Математическая модель акустических волн в ограниченной области с "белым шумом"

Классическое гиперболическое уравнение математической физики utt = a 2 Au + f                                        (1)

в настоящее время хорошо изучено в различных постановках и в ограниченной области, и в неограниченной, и с нелокальными граничными условиями, и с разрывными функциями на границе, например, [1]. На основе этого уравнения строятся динамические математические модели, а также математические модели, описывающие волновые процессы [2]. Также оно может быть базовым уравнением для исследования математических моделей шумового загрязнения окружающей среды. Одним из наиболее сильных источников шумового загрязнения является авиация [3]. Влияние авиационного шума на оператора авиационных эргатических систем управления исследовалось в [3].

В работах И.В. Мельниковой [4] построена теория M, N- функций, на основе которой исследуются абстрактные операторно-дифференциальные уравнения. Для исследования уравнений соболевского типа второго порядка

Au = B_i u + B ₀ u + f                                   (2)

в работах А.А. Замышляевой, например [5], было введено понятие вырожденного семейства M,N -функций, разработана теория полиномиально относительно ограниченных пучков операторов, и на ее основе построены пропагаторы уравнения (3):

U 0 =^ f ^ / A ( B )( A A — B i ) e^M ,   U i t =t^ M ( B ) Ae ^ d M ,             (3)

2ni2ni γγ найдено частное решение неоднородного уравнения (2) t u = J U0- 5 Ai-1 Qf (s) ds                                       (4)

и получено общее решение задачи Коши в виде u (t) = Uu + U0u 0 + u.

Бычков Е.В., Соловьёва Н.Н.,                       Математическая модель акустических волн

Свиридюк Г.А.                                   в ограниченной области с «белым шумом»

В настоящей работе будет рассмотрено уравнение (1) в ограниченной области Ω⊂Rn c гладкой границей ∂Ω в виде o2 o utt = a2Δu+wKt(5)

с начальными условиями Коши

o lim u(τ) =u0, lim ut(τ) =u1,(6)

τ→0+ где a – фазовая скорость распространения волны (скорость звука в среде), а wK – «белый шум», характеризующий источники звука внутри области, u0 и u1 – начальная форма волны и начальная скорость волны (случайные величины) соответственно. На границе области зададим однородное условие Дирихле

u ( x , t ) =0, ( x , t ) ∈ ∂Ω× R ,                                   (7)

естественно, можно рассмотреть и неоднородное граничное условие, которое описывает случайное воздействие на границе области. Линейной заменой можно перейти от неоднородного граничного условия к однородному, поэтому без потери общности рассмотрим только условие вида (7). Символом uot (uott) обозначим первую (вторую) производную Нельсона–Гликлиха случайно- го процесса u . Под «белым шумом» wKt(t) будем понимать первую производную Нельсона–

o wK(t) 2t

Гликлиха винеровского процесса w_K ( t ), т. е. w_Kt ( t ) =

Понятие производной Нельсона–Гликлиха введено в монографии [6], там же найдена первая производная произвольного случайного процесса. Позже вычислены производные случайных процессов высших порядков, и исследованы первые математические модели с «белым шумом» [7]. Производная Нельсона–Гликлиха базируется на понятии производной в среднем, введенном Нельсоном [8]. Помимо подхода к «белому шуму» как производной Нельсона–Гликлиха распространен подход Ито–Стратоновича–Скорохода, который используется в работе Ковача и Ларсона [9] и в [10]. Кроме того в работе [9] рассмотрено уравнение (5) в форме дифференциалов Ито с однородными начальными условиями, решение поставленной задачи найдено путем сведения уравнения к системе первого порядка. Аналогичного подхода придерживается И.В. Мельникова: в работе [11], в ней вводится понятие пространства обобщенных H -значных случайных величин, в которых H -значный белый шум оказывается гладким по переменной t . В работе [12] показано, что производная Нельсона–Гликлиха винеровского процесса хорошо согласуется с предсказаниями теории броуновского движения Эйнштейна–Смолуховского, поэтому стохастический процесс был назван «белым шумом». Данный подход успешно применяется и к исследованию дихотомий стохастического уравнения, заданного на многообразии [13], и к исследованию математических моделей измерительных устройств [12].

