Локально ограниченные пространства вектор-функций и нелинейные операторы в них

ЛОКАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НИХ

В. Г. Фетисов, Н. П. Безуглова

На единой методологической основе исследуются нелинейные операторы типа, суперпозиции, интегрального оператора Урысона в пространствах измеримых вектор-функцией.

• 1.    Некоторые обозначения, определения и вспомогательные предложения

Пусть (Г, Е, д) — пространство с мерой, т. е. Т — множество, Е — сг-алгебра его подмножеств, д — счетно-аддитивная неотрицательная мера на Е. Без ограничения общности можно предполагать, что все атомы дискретной части Т являются точками. Пусть Е(д) (соответственно Е^<т(д)) есть кольцо (соответственно сг-кольцо) множеств из Е, имеющих конечную (соответственно сг-конечную) меру. Всюду в дальнейшем будем считать, что:

• (а)    если А С В Е Е и д(В) = 0, то A G Е (полнота меры д);

• (Ь)    если для любого В Е Е(д) имеем В П А Е Е, то А Е Е;

• (с)    для любого A G Е имеем д(А) = 8пр{д(В) : В С А, В Е Е(д)};

• (d)    существуют дизъюнктные множества ^Т^ такие, что p,(T\\jT^ = 0 и О <  рДД < +оо при любом г;

• (е)    для любого А Е Е(д) существуют множество N меры нуль и не более, чем счетное, множество J индексов г такие, что A\N = |J (A ПТ©

Как известно [1], условия (а)-(е) выполнены для любой полной сг-конечной меры и для меры, порожденной существенно верхним интегралом меры Радона на любом локально компактном пространстве. Без ущерба для нетривиальнос-ти всего дальнейшего изложения можно считать, что (Г, Е, д) есть отрезок [0,1] с мерой Лебега д или же ограниченный компакт в Rn с мерой Лебега д.

Пусть (Т, Е, д) — пространство с мерой, Е — квазибанахово идеальное пространство с мерой Лебега д, (т. е. Е — В*-пространство с инвариантной р-метрикой и В-нормой || • Цд; например, L^p, 0 <  р < оо), X — банахово

идеальное пространство. Символом L^X) обозначаем пространство (классов эквивалентности) всех Х-значных измеримых функций на Т.

Через Е(Х) обозначим решеточное квазибанахово пространство всех измеримых вектор-функций /: Т —> X таких, что H/jl^X) = || Ц/ЦхЦе¹ < +оо. Мы ограничиваемся в своем изложении в основном двумя модельными примерами Е^Х^ а именно:

• (1)    через ЕДХ) (или L^P(T,X) [2]) обозначается пространство всех измеримых вектор-функций /(£) таких, что F-норма элемента вводится формулой:

р yil/MIIW) <+оо (0 < р < оо);(1)

т)

• (2)    через L^^X) (или L*(T, X), [3]) обозначим пространство всех измеримых вектор-функций /(t) таких, что (см. [4])

{Г •I е > 0 : у v(\\fW\\x/eWW < е > , где рбФ^).

т)

Определение 1.1. Последовательность {ЛД^)},^! элементов пространства F(X) называется С-последовательностью, если для каждой числовой после-

довательности {А^}^! 2 О

Определение 1.2. ся С-пространством, если

(A_n е R), ряд 52 XnMt) сходится. 71=1

Пространство вектор-функций Е(Х) называет-для любой С-последовательности его элементов

UnW^₌₁ С Е^Х) ряд 52 fnW сходится.

71=1

Лемма 1.1. Для того, чтобы последовательность элементов {Лгк)}^! С F(X) являлась С-последовательностью, необходимо и достаточно, чтобы множество Ло = ч 52 ^anfnW : a_n< 1 >  было ограниченным.

0„=|                   1

<1 Достаточность. Пусть известно, что множество элементов Ло = Ч 52 ^anfnW ^{: a}7i < 1 f является ограниченным. Пусть {с^}^! 2 0 — произвольная числовая последовательность и е > 0. В силу ограниченности множества Л_о найдется номер по такой, что для п > По, ||с_и/2(^)|| <  е для всех элементов f_n(t) Е Ло, где || • || означает F-норму в пространстве F(X). Отсюда для номеров n, т, По <  п < т имеем:

m

m

i = n + l                 i = n + l Ск

= lkfc/(t)|| < £,

т где Ск = maxn

UnW^=i является С-последовательностью.

