Математическая модель глобального социально-экономического развития

В настоящее время, в связи с глобальными изменениями климата, угрозой перенаселенности Земли, нарушением экологического равновесия и исчерпанием мировых запасов основных невозобновляемых ресурсов на планете, большое внимание уделяется вопросам прогнозирования тенденций развития мировой социально-экономической системы (МСЭС). Вследствие этого актуальной является разработка математических моделей глобальной динамики, описывающих вышеперечисленные аспекты мирового развития, а также создание на их основе систем поддержки принятия решений, которые могут позволить найти закономерности максимально долгого, по возможности бескризисного, функционирования мировой системы и принятия обоснованных управленческих решений.

При моделировании динамики МСЭС можно выделить два основных подхода – имитационный и оптимизационный. Имитационные модели, как правило, являются детализированными и позволяют подробно учесть законы функционирования мировой системы, однако не только не дают возможности относительно быстро выйти, но и не гарантируют выход на оптимальные или даже субоптимальные траектории развития. Кроме того, для анализа моделируемых процессов имитационные модели требуют обработки огромного количества независимых экспертных, статистических, экспериментальных данных. Оптимизационные модели без значительных затрат на имитационный перебор вариантов обеспечивают поиск наилучшего сценария развития, показатели эффективности которого в рамках выбранной модели превзойти не- возможно. Кроме того, при наличии нескольких лиц, принимающих решения, оптимизационная постановка описывает наилучшие, в смысле заданных критериев, стратегии развития МСЭС, учитывающие компромисс интересов нескольких экономических агентов. Имитационный подход используется, например, в работах [1–3], а оптимизационный – в ряде моделей, представленных в [3]. Достаточно широкий обзор по тематике глобального моделирования приведен в статье [4] и монографии [5].

В публикации [6] рассмотрен оптимизационный подход к моделированию глобального социальноэкономического развития, поскольку предполагается, как и у авторов работы [3], что у общества есть возможность осознанного выбора стратегии развития с помощью управляющих воздействий на МСЭС. Содержательный смысл рассматриваемой задачи можно сформулировать в следующем виде. Необходимо найти такое распределение инвестиций в основные производственные фонды (ОПФ) мировой экономической системы, количество произведенной в каждый момент t продукции каждой производственной отрасли, текущие инвестиции мирового производственного сектора на снижение уровня загрязнений (CO 2 , фреон и др.) с учетом запасов продукции, количества невозобновляемых ресурсов, накопленных загрязнений, численности населения, интересов основных экономических агентов (максимизация их собственных средств) и времени бескризисного существования МСЭС, при которых достигаются Парето-точки в пространстве критериев экономических агентов.

Таким образом, в [6] предлагается на основе единого экономического и математического ядра концепция математического моделирования МСЭС как задачи оптимального управления, описываемой в классе многокритериальных многошаговых задач линейного программирования (ММЗЛП). В моделях, представленных в работах [1–3], как правило, заранее не выделяются ограничения и критерии функционирования МСЭС, а исследуется вопрос, удовлетворяет ли фазовая траектория системы в своем развитии некоторым апостериорным экономическим, экологическим и социальным ограничениям, и если они нарушены, то можно ли ее вернуть в рамки этих ограничений (решается задача «возврата к пределам роста» по Медоузу [2]). В отличие от указанных работ, существенным концептуальным положением предлагаемого подхода является априорный учет наиболее значимых из перечисленных ограничений мировой системы, которые определяют допустимые варианты ее функционирования. В частности, одной из главных задач при изучении развития МСЭС, по нашему мнению, является построение ее простой и качественно адекватной математической модели, отражающей зависимости наиболее существенных параметров этой системы. При этом, в соответствии с ключевой идеей первых авторов глобальных моделей [1; 2] здесь не ставится задача получения и точного количественного прогноза изменения показателей МСЭС в динамике, а выясняются будущие тенденции этой системы и условия, при которых они реализуются.