Статья помимо введения и списка литературы состоит из трех параграфов. В первом параграфе коротко описаны пространства случайных K -величин, случайных K -процессов и K -шумов, подробнее [14, 15]. Во втором параграфе результаты, полученные для детерминированного уравнения (3), переносятся в пространства K- шумов, затем абстрактные результаты применяются к исследованию математической модели (5)–(7).

1.    Пространство К-шумов

Теория уравнений соболевского типа в настоящее время переносится в пространства К -шумов. В данном параграфе для полноты картины приведем лишь необходимые сведения о пространствах К -шумов, подчерпнутые в основном в [14, 15]. Обозначим через Ω≡ ( Ω , A , P ) полное вероятностное пространство. Измеримое отображение ξ : Ω→ R назовем случайной величиной . Множество случайных величин, чьи математические ожидания равны нулю (т. е. E ξ =0), а дисперсии конечны (т. е. D ξ < +∞ ), образует гильбертово пространство L ₂ со скалярным произведением ( ξ 1 , ξ 2 ) = E ξ 1 ξ 2 . Обозначим через A 0 σ -подалгебру σ -алгебры A и

Математика

0                                                                                    0

построим пространство L 2 случайных величин, измеримых относительно A o , тогда L 2 является подпространством пространства L ₂. Пусть ^е L ₂, тогда П ^ , где П : L ₂ — L 0 - ортопроектор, будем называть условным математическим ожиданием случайной величины ^ и обозначим символом E ( ^ | A 0 ).

Пусть I = (0, T ), T е R + . Рассмотрим два отображения: f : I — L ₂, которое каждому t е I ставит в соответствие случайную величину ^е L ₂, и g : L ₂ х Q — R , которое каждой паре ( £ , у ) ставит в соответствие точку ^ ( У ) е R . Отображение n : I х Q — R , имеющее вид П = n ( t, У ) = g ( f ( t ), у ), мы назовем ( одномерным ) случайным процессом . Если п. н. все траектории случайного процесса непрерывны, то такой процесс назовем непрерывным . Обозначим через CL ₂ множество непрерывных случайных процессов, которое образует банахово пространство. Примером непрерывного случайного процесса является одномерный винеровский процесс в = в ( t ), который можно представить в виде ∞

в ( t )= E ^ k sin - (2 k + 1) t ,                               (8)

k =0       ²

где     ^ k    - некоррелируемые гауссовы случайные   величины,   такие что

E ^ k =0, D ^ k = [ f(2 k + 1) ] — 2 .

Теперь зафиксируем произвольный непрерывный случайный процесс ?е CL2 и t е I через N? обозначим ст-алгебру, порожденную случайной величиной n(t), а через Ef = E(• | N?) - условное математическое ожидание.

Пусть пе CL ₂ , производной в среднем справа D ? (t , • ) ( слева D * n (t , • )) случайного процесса П в точке t е ( £ , т ) называется случайная величина

Df( tv) = lim E? f ? t' t'•>-?1

At —>0+    ^         A t fD?(t,•) = lim E? f ?t^?(t-At•■’U

^           At —0+ ^ At если предел существует в смысле равномерной метрики на R. Случайный процесс ? называется дифференцируемым в среднем справа (слева) на I, если в каждой точке t е I существует производная в среднем справа (слева). Пусть ?е CL2 - дифференцируемый случайный процесс в среднем справа и слева на I. Тогда симметрическая производная в среднем определяется как ? = DS? 1(D + D*)?. Симметрическую производную в среднем в дальнейшем будем называть

o производной Нельсона -Гликлиха. Через ?(l) , l е N, обозначим l -ю производную Нельсона-Гликлиха случайного процесса ?. Следует отметить, что если ?(t) является детерминированной функцией, то производная Нельсона-Гликлиха совпадает с классической производной. В случае одномерного винеровского процесса в = в(t) справедливо:

в ( t )

• (i)    в ( t ) =      при всех t е R ₊ ;

o ^{( 1} )                     -¹ - !

