Массивные множества, порождённые полулинейными эллиптическими операторами на некомпактных римановых многообразиях

Данная работа посвящена исследованию решений полулинейных эллиптических уравнений вида

Lu = А и - иф( |и| ) = 0

на некомпактных римановых многообразиях. Предполагается, что ф ( ^ ) >  0 - гладкая, монотонно невозрастающая функция.

Пусть M -произвольное некомпактное риманово многообразие с пустым краем. Сформулируем понятие L -массивных множеств введённое в работе [1]. Говорят, что множество Пс M является L -массивным, если на M существует v -нетривиальное субрешение уравнения (1), такое, что v _х = 0,0 <  v <  1. Если, кроме того, выполнено

D ( M, v, ф ) = || А п |² + 2 j t ф ( t ) dt dx <да ,

M то такое множество называют LD -массивным. Такую функцию v называют допустимой для П.

Сформулируем некоторые уже известные результаты, полученные с помощью данного понятия. В случае стационарного уравнения Шредингера

Lu ^ А и - q (x) и = 0

в работах [2, 3] доказано, что размерность пространств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера (с конечным интегралом энергии) не менее числа попарно непересекаю-щихся L -массивных ( LD -массивных) множеств.

Филатов В.В. Массивные множества, порождённые полулинейными эллиптическими операторами на некомпактных римановых многообразиях

Приведём результат, полученный Е.А. Мазепой [4], для лучшего понимания дальнейшего изложения. Пусть 0 <  ф ( § ) <  A ф ( § ) , где A = const >  0, ф ( § ) ^0 при § >  0 . Рассмотрим также уравнение L 1 u = A u — и ф 1 (\ и |) = 0 . Тогда если всякое ограниченное решение уравнения L 1 u = 0 есть тождественный ноль, то и всякое ограниченное решение уравнения Lu = 0 будет являться тождественным нулём. Заметим, что объединяя теоремы, полученные в работах [1, 4], можно получить следующее утверждение: если на M существует L -массивное множество, то на M существует L 1 -массивное множество. Однако данное утверждение удалось существенно уточнить.

Связь между существованием массивных множеств при вариациях потенциала

Основным результатом данной статьи является следующая теорема.

Теорема 1. Всякое LD -массивное множество является LD -массивным.

Доказательство. 1) Рассмотрим случай 0 < A < 1. Пусть Q — LD — массивное множество, v -допустимая функция для Q. Покажем, что в данном случае Q будет являться L1 D - массивным множеством. Рассмотрим Lv.

L 1 v = A v — v ф_x ( v ) >  v ф ( v ) — v ф ₁ ( v ) v ( ф ( v ) — ф ( v ) ) = v

Aф( v )

A

—

ф (v) >

> v

Ф1 (v)

A

—

Ф1 (v) = vФ1 (v

Так как 0 <  A <  1 то v ф ₁ ( v ) |   — 1 l> 0 , и, следовательно, L 1 v >  0. Несложно показать (см. [1,

V A 7

4]), что, можно считать, что v е C ² ( Q ) , учитывая, что L 1 v >  0 в Q , то v является субрешением в

Q . Таким образом, Q является L 1 -массивным множеством. Рассмотрим D ( M , v , ф ) .

\

D ( M , v , ф 1 ) = j | V v |² + 2 j t ф ₁ ( t ) dt dx <  j | V v |² + 2 j t ф ( t ) dt dx <^ .

M

V 0

M

V 0        7

Таким образом Q есть L 1 D массивное множество и первый случай рассмотрен.

2) Пусть теперь A >  1. Пусть на M существует Q - LD - массивное множество, v * - допустимая для Q функция. Построим v - нетривиальное ограниченное 0 <  v <  1 решение уравнения Lv = 0 на M с конечным интегралом энергии D ( M , v , ф ) . Пусть { B_k } ^_{= 1} - гладкое исчерпание M , то есть последовательность предкомпактных открытых множеств, таких, что B_k с B_{k + 1}, U^ _{= 1} B_k = M . Рассмотрим следующие решения задач Дирихле в B_k :

^{A vv}k ^{— v}k Ф ^{( v}k ) = ⁰, v d. _ = v| .