Следует отметить мнение ряда исследователей, что для МСЭС (в отличие от ее подсистем) трудно сформулировать критерии ее функционирования как единой системы [2; 3; 7]. Вместе с тем, в современных условиях развития МСЭС существует хотя бы один, несомненно, значимый критерий – максимизация времени ее жизни (выживания). Это свидетельствует об актуальности и целесообразности применения оптимизационных, в особенности многокритериальных, моделей развития МСЭС, включающих, например, такие условия, как максимизация остатка ресурсов, минимизация загрязнений, максимизация собственных средств экономических агентов и т. п.

Рассмотрим математическую постановку задачи. Перечислим предварительно некоторые предпосылки, упрощающие моделирование развития МСЭС:

• 1)    рассматриваются три агрегированных экономических агента МСЭС – производитель, потребитель и управляющий центр;

• 2)    каждая отрасль мирового производственного сектора производит лишь один продукт (принцип чистых отраслей);

• 3)    из всех видов налогов рассматриваются лишь налог на добавленную стоимость (НДС) производственного сектора и налог на доходы физических лиц (НДФЛ) потребительского сектора, которые предполагаются едиными для всей планеты, что обеспечивает равные экономические возможности для экономических агентов всех государств [8], из которых и складываются денежные средства управляющего центра;

• 4)    учитываются лишь невозобновляемые ресурсы, поскольку в соответствии с [2] один из прогнозируемых в ближайшем будущем кризисов мировой экономики объясняется исчерпанием какого-либо из основных мировых ресурсов (нефти, железа и т. п.);

• 5)    в первом приближении пренебрегаем запаздываниями влияния одних факторов на другие (например, влиянием накапливаемых производственных выбросов, в частности парниковых газов, на экологию [2]), хотя их учет и возможен за счет увеличения количества фазовых переменных модели;

• 6)    рассматриваются линеаризованные (т. е. приближенные) уравнения, выражающие фактически нелинейные зависимости между основными показателями развития мировой системы, что позволяет создать простую качественную (феноменологическую) модель, отражающую их взаимное влияние. Например, с увеличением уровня загрязнений численность населения убывает, а с увеличением инвестиций на компенсацию загрязнителей уровень этих загрязнений снижается, что согласуется с качественными результатами, полученными по моделям из [1; 2].

С учетом приведенных предпосылок задачу управления глобальным социально-экономическим развитием можно описать в виде линейной задачи оптимального управления – ММЗЛП в стандартной постановке [9]:

X k ( t + 1) = (1 - 1/ T k ) x k ( t ) + u k ( t ) ( k = 1,..., K ), x K + k ⁽ t ⁺ 1) = ^{(1 -} n k ) ^XK + k ⁽ t ) - a k x 3 к + 1 + J + 1 ⁽ t ) -- E d ks U K + , ( t )( - = 1,..., K ), s = 1

^X 2 K + k ⁽ t ⁺ 1) = ^X 2 K + k ⁽ t ) ⁺ u K + k ⁽ t ) ⁽ k = ¹ ,..., ^K ), x з k + i ⁽ t ⁺ 1) = x з k + i ⁽ t ) ^- E b ik u K + k ⁽ t ) ⁽ i = ¹ >-> ¹ ) k = 1

^X 3 K + 1 + j ⁽ t ^{+ 1)} = ^X 3 K + 1 + j ⁽ t )

K

-E cjkuK + k (t) - eju2K+j (t) ( j = 1,..., J), k =1

K

^X 3 K + 1 + J + 1 ⁽ t + ¹⁾     E ^X k^X 2 K + k ⁽ t ) + ^{Z X} 3 K + 1 + J + 1⁽ t ), ⁽¹⁾

k = 1

K

X3 K+1+J+2 (t + 1) = E PkXK+k (t) + k =1

K     IK

(1 -P1 -P)E akPk-EEb^Pi k =1              i =1 k=1

X

KJ

⁽ t ) ^{+ X} 3 K + 1 + J + 2 ⁽ t ) - E uk ⁽ t ) ^- E u 2 K + j ⁽ t ),

^{X X} 3 K + 1 + J + 1

k = 1

j = 1

X 3 K + 1 + J + 3 ( t + 1) = ( a + в ^{- 1})El a k^Pk x 3 K + 1 + J + 1 ( t ) ⁺

+ ^{(1 -} P 2 ) x 3 K + 1 + j + 3 ⁽ t ) +- V ^X 3 K + 1 + J + 4 ⁽ t ),

• ^X 3 K + 1 + J + 4 ^{( t + 1)} = ⁽ P 1 ^{- a )} E ^ak^Pk x 3K + 1 + J + 1 ⁽ t ) ⁺ P 2 ^X 3 K + 1 + J + 3 ⁽ t ) ⁺ + (1 -V ) X 3 K + k + J + 4 ( t )( t = 0,..., T - 1);

