Локальные свойства решений задачи коши для квазилинейного параболического уравнения второго порядка

Автор: Тедеев Александр Федорович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 2 т.10, 2008 года.

Бесплатный доступ

В данной работе рассматриваются задачи Коши ньютоновской упругой фильтрации и изучается поведение разности решений уравнений при разных режимах.

Слабое решение, задача коши, локальная оценка, оценка градиента

Короткий адрес: https://sciup.org/14318244

IDR: 14318244

Текст научной статьи Локальные свойства решений задачи коши для квазилинейного параболического уравнения второго порядка

Пусть x = ( x i ,...,x n ) g R N , N 6 1, S t = R N x(0,T), 0  ro , B p = { x G R N , | x | < P } , P> 0.

Рассмотрим в области ST задачу Коши для уравнения ньютоновской упругой фильтрации uT — div(|Du|p 2Du) = 0, p > 2, u(x, 0) = uo(x).

Вместе с уравнением (1) будем рассматривать задачу Коши для уравнения:

V t div( | Dv | q - 2 Dv) = 0, q> 2, v(x, 0) = v 0 (x).

Для определенности будем предполагать p > q .

В данной работе оценивается разность w = u v решений (1) и (2) в некоторой норме L ^ (B p) в зависимости от близости начальных данных и близости p и q. Здесь всюду рассматриваются только положительные решения уравнений (1) и (2).

В доказательстве основной теоремы используется метод предложенный в [1], а также некоторые результаты работы [2].

  • 2.    Некоторые вспомогательные результаты и обозначения

Обозначим через

X ioc ( S t ) = L Poc (0, T ; W^ R N )),   Y^S t ) = L qoc (0, T ; W^ q ( R N )),

0                                                                                0 1 ,p

X loc ( S T ) = {^ G X ioc (S T ) : ( 3 r> 0) V G L p oc (0 ,T ; w )( | x | <гц,        (3)

Y loc ( S t ) = n ^ G Y ioc (ST ) : ( 3 r > 0) v G L qoc (0,T; W"'" )( | x | 0 «

(° 2008 Тедеев А. Ф.

Измеримую функцию u : St ^ R+ назовем слабым решением уравнения (1), если для любого £ eX (St ) выполняется соотношение

П { u T е+ | Dur 2 Du De ) d^ = 0.                  (4)

S T

Аналогично определяется слабое решение для уравнения (2).

Если | Du | E L poc (S T ), u T E L 1oc (S T ), то приведенное определение слабого решения уравнения (1) эквивалентно следующему:

Функция и — является слабым решением уравнения (1), если для любых ф E Xioc(St) и £ E Cq°(St) имеет место равенство jj ©uT(ф — и)+е + |Du|p 2 ВиВ[(ф — и)+е]} dxdT = 0,             (5)

ST где п х    \ 0      ф 6 u’

( ф - и ) + = < .         .

ψ - u, ψ > u.

Доказательство эквивалентности определений (4) и (5) приводится в [1] для случая 1 < p < 2. Для случая p >  2 доказательство полностью повторяется и мы не будем его приводить. Пусть х ^ ф(х) — гладкая срезающая функция в B (i+ CT )p , ст >  0, такая, что s(х) = 1, х E Bp, s(х) = 0, | х | > (1 + a)p, 0 6 s(х) 6 1, |Ds | 6 (стр) - 1 .

Полагая в равенстве (5) £ = s p , мы получим

t j j ©uT(ф — u)+sp + |Du|p-2 ВиВ[(ф — u)+sp]} dxdт = 0.(6)

s R N

Здесь всюду мы будем предполагать выполненными условия

C1 u(x,t) 6 дидх t) 6 C2u(x,t),(7)

C1v(x,t) 6 ^vd^^’t) 6 C2v(x,t),(8)

c i и C 2 — положительные постоянные.

В дальнейшем все несущественные постоянные мы будем обозначать одной и той же буквой c.

Имеет место следующая

Лемма 1. Если и — решение уравнения (1) и, кроме того, sup 0

j updx = Mu (p) < го

при p > 0,

B(1+a)p

то имеет место оценка

j |Du|pdx 6 cp pMu(2p).

