Математическая модель оптимизации распределения технологических операций на предприятии

Современное производство, в том числе наукоемкое, все чаще сталкивается с нестабильностью. Ассортимент может меняться, загрузка оборудования идти волнообразно, особенно для небольших производственных предприятий склонных к кризису роста. Вполне естественно, что лица, принимающие решения, стремясь как-то упорядочить процессы, пересматривают логистику, пробуют перераспределять ресурсы, иногда даже радикально. Один из возможных шагов - частичная (а порой и почти полная) замена имеющегося оборудования на более современные аналоги. Теоретически это обещает выигрыш и по времени, и по деньгам. Но – что важно – подобные решения требуют внятной численной базы. И именно здесь математическое моделирование выходит на передний план, поскольку является реальным инструментом при принятии логистических производственных решений.

Вопрос о том, как именно распределить операции между различными типами оборудования, вполне можно перевести в задачу линейного программирования, где каждая операция рассматривается как некое задание, которое должно быть передано одному из альтернативных ресурсов. Обычно эти ресурсы различаются по времени выполнения и стоимости. Что характерно, в ряде работ (например, в [1]) подчеркивается: само по себе распределение - лишь часть задачи. Важно учитывать и технологические связи между операциями, и ограничения на их возможное объединение. Все это влияет на результат не меньше, чем производственные мощности. Применение таких моделей позволяет не просто «перераспределить» задачи, а увидеть, при каких условиях использование современного оборудования действительно дает экономический эффект - с учетом полного расчета по времени и затратам.

Один из показательных случаев - когда операции, ранее выполнявшиеся на различных универсальных станках, переносятся на новое оборудование. Сама по себе такая замена может выглядеть очевидной, однако на практике она требует перерасчета многих параметров: от возможности технологического совмещения операций до различий в стоимости минуты обработки. Помимо этого, важно учитывать возможные перестановки в порядке выполнения. В работе [2] предлагается подход, где ключевым становится не сокращение затрат как таковых, а сбалансированность всего производственного процесса. Такой подход, разумеется, применим и там, где цель все же связана с минимизацией затрат, но при этом объем выпуска должен оставаться сбалансированным.

вариантами обработки. Если это сделано невнятно - результат может быть далек от оптимума. Зато если модель достаточно точна, перераспределение операций может не просто сократить затраты, но и снять избыточную нагрузку с перегруженных участков - что, в общем-то, не менее важно.

Стоит учитывать, что даже при явном выигрыше по времени далеко не каждое предприятие может позволить себе перенести все операции на более производительное оборудование. Причины здесь разные. Иногда - нехватка мощностей, иногда - экономические соображения. Новая оснастка стоит недешево, а еще бывают сложности с переналадкой, программированием, не говоря уже о необходимости переобучения персонала. Кроме того, станки с ЧПУ не всегда выгодны - при малых объемах или сложной номенклатуре их использование может попросту не окупиться. Поэтому на практике может сохраняться так называемый смешанный режим: часть операций по-прежнему остается за универсальными станками. И это, в общем-то, вполне рационально.

Чтобы корректно описать, какое оборудование используется для выполнения операций, в модели применяются бинарные переменные. Они позволяют задать не только выбор маршрута, но и учесть, как операции соотносятся между собой технологически. Бывает, что несколько операций можно выполнить последовательно на одном станке - без смены оснастки или переналадки. В таких случаях логично объединять эти операции внутри модели. Разделение между станками в подобных случаях нарушает саму технологическую логику. В работе [3] подчеркивается важность этого момента: учет технологических связей становится ключевым элементом в построении реалистичных и выполнимых оптимизационных решений.

Для постановки задачи оптимального распределения технологических операций между различными типами оборудования введем следующие обозначения:

i e {1,2,..., n} - индекс технологической операции, где n - общее количество операций;

х^унив , х ^ ^у e {0,1} - бинарные переменные, отражающие выбор оборудования для выполнения операции i :

хУнив = 1 , если операция выполняется на универсальном станке;

х' Ч ^11У = 1 , если операция выполняется на станке с ЧПУ;

унив ЧПУ при этом x   + xi   _ 1;

t^yHue , t^4y - нормативное время выполнения i -ой операции на соответствующем типе оборудования;

унив ЧПУ

s i , s_t - нормативная стоимость выполнения i -ой операции на универсальном и ЧПУ-оборудовании соответственно;

P = {( j , k )} - множество индексов пар операций, допускающих объединение в рамках одного сеанса наладки на ЧПУ-оборудовании;

Л - максимально допустимое относительное увеличение совокупных затрат при использовании ЧПУ-оборудования по сравнению с базовым сценарием.