к G n| не сходится к нулю, где Пк < п'_к< Ttkyi-

Полагаем:

Сп —

Х^а^, если n^ < п <  п_к,

О, для всех остальных номеров.

Можно видеть, что последовательность {c^}^^ J. 0, но ряд 22 ^cnfnW расходится. Отсюда видно, что {Лг^)^^} не будет С-последовательностью. Противоречие. >

Лемма 1.2 (А. Н. Колмогоров — А. Я. Хинчин — В. Орлич). Пусть дана С-последовательность {Л_г(^)}^1 пространства Т°^Х\ Тогда на каждом множестве То конечной меры ряд 22 \fnW\² сходится р-почтп всюду. 71=1

Теорема 1.1 (Л. Шварца [5]). Пространства вектор-функций L^P(X) при 0 <  р < оо являются С-пространствами.

Следствие 1.1 (см. [3]). Пространства вектор-функций L^X) являются С-пространствами при условии, что p-функция класса Ф(С) подчиняется Д2- условпю при всех и.

• <1 Доказательство следствия 1.1 вытекает из теоремы 1.1, если положить р(и) = и^р, и G R ⁺ . >

Отметим, что определения С-последовательности и С-пространства проще, чем (О)-условие, введенное В. Матушевской и В. Орличем в [6], которые на широком классе модулярных пространств показали необходимость (О)-условия (см. [6]).

Определение 1.3 (см. [7]). Пусть даны два С-пространства Е^Х) и Е^^Х) и произвольный оператор W : Е^^Х) —> 1А\Х\ Оператор W называется А-инвариантным, если для каждого измеримого подмножества 2 С Т выполняется условие:

Ж(Д ддЖ(г | А1₇;Д) = Iv;, • {ВИД ддЖ(г +Ат7)} (и, г е Е^Х^, (2)

почти всюду на Т.

Здесь 1у₀ обозначает характеристическую функцию измеримого подмножества То С Т.

Очевидно, А-инвариантный оператор является Нд-оператором. Действительно, W(у) oIT(Й + Ай) = 1^ • {РГ (у) oW (у + Ай)} + 1у₂ • {РГ(Й) оРО (у + Ай)} для любых дизъюнктных измеримых подмножеств Д П Т2 = 0, Д U Т2 = Г, почти всюду на Т (см. подробнее [10]).

Оператор W, будучи А-инвариантным, удовлетворяет соотношению: W^ оРО (у + Ай) = W (Й) оРО(Й + А^й) + W (Й) О ТУ(Й + А1у₂й), значит,

||ИДЙ) ^W^ + Ай)||2 < ||ИДЙ) oW(y + АР^й)!^ + ^(Й) ^W^ + А1т₂й)||₂,

• т. е. оператор W является Яд-оператором (при Н = I).

Примечание 1.1. Для А = 1 А-инвариантный оператор назовем инвариантным оператором. Условие (2) инвариантности (А = 1) оператора W имеет вид:

ИДЙ)^ИДЙ+1Г[)Й) = 1Го • {ИДЙ)^ИДЙ+Й)} (й, Йе ТДХ), То С г). (3)

Определение 1.4. Отображение р : Е(Х) —> R+ назовем аддитивной формой, обусловленной Т-нормой || • || на Е(Х), если:

• (а)    для любых й, у Е Е(Х), зиррй(?) ПзиррЙ(?) = 0, выполняется условие р(Й + Й) = р(й) + р(Й);

• (Ь)    р^х^ А 0 дд ||ж_и|| J. 0 и n -Е оо;

• (с)    р^х,^ < а ^ ||Й_П|| <  k_ai n е N и (a, k_a) Е R².

Примерами аддитивных форм для конкретных пространств вектор-функций /(?) будут являться интегральные модуляры вида:

ИрШ = jwFWxMf). f^L^XY          (4)

т w рш = j ф\т\\хУр.т, i^yyy         (5)

т если (/^-функция (/2(и) удовлетворяет Дг-условию.

Определение 1.5. F* -пространство вектор-функций Е(Х) называется пространством типа Т(Х), если:

• (1)    1_Г Е Т(Х);

• (2)    Е(Х) обладает абсолютно непрерывной Т-нормой;

• (3)    в Е(Х) существует аддитивная форма р.

Примечание 1.2. Пространство L^P(X) (0 <  р < оо) является пространством типа Е^Ху аналогично для L* ^Ху если р удовлетворяет Д2-условию.

