Локальные дифференцирования и автоморфизмы нильпотентных алгебр матриц малых порядков

Локальным дифференцированием алгебры A над ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей называют эндоморфизм K -модуля A , действующий на каждый элемент α из A как дифференцирование алгебры, вообще говоря зависящее от выбора α. Тривиальное локальное дифференцирование дает всякое ее дифференцирование δ алгебры, т. е. эндоморфизм K -модуля A с условием 5(аР) = 5(а)Р + а5(Р) ( а, Р е A ) . Аналогично определяют локальные автоморфизмы [1; 2].

В 2000 г. R. Crist [3] указал пример нетривиального локального автоморфизма подалгебры C(e12 + e21) + Ce13 + Ce в M (3, C), где ej обозначают, как обычно, матричные единицы соответствующего порядка, e – единичная матрица. Автоморфизмы локальное дифференцирование, локальный автомор и антиавтоморфизмы полной алгебры M (n, C) комплексных (n × n)-матриц исчерпывают ее локальные автоморфизмы [2]. Локальные автоморфизмы произвольной алгебры A образуют группу по умножению [4], обозначаемую через Laut A .

Локальные дифференцирования алгебры A образуют подалгебру Locder A алгебры End( A ⁺ ) всех K- линейных эндоморфизмов аддитивной группы A ⁺ .

Как показали A. Nowicki и I. Nowosad [5], локальные дифференцирования кольца M ( n , K ) всех ( n х n )-матриц над коммутативным кольцом K с единицей, а также некоторых ее подколец исчерпываются ее дифференцированиями.

Пусть R есть алгебра NT ( n , K ) нижних нильтре-угольных ( n × n )-матриц (с нулями на главной диагонали и над ней) над K . Дифференцирования и автоморфизмы алгебры R и ассоциированной с нею алгебры Ли Л ( R ) известны [6-8]. Мы исследуем локальные дифференцирования и автоморфизмы алгебр R и Л ( R ). Описание Locder R известно при n = 3 [4] и с ограничениями на K при n = 4 [9; 10].

Исследуются локальные дифференцирования алгебры R произвольной размерности. Доказывается теорема об описании всех локальных лиевых дифференцирований алгебры R над ассоциативнокоммутативным кольцом K с единицей при n = 3, а также в случае, когда n = 4 и K – поле. См. также [11].

Предварительные замечания и основные теоремы при n 4. Напомним, что если A – ассоциативная алгебра и а *Р = аР — Ра(а,Р е A) - ассоции рованное лиево умножение, то Л(A) := (A,+,*) есть алгебра Ли, называемая ассоциированной с A. Ее (локальное) дифференцирование называют также (локальным) лиевым дифференцированием алгебры A.

Отметим, что дифференцирования (и автоморфизмы) характеризуются действием на порождающих элементах алгебры. С другой стороны, очевидна лемма 1.

Лемма 1. Всякое локальное дифференцирование произвольной K -алгебры A характеризуются действием на элементах, порождающих A как K -модуль. Таким образом, локальное дифференцирование нетривиально, если оно ненулевое, но является нулевым на каком-либо множестве, порождающем эту алгебру.

Очевидно, что к локальным лиевым дифференцированиям относятся все локальные дифференцирования алгебры A .

Всюду далее K есть ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, n > 3 и R = NT(n, K). Очевидно, алгебру R порождают матричные единицы ei+1 i, 1 < i < n, а все матричные единицы eij, 1 < j < i < n порождают R как K-модуль.

Следующие две теоремы дают описания локальных лиевых дифференцирований и автоморфизмов алгебры R при n = 3 и в случае, когда K – поле и n = 4. Когда n = 4, выделим при к е K и у = || c j || е M (2 , K )

эндоморфизмы K-модуля R вида поле, всякое локальное лиево дифференцирование алгебры R над K есть сумма локального дифференцирования алгебры R, ее лиева дифференцирования и локальных лиевых дифференцирований вида у и pк .

Теорема 2. Если n = 3, то Laut Л ( R ) = Laut R ■ Aut Л ( R ) . Когда n = 4 и K - поле, всякий локальный лиев автоморфизм алгебры R над K есть произведение локального автоморфизма алгебры R , ее лиева автоморфизма и локальных лиевых автоморфизмов вида у и 1 + p _к .

Теоремы 1 и 2 доказываются далее.