Тогда временные затраты на выполнение всех операций можно выразить следующим образом:

n

T _ £(tyHue • хунив + t™ • хЧПУ).

i = 1

Соответственно, задача минимизации общего времени обработки может быть сформулирована как задача линейного программирования:

£ (tyHue • хунив + t™ • x™) ^ min.

i = 1

При следующих ограничениях:

х^унив + x^ = 1, V i e {1,2,..., n } ;

х Ч ^Пу = х Ч ^ПУ , V ( j , k ) e P ;

£(si-™ • x^ + s^ • x^) < (1 + Л) • £уунив; i=1                                                                      i=1

х^унив , x™ e {0,1}, V i .

В ограничении (3) задается условие: каждая операция должна быть выполнена только на одном типе оборудования. То есть либо на универсальном станке, либо на ЧПУ - без параллельных работ.

Ограничение (4) вводится для учета возможности объединения отдельных операций, например, при использовании ЧПУ-станков. Такие объединения допустимы, когда несколько операций можно выполнить последовательно без смены оснастки.

Ограничение на затраты (5) задает допустимый относительный прирост стоимости обработки при использовании станков с ЧПУ. И наконец, ограничение (6) определяет, что х^у™^в , х^ - бинарные переменные.

В качестве иллюстрации работы модели приведем пример, основанный на реальных условиях, приближенных к производственной практике предприятия, специализирующегося на обработке металлических деталей. Для анализа были сопоставлены два маршрута механической обработки изделия «Кран запора воздуха»: первый - с использованием универсального оборудования, второй -с применением современной установки с числовым программным управлением (ЧПУ).

В таблице 1 рассмотрим ключевые операции и параметры механической обработки изделия, выполняемом на универсальном оборудовании.

Таблица 1. Параметры обработки на универсальном оборудовании

№	Операция	Время, мин	Стоимость, руб.
1	Сверление отверстия д.15-0,2	0,56	2,76
2	Фрезеровка остатка литника	0,37	1,82
3	Сверление 4 отверстий д.8,5	0,41	2,11
4	Сверление 2 отверстий д.5	0,20	1,03
5	Расточка поверхности д.16	1,10	5,85
6	Расточка паза д.12х3,3	0,88	4,68
7	Нарезка резьбы КГ 1/8	0,12	0,62
8	Нарезка резьбы 3/8	0,11	0,56
	Итого	3,75	19,43

Как упоминалось ранее, при использовании оборудования с ЧПУ некоторые операции допускают технологическое объединение, что, в свою очередь, влияет как на продолжительность выполнения, так и на стоимость самой обработки. Отразим их с ключевыми параметрами выполнения операций на современном станке с числовым программным управлением в таблице 2.

Таблица 2. Параметры обработки на оборудовании с ЧПУ

№	Операция	Время, мин	Стоимость, руб.
1	Сверление отверстия д.15-0,2	1,5	14,16
2	Нарезка резьбы 3/8
3	Фрезеровка остатка литника	1,00	9,44
4	Сверление 4 отверстий д.8,5	0,50	4,72
5	Сверление 2 отверстий д.5	0,17	1,60
6	Расточка поверхности д.16	0,50	4,72
7	Расточка паза д.12х3,3
8	Нарезка резьбы КГ1/8	0,33	3,15
	Итого	4,00	37,79

Из таблицы видно, что в маршруте с применением станка с ЧПУ объединение операций позволяет сократить число наладок и переходов, но при этом стоимость обработки возрастает по сравнению с базовым маршрутом. Впрочем, это не всегда означает неэффективность: при росте объемов и потребности в стабильности времени выполнения маршрут с ЧПУ может оказаться предпочтительнее, особенно если часть операций, как в данном примере, выполняется быстрее.