C Положив в (6) ф = 2u, получим

t jj {uTusp + IDuIp-2DuD(usp)} dxdT = 0, s RN отсюда

t

JIp + ^ur.p +pW'DuD}dxdT= o.

s RN

Продифференцировав последнее равенство по t и учитывая (7) получим ci j u2sp dx + j |Du|psp dx — p J |Du|p 1sp 1u|Ds| dx 6 0. RN         RN             RN

Опуская положительное слагаемое в левой части, получаем

I I Du Ipsp dx 6 p J I Du |p-1s p-1u I DsI dx 6 2-1 |Du |psp dx + cl up I Ds|p dx, RN             RN                      RN             RN откуда

|Du|pdx 6 -p   updx. B

Bp                B2p

Аналогично для решения v уравнения (2) справедливо j |Du|q dx 6 cp-q(Nv(2p)),

Bρ где Nv (p) = sup J vq dx.

06TB(1+s)p

В силу локальной суммируемости функции u имеет место следующая

Лемма 2. Если u — решение уравнения (1), то для 0 < s < t 6 T и любых p > 0, c < 1 выполняется

t lim / / |uT|x{k < u < ck} dxdT = 0.

k→∞ s Bρ

Записав равенство (4) для функции v и выбрав £ равным u)+sp, получим:

t

11 {vT- u)+sp + Dvq-2DvD[(Ф u)+sp]} dxdT = 0.

s RN

Используя (6) и (11), приходим к равенству tt j j ^ dtW (Ф — u)+sp + JD(Ф - u)+spj* dxdT = —p j j J (ф — u)+sp-1DsdxdT (12) s RN                                                  s RN для любого ф G Xioc(ST), где W = u — v и J = |Du|p 2Du — |Dv|q 2Dv.

Представим J в виде J = J0+ J00, где

и

J0 = |Du|p-2Du

-

|Dv|p-2Dv

J00 = |Dv|p-2Dv

-

|Dv|q-2Dv.

Тогда равенство (12) перепишется так:

t

t

t

j j dtW(^ - u)+^p + j j J'D(^ - u)+^p dxdT + j j J"D(^ - u)+?pdxdT

s RN

s RN

s RN

tt

—p// J0(^ - u)+^p-1D^dxdT - P jI J00 - u)+^p-1Ds dx dT.

Полученное равенство (15) является отправным в наших рассуждениях. Имеет место следующая

Теорема. Если u и v — слабые решения уравнений (1) и (2) соответственно, w = (u v)(t) ^ 0 в L|oc(RN) при t ^ 0, если, кроме того, выполнены условия:

Mu(p) = sup / up dx < то и Nv(p) = sup / vq dx < то при p> 0, g6T J                          g6T J

Bρ                            Bρ

то существуют такие постоянные ag, pg, Tga, а > 1, что для всех 0 < а < ag, p > pg,

0 < t 6 Tg, a > 1

и достаточно малом p - q выполняется оценка

0^+1 / |W|a+1dx

Bpx{t}

(1 p — 2

tkpρ kp

t

1 q —2     -| 1 p q + aq N /    \         iff

+ t kq p kq + t +q + p—>-a-p p p p “) Kuv (p) I g B2P

iw i(a-1)a dxdT^ у

Здесь kp и kq — постоянные Баренблата уравнений (1) и зависящее от Mu(p) и Nv(р).

<1 Положим

(2), K (p) — выражение,

Un = |

u, u 6 n, n, u > n,

Wn+ ^ (u v)+ =

0,

w 6 0,

w+,

w < n,

n,

w > n.

,

.

В равенстве (15) выберем пробную функцию равной

^ = u 1 +--(W+ + E)aG Xloc(ST))

εε где E G (0,1), a > 0, n G N, ^ G X1oc(St) И Y1oc(St).

Тогда из (15) будем иметь

t j W(^ — u)+?p dx — j W(^ — u)+?p dx — j j Wdt(^ — u)+^p dxdT

RN                  RN x{s}                   s RN tt

+ j j J 'D(^u)+Sp dxdT + У У J "D(^u)+Sp dx dT

tt

= —p j j J '(фu)+sp1dxdTp j j J "D(^u)+?pdxdT.

Перемножим обе части равенства (18) на ε и перейдем к пределу в полученном равенстве при е ^ 0.

