Локально ограниченные пространства вектор-функций и нелинейные операторы в них
Автор: Фетисов В.Г., Безуглова Н.П.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.3, 2001 года.
Бесплатный доступ
На единой методологической основе исследуются нелинейные операторы типа суперпозиции, интегрального оператора Урысона в пространствах измеримых вектор-функцией.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318020
IDR: 14318020
Текст научной статьи Локально ограниченные пространства вектор-функций и нелинейные операторы в них
ЛОКАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НИХ
В. Г. Фетисов, Н. П. Безуглова
На единой методологической основе исследуются нелинейные операторы типа, суперпозиции, интегрального оператора Урысона в пространствах измеримых вектор-функцией.
-
1. Некоторые обозначения, определения и вспомогательные предложения
Пусть (Г, Е, д) — пространство с мерой, т. е. Т — множество, Е — сг-алгебра его подмножеств, д — счетно-аддитивная неотрицательная мера на Е. Без ограничения общности можно предполагать, что все атомы дискретной части Т являются точками. Пусть Е(д) (соответственно Е<т(д)) есть кольцо (соответственно сг-кольцо) множеств из Е, имеющих конечную (соответственно сг-конечную) меру. Всюду в дальнейшем будем считать, что:
-
(а) если А С В Е Е и д(В) = 0, то A G Е (полнота меры д);
-
(Ь) если для любого В Е Е(д) имеем В П А Е Е, то А Е Е;
-
(с) для любого A G Е имеем д(А) = 8пр{д(В) : В С А, В Е Е(д)};
-
(d) существуют дизъюнктные множества ^Т^ такие, что p,(T\\jT^ = 0 и О < рДД < +оо при любом г;
-
(е) для любого А Е Е(д) существуют множество N меры нуль и не более, чем счетное, множество J индексов г такие, что A\N = |J (A ПТ©
Как известно [1], условия (а)-(е) выполнены для любой полной сг-конечной меры и для меры, порожденной существенно верхним интегралом меры Радона на любом локально компактном пространстве. Без ущерба для нетривиальнос-ти всего дальнейшего изложения можно считать, что (Г, Е, д) есть отрезок [0,1] с мерой Лебега д или же ограниченный компакт в Rn с мерой Лебега д.
Пусть (Т, Е, д) — пространство с мерой, Е — квазибанахово идеальное пространство с мерой Лебега д, (т. е. Е — В*-пространство с инвариантной р-метрикой и В-нормой || • Цд; например, Lp, 0 < р < оо), X — банахово
идеальное пространство. Символом L^X) обозначаем пространство (классов эквивалентности) всех Х-значных измеримых функций на Т.
Через Е(Х) обозначим решеточное квазибанахово пространство всех измеримых вектор-функций /: Т —> X таких, что H/jl^X) = || Ц/ЦхЦе1 < +оо. Мы ограничиваемся в своем изложении в основном двумя модельными примерами Е^Х^ а именно:
-
(1) через ЕДХ) (или LP(T,X) [2]) обозначается пространство всех измеримых вектор-функций /(£) таких, что F-норма элемента вводится формулой:
р yil/MIIW) <+оо (0 < р < оо);(1)
т)
-
(2) через L^^X) (или L*(T, X), [3]) обозначим пространство всех измеримых вектор-функций /(t) таких, что (см. [4])
{Г •I е > 0 : у v(\\fW\\x/eWW < е > , где рбФ^).
т)
Определение 1.1. Последовательность {ЛД^)},^! элементов пространства F(X) называется С-последовательностью, если для каждой числовой после-
довательности {А^}^! 2 О
Определение 1.2. ся С-пространством, если
(An е R), ряд 52 XnMt) сходится. 71=1
Пространство вектор-функций Е(Х) называет-для любой С-последовательности его элементов
UnW^=1 С Е^Х) ряд 52 fnW сходится.