Как известно, сравнение свойств вектор-функций и функций от двух пере-

1 —

менных, связанных между собой формулой ФЦ, t) = [/(Ц](б), удобно проводить в рамках теории пространств со смешанной квазинормой [8], так как последние позволяют описывать принадлежность интегральных операторов некоторым важным классам через свойства их ядер. Пусть (Ti,Si, цЦ и (Т, У, ц) — два пространства с мерами Ц1 и // соответственно.

Для данных X — БИП (= банахова идеального пространства) на (71, 5Ц, Ц1), Е — КИП (= квазибанахова идеального пространства) на (Т, У, ц) через 5[Х] обозначим пространство всех измеримых функций Ф(з, t) на Д х Т, удовлетворяющих двум условиям:

• (1)    при всех t Е Т функция s Н- Ф(з, t) входит в X;

• (2)    функция Ф = ||Ф(-,Щ|^ входит в Е.

Известное условие (С) (см. [8]) в пространстве X обеспечивает измеримость функции Ф|. Значит, 5[Х] — линейное множество, а, следовательно, и идеальное квазинормированное пространство на произведении Ту х Т, а так как Е — КИП, то формула ||Ф||.е[х] = H^HIs превращает 5[Х] в КИПСК (см. также [3], где для более общих ситуаций имеются модельные примеры КИПСК Ьщу L^y Орлича Ц^У

Ответ на вопрос, когда имеет место топологическое совпадение пространства вектор-функций Е(Х) с пространством со смешанной квазинормой 5[Х], дает следующая лемма:

Лемма 2.2. Следующие условия эквивалентны:

• (1)    Е(Х) = 5[Х] при каноническом вложении ФЦ, t) = [/(£)] (s);

• (2)    X — БИП с условием (А) : (ж_и J. 0) => (||ж_и||х —> 0 при п —> оо) .

• <1 Доказательство леммы 2.2 проводится аналогично доказательству следствия 2.3 работы [9]. >

• 2. Некоторые свойства нелинейных операторов в квазинормированных пространствах Е(Х) измеримых вектор-функций

Цель этого параграфа — на единой методологической основе исследовать нелинейные операторы типа: суперпозиции, интегрального оператора Урысона в пространствах Е(Х) и др.

Теорема 2.1. Пусть Ei(X) — F-пространство, Е^Х^ — пространство типа L^Xy р — аддитивная форма, обусловленная F-нормой || • ||₂, а оператор W : Ei (X) —> Е^Х^ подчиняется условиям:

• (а)    ИД и) > 0 почти всюду на Т, если u G E^XY й > О почти всюду;

• (Ь)    17(1^171 + 1т₂П2) >  1тх • ИДй1) + 1у₂ • W(ti2) почти всюду на, Т, если Ui,U2 G Ey^XY йун^ > О, почти всюду наТ иТуТ2 —измеримые, Т1СТ2 = 0, Ту СТ, Т₂С Т.

Тогда для любого абсолютно ограниченного в Еу (X) множества С образ Т(С) — абсолютно ограничен в E2VXY

• <1    От противного. Допустим, что существует множество С, абсолютно ограниченное в Е^Х^ такое, что образ Т(С) в пространстве ЕДХ) не будет абсолютно ограниченным. Это значит, что существуют eq > 0, последовательности YUkUY^kUi С С и ^Т^ G Е, Т^ С Т ^^ такие, что фТ^ —> 0 при к —> оо, ОО

£ Р-^ < ос и ||l_Tfc • ИДй_к)||₂ >  е₀.

fc=i

Рассуждая по аналогии, как в [10], можно утверждать, что существует последовательность подмножеств {Т/ДД^ С Т такая, что Т^ П Tj = 0, z Д j и UnW^=i С ЕДХ), f^t) > 0 почти всюду, Vn G N, удовлетворяющие условиям ££1 Ц177/7ДДЦ1 <  +оо, но ||1т„ИД/_и)||2 >  Ео > 0. Тогда найдется £q > 0 такое, что р(1т_п W^f^ >  Eq, Vn G N. Обозначим

MtY если t G T_n, ^y(s)”t°, ^{если tE T}\(u~=i Tn} = To.

Очевидно, что v G Ei(X) и, значит, по условию ИДИ) G ^(X). С другой стороны, имеем:

ОО                ОО

ИЛ") = 1г(^1_тд„) > Е1т.Щ/„), 71=1              71=1

откуда || 1Т(г)||2 > £^°=i1T„^(/2i) 2-

Так как

ОО                     ОО

'-(Е^ЩО) = E^r-Wl)) = о°.

