Ф(Р(,+1)) — Tу;’а+ p + ^j+ p . Тогда

D (P(j+1)) — “’ TvTp   у X B(P,Q) — 1-

^{T D} l^{P (} j ^+1)k Q _G Ш ⁰ n

Все условия теоремы 4 из [5] выполнены, поэтому имеем оценку j+1                        j p у   kCh 6 kuO(x)kCh + X T X ll^j + p llch.

j ⁰ =o a=1

Из оценок (14), (15) следует окончательная оценка для решения задачи (7)–(9):

jp

k y ^{j + 1} k C h 6 k u o (x) k C h +

max 0 6 k 6 j+1

(\^- a (t k ) \ ⁺ \ ^ +a ^{( t} k M ⁺ 52 ^T 52 H^ j ⁺ p j 0 =0 a=1

C h ^.

3. Равномерная сходимость ЛОС. Перепишем задачу для погрешности z ^j+ p = y ^j+ p — u ^j+ p в виде

I a      j+a      j +aО zta = Ла Z3 p + ^a p ,  ^a p = 2a + ^a’

(1 ) j+a          j+a

^Z t a ,0

t _α ,N _α

^a““ ^Z X a ,0 - ^e -a z o p +     2 -a      + 0.5h_a2 -a

PX -a +0.5h_a        X -a + 0.5h_a PX -a +0.5h a ’

(Na) j+a     n j+a a“ zx^Na + e+azNa ^2+a^ 0-5ha2+a PX+a + 0.5ha        px+a + 0.5ha px+a + 0.5ha ’

z(x’ 0) = 0.

Представим по аналогии [4, с. 528] решение задачи для погрешности z ^{j+ p} = Z (_a) в виде суммы Z (_a) = v (_a) + n (_a) , где n (_a) определяется условием

^ -ⁿ(a-1) = 2 _a ,

x α ∈ ω h _α ,

n (a) — n (a-1) τ

0.5h _a       ⁰

PX -a + 0.5h a ^{- a}

x _a = 0,

n(a) — n(a-1) =     0-5ha    0h= l

T         PX +a + 0.5h a ^+a ’

n(x, 0) = 0.

О      ОО

Отсюда находим n ^j+1 = П (_Р) = П + т (2 1 + 2 ₂ + • • • + 2 _p ) = n ^j = 0.

На кубической сетке h 1 = h ₂ = ... = h _p = h при условии

X -1 = X -2 = ... = X -p = X 1 ’ X +1 = X +2 = ... = X +p = X 2

имеем

0.5hT     О ОО nj+ = nj + —      (2-1 + 2-2 +... + 2-p) = nj = 0, pX1 + 0.5h

0.5hT     О ОО nj+ = nj + —, n ,, (2+1+ 2+2 +...+ 2+p) = nj =0, pX2 + 0.5h   +     ++

ОО      О       О    ОО

n (a) = ^T(² 1 ^{+ 2} 2 ⁺ ... ^{+ 2} a) = ^{— T}\² a+1 ^{+ 2} a+2 ⁺ ... ⁺ pp \ = ^{O ( t} ).

Функция v (_a) определяется условиями

v (a)

-

^v (a-1)

τ

^Л a ^v (a) ⁺ O^a.

² a = ^Л a n (a) ^{+ 2} a ’    ^v (a) ^{( x} , ⁰⁾ = ⁰’

ООО     _ где Лапа = —тЛа (^а+1 + Фа+2 + • • • + Фр) = О(т), если в замкнутой области Qt суще-

∂ ⁴ u ∂x ² _α ∂x ² _β

ствуют непрерывные производные а = в.

(1 ) j +а         j+а

v(a) —v(a-1) + П(а) — П(а-1) = аа “ vxjo — P-gvo p +    ф1 а    + 0.5h^—а т             т             px1 + 0.5h        px1 + 0.5h px1 +0.5h’

₍₁ ) j+ ^a

v(а) — v(а-1) = “a “ vx„,0 — l-gvo p + т              PX1 + 0.5h        px1 + 0.5h’

(Na) j+a , „    j+a vM — v(а-1)     аа vxa,Na + в+а v0         Ф+а

Х а — 1а •

=1

т                 PX 2 + 0.5h         PX 2 + 0.5h

Для оценки V (_а) воспользуемся оценкой (16):

j p _{0 α}

^ v ^{j +1} ^ C h ⁶ ₀ ™< , ^х ₊₁ ^{( | ф} 1 а | ⁺ | ^Ф +а | ) ⁺ ТлТ, ^j' ⁺ p j 0 =0 а=1

C h ^.

Так как n ^j = 0 для всех j = 0,1,..., j o , то для погрешности имеем оценку

^ z ^{j +1} ^ C h 6 h v j ⁺¹ h c . 6 M(h ² + т)•

Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Пусть задача (1)-(3) имеет единственное непрерывное в Q T вместе с производными ^du , ^x решение u(x,t) и существуют непрерывные в Q t производные

d 2 u d№ ’

d 4 u       d 3 u     d^f   I      в дх а дх в ’ дtдx а ’ дх а ’         а ’      Р ’

Х _-а = Х ₁ = const, х +_а = Х 2 = const, а = 1,2,...,p. Тогда схема (7)-(9) равномерно сходится на кубической сетке h 1 = h 2 = • • • = h _p = h со скоростью O(h ² + т ).