Математическая модель процесса очистки порубочных остатков от минеральных загрязнений в установке барабанного типа

ISSN 2307-0048*           v’ V. fe

• 1.    Введение

• 2.    Материалы и методы

Вопрос качественной очистки вырубок от порубочных остатков в России является большой проблемой. Особенно остро она встала с появлением в нормативной документации варианта «оставление на месте образования». При этом порубочные остатки, покрывающие лесосеку, являются существенным источником пожарной и фитопатологической опасности, препятствуют возобновлению леса [1—7]. Особенно большой проблемой в условиях лесов на многолетней мерзлоте, с резко континентальным климатом, является сильная горимость порубочных остатков, которые летом быстро высыхают и при этом крайне медленно разлагаются, из-за сильной заторможенности почвенной биоты [8—10].

Порубочные остатки потенциально являются ценным энергетическим сырьём. Известны разработки, относящиеся к производству энергетических брикетов из измельчённых отходов лесозаготовки непосредственно на лесных терминалах [11—16]. Однако обязательная операция технологического процесса их производства — операция измельчения осложняется наличием в сырье большого количества примесей в виде налипших частиц почвогрунта [12], [13], [15]. Рабочие органы оборудования для измельчения быстро приходят в негодность, их заточка требует остановки процесса производства брикетов и дополнительных затрат. Также значительно изнашивается и технологическое оборудование брикетного пресса. В этой связи перед измельчением целесообразно выполнять предварительную очистку порубочных остатков от примесей, причём способ очистки должен быть экономичным и реализуемым в условиях леса.

Известны мобильные барабанные машины, предназначенные для окорки лесоматериалов [12]. Ранее обсуждалась и возможность их использования для очистки сырья — порубочных остатков от почвогрунта [12], [13], [15]. Предварительно был получен положительный практический опыт, однако на сегодняшний день научно обоснованных сведений по обозначенному вопросу практически не представлено [12], [13], [15]. Недостаток научных результатов затрудняет обоснование параметров и режимов работы мобильного оборудования для очистки отходов лесозаготовки от налипшего почвогрунта; исследования, результаты которых изложены в настоящей статье, были направлены на его восполнение.

В работе [17] были представлены результаты по обоснованию параметров групповой барабанной окорки. В определённом смысле процесс барабанной окорки и процесс удаления частиц почвогрунта можно считать схожими, поскольку в обоих случаях при обработке сырья, в первом случае — брёвен, во втором случае — вершин и ветвей, происходит:

• ■    соударение их между собой;

• ■    трение между собой и со стенками барабана;

• ■    удар о стенку барабана.

• 3.    Результаты

Были успешно реализованы математические модели, раскрывающие механику процесса разрушения коры на брёвнах при ударе о стенку барабана [17], [18]. Представлены верифицированные теоретические положения, позволяющие рассчитывать число ударов, требуемое для очистки брёвен от коры, и иные показатели, влияющие на производительность и качество барабанной окорки; модели позволяют учесть размер и физико-механические свойства лесоматериалов [17], [18]. В их основе лежат уравнения механики контактного взаимодействия, описывающие распространение напряжений в массиве коры при контакте со стенкой на основе теории удара Герца.

В меньшей степени изучено соударение брёвен и трение их о стенку барабана — эти явления сравнительно меньше сказываются на удалении коры [17], [18]. Исследуемый нами случай отличается от окорки как геометрическими параметрами предмета труда, так и меньшим сцеплением удаляемого с него слоя, в связи с чем представляется целесообразным провести дальнейшие исследования и подробнее рассмотреть эффект соударения порубочных остатков. Также следует заметить, что форма порубочных остатков будет заметно отличаться от формы брёвен, считающейся цилиндрической [17], [18], что также требует дальнейшей проработки.

Как и в случае окорки брёвен, в качестве модели материала будем использовать совокупность мягких шаров. Для адекватного описания механических явлений, возникающих при обработке лесосечных отходов, параметры моделей должны отвечать следующим условиям [17]:

• ■    диаметры шаров-моделей должны быть согласованы с переменным диаметром вершин либо ветвей в поперечном сечении;

• ■    суммарный объём и масса шаров-моделей должны быть согласованы с объёмом обрабатываемых вершин и ветвей.