I ^k 15 B k      15 B k

В силу принципа максимума (см. [4]) получаем 0 < sup vk < sup v* < 1. Учитывая, что v* - не-Bk     M тривиальное субрешение уравнения Lu = 0, то с помощью принципа сравнения (см. [4]) мы по лучаем vk > v* в Bk . Следовательно, мы делаем вывод, что на семейство функций {v}”4 компактно в классе C2,а (B) (см. [4]). Из последнего следует, что существует подпоследователь ность последовательности {v}^ч , сходящаяся к предельной функции v в норме C2 (B). Приме няя переобозначения, мы будем считать, что {v}^ и есть сходящаяся подпоследовательность.

Всюду далее мы будем применять аналогичные рассуждения. Таким образом, lim v_k = v - нетри- k ^^

виальное решение уравнения Lv = 0, такое, что 0 <  v* <  v <  1, очевидно, что последние неравен-

Математика

ства выполнены, в частности, на Q . Сходимость интеграла энергии D ( Му, ф ) следует из принципа Дирихле (см. [1]) и сходимости интеграла энергии D ( M,v * , ф ) .

Обозначим ф2 (u) = Аф(u) и Lu = Au - uф2 (u). Покажем теперь, что на M существует L3 - массивное множество. Рассмотрим решения задач Дирихле в Bk nQ.

^{A uu}k ^{- U}k Ф 2⁽ u k ) = ⁰

_ u k ^( B k nQ ) = u l d ( B k nQ ) .

В силу принципа максимума выполнено 0 <  u k <  sup v <  1. Следовательно, на Q существует

q предел lim uk = u* k ^да эквивалентно Auk

. Из оценок A u k = Au_k ф ( u k ) > u_k ф ( u k ) получаем, что u_k ф ( u_k ) -A u k <  0, что

- ukф(uk )> 0. Последнее означает, что uk - субрешение уравнения Lu = 0, и, таким образом, в Bk n Q в силу принципа сравнения выполнено uk < v и как следствие u* < v. Покажем, что D(q, u*, ф2 )<да. Справедливы следующие соотношения:

u _k

D (Bk nQ, uk, ф2 ) = D (Bk nQ, uk, Аф )= J | V uk |2 + 2 J Atф (| 11) dt dx < Bk nQ         к о         У v

v

<

J | V v |² + 2 J Аг ф ( | 1 | ) dt dx <  A J | V v |² + 2 J t ф ( | 1 | ) dt dx <да .

Bk nQ

к 0

У     M

к 0

У

Переходя к пределу при k ^ да , получаем нужное.

Покажем нетривиальность u* . Пусть w_k,v_k,u_k - решения следующих задач Дирихле в B_k nQ :

^A w k = ° ^A v k = - ^v ф ( v ) , ^A u k = - ^Auk ф ( u k ) , w k a< B_k nQ) = v d ( B k nQ ) , v^k ld( B k nQ ) = ⁰ u^k ls( B k nQ ) = ⁰

Ясно, что w_k - u_k=u_k,w_k - v_k=v и v < w_k < sup v , u_k > 0, v_k > 0. Покажем, что u_k <  Av_k. Дей-

M ствительно,

A( Avk) = - Avф(v) < - Aukф( uk) = A uk, тогда из принципа сравнения получаем Avk >uk. Пусть x0 - точка, в которой v(x0)>supv-5,

Q где ^ - достаточно малая положительная постоянная. Тогда wk (x0 )> suP v - ^,

Q

vk (x0 ) = wk (x0 )- v (x0) < suP v - v (x0 ) < ^,

Q uk (x0 )< A^,uk (x0 ) = wk (x0 )-uk (x0 )> suPv-(A + 1)^.

Q

Отсюда при k ^да получаем u (x0 )> sup v -(A +1) ^ > 0 при достаточно малом ^. Следова-Q тельно, u* - нетривиальное, ограниченное решение уравнения Au* - u*ф2 (u* ) = 0 на Q с конечным интегралом энергии D (q, u , ф2) < да.

Пусть sup u * = a >  0. Несложно показать, что LD -массивным множеством будет, например, множество Q)O * = { x : u * >  a } с допустимой функцией ^ u* - a ^ , где f₊ - положительная срезка. В силу доказанного пункта 1) заключаем, что Q * является L 1 D -массивным множеством. Учитывая, что если у множества есть LD -массивное подмножество, то оно само является LD -массивным, получаем нужное.

