Магистральные режимы в эколого-экономической модели Республики Бурятия

Конференция ООН по окружающей среде и развитию, состоявшаяся в июне 1992 г. в Рио-де-Жанейро на уровне глав государств и правительств провозгласила концепцию устойчивого развития как основу новой парадигмы будущего развития цивилизации. Она инициировала разработку национальных и региональных стратегий устойчивого развития.

Наиболее значимыми приоритетами стратегии устойчивого развития обозначены:

• -    экономический достаток;

• -    здоровая окружающая среда;

• -    рациональное управление ресурсами.

Для исследования моделей использовались принципы расширения и основанные на нем релаксационные расширения управляемых систем с неограниченными управлениями. В частности, использовался метод кратных максимумов.

Многие прикладные задачи оптимального управления оказываются вырожденными, имеющими магистральные решения. С более общих позиций можно говорить о магистральной природе решения любых таких задач. Дело в том, что при математической постановке таких задач, непосредственно связанной с моделированием реальных объектов, закладывается стандартное предположение о безынерционное™ переменных, олицетворяющих в модели управляющие воздействия, иначе - о возможности их мгновенного переключения с одного значения на любое другое в процессе управления. Но в реальности оно выполняется лишь приближенно, поскольку любое физическое изменение происходит в результате некоторого процесса во времени, который мог бы быть описан дифференциальной связью. При моделировании она как бы игнорируется, и таким образом поставленная задача оказывается производной по отношению к задаче, в которой эта связь бы учитывалась.

В данном случае вырожденность является благом, которая состоит в возможности исключения имеющихся пассивных связей, что ведет к понижению порядка системы

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-90101) и РГНФ (проект 06-02-00055а).

связи, т.е. к упрощению задачи. Полученные результаты (магистральные решения) являются начальным или нулевым приближением оптимального решения в многоэтапном процессе оптимизации. Аналитические результаты дают благодатную почву для исследования, для различных сценариев развития эколого-экономических процессов.

Структура математической модели

Республика Бурятия рассматривается как единая территория, описываемая системой уравнений обобщенного динамического баланса:

v = Av + Ви + A^z + B^w + р,

• V =U,Z = w,

R = Q(R-R*)-Du-Cv--Fp-D^ww-F^u4 + Jz, 0

v(t) - вектор выпуска продукции по всем технологиям в момент времени;

V(t) - вектор производственных мощностей;

z(t) - вектор интенсивности восстановления ресурсов, т.е. скорость изменения показателей природной среды под действием текущих восстановительных мероприятий;

Z(t) - вектор мощностей природовосстановительных отраслей;

u(t), w (t) - скорости изменения мощностей V (t) и Z(t);

p(t) - вектор конечного непроизводственного потребления;

R(t) - вектор показателей состояния природной среды и ресурсов;

R* - вектор не возмущенно го (естественного) состояния природной среды;

А - матрица коэффициентов прямых затрат в производственном потреблении, элементу которой показывает количества продукции j-й отрасли, затрачиваемое на выпуск единицы продукции) - ой отрасли;

В - матрица коэффициентов фондообразующих затрат, элемент Ь_у которой показывает количество продукта j-й отрасли, затрачиваемое на единичное приращение мощностей отрасли;

Аг - матрица коэффициентов прямых затрат при восстановлении ресурсов, эле мент Ь,^ которой показывает количество продукта отрасли j при единичном восстановлении ресурсаj;

//"' - матрица коэффициентов фондообразующих затрат при восстановлении ресурса которой показывает количество продукта отрасли при единичном приросте мощности

Q - матрица коэффициентов самовосстановления (диагональные элементы q_;l ) и взаимовлияния (элементы q₀ ,i* j ) показателей природной среды;

С - матрица удельных ресурсных затрат при выпуске продукции, в которой элементу показывает изменение показателя R, при единичном выпуске продукта отрасли) в единицу времени;

D - матрица удельных ресурсных затрат при развитии основного производства, в которой элемент <1_у показывает изменение показателя R, при единичном изменении мощности j-й отрасли в единицу времени;

F - матрица, элементы R, f. которой показывают изменение ресурса /, обусловленное единичным непроизводственным потреблением продукта отрасли j в единицу времени;

Е^щ - вектор, компоненты /⁽⁰ которого показывают изменение показателя R, под воздействием населения в единицу времени;

L (t) - население региона в момент времени.