71=1
Лемма 1.1. Для того, чтобы последовательность элементов {Лгк)}^! С F(X) являлась С-последовательностью, необходимо и достаточно, чтобы множество Ло = ч 52 anfnW : an< 1 > было ограниченным.
0„=| 1
<1 Достаточность. Пусть известно, что множество элементов Ло = Ч 52 anfnW : a7i < 1 f является ограниченным. Пусть {с^}^! 2 0 — произвольная числовая последовательность и е > 0. В силу ограниченности множества Ло найдется номер по такой, что для п > По, ||си/2(^)|| < е для всех элементов fn(t) Е Ло, где || • || означает F-норму в пространстве F(X). Отсюда для номеров n, т, По < п < т имеем:
m
m
i = n + l i = n + l Ск
= lkfc/(t)|| < £,
т где Ск = maxn
UnW^=i является С-последовательностью.
к G n| не сходится к нулю, где Пк < п'к< Ttkyi-
Полагаем:
Сп —
Х^а^, если n^ < п < пк,
О, для всех остальных номеров.
Можно видеть, что последовательность {c^}^^ J. 0, но ряд 22 cnfnW расходится. Отсюда видно, что {Лг^)^^} не будет С-последовательностью. Противоречие. >
Лемма 1.2 (А. Н. Колмогоров — А. Я. Хинчин — В. Орлич). Пусть дана С-последовательность {Лг(^)}^1 пространства Т°^Х\ Тогда на каждом множестве То конечной меры ряд 22 \fnW\2 сходится р-почтп всюду. 71=1
Теорема 1.1 (Л. Шварца [5]). Пространства вектор-функций LP(X) при 0 < р < оо являются С-пространствами.
Следствие 1.1 (см. [3]). Пространства вектор-функций L^X) являются С-пространствами при условии, что p-функция класса Ф(С) подчиняется Д2- условпю при всех и.
-
<1 Доказательство следствия 1.1 вытекает из теоремы 1.1, если положить р(и) = ир, и G R + . >
Отметим, что определения С-последовательности и С-пространства проще, чем (О)-условие, введенное В. Матушевской и В. Орличем в [6], которые на широком классе модулярных пространств показали необходимость (О)-условия (см. [6]).
Определение 1.3 (см. [7]). Пусть даны два С-пространства Е^Х) и Е^^Х) и произвольный оператор W : Е^^Х) —> 1А\Х\ Оператор W называется А-инвариантным, если для каждого измеримого подмножества 2 С Т выполняется условие:
Ж(Д ддЖ(г | А17;Д) = Iv;, • {ВИД ддЖ(г +Ат7)} (и, г е Е^Х^, (2)
почти всюду на Т.
Здесь 1у0 обозначает характеристическую функцию измеримого подмножества То С Т.
Очевидно, А-инвариантный оператор является Нд-оператором. Действительно, W(у) oIT(Й + Ай) = 1^ • {РГ (у) oW (у + Ай)} + 1у2 • {РГ(Й) оРО (у + Ай)} для любых дизъюнктных измеримых подмножеств Д П Т2 = 0, Д U Т2 = Г, почти всюду на Т (см. подробнее [10]).
Оператор W, будучи А-инвариантным, удовлетворяет соотношению: W^ оРО (у + Ай) = W (Й) оРО(Й + А^й) + W (Й) О ТУ(Й + А1у2й), значит,
||ИДЙ) ^W^ + Ай)||2 < ||ИДЙ) oW(y + АР^й)!^ + ^(Й) ^W^ + А1т2й)||2,
-
т. е. оператор W является Яд-оператором (при Н = I).