По теореме Лебега о мажорируемой сходимости первые два слагаемых левой части равенства (18) стремятся к выражениям j W (Wn+ )a^p dx RN x{t}

и j W (W+)a^pdx

RN x{s}

соответственно. Третье слагаемое равенства (18) после умножения на ε можно сать в виде:

перепи-

t

—-JJ Wdt(Ф — u)+^p dxdT s RN

t

-

a// W(Wn+ + -)а-1^W^X^u 6 | + -W + -)a} ?p dxdT s RN

t

- $ j W^t(1 - -u)X {- 6 u 6 -(W+ + -)а^ ^p dxdT = L1(-) + L2(-).

s RN

Последнее слагаемое в силу леммы 2 стремится к нулю при - ^ 0, при фиксированных S и n, действительно:

t

|L2(-)| 6 е jj |W| s RN

t

6P + v s RN

t

∂τu

X ^ ” 6 u 6 ~(W+ + -)a | ?p dx dr

- 6 u 6 - (W+ + e)a | ^p dx dr

6τ s RN

t

+c // s RN

N

k

p ρ p-

N

τk

_p_ du

q ρq-

dTX

q∂u

∂τ

{ - 6 u 6 - (W+ + -)a | ^p dx dr

x{ - 6 u 6 - + - (Wn+ + e)a} ^p dxdT

t

-N f f du f 1

cs kppp-2      -Tx\"s s RN

6 u 6 - + - (n + 1)a | ^pdxdT

t

-N -3- Г f du fl + cs kqpq-2J ] - x|- s RN

6 u 6 - + - (n + 1)a | ^p dx dT,

каждое из которых стремится к нулю при - ^ 0.

t           ЯИ/+

Первое слагаемое равенства (2) стремится к выражению —af J (W+ )a WTn ?p dxdT, sRN которое можно представить в виде

t

-af f )"dW-5p dxdT =a- f (W+)a+1(p dx +       f (Wn+)a+1s p dx,

SRN                 a + «N Xw            a + «N L отсюда и из (19), после предельного перехода при е ^ 0 для первых трех слагаемых равенства (18), получим выражение

W+(W+)\p dx

RN x{t}

-

RN x{s}

W+(W+)\p dx

-

[ (W+ )a+1^p dx + "4г a+1                 a+1

RN x{t}

■ j (W+)a+1?p dx, RN x{s}

которое оценивается снизу выражением

;+T /(W„’ <"1-p dx

RNx{t1

J W +(w+)aspdx. RNx{t1

Докажем, что четвертое слагаемое в равенстве (18) имеет неотрицательный предел при е ^ 0. В самом деле,

tt е jj J 'D(^ — u)+Sp dxdT = a^ У J0 DW+ (W+ + e)a-1^px ^u 6 “ + “ (W+ + -)a | dx dT s RN                         s RN

t

+ j j J0D(1eu)spx{| 6 u 6 - + -(W+ + -)aj>dxdT;

s RN

второе слагаемое данного равенства стремится к 0 при - ^ 0, поскольку функции |Du| и |Dv | — локально ограничены [2, теорема 1].

J0можно представить в виде

J0 = |Du|p-2Du — |Dv|p-2Dv

= i db{№ + (1 «v)lP-2D(?u + (1 ^)v)) 0

|D(^u + (1 ^)v)|p-2de DW

+(p - 2)

|D(£u + (1 - £)v)|p-4D(£u + (1 - Ov) DWd^

Перемножая обе части последнего равенства на DW скалярно, получим:

J 0 DW =

/ 0

lD«u + (1 - ^)v)|p-2d^DW|2+

(P2) У 0

|D(£u + (1 - £)v)|p-2dlDW|2

= (p -1) j

№ + (1 - ^)v)|p-2 d^DW|2, отсюда следует, что J0DW > 0.

Поскольку J0DWn = J0DWx{(x,t) : 0 6 u- v 6 n}, то и J0DW+> 0, следовательно,

t lim e     J0D(^ - u)+pp dxdT > 0.                       (22)

■01 J J s RN

Оценим пятое слагаемое равенства (18) сверху после умножения на ε:

t

\ e// s RN

J0D(^ - u)+ppdx dT

t

6 a S / J00l(W" + E)a-1|DW?+|Ppx( {(M) : u(x,t) 6 E + E (w+ + E)aj> dxdicdT s RN

t

+ У У |J 00|D(1

s RN

- uu^ppx ^(x,t) : E 6 u 6 1 + 1(Wn + E)a |

dx dτ,

последнее слагаемое стремится к 0 при E ^ 0 в силу локальной ограниченности функции |Dv | и |Du|.