Как было установлено в результате проведённых экспериментов по изучению объёма и размерных характеристик отходов лесосечных работ на пробных площадях, объём вершин деревьев и ветвей варьируется в широких пределах, а закономерности эмпирического распределения при этом сложны и чувствительны к условиям произрастания и технологии выполнения лесосечных работ [15]. В качестве входной характеристики сырья при моделировании возможно задаться высотой и диаметром дерева в вершинном отрезе, условно считая их нормально- и логарифмически-нормально распределёнными величинами [15].

Для учёта формы рассмотрим порубочные остатки как тела вращения с образующей в виде алгебраического полинома, что позволит учесть переменный сбег — это обстоятельство существенно с точки зрения определения объёма вершины ввиду сравнительно быстрого убывания диаметра в поперечном сечении по длине. На настоящем этапе исследований ограничимся порубочными остатками, образующимися при заготовке древесины сосны. Отметим, что для совершенствования планирования и управления комплексным циклом лесопереработки целесообразны дальнейшие исследования по накоплению эмпирической базы по размерным и иным характеристикам порубочных остатков.

С технической точки зрения в качестве полинома-приближения удобно воспользоваться моделью кубического интерполяционного сплайна с граничными условиями в виде условий свободного провисания (естественный сплайн). Уравнение образующей, задающее функцию диаметра поперечного сечения, в таком случае будет «гибко» передавать изменение попереч- ного сечения предмета труда и отвечать условиям интерполяции, неразрывности и гладкости, а программная реализация решения не представляет сложности при современном развитии программных средств.

Тогда с обозначениями по рисунку 1 запишем для диаметра поперечного сечения в общем виде:

где i — номер сечения, k f — коэффициент формы, a , b , c — числовые коэффициенты интерполяционного сплайна, d — диаметр i -го поперечного сечения, x — продольная координата.

Рисунок 1. Схема к построению приближения образующей [рисунок авторов]

• Figure 1. The scheme for constructing an approximation of the generatrix

Объём моделей-шаров для каждой ветви либо вершины будет являться переменной величиной вдоль оси x , согласованной с объёмом тела вращения с образующей по выражению (1) и высотой, равной d x , тогда:

Диаметр последнего шара рассчитаем по формуле

Рассмотрим распределение шаров-моделей по диаметру и массе для лесосечных отходов после заготовки древесины сосны (вершины). Входные данные: диаметр d , длина l , плотность ρ считаются случайными величинами с параметрами распределения, указанными в таблице 1 по работе [15]. Также в таблице 1 указаны параметры распределения модуля упругости E и коэффициента Пуассона ν , которые будут использоваться при реализации модели соударения.

Таблица 1. Параметры распределения модуля упругости E и коэффициента Пуассона ν

Table 1. Distribution parameters of the elastic modulus E and the Poisson's ratio v

Параметр	Распределение	μ	σ
Диаметр d , м	~ LN	–2,5286	0,0983
Длина l , м	~ N	4	0,4
Плотность ρ , кг/м3	~ N	760	76
Модуль упругости E , ГПа	~ N	12,5	0,125
Коэффициент Пуассона ν	~ N	0,25	0,025

Гистограммы распределения диаметров и масс шаров-моделей, полученные в результате обработки расчётных данных для выборки из 1000 тел вращения с образующей по формуле (3), приведены на рисунках 2, 3.

Анализ полученных данных показывает, что эмпирические законы распределения модельных значений массы и диаметра можно приблизить логарифмически-нормальным теоретическим законом с функцией плотности вероятности:

fY(y) =

1     -(Ьу-д)2

—;=exp--—r--, уу2тга 2аг где μ, σ — параметры теоретического закона, y — значение величины.