В системе не учитывается возрастание расходных коэффициентов с уменьшением количества полезного ресурса, но приемлемое решение достигается подбором специального функционала, стимулирующего как экономическую, так и природную подсистемы модели. Кроме того, мы предполагаем следующее:

• 1)    производственные мощности используются полностью, т.е. производственная функция V не зависит от R и совпадает с функцией Кобба-Дугласа, т.е.

Г =/(^^tl)1""^ < а < 1;у > 0, где L - численность населения (работников);

• 2)    выпуск используется на инвестиции (и), потребление (р) и затраты на восста-

• С.А. Ачитуев, Д.Е. Урбанович. Магистральные режимы в эколого-экономической модели Республики

Бурятия новление ресурса (z);

• 3)    население не растет, L = const, Е = /,(Ф)“;

• 4)    мощность восстановительной отрасли не лимитирует интенсивности восстановления, т.е. можно положить w = 0 и исключить уравнение относительно Ф^.

• 5)    природный ресурс не используется на расширении производства, потребление и «обслуживание» восстановительной отрасли. т.е. D-F = F^ = D¹ = 0, кроме того, Q = const < 0,

^-Ip-I^R-R,)², M^vy 1+Г =Х₉ т.е. максимизируется функционал, имеющий смысл комбинации общего потребления и среднеквадратичного отклонения показателя природного ресурса от невозмущенного, при условиях:

Ф = и-^Ф,(I)

В = 8(В-В.)-СУ(Ф) + г,и>0(2)

Ф(0) = Ф„;ад = Ян;Ф(^) = Ф(;(3)

В p = (l-A)v-Bu-Azz.(4)

Величины Ф _к1К_п Ф^^ заданы. Ограничения на «р» и на «z» не предусматривается. Для определенности полагаем (, = 0. Предварительно построим нижнюю Ф_ь и верхнюю Ф_а, границы Ф, исходя из ограничения (3). Они составляют из решений уравнения Ф--АФ, исходящих из точек (/_я=0,Ф_и) и границы Ф = 0. Функция К имеет вид

К = ф_ф<и - АФ) + ф^(R -R.)-

-СИ(Ф) + z) + lp-F(R-R.y + ф,.

Подставим выражение для «р» (формула (1)) в (1) и функцию «<р» зададим так, чтобы К не зависело от «и» , «2». Приравнивая к нулю коэффициенты при управлениях «и»И «2»

Фф-В1 = 0;    Фк - 1А^ = О и решая полученную систему относительно ф, получим ф-АБФ + А^В);

K^ko-^MR-R-VmA +i(i-A)y-E(R-R.y =

= KВ^Ф) + IA^WQ2»

• а) = \-A-A²C_. Пусть ro> 0. Тогда максимум К (с учетом У = у_хФ^а ) достигается в стационарной точке, определяемой условиями

К» =1{о)^аФ^а^ ~5Д) = 0;

Kr=IAwQ-^4R-R.^-^

либо на одной из границ. Отсюда

Ф = Ш1П((^^-Л“, ф_а (0); R = R. + dZX                        2/

Пусть теперь й><0. В этом случае

Ф = Ф_ь0ХЕ сохраняется тем же.

В целом решением в пространстве (К,Ф) является последовательность, апроксими-рующая следующую разрывную функцию:

ХА^ = »

(/?(/), Ф(/)) = < (Л,Ф),/ 6 (0,/,) [Я^ФД,/^..

Эта последовательность может быть построена следующим образом (для определенности R>R„);

ЕД0-в„ + я;ФА<^

= Ф„ + Ы;/е[о,?⁰^;

^(П^^Ф/О^Ф^е^0,?];

t* ^-кЛ^ф-фЖу1;

S z3=syCV^A-Q(R-R;y, р, =0 - W,)- Ви, - Awz,;

и, = Ф, + ДФ,.

Наибольшее значение функционала П равно (с учетом того, что границы t, R, Ф заданы) П- — inf I.

Если заменить в выражении Ф границу Ф_ь (t) очевидной нижней границей Ф = 0, то мы получим типичное магистральное решение, где магистралью является пара

Д,Ф = тт((^^)^".0).