Что касается первого слагаемого, то его можно оценить так:

t а У j |J 00I(W„ + E)a-1|DW+|ppx ^(x,t) : u(x,t) 6 E + E (w+ + u)aj> dxdT s RN tt

6 acУ У |Dv|P(W»+ + E)a-1ppdxdT + асУ j |Du|p(W^ + E)a-1ppdxdT s RN                               s RN

t

+ ac(p - q) У y(Wn+ + E)a-1ppdxdT s RN

t

6 ac^ У T(1+kq)(p q+a)p (pq^ ) У |Dv|q-a(W+ + E)a-1ppdxdT s                         RN

t

+ УT-(1+N)app-2 У |Du|p-a(W+ + E)a-1ppdxdT s               RN p-a N f p-a ^

+(p - q)(t - s) p p I p Hj j  (W+ + £)(

V s B(1+a)p

1) p dx dr^

6 ac(p ^p-P1 j t-(1+N)

-q+a)

s

- B(1+a)p

q-q qdx

' B(1+a)p

α qq 7+ + e)(a-1)adx I dT

t

+уT

s

(1 + N )a2 kp ρp

p-α p

p p

• a 1)adx\ dT

' B(1+a)p

' B(+6)P

p-αNp-α

+(p - q)(t - s) pp p

2(p-q+ )

P q-2    a q(Nv(4p))

s B(1+a)a αt

a-1)p dxdr^

q-q

(p - q + a)dT

2a

s

x (j J (Wn+ + £)(a

X S B(1+ap) t

q                αq

1)adxdT j

p-α

+pp-2(Mu(4p)) p

p

(Wn+ + e)(a-1) adx

α

p dτ

s

- B(1+a)p

+(p - q)(t - s) p PN p (j j j (W+ + e)(a 1)adxdT! S B(1+a)p

6 ac(p ' +a-q(Nv(4p))) “ (t1-q-a(1+N)

-+a)

s1-q-a (1+ N )(p-q+a)\

s

q

t q           q       2 a             p a xl           (W+ + e)(   ) dxdT I  + pp-2 (Mu(4p)) p

S B(1+a)p

Л1— (1+ N )a x It p-a    kq

s1-p-a<1+N)a) p? H j (W. + E)(a-4a dxdT\ p

S B(1+a)p

+ (p - q)(t - s) ppN p( j j (W+ + e)(a 1)“ dxdT! S B(1+a)p

6 ac ρ

2(p — q+a)

q-

+a-q+Na (Nv (4p)) q^ (t - s) a (t1-q-a(1+N)(p-q+a)

41-qa (1+ N )(p-q+a)\

s

q-α q

+pp2+a-P(Mu(4p))p^ (t1-p-a(1+N)a

1--— (1+N )a\ p-α kp

s

p-α p

+ (p - q)(t - s)   PN(>) ([   / (W+ + s)(a

S B(1+a)p

α pp

1)adxdT I

.

Из последнего неравенства при выполнении условий

1f1 + N) (p - q + a) > 0 и 1f1 + N) a> 0 qa V   kq)                       P - a V   kq )

(условие (23) достигается за счет малости a и (pq)), получим

t

- л sRN

J00D(^u)+spdx dT

/ 2(p-q+a)    „ N2g   1+apq)q—U N Wp-q+a)

6 aclp q—2       q+pq p qt pq    qa(   kq)(p q+a)

q a      2a p a (1 + N )a            p a             p a N/ - \

x(Nv(4p)) q + pp—2t p kp (Mu(4p)) p+ (pq)t pppp

x

(Wn + E)(a 1)dxdT

α p отсюда вытекает, что существуют такие ag > 0 и pg > 0, что при всех 0 < a < ag, p > pg и 0 < t 6 T выполняется неравенство

t e j j J00 D(^ — u)+Sp dx dT s RN

1+«(pqlq_(1+N )(p-q+a)

6 act pg    qa    kq Jp

N (p a) p

x((Nv (4p)) q"^ + (Mu(4p))p^ Vj  j (W+ + E)(a-1)p dxdT!

s B(1+a')p

α p

+O (!)■

следовательно, при выбранных α, ρ имеет место неравенство

lim

■01

t e J j J00D(^ — u)+spdxdT s RN

1+ a;p_qlL (1 + N )(p-q+a) N(p-a)

6 act pq    qa    kq p p(p a)

x ((N(4p))q^ + (Mu(4p))p^) f j  I"

sB(1+a)p

p                αp

• a 1)adxdT j ,

здесь c зависит от p, q, ag, pg,T.