Примечание 1.1. Для А = 1 А-инвариантный оператор назовем инвариантным оператором. Условие (2) инвариантности (А = 1) оператора W имеет вид:
ИДЙ)^ИДЙ+1Г[)Й) = 1Го • {ИДЙ)^ИДЙ+Й)} (й, Йе ТДХ), То С г). (3)
Определение 1.4. Отображение р : Е(Х) —> R+ назовем аддитивной формой, обусловленной Т-нормой || • || на Е(Х), если:
-
(а) для любых й, у Е Е(Х), зиррй(?) ПзиррЙ(?) = 0, выполняется условие р(Й + Й) = р(й) + р(Й);
-
(Ь) р^х^ А 0 дд ||жи|| J. 0 и n -Е оо;
-
(с) р^х,^ < а ^ ||ЙП|| < kai n е N и (a, ka) Е R2.
Примерами аддитивных форм для конкретных пространств вектор-функций /(?) будут являться интегральные модуляры вида:
ИрШ = jwFWxMf). f^L^XY (4)
т w рш = j ф\т\\хУр.т, i^yyy (5)
т если (/^-функция (/2(и) удовлетворяет Дг-условию.
Определение 1.5. F* -пространство вектор-функций Е(Х) называется пространством типа Т(Х), если:
-
(1) 1Г Е Т(Х);
-
(2) Е(Х) обладает абсолютно непрерывной Т-нормой;
-
(3) в Е(Х) существует аддитивная форма р.
Примечание 1.2. Пространство LP(X) (0 < р < оо) является пространством типа Е^Ху аналогично для L* ^Ху если р удовлетворяет Д2-условию.
Как известно, сравнение свойств вектор-функций и функций от двух пере-
1 —
менных, связанных между собой формулой ФЦ, t) = [/(Ц](б), удобно проводить в рамках теории пространств со смешанной квазинормой [8], так как последние позволяют описывать принадлежность интегральных операторов некоторым важным классам через свойства их ядер. Пусть (Ti,Si, цЦ и (Т, У, ц) — два пространства с мерами Ц1 и // соответственно.
Для данных X — БИП (= банахова идеального пространства) на (71, 5Ц, Ц1), Е — КИП (= квазибанахова идеального пространства) на (Т, У, ц) через 5[Х] обозначим пространство всех измеримых функций Ф(з, t) на Д х Т, удовлетворяющих двум условиям:
-
(1) при всех t Е Т функция s Н- Ф(з, t) входит в X;
-
(2) функция Ф = ||Ф(-,Щ|^ входит в Е.
Известное условие (С) (см. [8]) в пространстве X обеспечивает измеримость функции Ф|. Значит, 5[Х] — линейное множество, а, следовательно, и идеальное квазинормированное пространство на произведении Ту х Т, а так как Е — КИП, то формула ||Ф||.е[х] = H^HIs превращает 5[Х] в КИПСК (см. также [3], где для более общих ситуаций имеются модельные примеры КИПСК Ьщу L^y Орлича Ц^У
Ответ на вопрос, когда имеет место топологическое совпадение пространства вектор-функций Е(Х) с пространством со смешанной квазинормой 5[Х], дает следующая лемма:
Лемма 2.2. Следующие условия эквивалентны:
-
(1) Е(Х) = 5[Х] при каноническом вложении ФЦ, t) = [/(£)] (s);
-
(2) X — БИП с условием (А) : (жи J. 0) => (||жи||х —> 0 при п —> оо) .
-
<1 Доказательство леммы 2.2 проводится аналогично доказательству следствия 2.3 работы [9]. >
-
2. Некоторые свойства нелинейных операторов в квазинормированных пространствах Е(Х) измеримых вектор-функций
Цель этого параграфа — на единой методологической основе исследовать нелинейные операторы типа: суперпозиции, интегрального оператора Урысона в пространствах Е(Х) и др.
Теорема 2.1. Пусть Ei(X) — F-пространство, Е^Х^ — пространство типа L^Xy р — аддитивная форма, обусловленная F-нормой || • ||2, а оператор W : Ei (X) —> Е^Х^ подчиняется условиям:
-
(а) ИД и) > 0 почти всюду на Т, если u G E^XY й > О почти всюду;
-
(Ь) 17(1^171 + 1т2П2) > 1тх • ИДй1) + 1у2 • W(ti2) почти всюду на, Т, если Ui,U2 G Ey^XY йун^ > О, почти всюду наТ иТуТ2 —измеримые, Т1СТ2 = 0, Ту СТ, Т2С Т.
