Математическая модель бронхиального дерева с альвеолами. осаждения антропогенных частиц в легких

Существующие модели легких человека рассматривают альвеолы не как отдельные ≪ клубки ≫ , прикрепленные к бронхам, а как пористую среду [1]. Такие модели не отвечают одному из основных физиологических требований – равномерная вентиляция альвеол и минимальная работа, связанная с дыханием [2].

Многочисленные исследования доказали негативное влияние загрязнения атмосферного воздуха антропогенными частицами (сажа, пыль) на здоровье человека, в том числе на его дыхательную систему. В качестве примера можно привести ужасные последствия марафонского забега на олимпиаде в Сент-Луисе (1904), когда спортсменам пришлось бежать в облаках пыли, что повлекло за собой колосальные последствия для здоровья спортсменов [3]. Для количественной оценки загрязнения легких вредными веществами необходимы математические и численные модели для описания процесса осаждения частиц в легких.

1.    Модель бронхиального дерева с альвеолами

Давление воздуха в альвеолах человека в состоянии покоя (между вдохом и выдохом) в среднем почти равно атмосферному. Однако в процессе дыхания наблюдаются небольшие отклонения. Во время спокойного вдоха давление в альвеолах становится отрицательным (относительно атмосферного), обычно минус 1–2 мм рт. ст., что обеспечивает приток воздуха в легкие. Во время выдоха давление в альвеолах чуть превышает атмосферное – примерно на 1–2 мм рт. ст., поэтому воздух выходит из легких [4].

Ранее авторами была разработана математическая модель бронхиального дерева [5–7]. Эта модель позволяла осуществить поэтапный численный расчет параметров течения в легких, за исключением альвеолярных мешков. Ниже будет приведена модификация модели [6] для учета влияния альвеол на характеристики вдоха.

Дыхательные пути легких заканчиваются альвеолами (их 300 ^ 700 миллионов [1, 2]), в которых происходит газообмен. При этом должен выполняться ряд условий, таких как равномерная вентиляция альвеол и минимальная работа, связанная с дыханием [2]. Если перевести это на язык механики – все альвеолы имеют одинаковый объем и одинаковое давление. В противном случае часть альвеол, у которых меньший объем или отличное от остальных давление, будут функционировать неэффективно.

Согласно модели [2] альвеолярные мешки начинаются появляться на бронхиальном дереве начиная с 15-й генерации бронхов (рис. 1). При этом количество альвеолярных мешков увеличивается, достигая максимума на терминальных бронхах.

Рис. 1 . Модель дыхательной системы человека, распределенная по поколениям симметричного ветвления от трахеи (поколение 0) к ацинарным дыхательным путям (поколения 15—23), заканчивающимся альвеолярными мешками [2]

Предположим, что на ветви бронха генерации n, начиная с 15-й генерации, помещается 4 (n — 14) альвеолярных мешков. Число ветвей бронхов n-й генерации равно 2 ⁿ . Тогда на всех ветвях бронхов до генерации n, включительно, будет M a альвеол

M a (П) = ।

0,                 n <  14

£ 2 ^{i +2} (i — 14), 15 <  п i =0

f 0,                         п <  14

| 8[16384 + 2 ⁿ ( n — 15)], 15 <  n

Общее количество альвеол в легких равно

N a = ^ M a (n) = 537 001984.                      (2)

n =0

Это согласуется с оценкой количества альвеол в 300 ^ 700 миллионов, приведенное в работах [1, 2].

Почти весь объем вдыхаемого воздуха попадает в альвеолы. За исключением воздуха в воздухоносных путях (анатомическое мертвое пространство (anatomic dead space), объем которого составляет 2,2 мл/кг массы тела [8] или 150 мл [9]). Кроме анатомического, в легких выделяют физиологическое мертвое пространство – это объем воздуха, содержащийся в вентилируемых, но не перфузируемых кровью альвеолах. В норме его объем составляет 10 – 15 мл [9]. При вдохе у человека альвеолярное давление ниже атмосферного на <  1 см вод. ст. ( < 100 Па) [10].