• (ii)    в ( t ) = ( - 1 ) ^{1 1}-П(2 i - 1) ' ^ ( t T, l е N , l ^ 2.

i =1            (2 1 ) ^l

Построим пространства шумов C ^l L ₂, l е N как пространство случайных процессов из CL ₂, чьи траектории почти наверно дифференцируемы в смысле производной Нельсона-Гликлиха на I до порядка l включительно.

Бычков Е.В., Соловьёва Н.Н.,                       Математическая модель акустических волн

Свиридюк Г.А.                                   в ограниченной области с «белым шумом»

Пусть V - некоторое вещественное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением <  • , • >. В пространстве ( V , <  • , • >) выберем базис { ф _к }, тогда каждый элемент

∞∞ u е V представим в виде и = Е^кФк = £ < и,фк > фк . Пусть K = Ук} - монотонно убывающая к=1 к=1

∞ числовая последовательность такая, что ^ук < +—. В пространстве L2 выберем к=1

∞ последовательность случайных величин {^к} таких, что Уу2 d^ < +—. Тогда через VKL2 к=1 ∞ обозначим гильбертово пространство случайных K - величин вида £ = ^Ук(;кФк. При этом для к=1

существования случайной K -величины ^е V_K L ₂ достаточно, например, чтобы D ^ k <  const V к .

Заметим, что пространство    V_K L ₂   гильбертово со скалярным произведением

∞

■ -   ^Vk Е^к.

к =1

В пространстве CL ₂ выберем последовательность случайных процессов { п _к }, определим V - значный непрерывный случайный K - процесс формулой

∞

n ⁽ t ) = ^ ^уШк ⁽ t )фк ,                                  ⁽⁹⁾

k =1

при условии, что ряд (9) сходится равномерно на любом компакте из I по норме V_K L ₂ . Введем в О ( l )              -         о ( l )

рассмотрение производные Нельсона-Гликлиха случайного K -процесса п ( t ) = ^ Ук П _к ( t ) ф _к k =1

при условии, что в правой части существуют производные Нельсона-Гликлиха до порядка l включительно, и все ряды сходятся равномерно на любом компакте из I по норме V K L ₂. Рассмотрим пространство C ^l ( I ; V_K L ₂) непрерывных случайных K -процессов, чьи траектории п.н. непрерывно дифференцируемы по Нельсону-Гликлиху до порядка l е N включительно. Примером K -процесса из пространства C ¹ ( I ; V_K L ₂) служит винеровский K -процесс [15]

∞ wK(t ) = ^УкДк (tфк, где {вк } с ClL2 - последовательность одномерных винеровских процессов k =1

(или же математическая модель броуновского движения в теории Эйнштейна-Смолуховского) на I . Краткости ради пространство C ¹ ( I ; V_K L ₂) будем называть пространством K - «шумов» .

2.    Математическая модель

В данном параграфе мы рассмотрим вспомогательную задачу и для нее построим пропагаторы. Используя следующую лемму, мы можем перенести теорию пропагаторов и полиномиально ограниченных пучков операторов в пространство случайных К -величин

Лемма 1 . Пусть U , F - сепарабельные гильбертовы пространства и A е L(U ; F ) (линейный и непрерывный). Тогда A е L(U_K L ₂; F_K L ₂) .

Рассмотрим вспомогательную начальную задачу

o lim и(т) = и0, lim ut(т) = u1

• т^0+

для абстрактного уравнения

Utt = B0 и + Nf,(11)

где B 0 е L(V_K L ₂; V_K L ₂), и е C ^{+ 2}( I ; V_k L ₂) - искомый случайный K -процесс, f е C^{l + 1}( I , V_li L ₂) -«белый шум».