Нам потребуется описание из [7] группы Der R , а также ее основных подгрупп. Для треугольной ( n × n )-матрицы у над K отображение а ^ а * у ( а е R ) дает треугольное (или диагональное, когда матрица у диа-гональна) дифференцирование; при у е R его называют внутренним. Заметим, что степени R = R 1 , R ² , R ³ ,..., Rⁿ = 0 образуют центральный ряд алгебры R , причем R n ^{- 1} = Ke_{n 1} совпадает как с аннулятором, так и с центром Z алгебры R . В [7] доказана лемма 2.

Лемма 2. Аддитивная группа Der R дифференцирований алгебры R есть сумма подгрупп треугольных и центральных дифференцирований.

Известно, что центральные дифференцирования алгебры R (т. е. нулевые по модулю центра) порождаются всевозможными дифференцированиями:

^i,с : а ^ cai+1ien 1(а = |am ||е R), 1 < i < n’c е K.

Для описания в [7] существенны следующие идеалы алгебры R и лемма о них.

Лемма 3. В алгебре R при 1 <  j <  i <  n идеалы

Qij = KeUuv I 1 < V < j < i < U < n’ (U’ V) * (i’ j)^

Nij = Qij + Kej являются (Der R)-инвариантными.  Относительно

Der Л ( R ) инвариантны идеалы

R , R ² ,..., R n ^{- 1} , N 21 + N n 3 , N nn — 1 + N n — 21 , N j ( j <  i , i >  2 , j <  n - 1) .

Редукционные теоремы. Здесь R = NT(n, K), n > 4 . При любом t е K далее полагаем а ^а + (а31 cn - a 42 С 21) e3! + ( a 42 c 22 - a 31 c12) e42 +

⁺ a 41⁽ c 11 c 22 ^{+ c} 12 c 21 ) e 41 ’

Ю t ^{: а} ^ ^ta 31 e 31 + ^ta 42 e 42 +... + ta nn - 2 e nn - 2

^(а = || a j ||^{е R} ) •

^а ^ ⁽ a 31 ^c 11 ⁺ a 42 c 21 ) e 31 ^{+ (} a 42 c 22 ⁺ a 31 c 12 ) e 42 ’        ⁽²⁾

Pк : а > ka43e42 (а = ||aj 11 е R).                (3)

Обозначим через у отображение (1) при уе GL (2 , K ) и 2 с 11 с ₁₂ = 2 с ₂₁ с ₂₂ = 0, через у - отображение (2) при 2 с ₁₂ = 2 с ₂₁ = 0 .

Теорема 1. Если n = 3, то

Locder Л ( R ) = Locder R + Der Л ( R ). Когда n = 4 и K -

Теорема 3. Всякий локальный автоморфизм алгебры R с точностью до умножения на автоморфизм тождественен на элементах e ii - 1 , 1 <  i <  n , а на элементы e ii _{- 2} , 2 <  i <  n действует по модулю R ³ как 1 + ro t , где 1 + 1 е K ^# фиксировано.

Теорема 4. Всякое локальное дифференцирование Ф алгебры R с точностью до прибавления дифференцирования является нулевым на элементах e ii - 1 ,

1 <  i <  n , а на элементах e ii _{- 2} , 2 <  i <  n по модулю R ³ совпадает с отображением ю t для фиксированного t е K .

Теорему 3 совместно доказали автор и В. М. Левчук. Ее доказательство удается перенести и на теорему 4.

Прежде всего замечаем, что из леммы 3 сразу же вытекает лемма 4.

Лемма 6. Для произвольного локального дифференцирования ф алгебры R существуют элементы cj е K такие, что ф(ej) = cijeijmodQj (1 < j < i < n)•         (5)

Из леммы 2 легко вытекают также (полагаем N kj = 0, если k >  n или j <  1) леммы 5, 6.

Лемма 5. Пусть R = NT ( n , K ) и уе Der R . Если 1 <  j <  i <  n и у ( e ij ) = 0 по модулю N i _{+ 1} j _{- 1}, то выполняется равенство у ( e j ) = 0 при i - j >  1, а по модулю центра Z также при i - j = 1.