Следует также отметить, что объединение технологически совместимых операций повлекло за собой изменение последовательности операций по сравнению с маршрутом на универсальном оборудовании. Такое изменение является допустимым с точки зрения производственной логики рассматриваемого изделия и обусловлено отсутствием необходимости в смене оснастки.

Решение задачи проводилось с использованием табличного редактора Microsoft Excel, в частности, инструментарием «Поиск решения». Результаты решения представлены в таблице 3.

Таблица 3. Результаты решения задачи

№	Наименование операции	Г^ , мин	t^ , мин	V У нив xi	уЧПУ xi
1	Сверление отверстия д.15-0,2	0,56	1,5	1	0
2	Нарезка резьбы 3/8	0,11		1	0
3	Фрезеровка остатка литника	0,37	1,00	1	0
4	Сверление 4 отверстий д.8,5	0,41	0,50	1	0
5	Сверление 2 отверстий д.5	0,2	0,17	0	1
6	Расточка поверхности д. 16	1,10	0,50	0	1
7	Расточка паза д .12x3,3	0,88		0	1
8	Нарезка резьбы КГ1/8	0,12	0,33	1	0

По результатам решения задачи было установлено, что оптимальным является перенос трех операций на оборудование с числовым программным управлением, а именно:

• -    сверление двух отверстий диаметром 5 мм;

• -    расточка поверхности д.16;

• -    расточка паза д.12х3,3.

Остальные операции, несмотря на потенциальную возможность их выполнения на станке с ЧПУ, модель предлагает оставить на универсальном (базовом) оборудовании.

Для наглядности, в таблице 4 приведем сравнение ключевых производственных показателей до и после оптимизации маршрута.

Таблица 4. Сравнение расчетных и фактических показателей

Показатель	Базовый вариант	Расчетный вариант	Изменение
Общее время обработки, мин.	3,75	2,24	-40,26 %
Совокупные стоимостные затраты, руб.	19,43	14,19	-26,96%

Как показывают результаты сравнения, перенос части операций на оборудование с ЧПУ действительно может позволить существенно сократить общее время обработки - на 40 % (с 3,75 до 2,24 мин). Однако несколько неожиданным оказался итог по совокупным затратам. Стоимость отдельных операций на ЧПУ, как правило, выше - и это было заранее учтено в модели через ограничение (5) на допустимый относительный прирост. Несмотря на это, расчётный маршрут оказался экономичнее. Совокупные затраты снизились почти на 27 % (с 19,43 до 14,19 руб.), что, казалось бы, противоречит ожиданиям.

Тем не менее, полученный результат остаётся объяснимым. Очевидно, что в случае полного переноса всех операций на оборудование с ЧПУ - затраты были бы значительно выше базовых. Однако в результате оптимизации были выбраны такие операции, для которых перенос на современное оборудование оказался выгоден не только по времени, но и по затратам. Этот эффект возник не вследствие заложенного алгоритма, а как следствие специфики конкретного технологического процесса: операции с наибольшим временным выигрышем в данном случае совпали с менее затратными.

Стоит отметить, что подход, заложенный в модели, не ориентирован на полную автоматизацию производства любой ценой. Он предполагает оптимальный выбор: операции переносятся на ЧПУ-оборудование только в тех случаях, когда это действительно оправдано как с точки зрения временных характеристик, так и по затратам.

Важный плюс заключается и в функциональной универсальности метода. С одной стороны, он позволяет решать задачу маршрутизации с учетом множества производственных ограничений и параметров. С другой - дает инструмент для принятия инженерных решений, например, при выборе стратегии модернизации оборудования или оценки последствий внедрения новых технологических возможностей.

Что особенно ценно - применение модели не требует ни сложной инфраструктуры, ни избыточных объемов исходных данных. В то же время она остается адаптируемой: позволяет учитывать особенности загрузки оборудования, режимов выпуска, структуры участка. Это особенно важно в ситуациях переходного характера - например, при частичном обновлении оборудования, когда цех еще не перестроен, но уже требует новых логистических решений.

И, пожалуй, самое важное: модель позволяет сравнивать сценарии. Не на уровне абстрактных допущений, а на основе конкретных расчетов. И если под рукой есть инструмент, который может это обеспечить - это уже дает основание для более обоснованного выбора.