Тогда для любого абсолютно ограниченного в Еу (X) множества С образ Т(С) — абсолютно ограничен в E2VXY
-
<1 От противного. Допустим, что существует множество С, абсолютно ограниченное в Е^Х^ такое, что образ Т(С) в пространстве ЕДХ) не будет абсолютно ограниченным. Это значит, что существуют eq > 0, последовательности YUkUY^kUi С С и ^Т^ G Е, Т^ С Т ^^ такие, что фТ^ —> 0 при к —> оо, ОО
£ Р-^ < ос и ||lTfc • ИДйк)||2 > е0.
fc=i
Рассуждая по аналогии, как в [10], можно утверждать, что существует последовательность подмножеств {Т/ДД^ С Т такая, что Т^ П Tj = 0, z Д j и UnW^=i С ЕДХ), f^t) > 0 почти всюду, Vn G N, удовлетворяющие условиям ££1 Ц177/7ДДЦ1 < +оо, но ||1т„ИД/и)||2 > Ео > 0. Тогда найдется £q > 0 такое, что р(1тп W^f^ > Eq, Vn G N. Обозначим
MtY если t G Tn, y(s)”t°, если tE T\(u~=i Tn} = To.
Очевидно, что v G Ei(X) и, значит, по условию ИДИ) G ^(X). С другой стороны, имеем:
ОО ОО
ИЛ") = 1г(^1тд„) > Е1т.Щ/„), 71=1 71=1
откуда || 1Т(г)||2 > £^°=i1T„^(/2i) 2-
Так как
ОО ОО
'-(Е^ЩО) = E^r-Wl)) = о°.
71 = 1 71 = 1
то £2^1 ^TnW(,fn) ^ ^(Х), следовательно, JT(v) ^ ^(Х). Противоречие. >
Следствие 2.1. В условиях теоремы 2.1, если оператор W непрерывен по мере в точке Uq G Е^^Х), то оператор W непрерывен по F-норме пространства Ei (X) в точке Hq.
Примечание 2.1. Если W есть инвариантный оператор, подчиняющийся условию (а) теоремы 2.1, тогда оператор W непрерывен в каждой точке По G Ех(Х), где W непрерывен по мере и ^(©дру)) = l^t-Y), (© — ноль пространства).
О ОО
Лемма 2.1. Пусть 1т G Е ДХ) и 1т G Е 2^Х^ (Ei —подпространства в Ei элементов, имеющих абсолютно непрерывную F-норму), W произвольный оператор из Еу (X) в E^XY
Следующие предложения эквивалентны:
-
(1) W непрерывен по мере в uq G Еу(Х);
-
(2) lim p(t, ИДйо + z) 4>ИДйо)| > о} = О, где а > 0, г — фиксированы.
Теорема 2.2. Пусть Ei(X) — F-пространство, Е2(Х) — пространство типа Ь(ХУ причем 1Г G Е i(X) и 1Г G Е^Х^ a W : ВДХ) -д Е2(Х) — произвольный оператор, подчиняющийся условиям (а) и (Ь) теоремы 2.1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
-
(1) W непрерывен в точке Hq G ЕДХ);
-
(2) W непрерывен по мере в точке Hq G ЕфХ).
-
<1 2) => 1). Пусть {й™}^! —> йо по F-норме пространства ВДХ), тогда {щД^! —> йо по мере на Т при п —> оо. Оператор W, будучи непрерывным по мере в точке Ищ дает ИДмп) —> ИДйо). А так как последовательность {^n}^i “^ «о абсолютно ограничена, то {ИДиД} абсолютно ограниченное множество в Е2(Х) (согласно теореме 2.1). Значит, { W(un )}^Д1 —> ИДмо) по F-норме при п —> оо.