Лемма 6. Произвольное локальное дифференцирование ф алгебры R с точностью до прибавления ее дифференцирования удовлетворяет условию

ф ( e i - 1 ) = 0 , i = 2 , 3 , ..., n •                 (6)

Доказательство. В силу леммы 4, с точностью до прибавления к ф диагонального дифференцирования, имеем

ф ( e ii - 1 ) = 0mod Q u - 1 , i = 2 , ..., n •

ф ⁽ e ii - 1 ) = k 2 ^ei2 ^{+ k}3 e 3 ⁺ - ⁺ k u - 2 e ii - 2 mod N i + 1 i - 2 • ⁽⁷⁾

При i = n внутреннее дифференцирование с матрицей вида xe_n - 11 (и соглашение N_{n + 1 n - 2} = 0) также дает (7). Из (7) следует равенство (6) по модулю идеала N i + 1 i - 2 на элементы e ii - 1 для i = 2, 3. Далее проводим индукцию. При i = 4 находим

ф ⁽ e 43 ) = ^k 42 e 42 mod ^N 52 ,

ф ( e 21 + e 43 ) = ф ( e 21 ) + ф ( e 43 ) = k 42 e 42 mod N 52 •

Если дифференцирование у е Der R действует как ф на элемент a = e ₂₁ + e ₄₃, то для подходящей матрицы у = ||у _uv 11 е R по модулю N ₅₂ получаем равенство

у( e21 + e43) = ay-ya =

= ^Y 32⁽ e 42 ^- e 31 ) ^{+ ( y} 31 ^{- Y} 42 ) ^e 41 ^{- Y} 54 ^e 53 ^{- ... - Y} n 4 e n 3 , откуда y ₃₂ = 0 = k ₄₂. Равенство k ii _{- 2} = 0 для оставшихся i получаем аналогично.

Фиксируя i < n , докажем равенства kj = 0 коэффициентов в (7) в предположении, что равенства kst = 0 при всех s < i доказаны. Допустим также, что kim +1 = kim+2 = ... = kii-2 = 0

для некоторого 1 <  m <  i - 1. Выбирая дифференцирование у е Der R , действующее на элемент e mm - 1 ⁺ e ii - 1       ^как        ф ,        ^по модулю

^Nm + 1 m - 2 ⁺ N i + 1 i - 2 + N m _{- 1}, получаем

У ⁽ e mm - 1 ⁺ e ii - 1 ) = ф ⁽ e mm - 1 ⁺ e ii - 1 ) = = ф ⁽ e mm - 1 ) ⁺ ф ⁽ e ii - 1 ) = k im e im •

Отсюда и из описания группы Der R (лемма 2) следует, что в этих соотношениях у можно считать внутренним дифференцированием с подходящей матрицей у = ||у uv 11 е R . В этом случае

у ⁽ e mm - 1 ⁺ e ii - 1 ) =

= ^Y i - 1 m ⁽ e im ^- e i - 1 m - 1 ) ^mod( N m + 1 m - 2 ⁺ N i + 1 i - 2 ^{+ N}im - 1 ) и, следовательно, у i _{- 1 m} = 0 = k_im = 0. Произвол в выборе m дает равенства k j = 0 в (7) для всех j.

Таким образом, доказаны соотношения ф ( e ii _{- 1}) = 0mod N i _{+ 1} i _{- 2}. Вместе с леммой 5 они показывают, что ф ( e ii _{- 1}) = 0 для всех i , с точностью до прибавления центрального дифференцирования.

Доказательство теоремы 4 завершает лемма 7.

Лемма 7. Если локальное дифференцирование ф алгебры R удовлетворяет условию (6), то все элементы c ii _{- 2} из леммы 4 попарно совпадают.

Доказательство. Для произвольного локального дифференцирования ф алгебры R существуют элементы c ij е K такие, что выполняются равенства (5).

Пусть 2 < i < n. Положим a = eii-2 + ei-1 i-2 + + ei+1i-1 - ei+1 i • Согласно описанию дифференцирований (лемма 2), ф действует на a по модулю центра Z как треугольное дифференцирование с треугольной матрицей у = ||xuv||, в частности, cii-2eii.-2 + ci+1i-1 ei+1i-1 = Ф(a) = a * Y mod R3 •

Сравнение в левой и правой частях этого равенства элементов на позициях (i -1, i - 2) и (i +1, i) дает равенства соответственно di-1 = di-2 и di+1 = di. Сравнивая элементы на позициях (i, i - 2) и (i +1, i -1), получаем соответственно равенства di-2 - di - xii-1 = cii-2, di-1 - di+1 - xii-1 = ci+1 i-1 •

Отсюда d i - 1 ^- d i ^- x ii - 1 = c ii - 2 , d i - 1 ^- d i ^- x ii - 1 = c i + 1 i - 1 и, следовательно, c ii _{- 2} = c i _{+ 1 i - 1}. В силу произвольного выбора i получаем c ₃₁ = c ₄₂ = ••• = c_{nn - 2}.

