Математическая модель для определения рациональных условий обработки при плоском шлифовании периферией круга на станках с прямоугольным столом

Шлифование - прогрессивный и универсальный метод окончательного формообразования различных поверхностей деталей, к которым предъявляются высокие требования к качеству обработки. Одним из распространенных видов шлифования является плоское шлифование, которое может осуществляться периферией и торцом круга. При этом наилучшие показатели качества обработки обеспечиваются при шлифовании периферией круга [23].

Как показал анализ литературных источников, известны математические модели, позволяющие определить рациональные условия обработки при круглом наружном [13, 18, 27] и внутреннем [18] шлифовании. Применительно к процессу плоского шлифования известны зависимости, связывающие параметры режима плоского шлифования с параметрами шероховатости поверхности, приведенные, например, в работе [20], что позволяет, исходя из требуемой величины шероховатости поверхности, определить параметры режима резания. Известна также зависимость, связывающая изменение износостойкости поверхностного слоя детали с интенсивностью деформаций материала при обработке, режимами шлифования и характеристикой абразивного инструмента [2]. Из математических моделей для определения

рациональных условий обработки при плоском шлифовании можно выделить модель, представленную в работе [12], в которой в качестве целевой функции выбрана производительность обработки, а в качестве технических ограничений-неравенств – ограничения связанные с составляющими силы резания P _z , P _y , шероховатостью поверхности и отклонением от плоскостности. Представляют также интерес алгоритмы выбора оптимальных режимов плоского шлифования и оптимизации процесса обработки деталей эластичными кругами, представленные соответственно в работах [11] и [6], а также методология выбора режимов шлифования, изложенная в работе [10].

В данной работе представлена математическая модель, предназначенная для определения рациональных условий обработки на операциях плоского шлифования периферией круга на станках с прямоугольным крестовым столом и включающая линейную целевую функцию и линейные ограничения-неравенства. В этой модели в качестве целевой функции выбрано машинное время обработки, а в качестве ограничений-неравенств использованы: ограничение, связанное со стойкостью круга, а также ограничения , связанные как с функциональными параметрами процесса резания (эффективной мощностью, температурой), так и с параметрами, определяющими качество обработки (точностью, шероховатостью поверхности) и кинематические возможности станка.

ВЫБОР ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ

Выбор целевой функции. Как отмечено в работе [5], режимы резания, рассчитанные с использованием экономических периодов стойкости инструментов и обеспечивающие наименьшее время формообразования, будут одновременно и наиболее экономичными. Поэтому в качестве целевой функции при плоском шлифовании с учётом рекомендаций, приведенных в работе [18], целесообразно использовать уравнение, определяющее основное (машинное) время обработки и имеющее вид [24]:

1,1 LB А t =----------------,         (1)

o   1000 V , S , В * S_t x q _d ’        ' ⁷

где Ь_ш - длина шлифования или габаритная длина расположения шлифуемых поверхностей на столе станка, мм; В_ш - ширина шлифования или габаритная ширина расположения шлифуемых поверхностей на столе станка, мм; А - припуск на шлифование на сторону; и _д - скорость движения (продольная) стола шлифовального станка, м/мин; S , - поперечная подача в долях высоты шлифовального круга; В * - высота круга, мм; S_t - подача на глубину на один ход стола, мм/ход; q_д - количество одновременно обрабатываемых деталей, шт.

S

Если учесть, что Sd = —, где Sx - попереч-В*        x ная подача на один ход стола, мм/ход, то уравнение (1) примет вид:

1,1 LtoBto А t          ш ш o " Вини.SS^ •

Ограничение, связанное со стойкостью шлифовального круга. Для получения технического ограничения, связанного со стойкостью инструмента при плоском шлифовании периферией круга, за основу была использована формула, приведенная в работе [24], которая не учитывает влияние конструкции круга на период стойкости. Уточненная формула для определения периода стойкости шлифовального круга имеет следующий вид:

T = I ^0,35 \ 1 k 2 k 2 k 2 -        (3)

* ( и S_а S t x f ^{1 2 3}

где T * - период стойкости шлифовального круга, мин; k² - коэффициент, учитывающий влияние физико-механических свойств группы сталей и сплавов, к которой относится обрабатываемый материал, на период стойкости круга; k 2 ,k 2 -коэффициенты, учитывающие соответственно влияние геометрических размеров и конструкции круга на его период стойкости.