Правую часть равенства (18) после умножения на ε можно представить в виде:

t

  • —pE J j J (Фu)+Sp-1Ds dxdT

s RN

t

  • = —p j I J (W+ + E)aDsx ^(x,t)u(x,t)6 - + E (w+ + E)aj>dxdT

s B(1+a)p

t

  • pE j j J(1 eu)Dsx ^(x, t) : _ 6 u(x, t) 6 —I— (W+ + E)a| dxdT, s RN

    откуда будем иметь:


    t



    I I J(фu)+sp 1DsdxdT


    s RN


    6ps

    B(1+a)p


    \Du\p-1(Wn+ + -)a\D\ dxdT


    t

    +P / / \Dv\q-1(W+ + e)a\D^ \ dxdT + p


    s RN

    t

    +pe j j (\Du\p-1+ \Dv\q-1


    t

    j I (|Du|p-1+ \Dv\q-1) \Ds\ dxdT

    s B(1+a)p


    s В(1+ст)р

    t

    +cp У j (\DvVq-1(W+ + -)a) dxdT + cp s B(1+a)p


    t

    )u\D?\ dxdT 6 — f f \Du\p-1(W+ + -)adxdT P s B(1+a)p


    t

    I I (\Du\p-1+ \Dv\q-1) dxdT s B(1+ct)p


    t


    +O


    t                                                p-pα

    J J (\Du\p-1(W+ + e))P-PadxdA

    s B(1+ct)p


    x


    j j (W+ + -)(a1)P dxdT s B(1+ct)p

    t


    αp         t                                                 p-pα

    + M j (\Dv\q-1 (W+ + -))adxdA

    s B(1+ct)p


    x


    j j (W+ + -)(a1)P dxdT s B(1+a)p


    p        -1 kp         _kz_\       /1\

    I + c ( tkppp-2+1kqp q-2 I + O ( - I .


    Из последнего неравенства после предельного перехода получим


    lim

    ■01


    t

    p-j j J(фu)+Zp-1DZdx dT

    s RN


    +

    p-a

    (\Dv\q-1(W+)) ~ dxdT


    x

    a/p

    (w+ )(a-1)adxdT )


    t                                              -p

    6 p (j j (\Du\p-1(W+)) p-pa dxdT\ P

    L S B(1+a)p


    p-a p


    I



    / 1 P — 2

    + cUkpp kp


    1 q —2 + t kq p kq


    Оценим выражение стоящее в квадратных скобках соотношения (25):


    t


    s B(1+a)p

    t


    p-a

    p-a            p

    (\Du\p(Wn+)) pdxdT j +


    1 / t


    t


    s B(1+ct)p



    updx dτ


    p-a

    p-a            p

    (\Dv\q-1(W+))~ dxdT


    p

    (pyp

    \Du\pa—1dxdT


    -


    a —1           p

    p

    dx dτ


    -


    ■ a —1

    p


    t


    +


    \ p updx dτ


    t


    p

    (q—1)p           \

    |Dv |pa—1dxdT


    - — a —1p


    6c


    t


    \ p updx dτ


    s B(1+a)p


    s B(1+a)p


    s B(1+a)p


    t


    +c


    X


    s


    t


    -(1+ N. ) 2ap_ _____4ap_____

    T ' kp'p a — 1p (p —2)(p —a —1)


    p

    /(     p —2a —1       \

    |Du| pa—1dxdT

    B(1+a)p


    •—a —1p


    s B(1+a)p


    t


    4aaN

    6 cpp2p


    \p updx dτ


    \p updx dτ


    t


    s B(1+a)p


    |Dv|qdx dT j


    q—1

    q p-q-αq


    t q(pa—1)p


    Np-q-αq i q(pa—1)



    t


    s B(1+a)p


    s


    T(1+Np)pa—1f у (|Du|pdx В(1+ст)р


    p p


    2a


    -1


    -α-



    )


    •—a —1 p


    t


    p-q-αq


    -


    +ct q(p-a-i) p


    Np-q-αq ( q(p a 1)


    \p updx dτ


    t


    s B(1+a)p


    s B(1+a)p


    |Dv|qdx dT j


    q-1 q


    14-1—( 1-^N-1 2ap    4aaN                         p —2a

    6 ct1+p(1+kp ) p —a —1p p—2 +-(P-2a-1)(Mu(4p)) ~


    1+11 + +t1+pp+


    p-q-αq


    q(pa—1)p


    pqaq               1             q—1 \

    . q(pa—1)(Mu(4p))p (Nv(4p)) q 1.