Оценим расход воздуха, который попадает в единичный альвеолярный мешок в процессе дыхания. Время вдоха/выдоха составляет примерно 2 секунды (в норме 12 – 20 дыхательных движений в минуту). В покое количество вентилируемого в легких воздуха составляет 6 – 8 л/мин).

Будем рассматривать квазистационарный (во времени вдоха/выдоха) процесс дыхания. Пусть расход вдыхаемого воздуха равен Q (объем вдыхаемого воздуха в единицу времени), тогда расход в одной альвеоле будет равен

Qa = (Q - Qads)/Na, где Qads – потери расхода воздуха в анатомическом мертвом пространстве, Q – расход воздуха в единичной альвеоле. В нашей модели Qads равен расходу воздуха на заполнение бронхиального дерева.

Из-за ветвления бронхиального дерева расход воздуха на выходе из бронха генерации n <  15 равен Q/2 ⁿ . Начиная с 15-й генерации бронха дополнительно 4 (n — 14) Q _a воздуха из каждого бронха уходит в альвеолы. Таким образом, расход воздуха через бронх генерации n будет равен

Q

Qn=   2 n ^,

2n

n <  14,

— Q a M a ( n ) / 2 n , 15 <  П,

_ Q /1,                                n <  14,

=₂n p — 8 1 - N ads [16384 + 2 ⁿ ( n — 15)], 15 <  n, ⁽⁴⁾

^где q ads ^Q ads / ^Q •

Оценим влияние ≪ стока ≫ воздуха в альвеолы на характеристики (скорость и давление) течения воздуха в бронхиальном дереве. Средняя скорость на выходе из бронха, связана с расходом уравнением

U n = Qn/(nRn).                                (5)

Из уравнений (4) и (5) найдем отношение скоростей v _n = U _n /Un

₍              1,                                      n <  14

vn (n, qads) = | 1 — 8i-Nads [16384 + 2n (n — 15)], 15 < n, где U* = Q/(2nnRn) — скорость без «стока» воздуха в альвеолы.

График функции v _n ( n, 0) показан на рис. 2. Видно, что начиная с 19-й бифуркации функция отношение скоростей резко падает до нуля в 23-м бронхе (рис. 2 (а)). Но это падения минимально сказывается на значения скоростей. После 14-го бронха скорость течения мала и ≪ сток ≫ воздуха в альвеолы слабо влияет на величину скорости (рис. 2 (б)).

Можно оценить рост давления в бронхах из-за ≪ стока ≫ воздуха в альвеолы. Для удобства будем рассматривать давления относительно атмосферного. Во всех альвеолах должно быть одинаковое давление p _alv . Воздух в альвеолах останавливается. Чтобы обеспечить одинаковое давление во все альвеолах необходимо регулировать напор воздуха. Запишем закону Бернулли для альвеолы, который связывает течение в бронхе с давлением в альвеоле

P i + PU i / ² = P alv + ^{( i — 14)} G,                           ⁽⁷⁾

где i = 15,..., 23, р - плотность воздуха, G - потеря напора при переходе от бронха к альвеоле. Здесь и ниже давление указано относительно атмосферного давления. Сопротивление G обеспечивает одинаковое давление во всех альвеолах.

(б)

Рис. 2 . (а) – график функции отношения скоростей (6); (б) – график скорости на выходе из бронхов без учета ( 1 ^′ ) и с учетом альвеол ( 1 ); график давления на выходе из бронхов без учета ( 2 ^′ ) и с учетом альвеол ( 2 )

(а)

В 23-м бронхе давление равны нулю (весь вдыхаемый воздух ушел в альвеолы). Скорость также нулевая, согласно уравнению (6). Тогда из уравнения (7) при i = 23 получим, что напор связан с альвеолярным давлением соотношением

G = ^-p alv /9.