Отличие формулы (3) от базовой формулы, представленной в работе [24], заключается в том, что в неё введен коэффициент k2. Анализ результатов исследований, приведенных в работах [18, 26], показал, что период стойкости абразивных кругов с прерывистой рабочей поверхностью (прерывистых, композиционных, комбинированных) примерно в 1,5...3 раза выше периода стойкости кругов со сплошной режущей поверхностью. Поэтому коэффициент k2 для сплошных кругов можно принять равным 1, для прерывистых кругов - 2 и для композиционных и комбинированных кругов - 2,5.

S

Если учесть, что А. = — , то первое техни- ^д В *

ческое ограничение, после соответствующего преобразования формулы (3) и решения отно сительно идSxSt, будет иметь вид:

и -к. т - )² ( 1000 s_t ) ² < ^0,35'У ^В* k 2 k 2 k 2 . (4) ^x

к

В неравенстве (4) и последующих технических ограничениях для удобства расчетов принято вместо А_х ^ 10 А_х , а вместо S t x ^ 1000 S t x , с соответствующими поправками в правой части.

Ограничение, связанное с мощностью станка. При плоском шлифовании необходимо, чтобы эффективная мощность N_эф , затрачиваемая на процесс резания, не превышала мощности, подводимой к шпинделю плоскошлифовального станка, то есть выполнялось условие:

N э _Ф <  N шп , (5) где N_эф - эффективная мощность резания, кВт; N шп - мощность, подводимая к шпинделю плоскошлифовального станка, кВт.

Для определения эффективной мощности при плоском шлифовании периферией круга на станке с прямоугольным столом за основу взята формула, приведенные в работе [24]. В уточненном виде эту формулу можно представить как

N э_Ф = 0,бз (« д S x S t x У ^0,7 s * ^0,25 k N k N k 3 N , (6) где k 1 , k³, k 3 - поправочные коэффициенты, учитывающие влияние соответственно изменения твердости шлифовального круга, физикомеханических свойств группы сталей и сплавов, к которой относится обрабатываемый материал, и конструкции круга на эффективную мощность.

Отличие уточненной формулы (6) от базовой формулы, приведенной в работе [24], состоит в том, что в формулу (6) введен коэффициент k 3 . Результаты исследований, представленные в работах [17-19, 26], показали, что использование на операциях шлифования абразивных кругов специальных конструкций с прерывистой режущей поверхностью (прерывистых, композиционных, комбинированных [18]) взамен сплошных позволяет уменьшить эффективную мощность шлифования примерно на 20...25%. Поэтому, исходя из ранее изложенного, коэффициент k з для сплошных кругов следует принять равным 1, для прерывистых и комбинированных кругов - 0,75-0,85 и для композиционных кругов - 0,7-0,8.

Подставив в неравенство (5) формулу (6) и N _шп = N _зд._шп П после преобразования и решения относительно и _дS x S t второе техническое ограничение получим в следующем виде:

D ⁰,⁷ЛПУ I⁰,⁷ 6 )^0,7<  ¹⁰ ' N ^зд . ^шпП

Ограничение, связанное со среднеконтактной температурой шлифования . При шлифовании выделяется значительное количество теплоты, что обусловлено большими скоростями резания. Анализ результатов исследований, представленных в работах [7, 16, 21, 27 и др.], показывает, что состояние поверхностного слоя прошлифованных деталей определяется не только среднеконтактной температурой, которая имела место в процессе обработки, а всем пространственно-временным температурным полем. В связи с этим введение в математическую модель для определения рациональных условий обработки при плоском шлифовании технического ограничения по температуре, в качестве которой в первом приближении может использоваться температура, соответствующая точке А _с - аллотропического изменения материала, является обязательным, но не достаточным условием. Нахождение области рациональных условий обработки, исключающих возможность возникновения структурных и фазовых превращений в поверхностном слое прошлифованных заготовок, предполагает использование как результатов исследования кинетики тепловых процессов, так метастабиль-ных диаграмм состояния материалов.

Исходя из ранее изложенного, должно выполняться условие

9 _тах <  е _кр , (8) где 0 _max и 9 _кр - соответственно максимальная среднеконтактная и критическая температуры в зоне резания, ^оС.