Теорема о локальных лиевых дифференцированиях. Целью этой части работы является доказа- тельство теоремы 1; теорема 2 доказывается по аналогичной схеме. Описание группы Der Л(R) дано в [7, теорема 5].

Случай n = 3 теоремы 1 устанавливает лемма 8.

Лемма 8. Пусть K есть ассоциативнокоммутативное кольцо с единицей и R = NT (3 , K ) . Тогда Locder Л ( R ) есть сумма подгрупп Der Л ( R ) и Locder R .

Доказательство. Произвольное локальное лиево дифференцирование v алгебры R = NT (3 , K ) действует на элементы e 21 и e 32 так, что

V : e_{i + 1 i} ^ a i e 21 + be ₃₂ mod R ² , i = 1 , 2 ( a i , b i e K ) .

Учитывая [7, теорема 5], можем считать, что v действует по модулю центра как нулевое отображение на элементы e 21 и e 32 . Тогда все идеалы N ij являются ^-инвариантными и поэтому v e Locder R .

С учетом теоремы 4 несложно доказывается (см. [4]) лемма 9.

Лемма 9. Если R = NT (3 , K ), то Locder R аддитивно порождают Der R и локальные дифференцирования вида

• 51 :a > tani en i (a = |atm||e R), t e К.          (8)

Далее полагаем R = NT (4 , K ). При t e K выделяем эндоморфизмы K -модуля R ,

Ф эц : ^a > ta 31 ^e _n 1 ,                        (9)

Ф nn - 2 , t ^{: a} ^ ^tann - 2 e n 1     ^{( a e R} )

Следующая теорема анонсирована в [9]. См. также [10].

Теорема 5. Если K – поле, то Locder R аддитивно порождают Der R и локальные дифференцирования вида (9), (8) и (4).

Описание лиевых дифференцирований приведено в [7]. Выделим эндоморфизмы

^O a : e 21 ^ ae n 2 , O' b ^: e nn - 1 ^ be n - 11 a , ^{b e K} , ^ф с ^: e 21 ^ ^Ce 43 , e 31 ^ ^Ce 42 , ф d : e 43 ^ de 21 , e 42 ^ ^de 31 , ^с , ^{d e K} , аддитивной группы Л ( R ⁺ ) . (Считаем, что матричная единица e ij обращается в нуль, если ее образ не указан.) Описание Der Л ( R ) в [7] использует подгруппы

L3 = (фс|с e K,2с = 0), L'3 = (ф'd|d e K,2d = 0);

L 2 = (^O a a ^{e K} Y L ' 2 = (o' bb ^{e K} Y

Лемма 10. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда

Der Л ( R ) = L ₂ + L ' ₂ + L ₃ + L ' ₃ + Der R ( n = 4) .

Как и в (2), выберем y = Ц с ^ 11 e M (2 , K ). Отображения у и р k введены перед теоремой 1 и в (3). Они дают нетривиальные локальные лиевы дифференцирования, как показывают следующие две леммы.

Лемма 11. Если K - поле и 2 с ₁₂ = 2 с ₂₁ = 0, то отображение у есть локальное лиево дифференцирование алгебры R.

Доказательство. Фиксируя a = || a y 1| e R , найдем V e Der Л ( R ) такое, что

V ( a ) = Y ( a ) . (10)

Пусть a ₃₁ с ₁₁ + a ₄₂ с ₂₁ и a ₄₂ с ₂₂ + a ₃₁ с ₁₂ одновременно * 0 , иначе в ( a ) = 0 . Когда a e N ₃₂, дифференцирование v в (10) даст сумма диагонального дифференцирования с матрицей diag{ d _1; d ₂ , d ₃ , d ₁} над K и дифференцирования ф _с +ф' _d , где ф _с e L ₃ , с = с ₁₂ и ф' d ^e L ' 3 , ^d = ^с 21 .

Если a ₂₁ * 0, то y ( a ) = ( о _a + x )( a ) для X : a ^ aY - Ya , Y = ( - a 2} ( a 31 с _п + a 42 с 21 )) e 32 и

^O a ^e L 2 , a = a 21 ⁽ a 42 ^с 22 ⁺ a 31 ^с 12 ) ⁺

+ a 43 a 21 ⁽ a 31 ^с _п + a 42 ^с 21 ) .

Когда a ₂₁ = 0 и a ₄₃ * 0, выбираем v аналогично, используя замену о _a на _о ' _b .