Теперь из уравнения (7) при i = 15 найдем альвеолярное давление palv =

9 /       PU,‘\

8 Ь +^у

Скорость U 15 = Q/(2 ¹⁵ nR 25 ). Давление p ₁₅ находится из численного решения для модели бронхиального дерева без альвеол [6]. Из уравнений (7) и (9) найдем давление на выходе из бронха

_ PUi , 23 - i pi =--~--1--X palv.                                   (10)

Из уравнения (9) видно, что альвеолярное давление отрицательно (меньше атмосферного). Альвеолярное давление зависит от расхода воздуха и сужения бронхов (через скорость и давление в 15-м бронхе). На рис. 2 (б) приведен профиль давления в последних 15-и бронхах с учетом « стока » воздуха в альвеолы. В табл. приведены значения альвеолярного давления для различных расходов вдыхаемого воздуха и двух геометрий сужения бронхов – круглой и ≪ зведообразной ≫ сечение. Значение альвеолярного давления меньше нуля, но значительно больше - 100 Па, значение которого приведено в монографии [10]. Это объясняется, во–первых, приближенным учетом потерь в уравнении (7), во–вторых, обычно альвеолярное давление оценивается по плевральному давлению, которое выше (по абсолютному значению) альвеолярного.

В табл. приведены данные для круглого сечения бронхов и ≪ звездообразного ≫ . ≪ Звездообразное ≫ сечение бронхов ближе к реальным легким человека. Схемы профилей поперечных сечений бронхов приведены в табл. При этом площадь сечения ≪ звездообразного ≫ бронха составляет 80% от сечения круглого бронха. Из табл. видно, что величина альвеолярного давления практически линейно растет (по абсолютной величине) с ростом расхода как для круглого сечения бронхов, так и для ≪ звездо-образного ≫ . Сужение сечения бронхов на 80% для ≪ звездообразного ≫ бронха также приводит в увеличениею (по абсолютной величине) альвеолярного давления.

На рис. 3 приведено сравнение давления в бронхиальном дереве с учетом альвеолярных мешков. Расчеты проводились при расходе воздуха 24 л/мин. Видно, что начиная с 15-го бронха давление в бронхиальном дереве резко падает (по абсолютной величине, т.к. давление меньше атмосферного). Это вызвано ≪ стоком ≫ воздуха в альвеолы. К 23-му бронху давление в бронхах падает до нуля – весь вдыхаемый воздух ≪ ушел ≫ в альвеолы (за исключением воздуха анатомического мертвого пространства). При этом давление воздуха в альвеолах p _alv меньше атмосферного. Для бронхов с ≪ звездообразным ≫ сечение давление в 15-м бронхе почти в два раза выше, чем для круглого бронха. ≪ Звездообразное ≫ сечение бронхов моделирует (в некоторой степени) приступ астмы. Из расчетов видно, что даже 80% сужение бронхов затрудняет дыхание в два раза.

Таблица

Зависимость альвеолярного давления от расхода и формы бронхов

Форма сечения бронхов

Q,           15       24       100       5       10       24       30 л/мин	60
palv, Па    - 7, 69 - 13, 26 - 39, 76 - 4, 21 - 9, 22 - 26, 15 - 34, 68	- 80, 70

Рис. 3 . Давление в бронхиальном дереве человека с учетом альвеолярных мешков: ( 1 ) – для бронхов ≪ звездообразного ≫ сечения; ( 2 ) – для бронхов круглого сечения

2.    Осаждение антропогенных частиц в легких

На сегодняшний день проблема загрязнения воздуха является глобальной проблемой всего мира. Антропогенные вещества выделяются в результате, как деятельности человека, например, промышленные предприятия, так и в результате природных явлений, например, пожар. Загрязнение атмосферы взвешенными частицами, связано с повышенным риском развития рака легких и других заболеваний дыхательной системы.

В рамках описанной выше модели бронхиального дерева с альвеолярными мешками были проведены численные расчеты осаждения мелких частиц промышленной пыли в легких при вдохе. Уравнения, описывающие осаждения частиц и капель в бронхиальном дереве, приведены в работах [11].