• ^X 3 K + 1 + J + 5 ⁽ t ^{+ 1)} = ^X 3 K + 1 + J + 5 ⁽ t ) ^{+ 1 (} t = ⁰ , ..., ^{T - 1)} ;

x - (0) = x k ( k = 1,...,3 K + 1 + J + 4), X 3 K + 1 + J + 5 (0) = 0; (2) x 3 к + 1 + j + m ( t ) ^ 0( m = 1,...,4; t = 0,..., T ),

U k ₊ k ( t ) <  a k x 3 к ₊ 1 ₊ j + i ( t ) ( k = 1,..., K ; t = 0,..., T - 1),

U k + k ( t ) < 8 k X k ( t )( k = 1,..., K ; t = 0,..., T - 1), X k + k ( t ) > 0( k = 1,..., K ; t = 0,..., T ),        (3)

x з к + 1 +. j ( t ) >  ° ( j = 1,..., J ; t = °,..., t ), x з к + i (T ) >  0( i = 1,..., I ),

Z v ₂ к + k ( T ) <  CA v ( j = 1,..., J ); k = 1

u_k ( t ) > 0( k = 1,..., 2 K + J ; t = °,..., T - 1);     (4)

J i = x з к + i ( T ) ^ max ( i = 1, •••, I ),

K

^Ji + j = Z c jk x 2 к + k^(T ) ^ min ^{( j} = 1,..., ^J ), k = 1

^JI + J + 1

T - 1 K

ZZ

t = 0 k = 1

P k ⁽ a k x 3 K + 1 + J + 1 ⁽ t ) ^{- U}K + k ( t ))

(1 + r ( t )) t

min,

^JI + J + m

T - 1

=Z

t = 0

^[ x 3 к + 1 + J + m ⁽ t ⁺ 1)   x 3 K + 1 + J + m ( t )]

[1 + r ( t )] t

■»

^ max ( m = 2, ...,4),

^ji + J + 5 = ^x 3 к + 1 + J + 5 ^{( T} ) ^ max,

где u_k ( t )( k = 1,..., K ; t = 0,..., T - 1) - инвестиции в основные производственные фонды (ОПФ) k -й отрасли; u_{K + k} ( t )( k = 1,..., K ; t = 0,..., T - 1) - количество произведенной в момент t продукции k -го вида; u 2 K ₊ j ( t )( j = 1,..., J ; t = 0,..., T - 1) - текущие инвестиции мирового производственного сектора на снижение уровня j -го загрязнителя (метана, CO и т. п.); x_k ( t ) – накопленная к моменту t стоимость ОПФ k -го типа; x_{K + k} ( t )( k = 1,..., K ; t = 0,..., T ) - количество запасов продукта k -го вида на момент t ; x 2 _{K +} k ( t ) ( k = 1,..., K ; t = 0,..., T ) - количество произведенного продукта k -го вида на момент t ; x 3 _{K +} i ( t )( i = 1,..., I ; t = 0,..., T )- количество невозобновляемого ресурса i -го вида на момент t ; x _{3 K +} I ₊ j ( t )( j = 1,..., J ; t = 0,..., T )- количество (объем) загрязнителя j -го вида, накопленное к моменту t ; x 3 _{K +} I ₊ J + i ( t ) ( t = 0,..., T ) - численность населения, прогнозируемая к моменту t ; x 3 _{K +} I ₊ J ₊ m ( t )( m = 2, ...,4; t = 0,..., T ) - текущие денежные средства производственного и потребительского секторов и управляющего центра в момент t соответственно; x _{3 K +} I ₊ J _{+ 5}( t )( t = 0,..., T ) - текущее время (время бескризисного существования) МСЭС; x k ( k = 1, ...,3 K + 1 + J + 4) - значение k -й фазовой переменной в начальный момент времени; a_k ( k = 1,..., K ) - норма среднедушевого расхода продукта k -го типа; b i _k ( i = 1,..., I ; k = 1,..., K ) - норма расхода i -го ресурса при производстве единицы продукта k -го типа; C j_k ( j = 1,..., J ; k = 1,..., K ) - количество j -го загрязнителя, появляющееся при производстве единицы продукта k -го типа; d_ks ( k = 1,..., K ; s = 1,..., K ) - количество продукта