71 = 1                       71 = 1

то £2^1 ^T_nW(,f_n) ^ ^(Х), следовательно, JT(v) ^ ^(Х). Противоречие. >

Следствие 2.1. В условиях теоремы 2.1, если оператор W непрерывен по мере в точке Uq G Е^^Х), то оператор W непрерывен по F-норме пространства Ei (X) в точке Hq.

Примечание 2.1. Если W есть инвариантный оператор, подчиняющийся условию (а) теоремы 2.1, тогда оператор W непрерывен в каждой точке По G Ех(Х), где W непрерывен по мере и ^(©дру)) = l^t-Y), (© — ноль пространства).

О    ОО

Лемма 2.1. Пусть 1т G Е ДХ) и 1т G Е 2^Х^ (Ei —подпространства в Ei элементов, имеющих абсолютно непрерывную F-норму), W произвольный оператор из Еу (X) в E^XY

Следующие предложения эквивалентны:

• (1)    W непрерывен по мере в uq G Еу(Х);

• (2)    lim p(t, ИДйо + z) 4>ИДйо)| > о} = О, где а > 0, г — фиксированы.

Теорема 2.2. Пусть Ei(X) — F-пространство, Е₂(Х) — пространство типа Ь(ХУ причем 1_Г G Е i(X) и 1_Г G Е^Х^ a W : ВДХ) -д Е₂(Х) — произвольный оператор, подчиняющийся условиям (а) и (Ь) теоремы 2.1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• (1)    W непрерывен в точке Hq G ЕДХ);

• (2)    W непрерывен по мере в точке Hq G ЕфХ).

• <1 2) => 1). Пусть {й™}^! —> йо по F-норме пространства ВДХ), тогда {щД^! —> йо по мере на Т при п —> оо. Оператор W, будучи непрерывным по мере в точке Ищ дает ИДм_п) —> ИДйо). А так как последовательность {^n}^i “^ «о абсолютно ограничена, то {ИДиД} абсолютно ограниченное множество в Е₂(Х) (согласно теореме 2.1). Значит, { W(u_n )}^Д1 —> ИДмо) по F-норме при п —> оо.

• (1)    => (2) Доказательство предоставляем читателю. >

Примечание 2.2. Существуют F-пространства ВДХ) и Е₂(Х), 1т € О

Е 2^Ху где W : ВДХ) —> Е₂(Х) инвариантный оператор ИДОе^х)) = ©ед.х), для a G F₂(X) и отображение Ф : ВДХ) —> ВДХ) такие, что:

• (1)    ИДм)Д) <  a(t) + Ф(й)Д) почти всюду на Т, \/u G ВДХ);

• (2)    для любого F-ограниченного множества В G ВДХ), Ф(В) ограничено в ВДХ).

Примерами могут служить известный оператор суперпозиции W (u)(t) = Х[С и(Д] и ВДХ) = L^PY(Xy Е₂(Х) = L^P2(X) при соответствующих ограничениях на pi,p₂ > 0.

О

Теорема 2.3. Пусть Fi(X) iiF₂(X) — два F-пространства на Т, 1т € F2, W : ВДХ) -д Е₂(Х). Пусть для u₀ G Fi(X), u₀ > 0 на Т, существуют возрастающая функция р : R ⁺ —> R ⁺ , удовлетворяющая условию lim ^^ = и—чх>^u 00, функция a G F₂(X) и отображение Ф : F^(X) -д Е₂(Х), переводящее всякое ограниченное по F-норме множество В С Fi(X) в ограниченное множество Ф(В) С Е₂(Ху такие, что

\ UoW / почти всюду на Т для всех / Е Е-^Х). Тогда для каждого г > О, образ W(B'(0, г)) (шара с центром в 0 радиуса г) — абсолютно ограниченное мно жество в Е^^Х).

• <1    По условию, a Е Е^Х^ тогда для Ме > 0, существует Д > 0 такое, что ||Да(^)||2 < f. По условию, Ф(В (©, г) J ограниченное, тогда существует Д > 0 такое, что Ц/^ФШЦг < f для любого элемента / Е В^Ощ). Положим /3 = inf{/3i,/3₂ } • Отсюда:

  Р • Т^и)Щ\/п₀Щ)

  
  

  • u₀(t)

  
  
  
  

  ||№)||₂ + ||/ЗФ(Ж)||2<б.

  
  

Это означает, что образ ^(В^Ощ)) есть абсолютно ограниченное множество в Е₂(Х) (см. также теорему 1.4.13 из [10]). >