Максимальную среднеконтактную температуру можно определить по формуле

^ max = 0 0 +A ^ max , (9) где 0 0 - начальная температура поверхности заготовки, ^оС; A 0 _max - максимальное приращение температуры поверхности заготовки в зоне контакта за счет тепла, выделяющегося при шлифовании, ^оС.

После подстановки в неравенство (8) формулы (9), получим техническое ограничение, связанное с температурой шлифования:

А * ™ <  9 кр — 9 0 . (10)

Максимальное приращение температуры поверхности заготовки в зоне контакта определим по формуле, приведенной в работе Сипай-лова В.А. [16], которая имеет вид:

Д9 пах = ²q^ ,           (11)

Л пид где q - плотность теплового потока, Вт/м2; К -коэффициент теплопроводности, Вт/(м*К); a - коэффициент температуропроводности, м2/с; LK - длина дуги контакта круга с заготовкой (деталью), м; ид - скорость движения (продольная) стола шлифовального станка, м/с.

Плотность теплового потока при шлифовании заготовок, в частности плоском периферией круга, может быть определена по следующей формуле:

q = N A ^kQ = Av ■ •

FK       LK • BK где q - плотность теплового потока, Вт/м2; Nзф - эффективная мощность, Вт; FK - площадь контакта круга с заготовкой, м2; LK - длина дуги контакта круга и заготовки, м; ВК - высота шлифовального круга, м; kQ - коэффициент, показывающий, какая доля выделившейся при шлифовании тепловой мощности поступила в заготовку.

В условиях плоского шлифования заготовок периферией круга значения коэффициента k _Q следует принимать равными: 0,88 - при обработке коррозионно-стойких, жаростойких и жаропрочных сталей, 0,85 - при резании жаростойких и жаропрочных сплавов на никелевой основе и 0,86 - при обработке титановых сплавов.

В формуле (12) эффективная мощность, затрачиваемая на процесс шлифования, рассчитывается по эмпирической зависимости (6), в которой значения параметров В_К и и _д задаются соответственно в мм и м/мин, поэтому в формулах (11) и (12) значения L_K , B_K и и _д также следует задавать в мм и м/мин, введя соответствующие переводные коэффициенты. Тогда формула (11) после подстановки в нее формул (12) и (6), с учетом того, что L_K = ^ D_KS t (где D_K - диаметр шлифовального круга, мм), примет вид:

5,508 • 10 ^7,5 и °^1,2 S_x ^0,7 S °’⁷ а^0,5 k^ N k ^ k f

Д9 =--------- ^д "‘x^.—Q ¹²³ .(13)

AB_K ^0,75 D_K¹²¹⁵

К К

При плоском шлифовании заготовок кругами с прерывистой режущей поверхностью, также как и при других видах шлифования данными абразивными инструментами, наблюдается существенное снижение среднеконтактной температуры в зоне резания по сравнению со среднеконтактной температурой, имеющей место при шлифовании кругами со сплошной рабочей поверхностью [18]. Влияние конструкции круга на среднеконтактную температуру оценивается посредством коэффициента k3θ (см. формулу 13). Данный коэффициент введен в формулу (13) вместо коэффициента k3N (см. формулу 6), так как он более корректно учитывает факторы, влияющие на снижение температуры. Средние значения коэффициента k3θ , полученные на основе обобщения результатов исследований, приведенных в работах [1, 9, 18, 22, 25] для случая шлифования заготовок кругами различных конструкций твердостью J…L с применением СОЖ, подаваемой свободно падающей струёй, равны: 1 – для сплошных кругов, 0,75-0,85 – для прерывистых и комбинированных кругов и 0,60,7 – для композиционных кругов.