Необходимое условие лиувиллева свойства ограниченных решений полулинейного уравнения

Для формулировки второго результата работы введём необходимые понятия. Пусть M -произвольное некомпактное риманово многообразие, B - компакт в M, {Вк }к=1 - гладкое ис черпание M. Рассмотрим решения задач Дирихле в B. \ B :

Lh. = Ahk - hkф(\ hk |) = 0, h.  = 1, h,=

I d B id

Lsk = Ask - sk^(| sk |) = 0,ski,R = 1 skO

I d B Id

^Luk = ^{A u}k ^{- h}k M(\ ^uk | ) = °, ^uk\

= 1, uk\ k dBk

= 1.

4        'Id

Несложно показать с помощью принципа сравнения, что каждая из последовательностей будет иметь предел. Предельную функцию lim h k = h_B называют функцией Лиувилля внешности к ^^

компакта B, порожденную оператором L . Предельную функцию lim s_k = s_B называют ёмкост- k ^^

ным потенциалом внешности компакта B, lim u. = uB называют гармонической мерой внешности к ^х компакта B.

Рассмотрим решения задач Дирихле в B_k

'LH = A H . - H m ( | H . | ) = 0

^          H k . b.

Предельную функцию lim H. = H называют функцией Лиувилля многообразия M, порож-k ^х денную оператором L. Отметим две теоремы, доказанные в работе [1]. Первая теорема утверждает, что на многообразии M всякое ограниченное решение уравнения Lu = 0 является тождественным нулём тогда и только тогда, когда функция Лиувилля H — 0. Вторая теорема утверждает, что функция Лиувилля H — 0 тогда и только тогда, когда всякая гармоническая мера ub — 0.

В текущей работе получены необходимое условие тривиальности функции Лиувилля многообразия M, порожденной оператором L . Перейдём к точной формулировке результата.

Теорема 2. Если функция Лиувилля H — 0 то для всякого компакта B выполнено h_B — s_B .

Доказательство. Рассмотрим L ( h_k - s_k ) . Справедливы следующие равенства

L(hk -sk ) = A(hk - sk )-(hk - sk )m(hk -sk ) = Ah. -Ask -hk^(hk - sk ) + sk^(hk - sk ) = (Ahk - hk^( hk ))-(Аk - sk^( sk )) + hk^( hk )- sk^( sk )- hk^( hk - sk ) + sk^( hk - sk ) = hk^( hk)- sk^( sk)- hk^( hk- sk)+sk^( hk- sk).

Оценим снизу h_k ^ ( h_k ) :

hk^( hk )=( sk+(hk- sk ))^ (sk+(hk- sk ))=sk^( sk+(hk- sk))+(hk- sk M sk+(hk- sk))^ skM(sk) + (hk - sk )m(hk - sk).

Математика

Из последнего следует, что L (hk - sk )> 0 и, как следствие, (hk - sk) - субрешение полулинейного уравнения, такое, что (hk - sk )  = 0, (hk - sk )  = 1, следовательно, в силу принципа дB               дB сравнения выполнено uk >(hk - sk )> 0 в Bk \ B. Учитывая, что lim uk = 0, делаем вывод, что k ^^

hB= sB.

Замечание 1. Заметим, что в работе [1] были получены необходимые и достаточные условия тривиальности функции Лиувилля многообразия M , порождённой оператором Шредингера:

Lu = Au - q (x) u = 0.

А именно, доказано, что H -функция Лиувилля, порождённая оператором Шредингера, есть тождественный ноль тогда и только тогда, когда для всякого компакта B с M его ёмкостный потенциал совпадает с функцией Лиувилля внешности компакта, то есть h_B = s_B.

Замечание 2. Вообще говоря, данная теорема справедлива и для более общих полулинейных эллиптических уравнений вида

Lu = A u - g ( x , u ) = 0.

Предполагается, что функция g:M xR ^ R является липшицевой и обладает следующими тремя свойствами:

• •   g (x, Ч) = - g (x, £);

• •    g ( x A ) > g ( x , ^ 2 ) , ^1 - ^ 2^: ^ 1 >  ^ 2 ;

• •    g ( x , a ) - g ( x , b ) >  g ( x , a - b ) , V a , b :1 >  a >  b >  0.

Несложно показать, что при данных условиях на функцию g разность h_k - s_k будет являться субрешением и, как следствие, получить необходимый результат.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-31-90110.