Для проведения расчётов была подготовлена программа, реализующая приближение образующей тела вращения, моделирующего порубочные остатки, на основе сплайн-интер-поляции с учётом геометрических свойств предмета труда (диаметра в месте вершинного распила и длины, сбега), а также параметров их распределения. Программа позволяет рассчитывать характеристики шаров-моделей порубочных остатков, соударяющихся в процессе барабанной очистки от налипших частиц почвогрунта, согласующихся с размерными характеристиками обрабатываемых порубочных остатков. Включает процедуру оценки параметров логарифмически-нормального распределения величин диаметров и масс модельных шаров. Полученные результаты далее используем при моделировании соударений в ходе очистки порубочных остатков от налипшего почвогрунта.

Рисунок 2. Распределение диаметра модельных шаров (порубочные остатки после заготовки древесины сосны) [рисунок авторов]

Figure 2. Distribution of the diameter of the model balls (felling residues after pine wood harvesting)

В таблице 2 приведены статистические характеристики для полученных параметров распределения модельных выборок шаров.

Таблица 2. Статистические данные для модельных выборок шаров

Table 2. Statistical data for model ball samples

Величина y	Распределение	Параметры распределения		Статистика χ 2
		μ	σ
Диаметр d ш , м	~ LN	–3,3851	0,376	0,8801
Масса m ш, м	~ LN	–3,3007	0,1403	0,7129

Рисунок 3. Распределение массы модельных шаров (порубочные остатки после заготовки древесины сосны) [рисунок авторов]

Figure 3. Mass distribution of model balls (felling residues after harvesting pine wood)

При разработке и исследовании модели соударения порубочных остатков между собой будем ориентироваться на работу [19], где подробно изложены теоретические положения, образующие модель контактного взаимодействия, результативно использованные при моделировании процессов, происходящих при соударении тел самой различной формы [17], [18], [20], [21]. Приведём основные уравнения, используемые при исследовании контактного взаимодействия сырья.

Контактная сила, возникающая при соударении двух шаров с различной массой, определяется уравнением [19]

dvr dv2

p = mi~T~ = ~m2~^’

• ¹    dt ² dt

где индексы «1» и «2» вводятся для пары рассматриваемых шаров, m — масса шара, v — скорость центра тяжести шара, t — время.

Для последующих преобразований равенства (5) удобно переписать в виде:

где h — контактное сближение центров тяжести шаров.

Из решения задачи о деформации пары соударяющихся мягких шаров-моделей также следует равенство [19]

P = khz,                                   (7)

где k — приведённая жёсткость [19]:

где использованы обозначения:

где R — радиус, E — модуль упругости, ν — коэффициент Пуассона.

На основании второго закона Ньютона следует:

d2h

з

m—r = —khz, dt-

где m — приведённая масса:

Контактное сближение является функцией времени, h = h ( t ), интегрирование (11) с учётом начального условия

где V — начальная скорость сближения центров тяжести шаров, приводит к следующей записи [19]:

.

По уравнению (14) найдём величину h *, соответствующую условиюs⁼°, т. е. максимальное контактное сближение [19]:

.

С учётом уравнения для перемещения при переменной скорости из уравнения (14) следует формула, связывающая время контакта и сближение центров тяжести шаров [19]:

тогда для времени удара (вплоть до достижения значения сближения h = h *) запишем по [19]:

Таким образом, приведены уравнения для расчёта времени удара и максимальной силы при контакте шаров-моделей с учётом их геометрических параметров и физико-механических свойств. Получено уравнение для приближения закономерности изменения контактной силы за время удара [19]:

.

2t

Скорость V найдём следующим образом. Рассмотрим свободное падение шара «1» и положим, что в момент столкновения шар «2» неподвижен, тогда:

.             (19)

где D — диаметр барабана, g — ускорение свободного падения.

После определения основных зависимостей, характеризующих взаимодействие шаров-моделей, перейдём непосредственно к вопросу очистки сырья от налипших частиц грунта. Для случая барабанной окорки при определении числа ударов, необходимого для удаления коры, учитывают случайных характер процесса [22—24] и рассматривают сумму элементарных площадей поверхности бревна, контактировавшей со стенками барабана [17], [18].