k-го вида, затрачиваемое на производство единицы продукции s-го типа; ej (j = 1,..., J) - количество убыли загрязнителя j-го вида, обусловленной инвестициями производственного сектора в одну денежную единицу на его компенсацию; Cj (j = 1,..., J) -максимально допустимая (для выживания человечества как биологического вида) концентрация загрязнителя j-го типа; Pi,Pk (i = 1,..., I; k = 1,..., K) - соответственно, стоимость добычи единицы ресурса i-го вида и хранения единицы продукции k-го типа (за 1 период); xk (k = 1,...,K) - величина абсолютной убыли населения при суммарном росте уровня всех загрязнителей в связи с увеличением производства продукта k-го типа на единицу; Z = 1 + V, где v - темп прироста (убыли) населения; 8k = — (k = 1,...,K) -ck относительная эффективность ОПФ k-го типа; Пk е [0;1](k = 1,..., K) - доля потери продукции k-го типа за 1 период в связи с хранением; Vk,Tk,ck и Pk (k = 1, ..., K) – производительность, срок службы, стоимость единицы ОПФ и стоимость единицы продукции k-го типа соответственно; АV « 4пRh[R + h] -объем слоя атмосферы Земли, в котором учитывается накопление загрязнителей, h « 20...30 км - средняя высота этого слоя [2], а R « 6 3 70...6 400 км - средний радиус Земли; I, J, K – соответственно, количество видов ресурсов, типов загрязнителей, выбрасываемых производственным сектором в окружающую среду, а также видов производимой им продукции (отраслей); ае [0;1] - доля стоимости мирового валового продукта (выручки от реализации производственного сектора), оплачиваемая планетарным управляющим центром; Р е [0; 1] - доля выручки от реализации производственного сектора, выделяемая на фонд оплаты труда (ФОТ) потребительского сектора; уе [0;1] -доля доходов планетарного управляющего центра, выделяемая на ФОТ потребительского сектора; р1, р2 -ставки НДС и НДФЛ производственного и потребительского секторов соответственно; T и r(t) – соответственно, срок действия инвестиционного проекта и ставка дисконтирования в момент t (прогнозируемый уровень инфляции); rk(t) (k = 1, ..., K) – ставка дисконтирования, отражающая приоритетность продукта k-го типа в момент t в ассортименте производимой продукции.

Дадим краткую содержательную характеристику условий (1)–(5). Уравнения (1) являются, соответственно, уравнениями динамики стоимости ОПФ отраслей производственного сектора, количества запасов и произведенного продукта каждого вида, количества невозобновляемых ресурсов и загрязнителей всех типов к моменту t , а также численности населения и собственных средств производственного, потребительского секторов и управляющего центра, а также дискретного времени системы. Условия (2) выражают

начальное состояние МСЭС. Первое ограничение в условии (3) содержательно означает неотрицательность численности населения и денежных средств рассматриваемых мировых экономических агентов, а 2-е и 3-е условия – что количество произведенной продукции не превышает спроса МСЭС по каждому виду продукции в любой момент времени и производственных мощностей соответствующей отрасли; 4, 5 и 6-е ограничения в условии (3) означают неотрицательность текущих запасов продукции и объемов выбросов загрязнителей, а также запасов невозобновляемых ресурсов всех видов в конечный момент; смысл 7-го ограничения в условии (3) заключается в том, что количество загрязнителя каждого вида в момент Т окончания проекта не превосходит предельно допустимого объема. Условия (4) отражают неотрицательность управляющих переменных в каждый момент времени.