Подставив формулу (13) в неравенство (10), после соответствующего преобразования и решения относительно и _дS x S t получим третье техническое ограничение:

и ⁰² ( 10S_x ) ^0,7 ( 1000S_t ) ^0,45 <

0,1816 ■ 10 ^{- 5,45} 2 B “’ ⁷⁵ d 0’ ²⁵ ( У _кр - 6 0 )

. (14)

делено по формуле, приведенной в работе [18] и адаптированной применительно к процессу плоского шлифования

/ х 0,5z s \0,25

Ra = C_r I -^ I I I x ( 60 U k J ( D k J

( s V’⁵

x I_n^x- I   k °₆⁵_щ k Ra d °;р n ^{m Ra} ,

I ^Bk J

где Ra – среднее арифметическое отклонение профиля, мкм; C Ra ,m_Ra - коэффициент и показатель степени, зависящие от группы, к которой принадлежит обрабатываемый материал; D_к – диаметр круга, применяемого при шлифовании, мм; k_общ – коэффициент, учитывающий влияние марки абразивного материала, поверхностной пористости [14] и структуры круга, а также условий его правки на формирование шероховатости поверхности; при обработке сталей и сплавов кругами из электрокорунда твердостью J…L и структурой 6…8 k_общ можно принять равным 0,2942, а при обработке титановых сплавов кругами из карбида кремния (черного или зелёного) вышеуказанной твердости и структуры k_общ можно принять, соответственно, равным 0,2148; k _Ra – коэффициент, учитывающий влияние конструкции круга на шероховатость поверхности, значение которого равно: 1 – для сплошных кругов, 1,15 – для прерывистых и комбинированных кругов и 1,25 – для композиционных кругов; d_зер – размер зерна, мм; n – число ходов выхаживания.

После несложного преобразования и выражения зависимости (17) относительно и _дS x S t x пятое техническое ограничение примет следующий вид:

иД'⁵ ( 10S _x ) ^0,5 ( 1000S _t- ) ⁰’²⁵ <

< Ra ( 6Д ■ 1O u _к B _к)^o’5 ( 1OOOD _к)^o’25

"     CRa ( k _o6m d _3ep ) ⁰'⁵ k Ra n ™^Ra

Ограничения, связанные с кинематическими возможностями станка . При плоском шлифовании периферией круга на станках с прямоугольным столом скорость движения стола, поперечная подача на один ход стола и подача на глубину на один ход стола должны быть ограничены, соответственно, наибольшей и наименьшей скоростью движения стола, а также наибольшей и наименьшей поперечными подачами и подачами на глубину, приведенными в паспорте станка. Тогда технические ограничения, обусловленные кинематическими возможностями станка, будут иметь вид:

где υ – максимальная скорость движения стола ст jjhk а, м/мин;

10^ >  10 Sx„ , (21) где S_{xcm min} - минимальная поперечная подача станка, мм/ход;

10 У. <  10 У

х cm max ,

где У_{х cm max} - максимальная поперечная подача станка, мм/ход;

1000 S , >  1000 S m ,       (2 3)

где S t _{cm min} - минимальная подача на глубину станка, мм/ход;

1000 S t x <  1000 S t x cm max ,         (24)

где S - максимальная подача на глубину t x uni max станка, мм/ход.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Представленные ранее целевая функция и технические ограничения позволяют с определенной степенью точности описать процесс резания заготовок абразивным инструментом и построить математическую модель для определения рациональных условий обработки на операциях плоского шлифования заготовок периферией круга на станках с прямоугольным столом. Учитывая то, что целевая функция и технические ограничения могут быть приведены к линейному виду, то, следовательно, математическая модель также может быть получена в виде линейной (целевой) функции и системы линейных ограничений-неравенств, решаемых методом линейного программирования [3-5, 8]. В том случае, если уравнения целевой функции и технических ограничений или хотя бы одно из них будет представлять собой полином n -го порядка, то решение задачи будет осуществляться итерационными (поисковыми) методами.

Математическую модель для процесса плоского шлифования можно также представить в графическом виде. В этом случае каждое техническое ограничение-неравенство представляется граничной прямой, которая определяет полуплоскость, где возможно существование решений системы ограничений-неравенств. Граничные прямые, пересекаясь, образуют многоугольник решений, внутри которого любая точка удовлетворяет всем неравенствам.

Аналитическое или графическое решение полученной системы линейных уравнений, при заданных определяющих и управляемых параметрах, позволит на стадии проектирования технологического процесса определить рациональные условия обработки на операциях плоского шлифования заготовок периферией круга на станках с прямоугольным столом.