-
(1) => (2) Доказательство предоставляем читателю. >
Примечание 2.2. Существуют F-пространства ВДХ) и Е2(Х), 1т € О
Е 2^Ху где W : ВДХ) —> Е2(Х) инвариантный оператор ИДОе^х)) = ©ед.х), для a G F2(X) и отображение Ф : ВДХ) —> ВДХ) такие, что:
-
(1) ИДм)Д) < a(t) + Ф(й)Д) почти всюду на Т, \/u G ВДХ);
-
(2) для любого F-ограниченного множества В G ВДХ), Ф(В) ограничено в ВДХ).
Примерами могут служить известный оператор суперпозиции W (u)(t) = Х[С и(Д] и ВДХ) = LPY(Xy Е2(Х) = LP2(X) при соответствующих ограничениях на pi,p2 > 0.
О
Теорема 2.3. Пусть Fi(X) iiF2(X) — два F-пространства на Т, 1т € F2, W : ВДХ) -д Е2(Х). Пусть для u0 G Fi(X), u0 > 0 на Т, существуют возрастающая функция р : R + —> R + , удовлетворяющая условию lim ^^ = и—чх>u 00, функция a G F2(X) и отображение Ф : F^(X) -д Е2(Х), переводящее всякое ограниченное по F-норме множество В С Fi(X) в ограниченное множество Ф(В) С Е2(Ху такие, что
\ UoW / почти всюду на Т для всех / Е Е-^Х). Тогда для каждого г > О, образ W(B'(0, г)) (шара с центром в 0 радиуса г) — абсолютно ограниченное мно жество в Е^^Х).
-
<1 По условию, a Е Е^Х^ тогда для Ме > 0, существует Д > 0 такое, что ||Да(^)||2 < f. По условию, Ф(В (©, г) J ограниченное, тогда существует Д > 0 такое, что Ц/^ФШЦг < f для любого элемента / Е В^Ощ). Положим /3 = inf{/3i,/32 } • Отсюда:
Р • Т^и)Щ\/п0Щ)
• u0(t)
||№)||2 + ||/ЗФ(Ж)||2<б.
Это означает, что образ ^(В^Ощ)) есть абсолютно ограниченное множество в Е2(Х) (см. также теорему 1.4.13 из [10]). >
Список литературы Локально ограниченные пространства вектор-функций и нелинейные операторы в них
- Коротков В. Б. Интегральные операторы.-Новосибирск: Наука, 1983.-224 с.
- Kalton N. J. Isomorphism between L^p-function spaces when pJ. Func. Anal.-1981.-V. 42.-P. 299-337.
- Фетисов В. Г. Об операторах в идеальных квазинормированных пространствах со смешанной квазинормой E(\Omega)//Северо-Осетин. госуниверситет.-Деп. в ВИНИТИ 22.05.90, № 2784-В90.
- Rolewicz S. Metric linear spaces.-Warszawa: PWN, 1972.
- Schwartz L. Un theoreme de la convergence dans les L^p, 0\leq p\leq\infty//C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A.-1969.-T. 268.-P. 704-706.
- Matuszewska W., Orlicz W. A Note on modular spaces IX//Bull. Acad. Polon. Sci.-1968.-V. 16.-P. 801-807.
- Фетисов В. Г. О свойствах нелинейных \lambda-инвариантных операторов в локально ограниченных пространствах//Грозненский госуниверситет.-Т. 24.-Грозный, 1992.
- Бухвалов А. В., Коротков В. Б., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Макаров Б. М. Векторные решетки и интегральные операторы.-Новосибирск: Наука, 1992.-214 с.
- Бухвалов А. В. О пространствах со смешанной нормой//Вестник ЛГУ.-1973.-№ 19.-С. 5-12.
- Фетисов В. Г. Операторы и уравнения в $F$-квазинормированных пространствах//Дисс. на соискание уч. степ. докт. физ.-мат. наук, Ин-т матки. СО РАН, 1996.-280 с.