Содержательный смысл 1-й группы из I условий в выражениях (5) заключается в необходимости оставить будущим поколениям максимальное количество ресурсов всех видов; 2-я группа из J соотношений означает минимизацию количества всех загрязнителей; 3-й критерий минимизирует суммарный дисбаланс между спросом и предложением МСЭС; 4-я группа из трех следующих условий состоит в максимизации чистого дисконтированного дохода (NPV) основных экономических агентов МСЭС, а 5-е – означает максимизацию времени жизни системы.

Существенным аргументом разработки модели глобального развития в виде ММЗЛП является возможность создания системы поддержки принятия управленческих решений, объединяющих математические модели МСЭС, методы их исследования и программное обеспечение автоматизированной информационной системы. В настоящее время нами разработан пакет прикладных программ, использование которого облегчает обработку потоков социально-экономической информации и анализ многокритериальных линейных динамических и статических задач экономического характера [10]. Использование указанного пакета для численного анализа модели (1)–(5) позволит повысить обоснованность принятия решений при управлении мировой системой с учетом интересов многих лиц.

Модель (1)–(5) является обобщением на макроэкономическом уровне модели эффективности регионального экономического развития [11]. Принципиальное отличие предлагаемой модели состоит в том, что спрос по каждому виду продукции уже нельзя трактовать как экзогенно заданную величину, поскольку он зависит от численности населения Земли – основной фазовой переменной модели, которая согласно [2] определяет пределы роста, потребности и необходимые пропорции производства и потребления мировой системы. В то же время, численность населения убывает с ростом загрязнений, что порождает уменьшение глобальной потребительской корзины, а значит, ведет к уменьшению доходов и сворачиванию активности производителя, в конце концов, уменьшая общий уровень загрязнений. Указанная цепочка взаимосвязей, реализуемая в предлагаемой модели, позволяет выявить саморегулирование в МСЭС (как имманентно присущее любой сложной системе свойство), которое может в полной мере проявиться лишь при разумном целенаправленном участии управляющего центра. Поэтому, как отмечается в [5; 12], вера ряда политических и экономических лидеров в то, что рыночная экономика способна самостоятельно справиться с кризисом, является необоснованной.

Необходимо подчеркнуть, что модель (1)–(5), в отличие от моделей в [1; 2], является оптимизационной, т. е. позволяет прогнозировать динамику именно оптимального (в смысле заданных критериев) поведения МСЭС, что сближает ее с некоторыми моделями, предложенными в [3]. Однако в отличие от последних, где критерии качества служат преимущественно лишь для удовлетворения тех или иных ограничений (т. е. построения допустимого управления), в ММЗЛП (1)–(5) изначально включены целевые функции, отражающие качество выбранной траектории развития с учетом интересов рассматриваемых экономических агентов. Более того, по мнению авторов работы [3], нет смысла говорить о каких-либо содержательных целевых критериях социально-экономической системы на макроуровне. Вместе с тем, мы убеждены, что такие критерии, указывающие обществу направления устойчивого развития, должны приниматься во внимание при моделировании глобальных процессов. Например, первые I соотношений в условиях (5) отражают тот факт, что в устойчиво развивающейся мировой экономике необходимо разумно тратить невозобновляемые ресурсы, стараясь оставить как можно более полную ресурсную базу будущим поколениям. Следующие J критериев в условиях (5) учитывают экологическую нагрузку, оказываемую человечеством на мировую экосистему, которую уже нельзя игнорировать в связи с современными масштабами производства. Последняя из целевых функций выражает «срок жизни» (или период беcкризисного развития) МСЭС – показатель качества функционирования всей системы, являющийся глобальным аналогом такой характеристики, как средняя продолжительность жизни человека, рассмотренной в [2]. Остальные условия (5) выражают интересы основных экономических агентов мировой экономики.