Лемма 12. Если K - поле, то р k есть локальное лиево дифференцирование алгебры R для любого элемента k e K •

Доказательство. Зафиксируем k e K . Для произвольной матрицы a = || a j -11 e R найдем лиево дифференцирование v e Der Л ( R ) такое, что

Р k ( a ) = ka 43 e 42 = v ( a ) . (11)

Если ka ₄₃ = 0 , то можно взять v = 0 . Поэтому далее ka 43 * 0 .

При a ₂₁ * 0 , полагая b = ka ₂₁ a 43 e K и y = ke 3₂ , получаем р _k ( a ) = _O ' _b ( a ) + a*Y , так что в (11) можно взять v = o' _b ( a ) + a*Y. Пусть a ₂₁ = 0 . Тогда v действует на a как внутреннее дифференцирование с матрицей ke 32 .

Замечание. Построенные нетривиальные локальные дифференцирования y и р _k не обязаны лежать в Der Л ( R ) + Locder R . Кроме того, если k * 0 , то р _k есть нетривиальное локальное лиево дифференцирование, относительно которого все идеалы N ij инвариантны, хотя р _k e Locder R .

Лемма 13. Всякое локальное лиево дифференцирование алгебры R над полем K действует на совокупность элементов e i _{+ 1} i (1 <  i <  3) как сумма лиева дифференцирования и локального лиева дифференцирования вида р _k .

Доказательство. Пусть v e Locder Л(R). В силу леммы 3, v индуцирует линейные преобразования фактор-алгебр Л(R) / N32, (N21 + N43) / R2, N32 / R2 и, следовательно, однозначно определяет элементы ci,dj e K такие, что

V ⁽ e 21 ) = d 1 e 21 ⁺ c l e 43 , V ⁽ e 43 ) = c 2 e 21 ⁺ d 2 e 43 ,

V ( e ₃₂) = d 3 e 32 mod R ² ■

Поэтому v действует как нулевое отображение по модулю R ² на всех элементах e i _{+ 1} i , c точностью до прибавления дифференцирований из L 3 , L ' з и диагонального дифференцирования.

Далее, для каждого i добиваемся равенства V ( e i + i i ) = 0 по модулю центра Z = R ³. С этой целью прибавляем к V внутреннее дифференцирование а ^а*у ( а e R ) с матрицей у e ( Ke ₂₁ + Ke ₄₃) для i = 2, а для i = 1 - с матрицей у e Ke ₃₂ и, кроме того, прибавляем дифференцирование вида ф _c . (Условие V ( e ₃₂) = 0mod R ³ при этом не изменяется.) Для случая i = 3 достаточно прибавить к V дифференцирование вида ф’ _d и локальное лиево дифференцирование вида р k .

Наконец, прибавляя к V центральное дифференцирование алгебры R , добиваемся точных равенств V ⁽ е_м) = ⁰ .

Доказательство теоремы 1. Исследуем произвольное локальное лиево дифференцирование V алгебры R = NT (4 , K ) над полем K . С учетом леммы 15 можем считать, что V действует как нулевое отображение на элементы e ₂₁ , e ₃₂ , e ₄₃. В силу линейности V на R ² / R ³, существует матрица l b ]|e M (2 , K ) такая, что

• V ⁽ e + 2 . ) = b n e 31 + b 2 e 42 mod R ³ , i = 1 , 2 .

Нам достаточно доказать, что 2b12 = 2b21 = 0 . Можно считать, что K - поле характеристики ^ 2. Пусть b12 ^ 0 . Ясно, что идеал N31 инвариантен относительно подгруппы T дифференцирований а ^ а *у(аe R) для треугольных матриц у над K. Поскольку v e LocderЛ(R), то существует 9 e DerЛ(R) с условием 9(e31) = v(e31). По лемме 10, 9 e L3 + T , т. е. 9 = ц + фc, где ц e T, фc e L3, в частности c e K, 2c = 0 . Отсюда и из связи 9, V получаем c = b12, 2c = 2b12 = 0 и поэтому b12 = 0 . Аналогично, b21 = 0 . Таким образом, несложно видеть, что всегда 2b12 = 2b21 = 0 и прибавлением к V подходящего локального лиева дифференцирования у добиваемся по модулю центра Z равенств v(e31) = 0 и v(e42) = 0. К точным равенствам приходим, прибавляя к V локальные дифференцирования вида ф31/ и ф42 t. И, наконец, v(e41) = 0, с точностью до прибавления к V локального дифференцирования вида 8t. Тем самым доказательство теоремы завершено.