Механизм очистки порубочных остатков изучен на сегодняшний день слабо, однако в смежных областях знания подобные процессы описывают с учётом вибрации материала, возникающей в результате ударного воздействия [25], [26]. В нашей работе воспользуемся следующими соображениями:

• ■    степень загрязнения порубочных остатков почвогрунтом охарактеризуем некоторой долей площади поверхности модельного шара;

• ■    рассмотрим перемещение элементарного сечения модели при колебании после удара как функцию времени, тогда произведение пути и длины контура сечения по размерности будет соответствовать площади;

• ■    условимся считать эту площадь очищенной от частиц почвогрунта, которые много жёстче лесосечных отходов и могут считаться недеформируемыми.

Запишем в общем виде уравнение колебаний тела с учётом затухания (схема на рисунке 4) [25]:

,                               (20)

где m — масса тела, n — коэффициент демпфирования, c — жёсткость, F ( t ) — сила, воздействующая на тело.

Запишем с учётом времени удара T и функции контактной силы от времени P ( t ):

Resources and Technology 23 (2): 28-48, 2026 ISSN 2307-0048

d~x7 dx? .       ,                  '

т₂—г~^ + n₂ —^ + kx₂ = P (t) Heaviside (T — t) dt~ dt

dx₂ ^x2\t=0 ⁼ ^'“ТГ   ^{= V}2

di |_t=o

.

Из решения уравнений (21) получим перемещения элементарных сечений шаров и скорости, с которыми они совершаются. Тогда путь как сумму перемещений найдём по известной формуле математического анализа:

Характерный пример решения уравнений (21) для пары шаров с параметрами по таблице 1 приведён на рисунке 4.

С учётом суммарной площади, «затронутой» колебаниями, возникающими после соударения шаров, запишем для доли поверхности шара, очищенной от налипшего грунта:

где F — площадь поверхности шара с диаметров d ш , а число соударений, требуемое для полной очистки от налипшего почвогрунта, определится так:

Рисунок 4. Пример решения уравнений колебаний шаров-моделей после соударения [рисунок авторов]

Figure 4. An example of solving the equations of oscillation of model balls after a collision

Для проведения расчётов по сформулированной математической модели процесса очистки порубочных остатков подготовлена компьютерная программа, позволяющая моделировать процесс при варьировании параметров соударяющихся тел. Программа реализует имитационную математическую модель соударения мягких шаров-моделей порубочных остатков в процессе очистки от налипших частиц почвогрунта. Расчёты выполняются при варьировании массы и размерных характеристик, а также механических свойств шаров-моделей с учётом статистических законов распределений. Основу модели соударения, реализованной в программе, составляют уравнения механики контактного взаимодействия и динамики, учитывающие нелинейные функции контактной силы от деформации соударяющихся тех. В результате получены гистограммы прогнозируемого числа соударений (оборотов барабана), которое потребуется для очистки порубочных остатков (рисунок 5). Анализ полученных данных показывает, что требуемое число ударов распределено по за-кону, соответствующему логарифмически-нормальному закону распределения с парамет-рами: μ = –3,3007, σ = 0,1403. В таком случае степень очистки порубочных остатков — доля шаров-моделей, очищенных от почвогрунта, связана с числом соударений (числом оборотов барабана) в соответствии с графиком, приведённым на рисунке 6.

Важно, что частота вращения барабана должна быть ограничена, в противном случае обрабатываемые порубочные остатки окажутся прижатыми к стенкам центробежной силой и соударений происходить не будет. Критическая частота вращения для машин барабанного типа обоснована в работе [26] и при диаметре барабана D = 0,8 м составляет 30 об./мин.

Рисунок 5. Число ударов (оборотов барабана), требующееся для очистки порубочных остатков от налипшего почвогрунта (сосна) [рисунок авторов]

• Figure 5.    The number of strokes (revolutions of the drum) required to clean the felling residues from the adhering soil (pine)

Рисунок 6. Связь степени очистки порубочных остатков от налипших частиц почвогрунта и числа оборотов барабана (порубочные остатки после заготовки древесины сосны, диаметр барабана 0,8 м) [рисунок авторов]

• Figure 6.    Relationship between the degree of felling residues cleaning from adhering soil particles and the number of drum revolutions (felling residues after pine wood harvesting, drum diameter 0.8 m)

Проиллюстрируем применение полученных результатов моделирования для оценки производительности операции очистки порубочных остатков от налипших частиц почвогрунта. При диаметре барабана D = 0,8 м, коэффициенте загрузки K б = 0,6 и коэффициенте полнодревесности порубочных остатков K д = 0,25 получим прогноз производительности очистки с учётом требуемой степени в соответствии с графиком на рисунке 7.