Кроме того, отметим, что в отличие от модели в [11] часть переменных, ограничений и критериев качества ММЗЛП (1)–(5) представлены в натуральной, а не в универсальной стоимостной форме. Это объясняется тем, что в соответствии с [12] для понимания законов функционирования глобальной экономики важнее физическое, а не денежное представление некоторых показателей. Например, стоимость единицы невозобновляемого ресурса определяется не только затратами на его добычу (с учетом существующих технологий в добывающей отрасли), но и разведанными на сегодня его мировыми запасами. В свою очередь, некоторые ограничения (3) в нату- ральной форме можно заменить на «стоимостное» представление и наоборот. Например, 2-е условие (3) в «стоимостном» формате примет вид: PkuK+k (t) — akPkx3K+1+J+1 (t) (k = 1, ..., K; t = 0, •••, T - 1), а 3-е неравенство в вещественной форме эквивалентно соотношению PkuK+k (t) — 5kxk (t) (k = 1, ...,K;

PV t = 0,...,T -1), где 5k = Pk5k = k k - максимальная ck фондоотдача ОПФ k-го типа.

При моделировании глобального развития, на наш взгляд, целесообразно заложить в модель предпосылку о равенстве всех членов общества в удовлетворении своих потребностей в пище, одежде, жилье и т. п., так как в противном случае все достижения цивилизации (высокий валовой мировой продукт на душу населения, высокая производительность основных средств, научно-технический прогресс и др.) могут терять смысл из-за угрозы социальных конфликтов и нестабильности развития. В этой связи ММЗЛП (1)–(5) разрабатывалась как модель нормативного характера, в которой используются единые среднедушевые нормы a_k расхода продуктов. С одной стороны, эти нормы отражают равенство возможностей каждого человека в устойчиво развивающейся, социально справедливой экономике для удовлетворения своих насущных потребностей [12–14], а с другой – позволяют снизить либо вовсе исключить чрезмерное (надфизиологическое) потребление ресурсов и продуктов. Важно отметить, кроме того, что, по нашему мнению, любая математическая модель, описывающая социально-экономические взаимодействия, должна решать проблему соответствия предложения спросу как одну из краеугольных задач в социально-экономических системах. В модели (1)-(5) величины a_kx 3 _{K +} I ₊ J _{+ 1}( t ), ( k = 1,..., K ; t = 0,..., T - 1) отражают спрос потребительского сектора на k -й вид продукции в момент t , ограничивающий количество производимой в МСЭС продукции (2-е неравенство в условии (3)). Другим ограничителем роста продукции мирового производственного сектора, очевидно, является ограничение выпуска продукции технологическими возможностями производственного сектора (3-е неравенство в условии (3)).

Построенная модель является задачей линейного оптимального управления, хотя предлагаемая концепция позволяет обобщить ее и на нелинейный случай. Переход к нелинейной модели может повысить ее адекватность количественно, но не изменит качественных закономерностей, возникающих при взаимодействии мирового производителя и мирового потребителя под управлением мирового центра. Таким образом, для предварительного (качественного) анализа в первом приближении можно рассматривать линейный вариант модели развития МСЭС. Очевидно, что для уточнения полученных данных о пропорциях развития и времени жизни МСЭС потребуются значительные объединенные усилия специалистов различ- ных областей знания – экономистов, экологов, социологов, демографов, математиков и др., а также использование высокоэффективных численных методов – генетических и эволюционных алгоритмов, параллельных вычислений и т. п. Отметим, что ММЗЛП (1)–(5) представляет собой лишь математический каркас МСЭС, который можно в дальнейшем агрегировать или детализировать в зависимости от целей исследования, дополняя и модифицируя ее уравнения, ограничения и целевые критерии.

Предлагаемый в данной работе подход позволяет с единых экономических (выбор, принципы описания деятельности, взаимодействий и целевых критериев экономических агентов) и математических (выбор класса ММЗЛП, структуры уравнений движения, ограничений и целевых критериев) позиций описать функционирование МСЭС, а также относительно просто рассматривать многие актуальные и потенциальные вопросы ее развития – ресурсные и экологические ограничения, бескризисность, взаимодействие нескольких экономических агентов и т. п.