В международный индекс качества воздуха (Air Quality Index, AQI [12]) и в отечественной индекс ИЗА (индекс загрязнения атмосферы [13]) входят критерии загряз- нения частицами размером PM2.5 и PM10. PMx – твердые частицы размером меньше x мкм. PM – сокращенние с английского Particulate Matter.

Согласно работе [14] антропогенные частицы с размерами менее 10 мкм при движении в потоке вдыхаемого воздуха, минуя барьер носовой полости и достигают бронхиального дерева, что обусловлено их низкой скоростью осаждения и способностью следовать за линиями тока газа.

Проведены расчеты осаждения антропогенной пыли в легких (рис. 4 и рис. 5). Частицы пыли увлекаются в легкие вместе с вдыхаемым воздухом. Попадая на стенку бронхов частицы оседают на стенке с учетом влияния альвеол. Альвеолы присоединяются к бронхиальному дереву начиная с 15-й генерации бронхов (отмечен на рис. 4 и рис. 5 пунктирной линией).

Рис. 4 . Осаждение частиц цементной пыли в легких: (а) – степень осаждения в бронхах для разных расходов для частиц диаметром 1 нм; (б) – степень осаждения в бронхах для частиц трех диаметров при расходе 5 л/мин

(а)                                                       (б)

Рис. 5 . Осаждение частиц сажи в легких: (а) – степень осаждения в бронхах для разных расходов для частиц диаметром 1 нм; (б) – степень осаждения в бронхах для разных расходов для частиц диаметром 10 мкм

Расчеты показали, что и мелкие частицы (1 нм) и крупные (10 мкм) частицы при вдохе проникают глубоко в легкие и достигают альвеол. При этом основное осаждение частиц начинается в альвеолярной зоне (после 15-й бифуркации бронхов). Более глубокий вдох способствует более глубокому проникновения частиц (проникновению в нижние отделы легких) в легкие (рис. 4 (а) и 5 (а)). В модели не учитывается течение воздуха в альвеолах, поэтому невозможно сказать какая часть частиц осела к альвеолах, а какая на стеках бронхов. Но очевидно, что частицы пыли диаметром 1 нм и 10 мкм все-таки попадают в альвеолы.

Размер частиц и плотность (плотность сажи 2100 кг/м ³ , цементной пыли 2900 кг/м ³ ) слабо влияют на степень осаждения пыли – это хорошо видно из сравнения расчетов для частиц цементной пылы диаметром 1 нм (рис. 4 (а)), частиц сажи диаметром 1 нм (рис. 5 (а)) и диаметром 10 мкм (рис. 5 (б)).

Заключение

Разработанная ранее авторами модель бронхиального дерева человека ( [5–7]) дополнена альвеолярными мешками. Модель учитывает как геометрию бронхиального дерева, так и скорость воздушного потока, обеспечивая согласованность с физиологическими данными. Показано, что при вдохе альвеолярное давление ниже атмосферного. Это обеспечивает заполнением воздухом всех альвеол (в модели рассматривается 268 500 992 альвеолы). Давление и скорость в бронхиальном дереве начиная с 15-й генерации бронхов падает до нуля. Альвеолярное давление зависит от расхода вдыхаемого воздуха и геометрии бронхов – абсолютное значение альвеолярного давления растет с увеличением расхода и с сужением бронхов.

Представлены результаты математического моделирование осаждения твердых частиц в легких человека. Проведен анализ влияния ключевых факторов (плотности частиц, их размера, скорости воздушного потока и геометрии дыхательных путей) на процесс осаждения антропогенных загрязнителей воздуха (сажа, цементная пыль) в легких.

Показано, что снижение скорости воздушного потока (уменьшение вдыхаемого расхода воздуха) способствует увеличению осаждения частиц в верхних отделах легких. Увеличение расхода вдыхаемого воздуха уменьшает осаждение частиц, но при этом частицы ≪ загоняются ≫ в нижние отделы легких. Плотность частиц оказывает незначительное влияние на их осаждение по сравнению с размером частиц и скоростью воздушного потока.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 25–21– 20124 при финансовой поддержке Правительства Новосибирской области.