Таким образом, при степени очистки более 80 % прогнозируемая производительность составит 15—25 пл. м3/ч по сырью. Реализация вычислений показывает, что подготовленная программа позволяет рассчитать параметры закона распределения числа соударений, требующихся для заданной степени очистки порубочных остатков, а также оценить производительность машины барабанного типа, использующейся при обработке сырья.

Рисунок 7. Прогнозируемая производительность операции очистки порубочных остатков от налипших частиц почвогрунта и степени очистки (порубочные остатки после заготовки древесины сосны, диаметр барабана 0,8 м) [рисунок авторов]

• Figure 7.    Projected productivity of the operation of felling residues cleaning from adhering soil particles and the degree of cleaning (felling residues after pine wood harvesting, drum diameter 0.8 m)

• 4. Обсуждение и заключение

Таким образом, в результате выполненных исследований разработаны математическая модель и программа, реализующая приближение образующей тела вращения, моделирующего порубочные остатки, на основе сплайн-интерполяции с учётом геометрических свойств предмета труда (диаметра в месте вершинного распила и длины, сбега), а также параметров их распределения. Программа позволяет рассчитывать характеристики шаров-моделей порубочных остатков, соударяющихся в процессе барабанной очистки от налипших частиц почвогрунта, согласующихся с размерными характеристиками обрабатываемых порубочных остатков; включает процедуру оценки параметров логарифмически-нормаль-ного распределения величин диаметров и масс модельных шаров.

В результате проведённых расчётов установлено, что распределение параметров моделей порубочных остатков, образующихся при заготовке древесины сосны, соответствует лога-рифмически-нормальному закону распределения. В частности, в исследуемом случае параметры распределения для масс и диаметров указаны в таблице 2.

Сформулирована математическая модель и подготовлена программа, позволяющая рассчитывать показатели процесса соударения порубочных остатков при варьировании параметров соударяющихся тел. Программа реализует имитационный подход, расчёты выполняются при варьировании массы и размерных характеристик, а также механических свойств моделей с учётом статистических законов их распределений. Основу модели соударения, реализованной в программе, составляют уравнения механики контактного взаимодействия и динамики, учитывающие нелинейные функции контактной силы от деформации соударяющихся тел. Программа позволяет рассчитать параметры закона распределения числа соударений, требующихся для заданной степени очистки порубочных остатков, а также оценить производительность машины барабанного типа, использующейся при обработке сырья.

Анализ полученных данных показывает, что требуемое число ударов распределено по закону, соответствующему логарифмически-нормальному закону распределения с параметрами: μ = –3,3007, σ = 0,1403. В таком случае степень очистки порубочных остатков — доля шаров-моделей, очищенных от почвогрунта, связана с числом соударений (числом оборотов барабана) в соответствии с графиком, приведённым на рисунке 6.

Расчёты показали, что при степени очистки от почвогрунта более 80 % прогнозируемая производительность барабанной машины составит 15—25 пл. м3/ч по сырью. Реализация вычислений показывает, что подготовленная программа позволяет рассчитать параметры закона распределения числа соударений, требующихся для заданной степени очистки порубочных остатков, а также оценить производительность машины барабанного типа, использующейся при обработке сырья.

Таким образом, использование полученных результатов представляется перспективным при проведении исследований в области имитационного моделирования процессов переработки отходов лесосечных работ и бережливого лесопользования, совершенствования планирования и управления комплексным циклом лесопереработки, однако для этого целесообразны дальнейшие исследования по накоплению эмпирической базы по размерным и иным характеристикам порубочных остатков.

Работа выполнена в рамках научной школы «Инновационные разработки в области лесозаготовительной промышленности и лесного хозяйства» Арктического государственного агротехнологического университета. Исследование выполнено на средства гранта Российского научного фонда № 23-16-00092/.,