    Отсюда при соответствующем подборе ао и pо из (25) при всех 0 < а < ао, и 0 < t 6 T


    получим оценку


    lim

    ■о


    t

    pe j j J(фu)+Zp-1DZdxdT s RN




    / i p—2 i q—2

    6 cltkp p kp + tkq p kq +1


    1+11 + pqaq : p q'q(pa—1)



    -1


    x(Mu(4p)) p (Mu(4p))p(Nv(4p)) q


    где c зависит от p, q, ао, N, T, pо


    Итак, из (18) на


    / i p2

    6 c tkpρ kp


    t


    s B(1+a)p


    a/p

    a-1)a dx dT j


    ,



    основании (21), (22), (24), (26) будем иметь



    a + 1


    j (Wn+)a+1dxBpx{t}


    j W+(Wn+)a dx Bpx{s}


    q—2    1+1

    + t kq p kq + t pp



    1 + pq q'q(pa


    -


    ^L N (p-a)

    1)p p 7



    q-α            p-α

    ((Nv (4p)) ” (Mu(4p)) —)


    t


    p2a                  1             q—1

    +(Mu(4p)) — + (Mu (4p)) p (Nv (4p)) ~


    a/p

    a-1)a dxdT j


    .


Переходя к пределу при s ^ 0 в последнем неравенстве, получим оценку

1 a + 1

J (Wn+)a+1

( 1 P-2

dx 6 c tkpρkp

1 q— 2 + tkq p kq

1+ ii + pq -.q N (p-a) + t p q  q(pa1) p p w '

B(1+a)p

q a             p a                p 2a                1            q— 1

x((Nv (4p)) q (Mu(4p)) ~ +(Mu (4p)) “V + (Mu(4p)) p (Nv (4p)) "V)

x

a/p

(W+ )(a-1)a dxdT |

Меняя местами u и v , и записав (27) в этом случае, мы приходим к оценке a + 1

7 1 ( -1 p2 -1 q—2 ■ IW+Г1dx 6 c tkpP kp + tkqP kq Bpx{t}

1+ ii + pqaq N (p-a) + t p q q(pa1) p pXI '

xKuv (p)

α/p

|W+ |(a-1)a dxdT       ,

где q — a             p — a                p — 2a                 1            q — 1

Kuv(p) = (Nv(4p))“ (Mu(4p))"V + (Mu(4p))“V +(Mu(4p))p(Nv(4p))~.

Окончательно для 0 < a < ao, p > po, 0 < t 6 T, после предельного перехода в неравенстве (28) будем иметь

/                      ( -I. p—2     1 I 1 — 1 I p — q+aq N ( a+1

|W |a+1dx 6 cltkpp kp + t+p q + q(pa1)p pp KUuy (p)

Bpx{x}

t

x

0 B2p

(a 1) p dx dT^    . B

Список литературы Локальные свойства решений задачи коши для квазилинейного параболического уравнения второго порядка

  • Benedetto E. D., Herrero M. A. Non-negative Solutions of the Evolution p-Laplacian Equation. Initial Traces and Cauchy Problem when 1Trans. Amer. Math. Soc.-1989.-V. 314.-P. 225-290.
  • Benedetto E. D., Herrero M. A. On the Cauchy problem and initial traces for a degenerate parabolic equation//AMS.-1989.-V. 314, №1.-61 p.
  • Shelepov V. Yu., Alexander F., Tedeev A. F. On an inequality for solutions of elliptic equations and its application in the theory of boundary properties//Soviet Math. Dokl.-1991.-V. 42, № 3.-P. 732-736.
  • Тедеев Ал. Ф., Шелепов В. Ю. Об L_p-граничных решениях эллиптических уравнениях в негладких пространственных областях//Нелинейные граничные задачи.-Донецк: АНУ ИПММ.-1992.-№4.-С. 52-100
  • Шелепов В. Ю. О граничных свойствах решений эллиптических уравнений в многомерных областях, представимых с помощью разности выпуклых функций//Мат. сб.-1987.-Т. 133(175), №4.-С. 446-468.
Статья научная