Для магистрали (если считать, что точки

( Я_п,Ф„ ) и ( К^Ф^ лежат на ней или просто совпадают)

где

• 10   _ Ч . .

п= ^,R)di-Mk-(,>К(Ф,Ю-

О-а^-^А^О?)

Т^^е2--»^»

Это решение допускает достаточно простое качественное исследование и наглядную содержательную интерпретацию. Мы проведем это исследование, считая, что tk достаточно велико и можно в связи с этим пренебречь участками выхода на магистраль и схода с магистрали. Заметим, что при (Z°,Z) = (O,l),z = O и свободном Rt получается чисто экономический вариант. Для него получившиеся два типа решения соответствуют экономике рентабельной (Л < 1) (т.е. прямые затраты меньше выпуска) и нерентабельной (А >1). Естественно, что нерентабельная экономика по рассматриваемому критерию не должна развиваться. Как видно, заботы о сохранении и воспроизводстве ресурса (4м /0,/ >0) приводят к снижению порога рентабельности на величину ^(”С:Л<1-^(1)С.

Если этот порог превышен, то магистралью будет Ф = 0, т.е. производство, представленное основными фондами Ф, должно сворачиваться. При этом, однако, потребление р не исчезает. Из уравнений № 2 видно,что р--z-Q(R Ra\ z<0,так как Е(Ф) = 0. Это означает, что восстанавли вающая отрасль становится эксплуатирующей с интенсивностью естественного восстановления ресурса. Его, очевидно, нужно иметь в виду, чтобы заботиться о таких условиях, выраженных неравенством о>0, при которых оно неоптимально.

Обратим, что состояние^ ресурса улучшается (приближается к Ra) с уменьшением коэффицента затрат ^<г). При а ->про-изводственная функция приближается к линейной (характерная зависимость, часто используемая в экономическом анализе). В этом случае при ^Ур^ <1 стационарное значение Ф стремится к нулю, а при

(^^д) > 1 отодвигается в бесконечность, и Остановится граничным

Ф = Фке;м'"'а R = R.

Решение для R при этом не меняется.

Теперь, рассматривая выражение для П для разных случаев, нетрудно сделать следующее общее заключение. Эффективность рассматриваемой эколого-экономической системы (оцениваемая величиной /7) определяется параметрами А, В, А, С, А¹.

Первые три характеризуют собственно эффективность экономической составляющей, которая повышается с их уменьшением. При достаточно эффективной экономике, когда Z>0,A^ имеет смысл удельной затрат и ее выгодно снижать; в противном случае, когда 2<0,А^ имеет смысл удельной отдачи от эксплуатации ресурса и этот параметр выгодно увеличивать, однако, как нетрудно видеть, ценой ухудшения состояния ресурса. Таким образом, главными факторами эффективности системы в целом и сохранения ресурса являются экономические факторы при условии активного управления ресурсом.

Замечание 1. До сих пор предлагалось, что население L (численность работников) постоянно. Пусть оно растет по закону L = L/, а функция полезности д рассчитывается на душу населения. Это можно учесть, полагая I = /(/) = l^"⁵', Z° = ^е^-5*, где/,+//' = !. Задавая

по-прежнему выражение (2) и подставляя его, получим (с учетом того, что теперь ^ ^ 0)

k_r - u^wQ-2i\R - Ry + a^wi =о.

Отсюда с учетом выражений для /,/°, получим Ф = Ц—^^—

7)(Д + ^0

Это магистраль для рассматриваемого случая. Отметим, что R по-прежнему постоянно, а Ф растет. Если для наглядности пренебречь амортизацией, положив А = 0, то Ф = const - L. Отсюда V - y(L^Va^ (const • Z)" = const х • L, т.е. основные фонды растут с темпом роста населения L.

Заключение

Возможно рассмотрение различных задач, отражающих реальные факты и требования, как ограничения на состояния ресурсов, зависимость удельных затрат и способности к самовосстановлению от состояния ресурсов, затраты на мощность восстановительной отрасли других затрат и т. п. Дополнительно можно было бы моделировать различные сценарии развития с учетом социального блока, в первую очередь исследовать проблемы, связанные с состоянием здоровья населения, а также различные социально значимые на данный период задачи.