Для получения системы линейных ограничений-неравенств и линейной целевой функции, моделирующей процесс плоского шлифования периферией круга на станках с прямоугольным столом, прологарифмируем зависимости (4), (7), (14), (16), (18-24) и (2), которые после введения обозначений будут иметь вид

2 x ₁ +    2 x ₂ + 2 x ₃ <  b ₁ ;

0,7 x ₁ + 0,7 x ₂ + 0,7 x ₃ < b ₂ ;

0,2 x ₁ + 0,7 x ₂ + 0,45 x ₃ <  b ₃ ;

x ₁ + x ₂ + x ₃ <  b ₄ ;

0,5 x ₁ + 0,5 x ₂ + 0,25 x ₃ <  b ₅ ;

x1                     > b6;

x1

x 2

x 2

^x 3 >  ^b 10^;

x 3 <  b n;

f0 = c0 -x1 - x2 - x3, где

% j = In и ; x ₂ = ln ( 10 S_x ) ; x ₃ = In ( 1000 S t ) ;

b₁ = In

0,35 -108BK kTktkt. b = h 102,8 • N3».J.

TK       1 2 3 ’ 2 1 0,63BK0’25kNkNk3N ’ b = l 0,1816 • 10-5,45AbK’15D0;24eKp - ®g)

³ = ⁿ        a °,⁵ K Q K ^K N K ®

CsDka0,32-104.

^b 4 = ^ln     T o,7₅      ^KH^KB^Kl A D ^ 6 ^KM ;

₌   Ra ( 60 ЛОиД ) ^0,5 ( 1000 D k )^0,b .

b5 "      C„.(J,5 k„„-Ra'

a w^^ ^cpix

• ^b 6 = ^{ln U} » . cm min ; ^b 7 = ^ln 4 ) . cm max ;

• ^b 8 = ^ln ( ¹⁰ S xcm min ) ; ^b 9 = ^{ln ( 10} S x cm max ) ;

b _w = ln ( 1000 S t x cm min ) ; b _n = ln ( 1000 S t x cm max ) ;

• _r            . 11 ^ L_MB _M A

• f ) = ln 1 0 ; c 0 = ^ln ^^ .

q _d

Полученная система линейных ограничений-неравенств (25) и линейная функция f ₀ представляют собой математическую модель для определения рациональных условий обработки при плоском шлифовании периферией круга на станках с прямоугольным столом.

Решение задачи может быть существенно упрощено за счет приведения системы (25) с тремя неизвестными к системе с двумя неиз- вестными, в результате чего аналитическое и графическое решение задачи будет осуществляться в двухмерном пространстве. Для проведения преобразований выразим x1 из ограничения-неравенства, связанного с температурой шлифования:

x1 = 5b3 — 3,5 x 2 — 2,25 x3, после чего, подставим его значение во все остальные неравенства системы (25). Выбор данного ограничения-неравенства обусловлен тем, что среднеконтактная температура при шлифовании весьма часто является основным ограничивающим фактором при определении условий обработки. В результате получим новую систему, содержащую два неизвестных x2 и x3 :

• —    5 x 2 — 2,5 x з <  b ^ — 10 Ь з

• — 1,75 x ₂ — 0,875 x ₃ <  b ₂ — 3,5 b ₃

• —    2,5 x ₂ — 1,25 x ₃ <  b ₄ — 5 b ₃

• — 1,25 x ₂ — 0,875 x ₃ <  b ₅ — 2,5 b ₃

• —    3,5 x 2 — 2,25 x 3 >  b ₆ — 5 b 3

^

• —    3,5 x 2 — 2,25 x 3 <  b 7 — 5 b 3

x 2

x 2

x 3

x 3

f ₀ = c ₀ — 5 b₃ + 2,5 x ₂ + 1,25 x ₃ .

Так как применительно к конкретной задаче c ₀ — 5b₅ является величиной постоянной, то f 0 достигнет своего минимального значения в том случае, когда примут минимально допустимые значения неизвестные x ₂ и x ₃ , удовлетворяющие системе ограничений (26).

ВЫВОДЫ

• 1.    На основе анализа и обобщения литературных данных, а также собственных исследований авторов определена целевая функция и получены технические ограничения на операции плоского шлифования периферией круга на станках с прямоугольным столом.

• 2.    Разработана математическая модель для определения рациональных условий резания (конструкции и характеристики инструмента, режимов резания, СОТС и т.д.) на операциях плоского шлифования периферией круга.